METODA FUNKCJI GĘSTOŚCI
PRAWDOPODOBIEŃSTWA W PROBLEMIE TURBULENCJI
A
NDRZEJI
CHAInstytut Matematyki, Akademia Pomorska w Słupsku e-mail:icha@apsl.edu.pl
Streszczenie. W pracy rozważono statystyczny opis przepływów turbulentnych przy wykorzystaniu metody funkcji gęstości rozkładu prawdopodobieństwa charakterystyk przepływu. W szczególności otrzymano równanie ewolucyjne dla jednopunktowej funkcji gęstości prawdopodobieństwa pulsacji koncentracji dyfundującej substancji w zadanym polu prędkości cieczy. Rozważono bliżej przypadek statystycznie stacjonarnego i horyzontalnie jednorodnego przepływu turbulentnego, dla którego znaleziono ścisłe, zależne od dwóch parametrów, rozwiązanie zagadnienia dyfuzji, wyrażone przez 3-konfluentną funkcję Heuna.
1.WSTĘP
W ujęciu statystycznym termohydrodynamiczne charakterystyki przepływu turbulentnego (pola prędkości, ciśnienia, temperatury, koncentracji domieszki itp.) są traktowane jako pola losowe w sensie przyjętym w teorii prawdopodobieństwa. W rezultacie próby sformułowania matematycznej teorii turbulencji sprowadzają to zagadnienie do jednego z rozdziałów probabilistycznej analizy funkcjonalnej (teorii rozkładów prawdopodobieństwa na przestrzeniach funkcyjnych). Takie rozkłady, określone na przestrzeni fazowej przepływu turbulentnego, są jednoznacznie wyznaczone przez swoje funkcjonały charakterystyczne.
Dlatego zagadnienie turbulencji można sformułować w języku funkcjonałów, których znalezienie stanowiłoby rozwiązanie problemu turbulencji.
Pola losowe można również opisywać przy wykorzystaniu skończenie wymiarowych rozkładów prawdopodobieństwa dla wartości tego pola θj1(M1), . . . , θjn(Mn) we wszystkich skończonych konfiguracjach punktów czasoprzestrzeni M1, . . . ,Mn,(M1 =(x1,t1), . . . ,Mn
=(xn,tn)). Skończenie wymiarowe gęstości prawdopodobieństwa takich rozkładów pM1...Mn(θj1, . . . , θjn) spełniają pewien nieskończony układ liniowych równań różniczkowych cząstkowych, który otrzymuje się z układu równań termohydrodynamiki, analogiczny do układów równań hierarchicznych występujących w problemach klasycznej i kwantowej fizyki statystycznej. Wszystkie układy powyższego typu są zawsze niezamknięte, ponieważ pochodne po czasie funkcji gęstości fn zależą od wartości funkcji fn+1. Podstawowym zagadnieniem w teorii turbulencji jest problem otrzymania zamkniętego układu równań dla funkcji gęstości rozkładu niższych rzędów, poprzez wykorzystywanie tzw. „hipotez zamykania” i w konsekwencji obcięcie wyjściowego, nieskończonego układu równań. Jak dotąd, na tym poziomie rozważań otrzymano bardzo mało rezultatów
(
zob. np. [1],[2],[3])
.i i
Zagadnie niestatystycznego opisu przepływów turbulentnych ulega istotnemu uproszczeniu, jeżeli do rozważań wprowadza się n-punktów i momenty statystyczne pól termohydrodynamicznych wszystkich rzędów. Ich określenie pozwala w zupełności wyznaczyć skończenie wymiarowe funkcje rozkładu prawdopodobieństwa i tym samym uzyskać informacje o postaci funkcjonałów charakterystycznych tych pól. Kompromis pomiędzy możliwościami teorii a potrzebami praktyki powoduje, że zazwyczaj rozważa się najprostsze statystyczne charakterystyki przepływu - momenty pierwszego i drugiego rzędu lub związane z nimi transformacją Fouriera, funkcje widmowe. Zagadnieniom tym poświęcona jest ogromna literatura przedmiotu - przegląd niedawnych osiągnięć w tym zakresie można znaleźć np. w pracy [4].
Celem niniejszej pracy jest analiza równania przenoszenia dla jednopunktowej funkcji gęstości rozkładu prawdopodobieństwa pulsacji koncentracji pasywnej domieszki, spełniającej równanie dyfuzji. Dla przypadku statystycznie stacjonarnego i horyzontalnie jednorodnego przepływu turbulentnego, znaleziono nowe, ścisłe, zależne od dwóch parametrów, rozwiązanie zagadnienia dyfuzji, wyrażone przez 3-konfluentną funkcję Heuna.
2. RÓWNANIE PRZENOSZENIA DLA FUNKCJI GĘSTOŚCI ROZKŁADU PRAWDOPODOBIEŃSTWA PULSACJI KONCENTRACJI
Zjawisko turbulentnego transportu domieszki pasywnej o stężeniu C = C(x,t),x ∈R3,t
∈[0;∞), rozprzestrzeniającej się w nieograniczonym ośrodku wypełnionym cieczą, jest opisywane równaniem dyfuzji postaci[5]
gdzie U(x,t) jest prędkością cieczy, a D jest współczynnikiem dyfuzji molekularnej.
Dokonując dekompozycji chwilowych wartości pól C(x,t) i U(x,t) na wielkości średnie i pulsacyjne, zgodnie z zależnościami
C(x,t)=C(x,t)+c(x,t); U(x,t)=U(x,t)+u(x,t),
gdzie„—”oznacza uśrednianie w sensie probabilistycznym i podstawiając te zależności do równania (1) przy wykorzystaniu reguł uśredniania Reynoldsa, uzyskuje się równania
Równanie ewolucyjne dla jednopunktowej funkcji gęstości rozkładu pulsacji koncentracji pc(c;x,t) można otrzymać różnymi sposobami. Przegląd metod w tym zakresie zawiera np.
praca [6]. W dalszym ciągu, w celu otrzymania stosownego równania wprowadza się pewną funkcję pomocniczą φ=φ[c(x,t)], o której zakłada się, że jest funkcją ciągłą o nośniku zwartym w R3. W wyniku różniczkowania tej funkcji otrzymuje się zależności
i w rezultacie
gdzie wykorzystano równanie (3).
Wyraz opisujący w równaniu (4) dyfuzję molekularną jest przekształcany jako [2]
Uwzględnienie tej zależności w równaniu (4) prowadzi do równania
Uśredniając równanie (5) uzyskuje się
W równaniu (6) występują wyrazy będące średnimi wartościami od iloczynów dwóch wyrażeń. Ich określenie wymagałoby, ogólnie mówiąc, znajomości wzajemnej funkcji gęstości rozkładu prawdopodobieństwa pulsacji prędkości przepływu i pulsacji koncentracji domieszki puc. Wprowadzając warunkowe gęstości rozkładu prawdopodobieństwa pu/c można wyrazy typu φ(c)ui zapisać w postaci
W równaniu (6) wielkość D(∂c/∂xi)2=εc opisuje prędkość wyrównywania niejednorodności koncentracji domieszki. Dokonując dekompozycji εc=εc+εc i wprowadzając wzajemną gęstość rozkładu prawdopodobieństwa pεc/c pulsacji εc i c, można przekształcić ten wyraz następująco
gdzie wprowadzono oznaczenie
W konsekwencji
Ponieważ można założyć, że pc(∞)−pc(−∞)≈0, trzy ostatnie wyrazy w równaniu (7) przyjmą postać
W rezultacie uzyskuje się
Z uwagi na własności pomocniczej funkcji φ(c) zerowanie się powyższej równości pociąga za sobą zerowanie się wyrażenia podcałkowego w (9). Tak więc równanie przenoszenia dla jednowymiarowej funkcji gęstości rozkładu prawdopodobieństwa pulsacji koncentracji domieszki pasywnej pc(c;x,t) przyjmuje postać
Poglądowa interpretacja tego równania jest następująca [2],[3],[7]:
Ewolucja w czasie funkcji gęstości pc(c;x,t) jest uwarunkowana przez:
1.procesy przenoszenia pc w polu prędkości średniej Ui oraz w polu prędkości uśrednionej warunkowo vi( drugi wyraz po lewej stronie równania (10));
2.transformację funkcji pc pod wpływem procesów dyfuzji molekularnej i dyssypacji (pierwszyi drugi wyraz po prawej stronie równania (10)) oraz
3.procesy przenoszenia pc w polu gradientu strumienia koncentracji domieszki oraz w polu gradientu średniej koncentracji (trzeci i czwarty wyraz po prawej stronie równania (10)).
W dalszym ciągu zakłada się, że znane i zadane są: pola prędkości Ui, ui, średnia koncentracja domieszki C, strumień domieszki cui oraz dyssypacja εc. Jednakże równanie (10) jest nadal niezamknięte, ponieważ zawiera funkcje vi oraz f, które są określone przez nieznane, warunkowe gęstości rozkładów prawdopodobieństwa pu/c i pεc/c. Wielkości ten i wyrażają się przez funkcję pc. Rozważymy bliżej ten problem w przybliżeniu stacjonarnego i horyzontalnie jednorodnego przepływu turbulentnego.
i
3.DYFUZJA W POLU STATYSTYCZNIE STACJONARNEGO I HORYZONTALNIE JEDNORODNEGO PRZEPŁYWU TURBULENTNEGO
W szeroko wykorzystywanym w geofizycznej hydrodynamice przybliżeni ustacjonarnego i horyzontalnie jednorodnego przepływu turbulentnego wszystkie charakterystyki przepływu zależą tylko od jednej współrzędnej, np. od z [7]. Przy analizie procesu dyfuzji takim przepływie wykorzystuje się dodatkowo równanie bilansu intensywności koncentracji c2 =σ2, które można otrzymać na podstawie równania (3).Równanie to ma postać
W rozwiniętym przepływie turbulentnym procesy dyfuzji molekularnej odgrywają mało istotną rolę i w konsekwencji mogą być pominięte (D≡0). Zatem, w rozważanym przybliżeniu, na podstawie równań (2) i (11), uzyskuje się
Postać tego równania sugeruje poszukiwanie jego rozwiązania w samopodobnej formie f˜(ξ) =pcσ; ξ=c/σ.
Funkcja f˜(ξ) spełnia pewne liniowe zwyczajne równanie różniczkowe II rzędu o zmiennych współczynnikach. Rzeczywiście
gdzie wprowadzono oznaczenie λ=dσ/dz)/(dC/dz). Następnie
gdzie przez μ oznaczono wyrażenie μ=(dc/dz)/(dC/dz. W rezultacie uzyskuje się następujące zwyczajne równanie różniczkowe dla funkcjif˜(ξ) (równanie typu Heuna [9])
4. ANALIZA UZYSKANEGO ROZWIĄZANIA
Równanie (14) można rozwiązać, ściśle wykorzystując metody teoriogrupowej analizy równań różniczkowych oraz zaawansowane metody analizy zespolonej. Można również posłużyć się systemami obliczeń symbolicznych, które stanowią bardzo ważne narzędzie wspomagające rozważania teoretyczne (zob. np. [10]). W niniejszej pracy, w celu znalezienia rozwiązania równania (14), wykorzystano system MAPLE 9.5 (licencjonowany dla Instytutu Matematyki AP, użytkownik Andrzej Icha).
Poniżej zaprezentowane jest rozwiązanie równania (14) wyrażające się przez 3-konfluentną funkcję Heuna.
gdzie HeunT(·,·,·,·) jest 3confluentną funkcją Heuna zmiennej ξ, zależną od trzech argumentów, których wartości zależą od wzajemnych relacji pomiędzy wielkościami λ i μ.
W celu zilustrowania uzyskanego rozwiązania założono, że dC/dz=const; ponieważ rozwiązanie ma opisywać funkcje gęstości prawdopodobieństwa, nie może przyjmować wartości ujemnych, stądλ ≥ 0. Z kolei parametr μ może, ogólnie mówiąc przyjmować różne znaki
(dc/dz ≥( ≤ )0). Jednak warunek dc/dz>0 odnosi się do przypadku niestabilnej straty fikacji ośrodka, którego przeprowadzona w pracy analiza nie jest wstanie opisać. Z obliczeń wynika, że przy μ>0 funkcja gęstości przyjmuje wartości ujemne, co dyskwalifikuje rozwiązanie. Tak więc fizycznie prawdopodobne scenariusze obejmują przypadki μ≤0.5.
5. UWAGI KOŃCOWE
Równanie Heuna, liniowe równanie różniczkowe drugiego rzędu, charakteryzujące się w ogólnym przypadku występowaniem czterech regularnych osobliwości, stało się szczególnie użyteczne w problemach fizycznych w ciągu ostatnich15 lat. Pojawia się ono w tak odległych zagadnieniach jak teoria układów Calogero-Mosera-Sutherlanda, teoria czarnych dziur opisywanych metryką Kerrde-Sittera, teoria krat, problemy nierelatywistycznej mechaniki kwantowej itp.[12]. Równanie Heuna okazało się również użyteczne
w modelowych zagadnieniach dyfuzji turbulentnej. Wybór fizycznie adekwatnego rozwiązania jest jednak bardzo czuły na parametry modelu. Np. wybór μ> 0 w modelu (14) prowadzi do rozwiązań wyrażonych przez funkcje Kummera, których nie można interpretować w kategorii gęstości rozkładów prawdopodobieństwa. Zagadnienie to wymaga dalszych badań.
LITERATURA
PROBABILITY DENSITY FUNCTION METHOD IN TURBULENCE PROBLEM
Summary. In the paper the use of probability density functions metod to the statistical description of turbulent flows is considered. This formulation is less general than the characteristic functionals approach, but primary in the relation to the Friedmann-Keller hierarchy equations. An evolution equation for single-point probability density function of pulsation of concentration of the diffusing substance in prescribed fluid velocity field, is derived. The case of statistical stationary and horizontal homogeneous turbulent flow is considered, for which an exact, new, two-parameter solution of diffusion problem in terms of Triconfluent Heun function, is obtained.
