Mechanika i wytrzymałość materiałów

Mechanika i wytrzymałość materiałów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji

Dr hab. inż. Tomasz Machniewicz

Wykład Nr 14

Rozciąganie/ściskanie mimośrodowe

naprężenia przy zginaniu z rozciąganiem, równanie osi obojętnej, warunek bezpieczeństwa, wpływ orientacji przekroju na wartość naprężeń maksymalnych, przykłady obliczeniowe.

www.zwick.com

http://www.podiatrytoday.com

14.1. Rozciąganie/ściskanie mimośrodowe

– przypadki „z życia” bioinżynierów Noga i jej proteza

e

𝑹 = −𝑮 𝑮

e

𝑭

𝑭

Obciążenie kręgosłupa

http://www.mts.com http://www.uib.no

Płytka kostna:

www2.aofoundation.org

www.biomedcentral.com

𝑭 𝑭

© T. Machniewicz

14.2. Naprężenia wypadkowe przy rozciąganiu/ściskaniu

mimośrodowym

x

y

C

A

𝑷

s

^P

A

Pe W

C

P y

e

z

z

C P

y

C

y M=Pe

e

y s _max =s _r+ s _g s_r- s _g

y s _r

s _{r y}

s _g

s _g

𝑾_𝒈 - wskaźnik wytrzymałości przekroju na zginanie 𝒆 - mimośród (…, mm, cm, ..) 𝑷 - siła osiowa

𝑨 - pole przekroju

© T. Machniewicz

14.3. Warunek bezpieczeństwa i równanie osi obojętnej

x

y

C

A

𝑷

e

s _r

s _{r x}

s _g s _g

x

s_r- s _g

s_max= s_r+s _g

Warunek bezpieczeństwa:

𝝈_𝒎𝒂𝒙 = 𝑷

𝑨 + 𝑷𝒆

𝑾_𝒈 ≤ 𝒌_𝒈 (𝒌_𝒓, 𝒌_𝒄)

𝒌_𝒈 (𝒌_𝒓, 𝒌_𝒄)- dopuszczalne naprężenia normalne

Równanie osi obojętnej:

𝝈_(𝒚) = 𝑷

𝑨 + 𝑷𝒆

𝑱_𝒙 𝒚 = 𝟎 𝒚 = −𝑷

𝑨 ∙ 𝑱_𝒙

𝑷𝒆 = − 𝑱_𝒙 𝑨 ∙𝟏

𝒆 𝒊_𝒙^𝟐

𝒚 = −𝒊_𝒙^𝟐 𝒆

𝒊_𝒙 - promień bezwładności

© T. Machniewicz

14.4. Wpływ orientacji przekroju na wartość naprężeń maksymalnych

A B

y_c

s_A= s_r+ s_gA

s_B= s_r–s_gB

–

P P

x_c C

s_r s_r

s_gA

s_gB

–

  e₂

P P

A B

y_c

x_c C

s_r s_r

 

s_A= s_r+ s_gA

s_B= s_r–s_gB

𝝈_𝒈𝑨 = 𝑴_𝒈

𝑾_𝒈 = 𝑷𝒆_𝟏 𝑾_𝒈 𝝈_{𝒎𝒂𝒙(𝟏)} = 𝝈_𝑨 = 𝑴_𝒈

𝑾_𝒈 + 𝑷 𝑨

𝝈_𝒈𝑩 = 𝑴_𝒈

𝑾_𝒈 = 𝑷𝒆_𝟐

𝑾_𝒈 𝝈_𝒈𝑨 < 𝑷𝒆_𝟐 𝑾_𝒈 𝝈_{𝒎𝒂𝒙(𝟐)} < 𝑴_𝒈

𝑾_𝒈 + 𝑷 𝑨

e₁

Wariant (2) Wariant (1)

y_max y_max

s_gA

s_gB

( tym bardziej, jeżeli: 𝒆_𝟏 > 𝒆_𝟐  𝑴_𝒈(𝟏) > 𝑴_𝒈(𝟐)  𝝈_{𝒈𝑨(𝟏)} > |𝝈_{𝒈𝑩(𝟐)}| )

© T. Machniewicz

14.5. Przykłady obliczeniowe

Przykład 14.1:

Wyznaczyć średnice pręta z którego wykonany ma być hak jak na rysunku, o udźwigu P=3 kN, jeżeli naprężenia dopuszczalne k_g = 120 MPa.

Dane: Szukane:

P= 3 kN, k_g=120 MPa, e=55 mm d=?

P P

d

e 𝝈_𝒎𝒂𝒙 = 𝑷

𝑨 + 𝑷𝒆

𝑾_𝒈 ≤ 𝒌_𝒈 Warunek bezpieczeństwa na rozciąganie mimośrodowe:

𝝈_𝒎𝒂𝒙 = 𝟒𝑷

𝝅𝒅^𝟐 + 𝟑𝟐𝑷𝒆

𝝅𝒅^𝟑 ≤ 𝒌_𝒈 𝑨 = 𝝅𝒅^𝟐

𝟒 𝑾_𝒈 = 𝑱_𝒙

𝒚_𝒎𝒂𝒙 = 𝝅𝒅^𝟒 𝟔𝟒 ∙ 𝟐

𝒅 = 𝝅𝒅^𝟑 𝟑𝟐

Wstępny dobór średnicy z uwzględnieniem samego zginania:

𝝈_𝒈 = 𝟑𝟐𝑷𝒆

𝝅𝒅^𝟑 ≤ 𝒌_𝒈 𝒅 ≥ 𝟑𝟐𝑷𝒆 𝝅𝒌_𝒈

𝟑 = 𝟑𝟐 ∙ 𝟑𝟎𝟎𝟎 ∙ 𝟓𝟓 𝝅 ∙ 𝟏𝟐𝟎

𝟑 = 𝟐𝟒. 𝟏 𝒎𝒎

Wstępnie przyjęta średnica: d= 25 mm

Sprawdzenia warunku bezpieczeństwa z uwzględnieniem rozciągania:

Warunek bezpieczeństwa spełniony  średnica d= 25 mm jest wystarczająca.

𝝈_𝒎𝒂𝒙 = 𝟒𝑷

𝝅𝒅^𝟐 +𝟑𝟐𝑷𝒆

𝝅𝒅^𝟑 = 𝟒 ∙ 𝟑𝟎𝟎𝟎

𝝅 ∙ 𝟐𝟓^𝟐 +𝟑𝟐 ∙ 𝟑𝟎𝟎𝟎 ∙ 𝟓𝟓

𝝅 ∙ 𝟐𝟓^𝟑 = 𝟏𝟏𝟑. 𝟕𝟑 < 𝒌_𝒈 = 𝟏𝟐𝟎 𝑴𝑷𝒂

© T. Machniewicz

14.5. Przykłady obliczeniowe

Przykład 14.2:

Jaki ciężar można podwiesić na stojaku jak na rysunku.

Dane: Szukane:

k_g=120 MPa, e=500 mm, D=20 mm, d=16 mm P=? d

D

P e

𝑾_𝒈 = 𝑱_𝒙 𝒚_𝒎𝒂𝒙 𝑱_𝒙 = 𝝅 𝑫^𝟒 − 𝒅^𝟒

𝟔𝟒

= 𝟐 ∙ 𝑱_𝒙

𝑫 𝑾_𝒈 = 𝝅 𝑫^𝟒 − 𝒅^𝟒 𝟑𝟐𝑫 𝑨 = 𝝅 𝑫^𝟐 − 𝒅^𝟐

𝟒 𝝈_𝒎𝒂𝒙 = 𝑷

𝑨+ 𝑷𝒆

𝑾_𝒈 ≤ 𝒌_𝒈 𝝈_𝒎𝒂𝒙 = 𝟒𝑷

𝝅 𝑫^𝟐 − 𝒅^𝟐 + 𝟑𝟐𝑷𝑫𝒆

𝝅 𝑫^𝟒 − 𝒅^𝟒 ≤ 𝒌_𝒈

𝑷 ≤ 𝒌_𝒈

𝟒

𝝅 𝑫^𝟐 − 𝒅^𝟐 + 𝟑𝟐𝑫𝒆 𝝅 𝑫^𝟒 − 𝒅^𝟒

= 𝟏𝟐𝟎

𝟒

𝝅 𝟐𝟎^𝟐 − 𝟏𝟔 + 𝟑𝟐 ∙ 𝟐𝟎 ∙ 𝟓𝟎𝟎 𝝅 𝟐𝟎^𝟒 − 𝟏𝟔^𝟒

𝑷 ≤ 𝟗𝟐 𝑵

© T. Machniewicz