WARTOŚĆ ZAGROŻONA PORTFELA INWESTYCYJNEGO SZACOWANA NA PODSTAWIE DANYCH WYSOKIEJ CZĘSTOTLIWOŚCI − BADANIA EMPIRYCZNE

(1)

ISSN 2083-8611 Nr 221 · 2015 Współczesne Finanse 1

Daniel Iskra

Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach Wydział Finansów i Ubezpieczeń Katedra Matematyki Stosowanej daniel.iskra@ue.katowice.pl

WARTOŚĆ ZAGROŻONA PORTFELA

INWESTYCYJNEGO SZACOWANA NA PODSTAWIE DANYCH WYSOKIEJ CZĘSTOTLIWOŚCI −

BADANIA EMPIRYCZNE

Streszczenie: W opracowaniu zaprezentowano wyniki szacowania wartości zagrożonej spółek oraz optymalnych portfeli inwestycyjnych. Badania przeprowadzono na minutowych notowaniach spółek wchodzących w skład indeksu S&P100. W symulacjach uwzględniono dwa podejścia konstrukcji empirycznych rozkładów logarytmicznej stopy zwrotu użytych do wyznaczania wartości zagrożonej. W pierwszym z nich rozpatrywany szereg zawierał kolejne notowania cen akcji. W podejściu drugim w konstrukcji rozkła- dów empirycznych dokonano podziału dni na części i wyznaczano rozkład na podstawie danych z wybranych części dnia sesyjnego (np. z jednej godziny) z kilku, kilkunastu dni.

W wyniku przeprowadzonych badań wykazano, iż w pewnych przypadkach (użyte po- dejście, zakres parametrów) zgodność oszacowanej wartości zagrożonej z realnymi stratami była wysoka.

Słowa kluczowe: wartość zagrożona, optymalny portfel inwestycyjny, dane wysokiej czę- stotliwości.

Wprowadzenie

W naukach ekonomicznych zarządzanie ryzykiem przedsięwzięć inwestycyjnych stanowi ważny aspekt. Każdy element zarządzania ryzykiem, zaczyna- jąc od rozpoznania zagrożenia, poprzez jego kwantyfikację, a na optymalizacji i monitoringu kończąc, ma duże znaczenie. Z tego też powodu wraz z upływem czasu powstawało coraz więcej miar pozwalających na kwantyfikację ryzyka inwestycyjnego. Jedną z nich, użytą w niniejszym opracowaniu, jest wartość za-

Tadeusz Czernik

Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach Wydział Finansów i Ubezpieczeń Katedra Matematyki Stosowanej tadeusz.czernik@ue.katowice.pl

(2)

Wartość zagrożona portfela inwestycyjnego… 33

grożona, która stała się popularna pod koniec ubiegłego wieku. W dużej mierze do jej popularyzacji przyczynił się Bank JP Morgan, publikując metodologię za- rządzania ryzykiem RiskMetrics.

Wartość zagrożona (Value at Risk, VaR) dla ustalonego prawdopodobień- stwa α (poziom tolerancji VaR) i ustalonego horyzontu t jest zdefiniowana na- stępująco [Wilmott, 2006]:

P S

(

0−S_t ≥VaR

( )

α,t

)

=α, (1) gdzie S0, St jest odpowiednio wartością początkową i końcową procesu ceny in- strumentu finansowego.

Innymi słowy wartość zagrożona jest to taka strata wartości rynkowej, że prawdopodobieństwo jej osiągnięcia lub przekroczenia dla ustalonego przedziału czasu jest równe zadanemu poziomowi tolerancji [Jorion, 2001; Holton, 2003;

Iskra, 2011].

W literaturze przedmiotu [Jorion, 2001; Holton, 2003; Alexander, 2008]

można znaleźć kilka podejść wyznaczania wartości zagrożonej, a dokładniej kilka podejść do aproksymacji rozkładu prawdopodobieństwa rozważanej wielko- ści, za pomocą którego szacuje się wartość zagrożoną. Można przyjąć między innymi wprost rozkład teoretyczny badanej cechy, wykorzystać symulacje Mon- te Carlo czy też symulacje historyczne. Dokładność oszacowanej wartości za- grożonej jest tym większa, im aproksymowany rozkład badanej cechy dokład- niej odzwierciedla rozkład rzeczywisty tej wielkości.

Tematyka pomiaru ryzyka inwestycyjnego na podstawie danych wysokiej częstotliwości jest bardzo popularna zarówno wśród naukowców, jak i prakty- ków [Huang, 2013; So, 2013].

Celem przeprowadzonych badań było wyznaczanie wartości zagrożonej in- strumentów finansowych na podstawie szeregów o wysokiej częstotliwości (minutowe notowania cen akcji). Wartość zagrożoną szacowano z empirycznych rozkładów logarytmicznych stóp zwrotu akcji (symulacje historyczne). Kolej- nym krokiem była optymalizacja portfela inwestycyjnego (dwuskładnikowego) ze względu na wartość zagrożoną.

W wyniku przeprowadzonych badań wykazano, iż w pewnych przypadkach (użyte podejście, zakres parametrów) zgodność oszacowanej wartości zagrożo- nej z realnymi stratami była wysoka.

(3)

1

ż w a n ł s u

( w c ś m d

j m

R Ź

1. W

żon wch a ko nie ło 9 spo usp

(„sy wyż cji ( ści min dów

jedn min

Rys.

Źród

Wa W nej d

hod ońc wy 97%

sób raw W ymu ższe (po

roz nuto w, ta W nak nuto

. 1. H dło: O

arto W ba dla dząc cem ystąp

% n b w wnił Wart ulac ego

mij zkła owy akic W pr

k typ owy

Hist Opra

ość ada sze cych m 20

ąpiło noto wszy

ło o tość cje o po jam adów ych

ch j rzyp

pow ych

togra cowa

za ania ereg h w 011 o, lu owa

ystk obli ć za

his odej my w

w).

stó ak:

pad we.

log

am l anie

gro ach

gu w sk rok ukę ań w

kie cze agro stor

jści w te

Dr óp z

no dku M gary

loga wła

ożo sza not kład ku.

ę uz w s sp enia ożo rycz ia p ej m rugi

zwr orm

dan ożn ytm

arytm sne.

ona acow

tow d ind

Jeż zupe szer

ółk a zw oną zne”

przy meto

i as rotu alny nyc na t micz

micz

a ak wan wań

dek żeli ełni rega ki p włas wy

”) l yczy odz spek u m y, t ch o to z znyc

znej

kcji no, mi ksu w d iano ach posi szcz yzn loga ynił zie e

kt p możn

-stu o wy zauw

ch s

stop

i − a n inut S&

dan o no

wy iada za w nacz

aryt ły s

esty pole

na uden

yso waż stóp

py z

wy nast tow

&P1 nym

oto ystę ały w pr

zan tmi się d

yma egał apr nta okiej żyć p zw

zwro

ynik tępn wych 00 m in wan ępo

w rzy no n

iczn dwa ację ł na roks czy ej cz ć na wro

otu s

ki b nie h. D

not nstru niem wał

ka ypad na nych a as ę pa a sp sym y C zęst a po otu w

spółk

bad tes Do tow ume m z ło w ażdy dku

pod h s spek aram praw mow Cauc totl oniż w p

ki IB

dań stow bad wany enc z m w o ym u po dsta stóp

kty.

met wdz wać chy iwo żej przy

BM

ń em wan

dań ych cie d minu

ods dn ortfe awi p zw

. Pi trów zen

za y’eg

ości prz ypad

mp no z ń do h po

dla uty p

tęp niu ela ie r wro ierw w m iu,

po go.

i ro zed dku

piry zgo obra omi

jak pop ach tyl inw rozk otu wszy mod

czy omo

ozkł staw u sp

ycz odno

ano iędz kiejś prze h m le west

kład akc y to delu

y ro ocą

łady wio półk

zny ość o lo zy p ś m edn minu

sam tycy dów cji.

o br u or

ozkł wy

y st onyc ki IB ch

wa osow

poc minu

iej utow mo

yjne w e

Do rak az t łady ybra

óp ch BM

arto wo zątk uty

(śre wyc

no ego emp o w par test y em any

zwr hist M.

ości 50 kiem

not edn ch).

tow o.

piry wybo

ram ty z mp ych

rotu tog

i za sp m 2 tow nio o

W wań

yczn oru metr zgod

iryc roz

u ni gram

agro ółe 200 wani oko W te

, c

nyc u po

ryza dno czn zkła

ie s mac o- ek 00 ie o- en co

ch o- a- o- ne

a-

są h

(4)

z z i r t n

w

R Ź

w o

b t

d z J 2 zost zero inne row traln nyc

w p

Rys.

Źród

war odg

ba a teor

dan zwi Jak 200

Z tały owe ej u wych nej ch sp

N pierw

. 2. H dło: O

Ja rtoś górn O apro rety

W ne o

ięks zaz 00 a

rys ych e, k usta h. S czę pół Na r

wsz

Hist Opra

ak m ści.

nie w pis oks yczn W ba o dłu szaj zna a ko

sun wa któr alon Stan ęśc łkac

rysu zym

togra cowa

moż Wy wie ana sym nym ada ugo jąc aczo ońce

nku aria rych nej

n ta i. G ch w unk m dn

am l anie

żna ynik elko a po macj m ni ania ości za ono

em wy antó h ilo

wa aki Gen wyn ku

niu

loga wła

a za ka t ości owy ji ro ie p ach i od każ wc 20

Wa

ynik ów.

ość artoś

prz nera nosi 2 p

ana

arytm sne.

auw to z i.

yżej ozk przy roz d 60 żdym cześ

11 r Warto

ka, ż Do ć jes ści) zycz alnie ił w prz aliz

micz

waży z fa

j sy kład ynio zpat 0 da m r śnie rok

ość z

że i o ta st is ). D zyn

e śr w pr

eds zow

znej

yć, aktu

ytua du e osła trzo anyc raze ej, n ku, z

zagr

iloś akie stot Dla nia s

redn rzyb staw wane

stop

sto u, iż

acja emp a po ono ch ( em noto z go

rożo

ść s ego tnie spó się ni o bliż wion

ego

py z

opy ż zm

a pr piry ozyt o bo (1 g sze owa odz

ona

stóp o sta

e w ółki do ods żeni no ok

zwro

zw mian

awd yczn tyw owi

god ereg ania zin o

por

p bl anu ięk i IB

nie etek iu 2

his kres

otu s

wrot ny

dop neg wneg

em dzin g o a po od

rtfe

iski u rz ksza BM

etry k w 25%

stog u (3

spółk

tu s cen

pod o w go e sz na) d

60 och 10.0

la in

ich zecz a od zao ywia wyst

%.

gram 360

ki IB

sku n są

obn wyb

efek ereg do

dan hodz 00

nwe

zer zy p d ze

obs alne

tęp

m 0 no

BM

upia ą wi

nie bran

ktu gi c 720 nyc ziły do

estyc

ru j prz era serw

ej p ow

z n otow

(360

ają ielo

prz nym . cza 00 d

h (d y z o 16.

cyjn

jest zycz

(cz wow post

ani

not wań

0 no

się okro

zycz mi p

asow dan dan okre

00.

nego

t zn zyn zy te wan

taci a st

ow ń).

otow

wo otno

zyn prze

we nych ne z

esu . W

o…

nacz iają eż o no o

i ro tóp

wań

wań)

okó ośc

nia s ez a

zaw h (1 z do u po Wszy

znie ą si od oko zkł ze

za

ół n ią p

się auto

wier 120 odat omię

ystk e w

ię w stó oło

ładu row

aobs

niew pew

do orów

rają go tkow ędz kich

ięk wła p o 14%

u w wyc

serw

wiel wnej

fak w r

ące dzi wej zy p h no

sza śnie o do

% s w jeg

ch w

wow

lkie j us

ktu, rozk

mi in, 2 j go pocz otow

a od e st owo stóp go w b

wan

ej il stal

iż kład

inut 20 d odzi

zątk wań

3

d po top olni p ze cen bada

nyc

lośc lone

pró dam

tow dni) iny) kiem ń by

5

o- py

ie e- n- a-

h

ci ej

ó- mi

we ), ).

m y-

(5)

ło około jednego miliona w każdej spółce. Rozpatrywanie dłuższych okresów niż 20 dni jest niewskazane ze względu na przestarzałe informacje niesione przez najstarsze dane. Należy także zaznaczyć, że wybrane okresy (każdy przypadek), np. 60-minutowe, nie miały części wspólnych, tzn. okno z danymi nie było przesuwane o jedną daną, tylko o cały blok 60 danych, natomiast w przypadku okresów najdłuższych każdorazowo o 7200 danych.

Do weryfikacji jakości aproksymacji wykorzystano test Kołmogorowa- -Smirnowa (Kołmogorowa) [Wywiał, 2004]. Hipoteza zerowa w tym teście za- kłada brak istotnych różnic pomiędzy rozkładem empirycznym a założonym rozkładem teoretycznym. Jeżeli parametry rozkładu teoretycznego są znane, dystrybuanta statystyki jest wyznaczona analitycznie. W przypadku gdy parametry rozkładu teoretycznego są estymowane na podstawie próby, do której rozkład ten jest dopasowywany, należy wyznaczyć poprawkę polegającą na oszacowaniu rozkładu statystyki metodą symulacyjną i skorygowaniu wartości krytycznych (w tym przypadku rozkład statystyki będzie bardziej skoncentrowany). Dla rozkładu normalnego powyższy test z naniesioną poprawką nosi nazwę testu Lillieforsa (Kołmogorowa-Lillieforsa) [Wywiał, 2004]. W przypadku rozkładu t-studenta i Cauchy’ego rozkład statystyki testu Kołmogorowa-Smirnowa wyznaczano symu- lacyjnie (symulacje Monte Carlo) na podstawie wygenerowanych 5000 realizacji.

W przypadku rozkładu normalnego tylko nieliczne spółki wykazują popraw- ną aproksymację w co najmniej 20% przypadków, a dla żadnej spółki odsetek ten nie przekracza 60%. Średni odsetek przypadków z poprawną (co do testów zgod- ności) aproksymacją za pomocą rozkładu normalnego wynosi 16%, a odchylenie standardowe 12%. Należy także pamiętać, że w przypadku próbek mało licznych (60 danych) wyniki charakteryzują się mniejszą wiarygodnością. Użycie rozkładu t-studenta oraz rozkładu Cauchy’ego do aproksymacji rozkładu empirycznego daje gorsze wyniki niż w przypadku rozkładu normalnego, a jest przy tym znacznie bardziej czasochłonne obliczeniowo ze względu na konieczną do wprowadzenia poprawkę (typu Lillieforsa) w teście Kołmogorowa-Smirnowa.

Reasumując, istotna ilość stóp zerowych oraz nietrywialna postać rozkładu może się przełożyć na małą ilość przypadków poprawnej aproksymacji danych empirycznych wybranymi (typowymi) rozkładami teoretycznymi. Z drugiej strony użycie bardziej złożonych rozkładów (np. mieszaniny kilku rozkładów) czy też procesów stochastycznych do opisu dynamiki ceny, o większej ilości pa- rametrów, oznacza zwiększenie czasochłonności procedury estymacji, a zarazem procedury testowania (co może stanowić problem w przypadku prognoz VaR dla krótkich horyzontów). Opisane wnioski przyczyniły się do wyboru przez auto- rów symulacji historycznej do szacowania wartości zagrożonej.

(6)

p z g z p d k g ( k

R Ź

z w d p s z pam z 1, groż z po prze dzin kład groż (ws kow

Rys.

Źród

zały wzg dan przy staw zgo

W mi z , 2, żon ozio eds nach du

żon szys wały

. 3.

z dło: O

Ja y z ględ nych ypa wie odno

W da zwr 3, nej ome

taw h), emp nej

stki y zg

Ods z po Opra

ak w god du n h te adki no ość

alsz rotu

… na em wion

z k piry z p ch god

setek oziom

cowa

wid dno na z esty i, w otow w o

zej c u o ,12 po isto no w któr ycz poz był dnoś

k spó mem anie

dać ość zmi y w w kt wań oko

czę dłu 20 g

dsta otn w p reg zneg

iom ło 5 ść p

ółek m tol wła

na wa ianę wart

tóry ń z

oło Wa

ęści ugo godz

awi ośc post o lo go, mem

50), prog

k wy leran sne.

pow arto

ę il tośc ych 40 80%

Warto

na ości zin) ie s ci 0.

taci oga

a n m to w gno

ykazu ncji α

wyż ści lośc ci z h em

go

%.

ość z

pod i 60 ) zw sym

.05 wy aryt nast oler któ oz z

ującα =

ższy za ci d zagr mpir odzi

zagr

dsta 0, 1 wer mula [C ykre tmic tępn ranc óryc z rze

ych 0.05

ym agro dany rożo ryc in l

rożo

awi 120 ryfik acji

am esu czn nie cji ch t eczy

zgo 5

wy ożon ych

one czne lub

ona

ie s 0, 1 kow hi mpbe

u. N ne s do 0.0 test ywi

odno

ykre nej w ej n e ro z j

por

zer 80, wan stor ell, Na o stop os 05.

ty w isty

ość (

esie z roz nie ozkł

jesz rtfe

regó , … no p rycz 200 osi O py z

zac Na wart ymi

(co d

e, o rea zkła wy łady zcze

la in

ów

… , pop

zne 05]

OX zwr cow a os tośc

str

do te

odse alny adac ykaz y st e dł

nwe

cza 72 praw

ej. W . D zaz rotu wani si O

ci z ratam

estu

etek ymi ch zują tóp łużs

estyc

asow 200 wno W t Dla l zna u po

ia j OY zagr mi.

Kup

k sp i st emp ą z zw szy

cyjn

wyc da ość tym leps aczo osłu edn zaz rożo

pca)

półe trata

piry zgod wrot ych

nego

ch z anyc osz m ce

szej ono uży nom

zna one

min

ek, w ami ycz dno tu k

int o…

z lo ch zaco

elu j pr o int ły d minu aczo ej p

nuto

w k i, n znyc ości

kon terw

ogar (od owa uż rzej terw do utow ono

ozy

owej

któr nie

ch.

i. D nstru wałó

rytm dpow

anej żyto

rzy wał kon wej o od

ytyw

war

rych jes Dla Dop

uow ów,

micz wie j w o te ysto cza nstr j wa dset wni

rtośc

h te st s a m piero wan

wy zny edni warto

stu ści asu ruk arto tek ie z

ci za

esty tab małe o n no n yka

ymi io d ości Ku wy u (w cji ości

sp zwer

agro

y wy ilny ej il niek na p azyw

3

sto dan i za upc ynik w go roz i za ółe ryfi

ożone

yka y z lośc któr

pod wał

7

o- ne

a- ca

ki o- z- a- ek fi-

ej

a- ze

ci re d- ły

(7)

W przypadkach, w których empiryczne rozkłady stóp zwrotu zawierały odpowiednio dane z 6, 12, 18, … , 60, 66, 72, … ,112, 120 godzin (szeregi zwięk- szane o dane z sześciu dodatkowych godzin, przy czym początek tych szeregów zawsze był pierwszym notowaniem danego dnia), dla przypomnienia notowania obserwowano pomiędzy godziną 10.00 a 16.00 w każdym dniu, odsetek spółek z pozytywnie zweryfikowanymi prognozami wartości zagrożonej był minimal- ny, a właściwie w większości przypadków zerowy. Sytuacja taka jest spowodo- wana prawdopodobnie „efektem dnia następnego” (nazwa na użytek opracowania), tzn. w tych przypadkach prognozowano wartość zagrożoną na kolejną minutę, z tym że kolejna minuta oznaczała już pierwsze notowanie dnia następ- nego. Dołączając do rozkładu dane z pierwszej godziny dnia następnego, wyniki znacznie się poprawiały (odsetek spółek z pozytywnie zweryfikowaną wartością zagrożoną, co do testów zgodności, wynosił około 80%), jednak wraz ze stopa- mi z kolejnych godzin odsetki te malały, po czym znów rosły, żeby ostatecznie spaść prawie do zera po dołączeniu do szeregu danych z całego kolejnego dnia (czyli do przypadku prognozy VaR na pierwsze notowanie kolejnego dnia).

Powyższe wyniki dotyczyły porównania wartości zagrożonej z realnymi stratami w następnym notowaniu. Jednak w przypadku rozkładów empirycznych konstruowanych z większej ilości danych nie powinna zachodzić potrzeba wyznaczenia wartości zagrożonej wraz z każdą nową obserwacją. Kilka czy też kilkanaście nowych danych nie ma istotnego wpływu na postać rozkładu skon- struowanego np. z 1000 czy większej ilości danych. W przeprowadzonych symulacjach utrzymywano prognozę jednominutowej wartości zagrożonej przez kolejne 60 minut. Wartość zagrożona była zawsze szacowana dla horyzontu jednominutowego, natomiast prognoza ta nie była zmieniana przez kolejne 60 minut. Na poniższych wykresach przedstawiono odsetek spółek, w których testy wartości zagrożonej pozytywnie zweryfikowały zgodność prognozy VaR ze zre- alizowaną jednominutową stopą zwrotu obliczoną odpowiednio po 5, 10, 30 i 60 minutach od oszacowania wartości zagrożonej oraz na poziomie tolerancji rów- nym 0.05. Na potrzeby opracowania w opisach wykresów do przytoczonych przypadków zostanie użyta nazwa „opóźnienie”, tzn. opóźnienie 5 minut oznacza wyniki w przypadku testów wartości zagrożonej w stosunku do zrealizowa- nej stopy zwrotu po pięciu minutach od momentu wyznaczenia VaR.

(8)

Rys. 4. Wyniki zgodności szacowanej jednominutowej wartości zagrożonej z poziomem tolerancji α = 0.05 i zrealizowaną jednominutową stopą zaobserwowaną po 5 i 10 minutach od momentu wyznaczenia VaR

Źródło: Opracowanie własne.

Rys. 5. Wyniki zgodności szacowanej minutowej wartości zagrożonej z poziomem tolerancji α = 0.05 w odniesieniu do zrealizowanej jednominutowej stopy zwrotu zaobserwowanej odpowiednio po 30 i 60 minutach od momentu wyznaczenia VaR

Można zauważyć, że opisana wcześniej relacja pomiędzy zgodnością prognozy wartości zagrożonej a ilością danych użytych do konstrukcji rozkładu empirycznego zachodzi także w tych przypadkach. Na wykresach widać także, iż w niektórych przypadkach zgodność prognoz wartości zagrożonej poprawia się wraz z przesunięciem/opóźnieniem zrealizowanej stopy zwrotu w stosunku do momentu, w którym szacowano jednominutową wartość zagrożoną. Opisane relacje mogą sugerować pewną bezwładność układu (inwestorzy asymilują in- formację).

Innym podejściem do konstrukcji rozkładów empirycznych jest podział dni na części i konstrukcja rozkładu na podstawie danych z pewnego zakresu czasowego (np. tylko z jednej i tej samej godziny) z kilku, kilkunastu dni. Dlatego też obecnie dni podzielono na sześć części o długości godziny każda (w każdym dniu notowania obserwowano w ciągu sześciu godzin sesyjnych). Stąd też np.

6 18 30 42 54 66 78 90 102 114

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

interwał godzinowy (szeregi zawierały dane z powyższych ilości godzin)

odsetek spółek

Wyniki symulacji

Wartość zagrożona (horyzont - 30 minut, poziom tolerancji 0.05)

6 18 30 42 54 66 78 90 102 114

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

odsetek spółek

Wyniki symulacji

(opóźnienie (opóźnienie

6 18 30 42 54 66 78 90 102 114

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

odsetek spółek

Wyniki symulacji

6 18 30 42 54 66 78 90 102 114

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

odsetek spółek

Wyniki symulacji

(opóźnienie Wyniki symulacji (opóźnienie

Wartość zagrożona (opóźnienie 5 minut, poziom tolerancji 0.05)

Wyniki symulacji

(9)

szereg danych, z których konstruowano rozkład empiryczny, składał się z logarytmicznych stóp zwrotu obserwowanych w ciągu kilku dni pomiędzy godziną 10.00 a 11.00 lub 11.00 a 12.00 itd.

Po podziale otrzymano sześć szeregów z notowaniami, co przekłada się na 15 możliwych par szeregów. Dla każdej pary przeprowadzono testy zgodności rozkładów (dla zwiększenia wiarygodności wyników przyjęto obecnie poziom istotności równy 0.01) testem Kołmogorowa-Smirnowa dla dwóch prób z popu- lacji. Co najmniej w trzynastu parach dla każdej spółki zaobserwowano istotne różnice pomiędzy rozkładami. Można zatem stwierdzić, że w każdej godzinie dane pochodzą z innego rozkładu. Otrzymane wyniki dotyczą całego badanego okresu.

W przypadku krótszych szeregów z danymi sytuacja nie jest już tak kla- rowna. Badania wykazały, że im krótszy szereg, tym opisywane różnice (pomię- dzy rozkładami) są mniej widoczne. Dla szeregów zawierających 7200 danych istotne różnice zaobserwowano średnio w około 10 parach (na 15 możliwych), dla szeregów o długości 1800 danych średnio już tylko w 7 parach, w szeregach z 720 danymi w 4 parach, a w najkrótszych szeregach średnio tylko w jednej parze.

Z powyższego nasuwa się wniosek, że w części rozpatrywanych przypad- ków notowania istotnie się zmieniają z godziny na godzinę i mogą utrzymać ten sam rozkład w kilku kolejnych dniach w przypadku danych z tej samej godziny.

Fakt ten zostanie obecnie wykorzystany przy ponownym szacowaniu i weryfikacji zgodności wartości zagrożonej. Pomimo braku istotnych różnic pomiędzy najkrótszymi szeregami zostaną one uwzględnione w obecnych symulacjach (podobnie jak w poprzednim podejściu), ograniczona zostanie jednak ilość danych w dłuższych szeregach, do 1800 danych (poprzednio do 7200). Powodem takich ograniczeń jest długość próbki z wygasłymi prognozami wartości zagrożonej uży- tej do testów zgodności VaR. Ze względu na fakt, iż obecnie wybierano dane tylko z jednej godziny, a nie z całego dnia, narzucone ograniczenie pozwoli uzyskać (dla szeregów o 1800 danych) co najmniej 100 prognoz wartości zagrożonej, co jest istotne ze względu na wiarygodność testów VaR użytych w kolejnym kroku.

Na poniższych wykresach zaprezentowano otrzymane wyniki w obecnym podejściu do wyznaczania rozkładów empirycznych logarytmicznej stopy zwrotu badanych spółek. Należy pamiętać, że przypadek konstrukcji rozkładu empirycznego z danych obserwowanych, np. przez 30 godzin, oznacza dane obserwowa- ne w ciągu jednej i tej samej godziny (np. tylko z drugiej godziny sesyjnej) w 30 kolejnych dniach. Przedstawione wyniki są zagregowane, zawierają bowiem łączne wyniki dla rozkładów empirycznych konstruowanych z danych obserwowanych podczas pierwszych, drugich, …, szóstych godzin sesyjnych danych dni.

(10)

R Ź

o n 1 n

u o z w r z r m o z s

Rys.

Źród

odse nym 120 niki

utrz ods zgo wie ranc z po regó min oko zrea stop

. 6.

dło: O

N etki mi w 00 (n i mo Po zym etek odno edni

cji r ozy ów) nima oło 8 alizo py z

Ods z p Opra

Na p iem w za

not ożn odo myw k sp ość io p rów ytyw ) i alną 80%

owa zaob

setek ozio cowa

prze m sp ależ owa na u obni wano

pół Va po 5 wny wną nie ą d

% za anej bser

k spó omem

anie

edst półe żno

ania uzna

ie j o p ek, aR 5, 1 ym 0

ą we ró dług arów ej je

rwo

ółek m to wła

taw ek z

ści a z ać z

jak rze

w ze 0, 3 0.0 ery żni gość wno edno owa

Wa

k wy olera sne.

wion z po

od 20 a w w z k któ zre 30 5. W fika

się ć sz o dl omi anej

Warto

ykazu ancj

nym ozy dłu god wyso wcze kolej óryc ealiz

i 60 Wyn acją ę zn zere

la m inut j po

ość z

ując i α =

m w ytyw

ugo dzin okie eśni ejne ch t zow 0 m nik ą zg nac egu minu

tow o 60

zagr

cych

= 0.0

wykr wnie ści n, d e (o iej, e 60 testy wan minu ki w

god zni z d uto wej

0 mi rożo

zgo 05

resi e zw

sze dokł odse pr 0 m y w ną j

utac wyka dnoś e. M dan wej stop inut

ona

odno

e n wer ereg ładn etek rogn minu

wart edn ch o azuj ści Mo nym j wa py tach

por

ość (

nie ryfik gu z

niej k ok noz ut. N

tośc nom od o ują,

zag żna mi, d

arto zwr h od

rtfe

(co d

uw kow z da

j z j koło zę j Na p ci z minu

osz że groż a ta

dla ości rotu d os

la in

do te

ida wan anym

jedn o 80

jedn pon agr utow zaco

i w żon akże któ i za u z szac

nwe

estu

aczn nym mi.

nej 0%) nom niżs rożo wą owa w ty nej j

e be órej agro ko cow

estyc

Kup

niają mi pr Od god i n minu

szyc onej sto ania ych jest ez p j sk ożon lejn wani

cyjn

pca)

ą si rog d pe dzin nieis

utow ch w j po opą a Va prz t wy pro kute nej w nego

ia w nego

) min

ię j gnoz ewn ny k stotn wej wyk ozy ą zw

aR o zypa yso ble eczn

wer o o wart

o…

nuto

już zam nej i każ nie j w kres ytyw wrot ora adk oki

mu ność

ryfi okre tośc

owej

wa mi w

iloś żdeg

od wart sac wnie

tu z n kach

(dla u wy ć p ikow esu,

ci za

war

ahan wart

ści d go z sieb tośc

h p e zw obl na p h od a dł yzn prog wan jak agro

rtośc

nia tośc dan z 20

bie ci z prze

wer licz pozi dse łuż nacz gnoz nej k i ożo

ci za

po ci z nych

0 dn róż zagr edst

ryfi oną iom etek szy zyć z w za p min onej

agro

mię zagr

h, o ni), żne.

roż taw ikow ą od mie t

k sp ych pe wyn pom nuto

. 4

ożon

ędz rożo okoł

wy . żone

ion wał dpo tole ółe

sze ewn iesi moc owe 1

ej

zy o- ło y-

ej no ły o- e- ek

e- ną

ie cą ej

(11)

Rys. 7. Wyniki zgodności szacowanej jednominutowej wartości zagrożonej z poziomem tolerancji α = 0.05 i zrealizowaną jednominutową stopą zaobserwowaną po 5 i 10 minutach od momentu wyznaczenia VaR

Rys. 8. Wyniki zgodności szacowanej minutowej wartości zagrożonej z poziomem tolerancji α = 0.05 w odniesieniu do zrealizowanej jednominutowej stopy zwrotu zaobserwowanej odpowiednio po 30 i 60 minutach od momentu wyznaczenia VaR

Przeprowadzone badania powtórzono także dla poziomów równych 0.01, 0.03, oraz 0.1. Poza przypadkiem poziomu tolerancji 0.01 wyniki są podobne do przedstawionych powyżej. W przypadku poziomu tolerancji 0.01 odsetek spółek ze zgodną wartością zagrożoną jest istotnie niższy. Na rysunku 9 przedstawiono wyniki, które nie zostały zagregowane (dla wszystkich omawianych poziomów tolerancji). Zostały one rozdzielone ze względu na godzinę sesyjną (pierwszą, drugą, … , szóstą) zawierającą logarytmiczne stopy zwrotu służące do konstrukcji rozkładów empirycznych. Wykres dotyczy wartości zagrożonej wyznaczanej z szeregów z danymi z 30 dni i porównanej (testy zgodności) do pierwszego no- towania od momentu oszacowania VaR. Jak można na nim zauważyć, wyniki nie są jednakowe dla każdej części dnia. Dane z pierwszych godzin generują gorsze prognozy niż z pozostałych. Dla dłuższych „opóźnień” różnica ta się zaciera.

0 5 10 15 20 25 30

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

odsetek spółek

Wyniki symulacji

0 5 10 15 20 25 30

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

odsetek spółek

Wyniki symulacji

(opóźnienie (opóźnienie

0 5 10 15 20 25 30

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

odsetek spółek

Wyniki symulacji

0 5 10 15 20 25 30

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

odsetek spółek

Wyniki symulacji

(opóźnienie Wyniki symulacji (opóźnienie

Wartość zagrożona (opóźnienie 5 minut, poziom tolerancji 0.05) Wyniki symulacji

Wyniki symulacji

Wartość zagrożona (opóźnienie 30 minut, poziom tolerancji 0.05) Wyniki symulacji

Wartość zagrożona (opóźnienie 60 minut, poziom tolerancji 0.05) interwał godzinowy (szeregi zawierały dane z powyższych ilości godzin) interwał godzinowy (szeregi zawierały dane z powyższych ilości godzin)

interwał godzinowy (szeregi zawierały dane z powyższych ilości godzin) interwał godzinowy (szeregi zawierały dane z powyższych ilości godzin)

(12)

Pomimo tego, że w obecnym podejściu wyniki są lepsze niż w poprzednim, to nadal występują problemy z poprawnym oszacowaniem wartości zagrożonej na początek dnia następnego.

Wyniki symulacji. Ilość danych w szeregach – 1800 (z 30 godz.) Minutowa wartość zagrożona z poziomem tolerancji α

Rys. 9. Wyniki zgodności szacowanej wartości zagrożonej – VaR(minuta, α) na podstawie 1800 danych (z 30 godzin) w zależności od godziny sesyjnej danego dnia

Dla formalności w obecnym przypadku sprawdzono również możliwość aproksymacji omawianych rozkładów empirycznych wybranymi rozkładami teoretycznymi. Wszystkie założenia co do długości szeregów czasowych, postaci rozkładów czy ilości symulacji w generowaniu rozkładu statystyki testu Kołmo- gorowa-Smirnowa pozostały bez zmian. Jedyną różnicą jest wybór danych do rozkładu empirycznego, które obecnie pochodzą z jednej godziny każdego dnia.

W przypadku rozkładu normalnego wyniki nieznacznie się poprawiły, jednak nadal nie są satysfakcjonujące. Na przykład w przypadku danych z pierwszej godziny jednego dnia średni odsetek poprawnych aproksymacji (co do testów istot- ności) wyniósł 25%, w przypadku trzeciej godziny 11%, a z ostatniej 17%. Gdy szeregi zawierały notowania z sześciu dni odpowiednio z tych samych godzin, średnie odsetki wyniosły: 2%, 0,5% oraz 1%. Dla dłuższych szeregów omawiane odsetki były jeszcze mniejsze. W przypadku rozkładu t-studenta oraz Cauchy’ego ilość zgodnych dopasowań jest nie większa niż dla rozkładu normalnego.

1. 2. 3. 4. 5. 6.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

godzina

odsetek portfeli

α = 0.01 α = 0.03 α = 0.05 α = 0.1

(13)

2. Optymalny portfel inwestycyjny ze względu na VaR

− wyniki badań empirycznych

Kolejnym aspektem badań, który rozważali autorzy, jest ponowne szacowa- nie wartości zagrożonej, tym razem w przypadku portfela inwestycyjnego. Re- zultaty badań wykażą, czy zaobserwowane prawidłowości dla pojedynczych spółek mogą dotyczyć także portfeli inwestycyjnych. Ponieważ analiza portfe- lowa zajmuje się między innymi optymalizacją strategii inwestycyjnych, autorzy rozważyli optymalne portfele z punktu widzenia wartości zagrożonej.

W portfelach wyznaczano skład tak, aby ich wartość zagrożona była mini- malna dla ustalonego poziomu tolerancji (w badaniach ustalono poziom tolerancji odpowiednio 0.01, 0.03, 0.05, 0.10) i horyzontu jednominutowego. Ponadto przeprowadzono testy zgodności wartości zagrożonej optymalnych portfeli.

Rozpatrzono 50 dwuskładnikowych portfeli, w skład których losowo dobie- rano dwie z 50 spółek wchodzących w skład indeksu S&P100 notowanych po- między początkiem 2000 a końcem 2011 roku. Podobnie jak poprzednio, rozkła- dy empiryczne stóp zwrotu wyznaczano na podstawie notowań zawartych pomiędzy pewnymi momentami czasu oraz w drugim przypadku konstruowano rozkłady empiryczne po podziale dni na części (dokładniej na godziny) i używa- no tylko danych z tej samej godziny poszczególnych dni.

W pierwszym przypadku konstruowano rozkłady z 3600, 3780, 7020 i 7200 danych, co odpowiada notowaniom dokładnie z 60, 63, 117 i 120 godzin. Z ba- dań dla pojedynczych akcji wynika, iż krótkie szeregi czasowe oraz szeregi, z których szacowano wartość zagrożoną dla notowań z dnia już następnego, nie dawały pozytywnych rezultatów. Stąd też wybrano szeregi dłuższe do konstrukcji rozkładów empirycznych w dwóch wariantach, mianowicie szacowano war- tość zagrożoną dla dnia już następnego (przypadek z 60 i 120 godzinami) lub dla notowań rozpoczynających dokładnie drugą połowę dnia (przypadek z 63 i 117 godzinami). Na rysunku 10 przedstawiono wyniki testów (odsetek spółek z pozytywnie zweryfikowanym testem Kupca) w zależności od ilości danych, z któ- rych szacowano wartość zagrożoną i zrealizowanych wartości, odpowiednio po pierwszej, dziesiątej, trzydziestej i sześćdziesiątej minucie, użytych w testach zgodności. Wartość zagrożona była szacowana dla poziomu tolerancji 0,05 i horyzontu jednominutowego.

(14)

R

Ź

d ( p n w j m

R

Ź Rys.

Źród

du.

(60 poz nyc war jedn min

Rys.

Źród . 10

dło: O

Ja Prz i 1 ziom ch. N

rtoś nom nuta

. 11

dło: O

odsetek portfeli

0. W α od Opra

ak m zyp 120 mów

Na ści z minu

ach

1. W α od Opra

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Wyniα = 0

dpow cowa

moż padk go w to rys zag

uto od

Wyniα = 0

dpow cowa

iki z 0.05 wied anie

żna ki, w odzi

oler sunk

roż wej

mo

iki z 0.01 wied anie i zgod

w o dnio wła

a za w k in), ranc

ku żone

j st ome

zgod w o dnio wła 60 inter bra

Wa

dnoś odnie o po

sne.

auw któr da cji

11 ej z topy entu

dnoś odnie o po

sne.

rwał g ak op

Warto

ści s esie 1, 1

waży rych ają z

uzy zap z po

y zw u w

ści s esie 1, 1 godz óź.

ość z

szac niu 10, 3

yć, h sz

zna yska prez ozio

wro wyzn

szac niu 10, 3 zinow

zagr

owa do z 30 i 6

pon zacu aczn ane zen ome otu nacz

owa do z 30 i 6 wy (sz op

rożo

anej zrea 60 m

now uje nie e wy ntow em

zao zen

anej zrea 60 m

63 zereg póź.

ona

min lizo minu

wnie się gor yni wan tole obs nia V

min lizo minu 3

gi zaw 10 m

por

nuto wan utach

e uw ę wa

rsze iki n no w eran serw VaR

nuto wan utach

wiera min

rtfe

owej nej je

h od

wid arto e w nie wyn ncji wow R.

owej nej je

h od ały d

la in

j wa edno d mo

dacz ość wyn ró niki i 0.0 wan

j wa edno d mo dane z o

nwe

artoś omin omen

znia zag iki żni zg 01 nej o

artoś omin omen 11 z pow opóź.

estyc

ści z nuto ntu w

a si groż niż ą s godn

w o odp

ści z nuto ntu w 17

wyżs . 30 m

cyjn

zagr owej wyz

ię p żon ż po

ię z noś odn pow

zagr owej wyz szych min

nego

rożo j sto znac

pew ną d ozo zna ci s niesi wied

rożo j sto znac h iloś

o…

onej opy z czeni

wna dla d ostał aczn szac ieni dnio

onej opy z czeni

ści go o

z p zwro ia V

be dnia

łe.

nie cow iu d o po

z p zwro ia V

12 odzin opóź

pozio otu z VaR

zwł a ju Dla od wan do z

o 1

pozio otu z VaR

20 n)

. 60 m ome zaob

ładn uż n

a po prz nej m

zrea , 1

ome zaob min

em t bser

noś nast ozo zed min aliz

0, 3

em t bser

toler rwow

ść u tępn osta dstaw

nuto zow

30

toler rwow

4

ranc wane

ukła neg ałyc wio owe wane i 6

ranc wane

5

cji ej

a- go ch o-

ej ej 0

cji ej

(15)

Rezultaty badań w przypadku konstrukcji rozkładów empirycznych z obserwacji w ciągu kilku dni wyłącznie z wybranej godziny zostały syntetycznie przedstawione na rysunkach 12 i 13. Obecnie rozkłady optymalnych portfeli inwestycyjnych wyznaczano odpowiednio z 300, 600, 1200 i 1800 danych, co odpowiada notowaniom dokładnie z 5, 10, 20 i 30 godzin (lub inaczej z notowań obserwowanych podczas jednej godziny na przestrzeni 5, 10, 20 i 30 dni).

Na rysunku 12 przedstawiono zagregowane wyniki zawierające łączne wyniki dla rozkładów empirycznych konstruowanych z danych obserwowanych podczas pierwszych, drugich,…, szóstych godzin sesyjnych danych dni w przypadku poziomu tolerancji wartości zagrożonej równej α = 0.05. Dla pozostałych poziomów tolerancji wyniki były podobne (przypadek 5-dniowy (300 danych) został pominięty ze względu na wyniki nieistotnie większe od zera).

Rys. 12. Wyniki zgodności szacowanej minutowej wartości zagrożonej z poziomem tolerancji α = 0.05 w odniesieniu do zrealizowanej jednominutowej stopy zwrotu zaobserwowanej odpowiednio po 1, 10, 30 i 60 minutach od momentu wyznaczenia VaR

Natomiast na rysunku 13 przedstawiono wyniki, które nie zostały zagregowane (dla wszystkich omawianych poziomów tolerancji). Zostały one rozdzielone ze względu na godziny sesyjne zawierające notowania służące do konstrukcji empirycznych rozkładów stóp zwrotu (pierwsza, druga,…, szósta danych dni).

Wykres dotyczy wartości zagrożonej wyznaczanej z szeregów z danymi z 30 dni i porównanej (testy zgodności) do pierwszego notowania od momentu oszaco- wania VaR.

10 20 30

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

odsetek portfeli

bez opóź. opóź. 10 min opóź. 30 min opóź. 60 min

(16)

Rys. 13. Wyniki zgodności szacowanej wartości zagrożonej − VaR(minuta, α) na podstawie 1800 danych (z 30 godzin) w zależności od godziny sesyjnej danego dnia

Jak należało się spodziewać, podobnie jak w przypadku pojedynczych spół- ek na wykresie można zauważyć, iż odsetek optymalnych portfeli zweryfikowa- nych pod kątem zgodności jednominutowej wartości zagrożonej nie jest jedna- kowy dla każdej godziny. Dane z pierwszych godzin generują gorsze prognozy niż z pozostałych, co zapewne po uśrednieniu przekłada sią na nieco gorsze rezultaty w zagregowanych wynikach (rysunek 12). Również w przypadku portfeli dla dłuższych „opóźnień” różnica ta się zaciera. Za gorsze wyniki w przypadku pierwszej godziny częściowo mogą odpowiadać problemy z poprawnym oszacowaniem wartości zagrożonej dla pierwszej obserwacji z dnia następnego.

Niemniej jednak w przypadku wartości zagrożonej szacowanej zarówno dla pojedynczych instrumentów, jak i dla optymalnych portfeli podejście, w którym konstrukcja rozkładów empirycznych opiera się na obserwacjach z kilku dni wy- łącznie z wybranej godziny, daje „stabilniejsze” wyniki ze względu na ilość danych użytych przy konstrukcji rozkładów.

Podsumowanie

W przedstawionym opracowaniu zaprezentowano wyniki szacowania war- tości zagrożonej na podstawie symulacji historycznej. Badania przeprowadzono na minutowych notowaniach 50 losowo wybranych spółek wchodzących w skład indeksu S&P100 oraz w przypadku optymalizacji portfela dwuskładniko-

1. 2. 3. 4. 5. 6.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

godzina

odsetek portfeli

α=0.01 α=0.03 α=0.05 α=0.10

(17)

wego ze względu na minimalną wartość zagrożoną. W symulacjach uwzględnio- no dwa podejścia konstrukcji empirycznych rozkładów logarytmicznej stopy zwrotu użytych do wyznaczania wartości zagrożonej. W pierwszym z nich dane z szeregu wybierano „liniowo”, tzn. rozpatrywany szereg zawierał notowania minuta po minucie. W podejściu drugim do konstrukcji rozkładów empirycznych dokonano podziału dni na części i konstruowano rozkład na podstawie danych z pewnego zakresu czasowego (np. tylko z jednej i tej samej godziny) z kilku, kilkunastu dni.

Drugi przypadek dawał zdecydowanie bardziej „stabilne” wyniki (efekt po- ry dnia). Odsetek spółek czy też optymalnych portfeli z poprawnie zweryfikowanymi prognozami wartości zagrożonej (co do testów zgodności) wynosił oko- ło 80% dla poziomów tolerancji pomiędzy 0.03 a 0.1. Dla mniejszych poziomów tolerancji wyniki (α = 0.01) były zdecydowanie gorsze, zazwyczaj VaR był średnio niedoszacowany. Co istotne, otrzymane wyniki mogą sugerować pewną bezwładność układu (informacje docierają do inwestorów z pewnym opóźnie- niem), ponieważ jednominutowa wartość zagrożona była bardziej zgodna w przypadku zrealizowanej realnej wartości zaobserwowanej po upływie co najmniej pięciu minut niż w notowaniu kolejnym w stosunku do momentu wyznaczenia wartości zagrożonej.

W przeprowadzonych badaniach sprawdzono także możliwość aproksymacji rozkładów empirycznych logarytmicznej stopy zwrotu z akcji rozkładem normal- nym, t-studenta czy też rozkładem Couchy’ego, niestety bez powodzenia. W badaniach zakładano, że rozkład teoretyczny wyznacza się na podstawie całej dostępnej informacji, jednak wartość zagrożona nie dotyczy bezpośrednio całego zbioru obserwacji, lecz jego lewego ogona. Może zaistnieć sytuacja, w której rozkłady: teoretyczny i empiryczny nie wykażą zgodności, natomiast rozkłady warunkowe lub inaczej lewy ogon rozkładu teoretycznego mógłby poprawnie aproksymować lewy ogon rozkładu empirycznego. Użycie warunkowych rozkładów mogłoby poprawić własności prognostyczne wartości zagrożonej, jednak należy się liczyć z czaso- chłonną procedurą estymacyjną i testującą zgodność rozkładów.

Literatura

Alexander C. (2008), Market Risk Analisys: Value at Risk Models. Vol. IV, John Wiley

& Sons, England.

Campbell S.D. (2005), A Review of Backtesting and Backtesting Procedures, Federal Reserve Board, Washington.

Holton G.A. (2003), Value at Risk. Theory and Practice, Academic Press, USA.

(18)

Huang H., Lee T.-H. (2013), Forecasting Value-at-Risk Using High-frequency Informa- tion, “Econometrics”, I, s. 127-140.

Iskra D. (2011), Value at Risk − Securities of Portfolio Optimization. A Geometric Brownian Motion Case [w:] Supplemento ai Rendiconti del Circolo matemattico di Palermo, serie II number 83, Sede della Societa, Palermo, s. 199-208.

Jorion P. (2001), Value at Risk: The New Benchmark for Managing Financial Risk, 2^ndedition, McGraw-Hill.

So M.K.P., Xu R. (2013), Forecasting Intraday Volatility and Value-at-Risk with High- frequency Data, “Asia-Pacific Financial Markets”, 20, s. 83-111.

Wilmott P. (2006), Paul Wilmott on Quantitative Finance, Vol. 1, John Wiley & Sons, England.

Wywiał J. (2004), Wprowadzenie do wnioskowania statystycznego, Wyd. Akademii Ekonomicznej, Katowice.

VALUE AT RISK OF THE INVESTMENT PORTFOLIO BASED ON HIGH FREQUENCY DATA − EMPIRICAL STUDIES

Summary:. Paper presents results of estimating Value at Risk for stocks and the optimal investment portfolios. Study was conducted at the minute quotations of companies included in the S&P100 index. The simulations included two design approaches of empirical distributions of the logarithmic rate of return used to determine the value at risk. The first one takes into account consecutive price quotations. In the second price quotations were divided into empirical distributions days were divided into six groups (quotations which come from time interval e.g. 10 am-11 am from each consecutive day were trans- ferred to the same data set). The research has shown that in certain cases the accuracy of the estimated value at risk of real loss was high.

Keywords: Value at Risk, optimal portfolio, high frequency data.