IMiR - IA - Wykład Nr 8 Analiza stanu naprężenia

Wytrzymałość materiałów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

IMiR - IA - Wykład Nr 8 Analiza stanu naprężenia

Stan naprężenia w punkcie, tensor naprężenia, klasyfikacja stanów naprężenia, analiza

jednoosiowego stanu naprężenia, analiza płaskiego stanu naprężenia, koło naprężeń

Mohra.

z

x

y

8.1. Stan naprężenia w punkcie

π

L

∆ ^A

L

π

∆ ^A O

O

L

P

O

L ^O P

1. Naprężenie w danym punkcie na powierzchni myślowego przekroju zależy od orientacji tego przekroju.

2. Jednoznaczny opis stanu naprężenia w punkcie wymaga w związku z tym określenia naprężeń na wszystkich ściankach tzw. elementarnego prostopadłościanu otaczającego dany punkt.

π π

L ^O P

z

x

y O

18 składowych stanu naprężenia

8.1. Stan naprężenia w punkcie

z

x

y O

z

x

y O

1) Założenie:

Brak sił masowych (sił ciężkości i bezwładności).

2) Warunki równowagi:

∑ , ∑ , ∑

18 składowych stanu naprężenia 9 składowych stanu naprężenia:

3 naprężenia normalne: σ

x

, σ

y

, σ

z

6 naprężeń stycznych: τ

xy

, τ

xz

, τ

yx

, τ

yz

, τ

zy

, τ

zx

8.1. Stan naprężenia w punkcie

Tensor stanu naprężenia:

9 składowych stanu naprężenia:

3 naprężenia normalne: σ

_x

, σ

_y

, σ

_z

6 naprężeń stycznych: τ

_xy

, τ

_xz

, τ

_yx

, τ

_yz

, τ

_zy

, τ

_zy

z 0

x

O y

dy

d z

!

_"#

$%$& $' ( !

_#"

$%$' $& 0

"

0 !

_#

$%$' $& ( !

_#

$'$& $% 0

#

0 !

_"

$'$& $% ( !

_"

$%$& $' 0

Naprężenia styczne w płaszczyznach wzajemnie prostopadłych, prostopadłe do krawędzi przecięcia się tych płaszczyzn, są sobie równe i skierowane do lub od krawędzi.

Prawo równości naprężeń stycznych w płaszczyznach prostopadłych:

Ostatecznie:

Stan naprężenia w punkcie opisać można przy użyciu sześciu niezależnych

składowych stanu naprężenia: σ

x

, σ

y

, σ

z,

τ

xy

(= τ

yx

), τ

xz

(= τ

zx

), τ

yz

(= τ

zy

)

8.2. Klasyfikacja stanów naprężenia:

Tensor dowolnego przestrzennego stanu naprężenia

8.2.1. Dowolny przestrzenny stan naprężenia:

z

x

y O

W każdym punkcie ciała można tak zorientować trzy osie prostokątnego układu współrzędnych, że na płaszczyznach prostopadłych do tych osi nie wystąpią naprężenia styczne.

Tensor

przestrzennego stanu naprężenia określonego

kierunkami głównymi Osie te nazywamy kierunkami głównymi i

oznaczamy liczbami 1, 2, 3.

Płaszczyzny prostopadłe do kierunków głównych noszą nazwę płaszczyzn głównych, zaś naprężenia normalne w nich działające – naprężeń głównych:

) )

α ^y x

O

8.2. Klasyfikacja stanów naprężenia:

Tensor płaskiego (dwuosiowego) stanu naprężenia

8.2.2. Płaski stan naprężenia:

x

O y

Tensor płaskiego stanu naprężenia określonego kierunkami głównymi z

*

Płaski (dwuosiowy) stan naprężenia można opisać przy użyciu:

trzech niezależnych składowych tensora naprężenia:

σ

_x

, σ

_y

, τ

_xy

(= τ

_yx

)

* z

dwóch wartości naprężeń głównych: σ

₁

, σ

₂

(i ewentualnie kąta α

₀

określającego ich kierunek)

0

8.2. Klasyfikacja stanów naprężenia:

8.2.3. Jednoosiowy stan naprężenia:

Stan naprężenia reprezentowany jest tylko przez jedno niezerowe naprężenie główne: σ = σ

₁

np. rozciąganie, ściskanie, proste zginanie

σ = σ

₁

1

8.3. Analiza jednoosiowego stanu naprężenia

σ = σ

₁

1

n α 1

α

n α 1

α

+

α · - . /

0 1 · sin 5 6 1 1 · 789 ^: 5

6 · ;<= /

+ +

- . /

6 0 1

6 9>? 5 · 789 5 @ · 9>? 5 · 789 5 = / (

α

8.3. Analiza jednoosiowego stanu naprężenia

σ = σ

₁

1

n α 1

α

· ;<= /

n α 1

α

= /

Dla / AB° ^DE

Płaszczyzny poślizgu o kącie / AB° Linie Lüdersa

Ceramiczna próbka

poddana ściskaniu

8.4. Analiza płaskiego stanu naprężenia

8.4.1. Wyznaczanie naprężeń w kierunkach dowolnych

σ

₂

σ

₂

σ

1

σ

1

1 2

t n

σ

_n

τ

n

σ

₁

σ

₂

t n

σ

_n

τ

_n

α α

α α

1 A

A

₂

A

₁

0 sin

cos

0 ⇒ −

_{1 1}

−

_{2 2}

+ =

∑ ^P = ^{A A}

n

^A

i

in

σ α σ α σ

α

α

;

1

^A cos α

A = ^A

₂

= ^A sin α ; 0

sin

cos

² ₂ ²

1

− + =

−

∑ ^P

n

= σ ^A α σ ^A α σ

n

^A

0 cos

sin cos

sin

₂

1

− + =

∑ ^P

t

= σ ^A α α σ ^A α α τ

n

^A

0 cos

sin

0 ⇒

_{1 1}

−

_{2 2}

+ =

∑ ^P = ^{A A}

n

^A

i

it

σ α σ α τ

α σ

α σ

σ

n

=

₁

^cos

²

+

₂

^sin

²

^τ

_n

= ( ^σ

2

− ^σ

1

) ^{sin α cos α}

Uwzględniając:

( )

2 2 cos cos

²

α = 1 ⁺ α

( )

2 2 cos sin

²

α = 1 ⁻ α

2 2 cos sin

sin α α = α

x

n

σ σ σ σ α σ

σ = + + − cos 2 = 2

2

2 1 2 1

xy

n

σ σ α τ

τ = − − sin 2 = 2

2 1

Otrzymujemy:

σ

₁

σ

2

n ≡x α

1 y

Wektorom naprężeń na rysunkach przypisuje się dodatnie wartości

8.4. Analiza płaskiego stanu naprężenia

8.4.1. Wyznaczanie naprężeń w kierunkach dowolnych

σ α σ σ σ σ

σ

_α

^{cos 2}

2 2

2 1 2 1 ) (

+ −

= +

x

=

σ α τ σ

τ

_α

^{sin 2}

2

2 1 )

(

− −

=

xy

=

) 2 180 2 cos(

2

2 1 2 1 ) 90

( ^o

α

y

= σ

₊ ^o

= σ + σ + σ − σ +

σ

_α

Ostatecznie:

G G (

- . /

G ( (

- . /

( ( .HI /

2 45

dla α =

^o

τ

_xy

= τ

_max

= σ

¹

⁻ σ

²

σ

₂

σ

₂

σ

₁

σ

₁

1 2

t n

σ

_n

τ

n

σ

₁

σ

₂

t n

σ

n

τ

n

α α

α α

1 A

A

₂

A

₁

α

α

σ

₁

σ

₂

n ≡x α

1

y

8.4. Analiza płaskiego stanu naprężenia

4.4.1. Wyznaczanie naprężeń w kierunkach dowolnych

G G (

- . /

G ( (

- . /

( (

.HI /

σ

₂

σ

₂

σ

₁

σ

₁

Umowy dotyczące znaków:

Kąt α uznajemy za dodatni gdy odmierzany jest przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, odkształconym ciele.

σ

₁

x

α >0

1 σ

₁

x α <0

1 1

2

x

α

y

8.4. Analiza płaskiego stanu naprężenia 8.4.2. Wyznaczanie naprężeń w kierunkach głównych

σ

_x

_x y

τ σ

x

α

τ

_yx

σ

_y

τ

_yx

σ

_y

σ

₂

₂

1 σ

2

σ

₁

σ

₁

Ostatecznie:

@ @ G @

_:

2 G @ ( @

_:

2 cos 25 (1)

@

_"

@ G @

_:

2 ( @ ( @

_:

2 cos 25 (2)

!

_"

( @ ( @

:

2 sin 25 (3)

G G

^M

( G A

NO / (

G (

^M

( G A

- uwzględniając umowę

dotyczącą znaków / (/

2

1

(2)

(1) + ⇒ σ

x

+ σ

y

= σ + σ

α σ

σ σ σ σ

σ σ σ σ

2 cos

1 2

2 2

2

2 1 2 1 1

y x y

x

−

+ +

− = + +

=

( )

^{2 2}

2 2

2 2

2 4 2 1

2 tg 2

2 tg 2 1

2 cos

1 2

; 2 tg 2 1

cos 1

xy y

x y

x y

x

y x y

x

τ σ

σ σ α

σ σ

σ

σ α σ α σ

α σ α

+

−

 =





 

 −

 +





 

 −

=

=

− +

− = +

=

α σ σ σ

σ α

σ σ σ

σ cos2

) (

)cos2 (

(2)

(1)

_{x y 1 2 1 2} ^x

−

^y

=

−

− ⇒

=

−

− ⇒

2 tg2

cos2 2

sin2 2 (3)

2

1 x y

xy y

x xy xy

σ σ α τ σ

σ

α τ

σ σ α τ

−

= −

− ⇒

⋅

= −

−

= −

⇒

α σ

σ σ σ σ

σ σ σ σ

2 cos

1 2

2 2

2

2 1 2 1 2

y x y

x

−

+ −

− = + −

=

τ

_y

/ Q

8.4. Analiza płaskiego stanu naprężenia

8.4.3. Koło Mohra: a) wyznaczanie naprężeń w kierunkach dowolnych

G G ( - . / G ( ( - . /

( ( .HI / σ

₂

σ

₂

σ

1

σ

₁

1 2

σ

_y

τ

xy

α σ

_y

τ

xy

y

x

σ

₂

σ

₁

σ

G

2 α

x

y

( α

Dane: σ

₁

, σ

₂

, α Szukane: σ

_x

, σ

_y

, τ

_xy

8.4. Analiza płaskiego stanu naprężenia 8.4.3. Koło Mohra: b) wyznaczanie naprężeń głównych

σ

₂

σ

₁

σ

1 2

(

α

₀

y

σ

x

x

τ

xy

α

₀

σ

x

τ

xy

τ

yx

σ

_y

τ

yx

σ

_y

σ

1

2

σ

₁

σ

₂

σ

₂

G G (

M

G

NO / (

G ( (

M

G

Dane: σ

_x

, σ

_y

, τ

_xy

Szukane: σ

₁

, σ

₂

, α

G τ

yx

τ

P P’

P’’

8.4. Analiza płaskiego stanu naprężenia

8.4.3. Koło Mohra: b) wyznaczanie naprężeń głównych – II sposób

σ

₂

σ

₁

σ

(

1

2

( α

₀

y

σ

x

x

τ

xy

α

₀

σ

x

τ

xy

τ

yx

σ

_y

τ

yx

σ

_y

σ

1

2

σ

₁

σ

₂

σ

₂

G G (

M

G

NO / (

G ( (

M

G

Dane: σ

_x

, σ

_y

, τ

_xy

Szukane: σ

₁

, σ

₂

, α

G τ

P

P’