6. RÓWNANIA STANU
Większość obiektów można zapisać przy użyciu równań stanu:
( )
t Ax( )
t Bu( )
tx! = +
( )
t Cx( )
t Du( )
ty = + dla układów stacjonarnych, natomiast dla układów niestacjonarnych macierze są zależne od czasu A(t), C(t), B(t), D(t)
Na podstawie tych równań wyznaczamy schemat blokowy liniowy układu wielowymiarowego (rys. 6.1a) gdzie:
x(t) – wektor zmiennych zależnych, wektor stanu o wymiarach nx1 i składowych
( ) ( )
t x t x( )
tx1 , 2 ,", n
u(t) – wektor wymuszeń wejściowych, wektor sterowania o wymiarach px1 o składowych
( ) ( )
t u t u( )
tu1 , 2 ,", p
y(t) – wektor wielkości wyjściowych, wektor odpowiedzi o wymiarach qx1 o składowych
( ) ( )
t y t y( )
ty1 , 2 ,", q
A(t) – macierz układu (stanu), reprezentuje dynamikę systemu o wymiarach nxn B(t) – macierz sterowania oddziaływanie sterowania na system o wymiarach nxp
C(t) – macierz wyjścia (odpowiedzi), pokazuje w jaki sposób są transformowane zmienne stanu na zmienne wyjściowe o wymiarach qxn
D(t) – macierz transmisyjna układu o wymiarach qxp
Rys. 6.1a Często współrzędne stanu wybierane są w ten sposób, aby:
. , , ,
1 2 2 3
1 1 2 1
= −
=
=
=
=
=
n
n x
x dt x x dx
dt x x dx
x x
!
!
!
Rys. 6.1b
Tak wybrane współrzędne nazywamy fazowymi a n – wymiarową przestrzeń, przestrzenią fazową. Gdy n = 2 wtedy mamy płaszczyznę fazową.
Właściwy wybór zmiennych stanu ma w sobie pewną dowolność. Dla danego układy dynamicznego istnieje wiele wektorów współrzędnych, które mogą być wektorami stanu. Między tymi wektorami istnieją przekształcenia liniowe typu X∗ =Tx+c, T – macierz nieosobliwa, wektor współczynników. Przekształceniu liniowemu stanu
u(t) y(t)
B(t)
D(t)
∫ C(t)
A(t) x'(t) x(t)
x3
x3 x
x1
x1
x
x2
x2
Trajektoria stanu
odpowiada przesunięcie i obrót układu współrzędnych przestrzeni stanu. Trajektoria stanu nie ulega zniekształceniu.
W przypadku gdy macierz A ma postać kanoniczną, macierze B i C reprezentują zera transmitancji systemu. Macierz D w rzeczywistych układach jest równa 0, gdyż
0 , =
∞
→ y
ω .Nie jest równe zeru gdy transmitancja systemu ma tyle zer ile biegunów czyli gdy lim→∞G
( )
s ≠0s . Dla wykrycia istotnych właściwości oraz wyznaczenia odpowiedzi wygodnie jest mieć macierz A o postaci kanonicznej tzn. zawierającej wyłącznie wartości własne lub przyjmującej postać macierzy Jordana.
Przykład 6.1
Wyznaczyć równanie stanu i równanie wyjść dla układu przedstawionego na rysunku 6.2.
Rys. 6.2 k – współczynnik sprężystości
r1, r2 – tłumienie wiskotyczne (kulombowskie) m – masa
u – siła zewnętrzna
Jako zmienne stanu przyjąć prędkość masy z1(t) oraz względne wydłużenie sprężyny, wyjście – siłę bezwzględną
Rys. 6.3
( )
( )
=
− +
=
− + +
1 0
2 2
2
2 1 1 1 1
z z k z r
u z z k z r z m
!
!
!!
1
1 z
x = ! - prędkość masy
x2 = z1 – z2 – względne wydłużenie z1
m y= !!
2 1 2 1
2 z z x z
x! = ! − ! = − !
(
1 2)
2
2z k z z
r ! = −
2 2 1
2 x
r x k x! = −
m x u m x k m
x!1 =−r1 1 − 2 +
m
r1 r2
k
u(t) z1(t) z2(t)
m
u
z!1 z!2
r2
r1 k
2 2 1
2 x
r x k x! = −
m u x
x r mk
k m r x
x
+
−
−
= −
0 1
1 2
1
2 1
2 1
!
!
u kx x r z m
y= !!1 =− 1 1 − 2 +
[
r k]
xx uy +
−
−
=
2 1 1
Przykład 6.2
Wyznaczyć równanie stanu i równanie wyjść dla układu opisanego poniższym równaniem u
y y y
y!!+5!!+8!+2 =10
! Są trzy zmienne stanu, bo równanie trzeciego rzędu założenia:
3 2 1
x y
x y
x y
=
=
=
!!
!
+
−
−
−
=
=
=
u x x x x
x x
x x
10 2 8
5 3 2 1
3 3 2
2 1
!
!
!
+
−
−
−
=
+ + +
=
+ + +
=
u x x x x
u x x x x
u x x x x
10 5 8 2
0 0
0
0 0 0
3 2 1 3
3 2 1 2
3 2 1 1
!
!
!
u x
x x
x x x
+
−
−
−
=
10 0 0 5
8 2
1 0 0
0 1 0
3 2 1
3 2 1
!
!
!
u x x x
y= 1 +0 2 +0 3 +0
[ ]
ux x x y
+
=
0 0 0 0
0 1
3 2 1
Rys. 6.4
x!1
x!3
u 10 ∫ x3 1 x!2 ∫ x2 ∫ x11 y
-5
-8
-2 1
Przykład 6.3
Wyznaczyć równanie stanu i równanie wyjść dla układu przedstawionego na rysunku 6.5.
Rys. 6.5
( )
( )
=
− +
+
=
− +
+
0 0
1 2 2
2
2 1 1 1
y y k ky y m
y y k ky y m
!!
!!
założenia:
4 2 2
1
3 2 1
1
x y x
y
x y x
y
=
=
=
=
!
!
+
−
=
=
+
−
=
=
1 3
4 4 3
3 1
2 2 1
2 2
mx x k m x k
x x
mx x k m x k
x x
!
!
!
!
+
− +
−
=
+ + +
=
+ +
+
−
=
+ + +
=
4 3 2
1 4
4 3 2 1 3
4 3 2
1 2
4 3 2 1 1
2 0 0
0 0 0
0 2 0
0 0 0
x m x
x k m x
x k
x x x x x
x m x
x k m x
x k
x x x x x
!
!
!
!
u x
x x x
m k m
k
m k m
k
x x x x
+
−
= −
0 0 0 0
2 0 0
1 0 0 0
0
2 01 0 0
0
4 3 2 1
4 3 2 1
!
!
!
!
=
4 3 2 1
2 1
0 1 0 0
0 0 0 1
x x x x
y y
m
m k
k
k y
y2
m m
k y!1 k y!2 k
Rys. 6.6 Przykład 6.4.
Wyznaczyć równanie stanu i równanie wyjść dla obiektu opisanego poniższym równaniem.
u x x t x
x!!+ + 2 + 2 =2 założenia:
x z
x z
= !
=
2 1
+
−
−
−
=
=
u z z t z z
z z
2 2
1 1 2 1 2
2 1
!
!
( )
zz ut z
z
+
−
−
= −
2 0 0
1
1 0
2 1 2 2
2 1
!
!
[ ]
=
2
0 1
1 z
x z
Rys. 6.7
Związek między transmitancją macierzową a równaniami stanu:
( )
s AX( )
s BU( )
s X( ) (
s sI A)
BU( )
ssX = + → = − −1 przy założeniu, że
(
sI − A)
−1 ≠0( )
s CX( )
s DU( )
s Y( )
s[
C(
sI A)
B D]
U( )
sY + + → = − −1 +
stąd: G
( ) (
s =C sI − A)
−1B+Dnp.:
=
=
=
−
−
=
0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 0 1
1 0
1 0
0 1
0 1
1 1 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 1
D C
B A
( )
( )
+
= +
1 1 1
1 1 1
s s s
s s s
G
z!1
u 2 z!2 ∫ z2 1 ∫ z1 1 x
-1 -t2
-()2
x!3
x!4 1 ∫ x3 m x!2∫ x2 1 x!1 ∫ x11 y1
k
∫ x4
m k
−2
m k
−2
m k 1
y2
Przykład 6.5
Wyznaczyć równania stanu obiektu jak na rysunku 6.8.
Rysunek 6.8
( )
( )
= +
− +
+
=
− +
+ +
u y k y y k y B y m
y y k y k y B y m
2 3 1 2 2 2 2 2 2
2 1 2 1 1 1 1 1
1 0
!
!!
!
!!
( )
( )
= +
− +
+
=
− +
+ +
u x k x x k x B x m
x x k x k x B x m
3 3 1 3 2 4 2 4 2
3 1 2 1 1 2 1 2
1 0
!
!
( )
( )
+
−
−
−
−
=
−
−
−
−
=
2 3 2 3 1 3 2 2 4 2 2 4
3 1 1 1 2 1 2 1 1 2 1
m x u m x k m x
x k m x B
x m x
x k m x k m x B
!
!
+
+
+
−
−
=
+
− +
−
=
2 1 2 3 2 2
3 2 4 2 4 2
3 1 1 2 1
2 2 1
1 2 1
m x u m x k m
k x k
m x B
m x x k m
k x k
m x B
!
!
( )
( )
ux m x x x
m B m
k k m
k
m k m
B m
k k
x x x x
+
+ −
− + −
−
=
4 2 3 2 1
2 2 2
3 2 2
2
1 2 1
1 2
2 1
4 3 2 1
10 0 0
0
1 0
0 0
0 0 0
1 0
!
!
!
!
k1
k2
k3
y1
y2
m1
m2
B1
B2
m1
y!1 y!2
m2
B1
k1 k2
B2
u
Przykład 6.6
Wyznaczyć równania stanu dla obiektu ze sprzężeniem dodatnim jak na rysunku 6.9.
Rysunek 6.9.
1
1 2 +
= + s s u x
4 1
2 3
= + s x x
3 1
2 1
2
= +
−sx s x
x
( ) ( )
u u x x
s u s
x
2 2 1
1 1 1
+
= +
+
= +
!
!
u y y
u y x
+
−
= +
=
1 1
1 1
!3
(
s 4)
x2x + =
2 3 3
3 3
2 3 3
4 4
x y y
y x
x x x
+
−
=
=
= +
!
!
( ) (
1 2)
2 s 3 x sx
x + = −
2 3 3 2
3 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2
2
x x x
x x x x x x x
x! + = −! ⇒ ! + ! = − ⇒ ! = −
2 2
2 2
y x
y x
!
! =
=
( )
2 1 2
3
1 2
2 y y u
y! =− + + Równania stanu:
Bu Ay y! = +
u y
y y
y y y
+
−
−
−
=
02 11 4
1 0
2 0 3 2
11 0 0
3 2 1
3 2 1
!
!
!
Równania wyjść:
Du Cy x= +
y y
y y
x x x
+
=
0 0 1 1
0 0
0 1 0
0 0 1
3 2 1
3 2 1
s
u x1 x2 x3
1 2 + + s s
3 1 +
s 4
1 +
+ s
Przykład 6.7
Wyznaczyć równania stanu dla poniższego układu.
Rysunek 6.10
( ) (
2)
1 2 1
10 3
3 10
x u s
x
s x u
x
−
= +
= +
−
1 1
3 3 2
2 1
1 ; ;
y x
y x y
x y
x
!
! =
=
=
=
2 1
2 1
1
2 1
1
10 10 3 10
10 3
10 10 3
y u y x
u y y
x u x x
− +
−
=
− +
−
=
−
= +
!
!
( ) ( ( )
1 3)
2 3 1
2
2 1
1 2
x x s
s x
s s x x
x
−
= +
= +
− x3 =x2s ⇒ x3 = x!2 ⇒ x!2 = y3 ⇒ y!2 =y3
1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 3 1 2
2 x 2x 2x x x 2x 2x x 3x 2x x 3x 2y
x!! + ! = − ⇒ !! + ! = − ! ⇒ !! + ! = ⇒ !! + ! = Po podstawieniach x!!2 = y!3 oraz x!2 = y3
2 1 3 3 1 3 1 3
3 3y 2y y 2y 3y y 2y 3y
y! + = ⇒ ! = − ⇒ ! = − !
Równania stanu:
Bu Ay y! = +
u y
y y
y y y
+
−
−
−
=
0 0 10 3
0 2
1 0 0
0 10 3
3 2 1
3 2 1
!
!
!
Równanie wyjść:
Du Cy x= +
=
2 1 2
1
1 0
0 1
y y x
x
6.1. Zalety ogólne przedstawiania dynamiki systemu przy pomocy równań stanu
1. Własności systemu opisywane są przy pomocy macierzy o elementach rzeczywistych, co pozwala na programowanie na komputerach analogowych i cyfrowych celem uzyskania rozwiązania.
2. Równanie stanu opisuje obiekt poprawnie gdy opis przy pomocy transmitancji jest niemożliwy, niewystarczający lub fałszywy.
3. Opis przy pomocy równań stanu pozwala na łatwe oddzielenie własności statycznych i dynamicznych.
4. Łatwe przejście do analizy systemów niestacjonarnych.
5. Opis obejmuje również systemy nieliniowe co przy pomocy transmitancji było niemożliwe.
6. Prosta forma równań stanu umożliwiająca analizę modeli, nawet bardzo skomplikowanych systemów przy pomocy prostych reguł rachunku macierzowego.
( )
s2+13 s 10
+ s
s
u x1 x2
x3
- -
6.2. Wybór zmiennych stanu dla układu o znanej transmitancji
( ) ( ) ( )
1 1 01
0 1 1
1
a s a s
a s
b s b s
b s b s U
s s Y
G n
n n
m m m m
+ + + +
+ + +
= +
= −
−
− −
"
"
co jest jednoznaczne z równaniem:
u b u b u
b u b y a y a y a y
a
yn + n−1 n−1 +"+ 2 n + 1 + 0 = m m + m−1 m−1 +"+ 1 + 0 Przypadek n < m nie jest realizowany fizycznie.
W przypadku n = m, wtedy można dokonać dzielenia wielomianem likwidując mianownik i otrzymujemy w wyniku składnik stały niezależny od s i składnik spełniający warunek n>m. Składnik ten jest identyczny z macierzą D stąd wynika, że jeżeli n>m to D ≡ 0. W dalszych rozważaniach rozpatrujemy przypadek n > m.
Przykładowo dla: !x!!+3x!!+2x!=u!+u
( ) ( ( )
s = s s+s1+)(
1s+2)
U s
X równanie charakterystyczne ma postać:λ3 +3λ2 +2λ=0
( ) ( ( )
s = s s1+2)
U s
X równanie charakterystyczne ma postać: 0λ2 + λ2 =
W związku z powyższym jakiekolwiek uproszczenie przez wspólny czynnik wyprowadzaniu równań stanu jest niedopuszczalne. Stąd wniosek, że jeżeli system jest opisany równaniami stanu to nie zatraca się istotnych własności obiektu.
Np.:
( )
2
1 1
1 1
1
sT s sT
G + +
= +
2 1
2 1
C C
R R
≠
≠ ale T1 =T2 wtedy:
( )
1 21
2 T T T
s sT
G = =
= +
Forma zapisu przy pomocy transmitancji nie uwzględnia w pewnych szczególnych wypadkach istotnych własności układu. Tej wady pozbawiony jest sposób zapisu przy pomocy równań stanu.
Stosuje się następujące metody wyboru zmiennych stanu:
• bezpośrednia, gdy nie są znane bieguny i zera,
• szeregowa (kaskadowa) (ang. factored, zer-pole-gain) lub równoległa (ang.
partial fraction, sesidue form) gdy są znane bieguny i zera,
• iteracyjna.
6.3. Wybór zmiennych stanu dla systemów o transmitancji bez zer
u(t) b y a y a y
a
yn + n-1 n-1 + … + 1 1 + 0 = 0
Aby przedstawić powyższy układ w przestrzeni stanów najłatwiej przyjąć naturalne zmienne stanu (co sprowadza się do później opisanej macierzy Frobeniusa):
x1 = y x3 = y2 x2 = y1 xn = y(n-1)
n
n x
x x
x!1 = 2 ! −1 =
( )
t a x( )
t a x( )
t b u( )
tx a x x
x!2 = 3 !n =− 0 1 − 1 2 −"− n−1 n + 0
( )
tu
b x
x x x
a a
a x
x x x
n n n n
n
+
−
−
−
=
−
−
−
0 1 2 1
1 1
0 1
2 1
0 0 0
1 0 0
0
0 1
0 0
0 0
1 0
#
#
"
"
"
#
#
#
#
#
"
"
!
!
#
!
!
y = Cx + Du
( ) [ ] [ ]
ux x x t
y
n
0 0
0
1 2
1
+
= " #
Rys. 6.11
Wielomian charakterystyczny dla macierzy A jest równy M
( )
λ = Iλ− A =00 0
1 0
0
0 0
1 0
0 0
0 1
1 3
2 1 0
= +
−
−
−
=
−
an
a a a a M
λ λ
λ λ
$
#
#
#
#
#
#
$
$
$
6.4. Wybór zmiennych stanu dla systemów, które zawierają zera i bieguny
Dla m < n
u
a a
a a x
x x x
n n
n
+
−
−
−
−
=
−
−
1 0 0 0
1 0
0 0
0 1
0 0
0 0
1 0
1 2
1 0 1
2 1
#
"
"
#
#
#
#
#
"
"
!
!
#
!
!
[ ]
= −
n m m
x x b b b
b
y " #
1 1
1 0
x!1
x!2
−1
x!n
x!n ...
u(t) b0 ∫ xn 1 ∫ xn-1 ∫ x2 1 ∫ x1 1 y
an-1
-an-2
-a1
-a0
Rys. 6.12 lub
( ) ( )
u( )
tb b b
t x A t x
m T
+
=
0
1 0
#
#
( )
t[ ]
x( )
ty = 0 0 $ 1 Dla m = n
( )
ux x x
a a
a t
x
n n
n
+
−
−
−
=
− β
β β
#
#
"
"
"
"
"
"
"
"
"
! 2
1 2
1
1 1
0
0 1
0 0
0 0
1 0
[ ]
ux x y
n 0 1
0 0
1 +β
= " #
gdzie:
1 1 1 1 0 0 0
1 1 0 2 2 2
0 1 1 1 0
β β
β β
β β
β
β β
β
−
−
−
−
−
−
−
−
=
−
−
=
−
=
=
n n
n n
n n n
n
a a
a b
a a
b a b
b
$
# lub
( ) [ ]
u( )
tx x x A t x
n
+
=
1 0 0
2 1
# #
( )
t[
b0 a0,b1 a1,b2 a2, ,b 1 a 1,b]
x( ) ( )
t u t .y = − − − " n− − n− n +
x!1
x!2
−1
x!n
x!n
u(t) 1 f xn 1 f xn-1 f x2 1 f x1 b0 y
an-1
-an-2
an-1
a0
1
a1
b1
bm-1
Przykład 6.8
Wyznaczyć równanie stanu i równanie wyjść dla układu opisanego poniższą transmitancją
( ) ( ) ( )
22+5 3+6= +
= s s
s s
U s s Y
G Mnożąc przez –s otrzymujemy: 1 2
2 1
6 5 1
3 2
−
−
−
−
+ +
+ s s
s s
( ) [ ] ( )
( ) ( )
s U s[
s s]
x( )
sX
s X s s s Y
2 1 2 1
6 5 3 2
−
−
−
−
+
−
= +
=
+
=
+
−
−
=
=
2 1
2 1 2
2 1
2 3
5 6
x x y
u x x x
x x
!
!
[
3 2]
0 10 5
6 1 0
=
=
=
−
= −
D C
B A
Rys. 6.13 Przykład 6.9
Wyznacz równania stanu i wyjścia oraz narysuj graf przepływu sygnału dla obiektu opisanego równaniem:
u x x t x
x!!+!+ 2 + =2 Równania stanu:
Bu Ay y! = +
( )
t yy uy
y
+
− +
= −
2 0 1
1 1 0
2 1 2
2 1
!
!
Równanie wyjść:
Du Cy x= +
[ ]
=
2
0 1
1 y
x y
Rysunek 6.14 Przykład 6.10
Wyznaczyć równanie stanu i równanie wyjść dla układu opisanego równaniem
3 2 1 0 3 2 1 0
0 1 2 0
1 2
3 0
5 7 2
−
−
−
−
−
−
−
−
=
+
= + + +
n n n n n n n n
n
b b b b a a a a
b b b b
a a a a
u u y
y y
y!! !! ! !
!
3 2
1 y x y x
x
y= ! = !!=
u x
x x
x x x
+
−
−
−
=
1 0 0 2
1 1
1 0 0
0 1 0
3 2 1
3 2 1
!
!
!
x!1
u 1 x!2 ∫ x2 x1 3 y
-5
-6 2
∫
y!1
u 2 y!2 ∫ y2 y11 -1 x
-(t2+1) 1 ∫
[ ]
ux x x y
+
=
0 0 0 0
7 5
3 2 1
Rys. 6.15 Przykład 6.11
Wyznaczyć równanie stanu i równanie wyjść dla układu opisanego równaniem jak w przykładzie 6.6. Należy tu pamiętać, że oznaczenia dotyczą układu o równych stopniach obu stron równania.
9 7 0
0
0 3 3 3
1 1 0 2 2 2
0 1 1 1 0
−
=
−
−
=
=
−
−
=
=
−
=
=
=
−
−
−
−
−
−
−
β $ β
β β
β
β β
β
n n
n n
n n n
n
a b
a a
b a b b
[ ] [ ]
x Ax u
− +
=
9 7 0
!
[ ] [ ]
x uy= 1 0 0 + 0 Przykład 6.12
Wyznacz równania stanu i wyjścia ora graf przepływu sygnału dla obiektu opisanego równaniem
u u u y y y
y!!+ !!+ !+ = !!+ !+
! 6 10 5 2 3
0 1 2 0 1 2
3 a a a b b b
a Sposób 1:
=3 n
u x
x x
x x x
+
−
−
−
=
1 0 0 6
10 5
1 0 0
0 1 0
3 2 1
3 2 1
!
!
!
[ ]
=
3 2 1
2 3 1
x x x y
x!1
x!3
u 1 ∫ x3 x!2 ∫ x2 ∫ x1 5
-2 y
-1
-1 7
Rysunek 6.16 Sposób 2:
( )
9 356 2 10 1 9 12 3 2
0
2 2 1 1 0 2 2 1 1 0 0 0 3
1 2 1 1 2 0 1 1 2
2 0 2 2 1
3 0
=
−
−
⋅
−
=
−
−
=
−
−
−
=
−
=
−
=
−
=
−
−
=
=
=
−
=
=
=
β β β
β β β
β β
β β
β β
β
a a b a
a a
b
a b a
a b
b a
b b
u x
x x
x x x
− +
−
−
=
35 9 2 6
10 5
1 0 0
0 1 0
3 2 1
3 2 1
!
!
!
[ ] [ ]
= +
=
3 2 1 0
3 2 1
0 0 1 0
0 1
x x x u
x x x
y β
Przykład 6.13
Wyznacz równania stanu i wyjścia oraz graf przepływu sygnału dla obiektu opisanego równaniem:
u u u u x x x
x!!+2!!+5!+6 =3!!!+2!!+!+5
!
0 1 2 3 0 1 2
3 a a a b b b b
a
x!1
x!3
u ∫ x3 1 x!2 ∫ x2 ∫ x11 -6 y
-10
-5 3 1 1
2
x!2 x!1 x!3
u ∫ x3 1 ∫ x2 ∫ x1 1 y
-6
-10
-5 -9
1 35
2
Rysunek 6.17
3 3
=
=
= p
n p n
( )
6 3 5( ) ( )
4 2 6 5 18 20 12 195
6 8 15 1 4 2 3 5 1
4 6 2 3 2 2 3
2 2 1 1 0 0 0 3
1 2 0 1 1 2
0 2 2 1
3 0
= + +
−
=
−
−
−
−
⋅
−
=
−
−
−
=
−
= +
−
=
−
−
⋅
−
=
−
−
=
−
=
−
=
⋅
−
=
−
=
=
=
β β β β
β β
β
β β
β
a a a
b
a a b
a b
b
Stąd równania stanu mają postać Bu
Ax x!= +
u x
x x
x x x
−
− +
−
−
−
=
49 6 4 2
5 6
1 0 0
0 1 0
3 2 1
3 2 1
!
!
!
Równanie wyjść Y=Cx+Du
[ ]
ux x x
y 1 0 0 3
3 2 1
+
=
Rysunek 6.18
6.5. Wybór zmiennych stanu metodą szeregową ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ∏ ( )
=
− −
− =
−
= −
= n
i
i n
s s K
s s
K s
H s s Y G
1
1 2
1
λ λ λ
λ "
lub postać zawierająca stałe czasowe
( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ∏ ( )
=
+ −
− = +
= +
= n
i i
n
sT sT V
s sT sT
V s
H s s Y G
1
1 2
1
1 1
1 "
przy czym
i
i T
= 1
λ , dla s = 0 mamy
∏
=
= n
i
Ti
K V
1
Rys. 6.19
x!n
−1
x!n
x!2 ...
x!1 ∫ x1 1 ∫ x2 1 y(t)
u(t) xn-11 ∫ xn
λn
k
λn-1
x!1
x!2
x!3
u ∫ x3 1 ∫ x2 ∫ x1 1 y
-2
-5
-6 -6
1 49
-4 3
stąd
( ) ( )
u( )
tk
t x t
x
n
n
+
=
−
0 0 0 0
1 0
0 1
0 1 1
0 0 0
1 3 2 1
λ λ λ λ λ
!
( )
t[ ]
x( )
ty = 0 " 0 1 lub
( )
t x( )
t u( )
tx
n
+
=
1 0 0 0 0
1 1
0 0 1
3 2 1
λ λ
λ λ
%
!
( )
t[
k]
x( )
ty = 0 0 " 0
Rys. 6.20
6.6. Wybór zmiennych stanu metodą równoległą ( ) ∑
= −
= n
i i
i
s s C G
1 λ gdzie Ci s
(
s i) ( )
G si
λ −λ
=lim→ (i = 1,...,n)
( ) ( )
u( )
tC C t x t
x
n
n
+
= #
!
1 2
1
0
0 λ λ λ
( )
t[ ]
x( )
ty = 1 1 1
Rys. 6.21 Gdy bieguny wielokrotne:
( ) ( ) ( )
i(
nr)
krk r r
r k
k
l s
C s
C s
C s
C s
s C
G λ λ λ λ + + −λ
+ −
− + +
− +
− +
= ,
1 1 , 1
, 1 1
2 , 1 1
1 ,
1 1
"
"
$ ki oznacza krotność i – tego bieguna
x!1
x!2
−1
x!n
x!n ...
u(t) 1 ∫ xn 1 ∫ xn-1 ∫ x2 1 ∫ x1 k y
λn-1 λ2 λ1
λn
x!2
u(t)
x!n
∫
xn
∫
x2
x!1
∫
x1
y λ1
λ2
λn
C1
C2
Cn
1 1
1 #
