Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechnika Warszawska
Analiza matematyczna II
Tadeusz Rzeżuchowski
Analiza, semestr 2 Ciągi i szeregi funkcyjne
Pochodne
Ciąg funkcyjny
Definicja
Ciąg funkcyjny to ciąg, którego wyrazami są funkcje mające wspólną dziedzinę i przeciwdziedzinę.
Przykłady:
fn(x ) = xn , x ∈ R fn(x ) = 1 − xn
1 + xn , x ∈ R \ {−1}
Pochodne
Definicja
Obszarem zbieżności punktowej ciągu funkcyjnego fn
o przeciwdziedzinie R nazywa się podzbiór dziedziny złożony z takich punktów t, dla których ciąg liczbowy fn(t) jest zbieżny.
Powstaje nowa funkcja, której dziedziną jest obszar zbieżności, określona wzorem
f (t) = lim
n→∞fn(t)
Mówimy, że ciąg fn jest w obszarze zbieżności zbieżny punktowo do określonego w ten sposób odwzorowania f .
Pochodne
Zbieżność punktowa ciągu funkcyjnego – przykłady
Zbadać zbieżność punktową ciągów:
fn(x ) = xn , x ∈ R fn(x ) = arc tg nx
Pochodne
Definicja
Ciąg odwzorowań fn : T → R jest zbieżny jednostajnie na zbiorze E ⊂ T do funkcji f , jeśli zachodzi warunek
∀ε > 0, ∃nε, ∀n nε, ∀t ∈ E : |fn(t) − f (t)| ¬ ε
Na ogół nie istnieje największy (w sensie zawierania) podzbiór dziedziny, w którym ciąg funkcyjny jest jednostajnie zbieżny.
Przykład:
Ciąg fn(x ) = xn.
Pochodne
Zbieżność jednostajna ciągu funkcyjnego
Lemat
Jeśli istnieje ciąg liczbowy an taki, że limn→∞an= 0 oraz sup{ρ(fn(t), f (t) ; t ∈ E } ¬ an
to ciąg odwzorowań fn jest jednostajnie zbieżny do odwzorowania f na zbiorze E .
Pochodne
ograniczonych
Oznaczmy przez B(T , R) rodzinę ograniczonych funkcji o wartościach rzeczywistych.
Definicja Metrykę
d (f , g ) = sup{|f (t) − g (t)|; t ∈ T } w przestrzeni B(T , R) nazywamy metryką zbieżności jednostajnej.
Pochodne
Metryka zbieżności jednostajnej w przestrzeni funkcji ograniczonych
Lemat
Granica jednostajna ciągu funkcji ograniczonych jest funkcją ograniczoną.
Lemat
Ciąg fn ∈ B(T , R) jest zbieżny jednostajnie do funkcji f ∈ B(T , R) wtedy i tylko wtedy, gdy jest zbieżny w sensie metryki d .
Pochodne
Twierdzenie
Ciąg fn : E → R jest zbieżny jednostajnie wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunek
∀ε > 0, ∃nε, ∀k, l nε, ∀t ∈ E : |fk(t) − fl(t)| ¬ ε
Pochodne
Lemat o zamianie kolejności granic
Potrzeby do dowodu twierdzenia o różniczkowalności granicy ciągu funkcyjnego
Lemat
Załóżmy, że x jest punktem skupienia zbioru X , a ciąg funkcyjny φn: X → R jest zbieżny jednostajnie na zbiorze X \ {x } do funkcji φ . Wtedy, jeśli istnieją granice
u→xlimφn(u) = αn i lim
n→∞αn= α to
u→xlim lim
n→∞φn(u) = lim
n→∞lim
u→xφn(u)
Oznaczając przez φ granicę ciągu funkcyjnego φn tezę można zapisać jako
u→xlim φ(x ) = α
Pochodne
Twierdzenie
Granica jednostajna ciągu funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą.
Pochodne
Różniczkowalność granicy ciągu funkcyjnego
Twierdzenie
Zakładamy, że funkcje fn : [a, b] → R są różniczkowalne,
ciąg ich pochodnych jest jednostajnie zbieżny,
dla pewnego x0 ∈ [a, b] zbieżny jest ciąg liczbowy fn(x0).
Wtedy
ciąg fn jest jednostanie zbieżny,
jego granica jest funkcją różniczkowalną w [a, b], zachodzi równość
d dx lim
n→∞fn(x ) = lim
n→∞
d dxfn(x )
Pochodne
Niech wk : X → R, gdzie X ⊂ R , będzie ustalonym ciągiem funkcyjnym.
Definicja
Szeregiem funkcyjnym nazywa się parę ciągów funkcyjnych ({wk} , {Sn}), przy czym
Sn(x ) =
n
X
k=1
wk(x )
Przy każdym ustalonym x ∈ X para ({wk(x )} {Sn(x )}) jest zwykłym szeregiem liczbowym.
Pochodne
Punktowa i jednostajna zbieżność szeregu funkcyjnego
Obszarem zbieżności punktowej szeregu funkcyjnego ({wk} , {Sn}) jest obszar zbieżności ciągu funkcyjnego Sn. Jednostajna zbieżność szeregu funkcyjnego oznacza jednostajną zbieżność ciągu funkcyjnego Sn.
Przykład: Znaleźć obszar zbieżności punktowej szeregu funkcyjnego
∞
X
n=1
nxn ,
∞
X
n=1
1 1 + xn
Pochodne
funkcyjnych
Twierdzenie
Szereg funkcyjny Pwn jest jednostajnie zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunek
∀ε > 0, ∃nε, ∀m nε, ∀p ∈ N, ∀x ∈ X ;
n+p
X
n=m
wn(x )
¬ ε
Warunek Cauchy’ego zapisuje się również w taki sposób:
∀ε > 0, ∃nε, ∀m nε, ∀p ∈ N, sup
x ∈X
n+p
X
n=m
wn(x )
¬ ε
Pochodne
Kryterium Weierstrassa zbieżności jednostajnej szeregów funkcyjnych
Twierdzenie
Jeśli istnieje zbieżny szereg liczbowy Pcn o wyrazach nieujemnych taki, że dla każdego n zachodzi nierówność sup{|wn(x )| : x ∈ X } ¬ cn, to szereg funkcyjny Pwn jest jednostajnie zbieżny.
Przykład: Wykazać jednostajną zbieżność szeregu funkcyjnego
∞
X
n=1
1 x4+√
n3
Pochodne
Twierdzenie
Zakładamy, że funkcje wn : [a, b] → R są różniczkowalne,
szereg ich pochodnych Pwn0 jest jednostajnie zbieżny, dla pewnego x0 ∈ [a, b] zbieżny jest szereg liczbowy
Pwn(x0).
Wtedy
szereg Pwn jest jednostanie zbieżny,
jego suma jest funkcją różniczkowalną w [a, b], zachodzi równość
d dx
∞
X
n=1
wn(x ) =
∞
X
n=1
d dxwn(x )
Pochodne
Szeregi potęgowe
Definicja
Szeregiem potęgowym nazywa się szereg funkcyjny postaci
∞
X
n=0
an(u − u0)n
Dzięki podstawieniu x = u − u0 można szereg potęgowy sprowadzić do postaci
∞
X
n=0
anxn
Obszar zbieżności (punktowej) ulega wtedy przesunięciu o u0.
Pochodne
Twierdzenie
Jeśli szereg potęgowyPanxn jest zbieżny w punkcie z 6= 0, to jest zbieżny bezwzględnie w przedziale (−|z| , |z|) , jednostajnie zbieżny w każdym przedziale postaci [−α, α]
dla dowolnego α ∈ (0, |z|).
Wniosek
Obszar zbieżności szeregu potęgowego jest całą prostą, albo jednym z przedziałów postaci
(−r , r ) , [−r , r ) , (−r , r ] , [−r , r ].
Pochodne
Promień zbieżności szeregu potęgowego
Twierdzenie Cauchy-Hadamarda
Twierdzenie Niech
λ = lim sup
n→∞
qn
|an|
Promień zbieżności r szeregu potęgowegoPanxn jest następujący
r = 1λ , gdy 0 < λ < +∞ ; r = 0 , gdy λ = +∞ ; r = +∞ , gdy λ = 0 .
Pochodne
Twierdzenie
Suma szeregu potęgowego jest funkcją ciągłą wewnątrz przedziału zbieżności.
Pochodne
Różniczkowalność sumy szeregu potęgowego
Definicja
Szeregiem pochodnym szeregu potęgowegoPanxn nazywa się szereg potęgowy złozony z pochodnych jego wyrazów
∞
X
n=1
nanxn−1
Twierdzenie Funkcja
f (x ) =
∞
X
n=0
anxn
określona dla x z obszaru zbieżności tego szeregu, ma
wewnątrz przedziału zbieżności pochodną równą sumie szeregu pochodnego.
Pochodne
Twierdzenie Abela
Twierdzenie
Jeśli szereg potęgowy jest zbieżny w którymś z końców przedziału zbieżności, to jego suma jest w tym punkcie ciągła (jednostronnie).
Pochodne
Twierdzenie Abela – przykład
Korzystając z tego, że dla |x | < 1 ln(1 + x ) = x
1 −x2
2 + · · · + (−1)n+1· xn n + . . . można stwierdzić, że
ln 2 = 1 − 1 2 +1
3 − · · · + (−1)n+11 n + . . .
Pochodne
Korzystając z tego, że dla |x | < 1 arc tg x = x − x3
3 +x5
5 − · · · + (−1)n−1 x2n−1 2n − 1 + . . . można stwierdzić, że
π
4 = 1 − 1 3 +1
5 − · · · + (−1)n−1 1
2n − 1 + . . .
Pochodne
T. Rzeżuchowski Analiza 2, Funkcje pierwotne
Niech U ⊂ R będzie przedziałem.
Definicja
Funkcją pierwotną funkcji
f : U → R nazywa się każdą funkcję
F : U → R spełniającą dla wszystkich x ∈ R warunek
F0(x ) = f (x )
Funkcje pierwotne
Lemat
Jeśli F jest funkcją pierwotną funkcji f : U → R , gdzie U jest przedziałem, to funkcja G : U → R jest też funkcją pierwotną funkcji f wtedy i tylko wtedy, gdy dla jakiejś stałej C
∀x ∈ U ; G (x) = F (x) + C Przykład: Każda z funkcji
F (x ) = x2 2 + C jest funkcją pierwotną funkcji f (x ) = x .
Definicja
Rodzinę wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f : U → R (o ile istnieją) nazywa się całką nieoznaczoną i oznacza przez
Z
f (x ) dx
Przykład:
Z
x dx = x2 2 + C
Całka sumy funkcji
Twierdzenie
Jeśli istnieją całki nieoznaczoneR f (x ) dx oraz R g (x ) dx , to istnieje całka nieoznaczonaR(f (x ) + g (x )) dx i zachodzi równość
Z
(f (x ) + g (x )) dx =
Z
f (x ) dx +
Z
g (x ) dx
Przykład:
Z
(x + cos x ) dx =
Z
x dx +
Z
cos x dx = x2
2 + sin x + C
Twierdzenie
Jeśli istnieje całka nieoznaczona Rf (x ) dx , to dla każdej liczby α ∈ R istnieje całka nieoznaczonaR αf (x ) dx i zachodzi równość
Z
αf (x ) dx = α
Z
f (x ) dx Przykład:
Z 7
1 + x2 dx = 7
Z 1
1 + x2 dx = 7 arc tg x + C
Całkowanie przez części
Twierdzenie
Jeśli funkcje f i g są klasy C1 na przedziale U, to zachodzi wzór
Z
f (x )g0(x ) dx = f (x )g (x ) −
Z
f0(x )g (x ) dx
Przykłady:
Z
x ln x dx ,
Z
ln x dx ,
Z
xexdx
Znaleźć całkęR (1+xdx2)2.
Z dx
1 + x2 = 1
1 + x2 · x −
Z −2x
(1 + x2)2x dx = x
1 + x2 + 2
Z x2+ 1 − 1 (1 + x2)2 dx = x
1 + x2 + 2
Z dx 1 + x2 − 2
Z dx
(1 + x2)2
Dzięki temu, że (arc tg x )0 = 1+x1 2, mamy
Z dx
(1 + x2)2 = x
2(1 + x2) +1
2arc tg x + C
Całkowanie przez podstawienie
Twierdzenie
Niech U, V będą przedziałami, f : U → R, ϕ : V → U oraz ϕ różniczkowalna w J.
1. Jeśli F jest funkcją pierwotną funkcji f , to funkcja t → F (ϕ(t)) jest funkcją pierwotną funkcji
t → f (ϕ(t)) ϕ0(t).
2. Jeśli funkcja ϕ jest odwracalna, a Φ(t) jest funkcją pierwotną funkcji t → f (ϕ(t)) ϕ0(t), to funkcja x → Φ(ϕ−1(x )) jest funkcją pierwotną funkcji f (x ).
Z
f (x ) dx =
Z
f (ϕ(t)) ϕ0(t) dt
Z ln t
t dt , ln t = x , dt t = dx
Z ln t t dt =
Z
x dx = 1
2x2+ C = 1
2(ln t)2+ C
Z √
1 − x2dx x = sin t , sin :
−π 2,π
2
→ [−1, 1] , dx = cos t dt
Z √
1 − x2dx =
Z
cos2t dt =
Z 1 + cos 2t
2 dt =
1 2t + 1
4sin 2t + C = 1
2arc sin x + 1 2x√
1 − x2+ C
Przykład
Z
arc sin x dx = x arc sin x −
Z x
√1 − x2dx ;
Z x
√1 − x2dx , 1 − x2 = z , −2x dx = dz ;
Z x
√1 − x2dx = −1 2
Z 1
√z dz = −√
z + C = −√
1 − x2+ C .
Ostatecznie
Z
arc sin x dx = x arc sin x +√
1 − x2+ C
Z dx
√a − x2 , a > 0 ; x = √
at , dx =√ a dt
Z dx
√a − x2 =
Z √
√ a dt
a − at2 = arc sin t + C = arc sin x
√a + C
Przykład
Z √
a − x2dx =
Z a − x2
√a − x2 dx =
Z a dx
√a − x2 −
Z x2dx
√a − x2
Z x2dx
√a − x2 =
Z
x · x
√a − x2 dx = −x√
a − x2+
Z √
a − x2dx
Podstawiając dostajemy
Z √
a − x2dx = a arc sin x
√a + x√
a − x2−
Z √
a − x2dx skąd
Z √
a − x2dx = a
2arc sin x
√a +x 2
√
a − x2+ C
Z dx
√a + x2 ; x +√
a + x2 = u
1 + x
√a + x2
!
dx =
√a + x2+ x
√a + x2 dx = du
√ dx
a + x2 = du u
Z dx
√a + x2 =
Z du
u = ln |u| + C = ln |x +√
a + x2| + C
Przykład
Z √
a + x2dx =
Z a + x2
√a + x2 dx =
Z a dx
√a + x2 +
Z x2dx
√a + x2
Z
x · x
√a + x2 dx = x√
a + x2−
Z √
a + x2dx Po podstawieniu
Z √
a + x2dx = a ln |x +√
a + x2|+x√
a + x2−
Z √
a + x2dx
Z √
a + x2dx = a
2ln |x +√
a + x2| + x 2
√
a + x2+ C
Funkcją wymierną nazywa się każdą funkcję postaci f (x ) = V (x )
W (x ) gdzie V (x ), W (x ) są wielomianami.
Twierdzenie
Każdą funkcję wymierną da się przedstawić jako sumę wielomianu i skończonej liczby ułamków prostych, to znaczy funkcji postaci
A
(x − a)n , Bx + C (x2 + px + q)n
– przy czym trójmiany x2+ px + q są nierozkładalne.
Całki ułamków prostych
Z A
(x − a)ndx , n 1
Z A
x − adx = A ln |x − a| + C
Z A
(x − a)n dx = A
1 − n · 1
(x − a)n−1 + C , n > 1
Z Bx + C
(x2+ px + q)ndx =
= B 2
Z 2x + p
(x2+ px + q)ndx + C − pB 2
!Z dx
(x2+ px + q)n Pierwszą całkę znajduje się przez podstawienie
x2+ px + q = u , (2x + p) dx = du
Całki ułamków prostych
Aby znaleźć całkę
Z dx
(x2+ px + q)n , (∆ < 0) korzystamy z równości
x2 + px + q =
x + 1 2p
2
+
q −1 4p2
i stosujemy podstawienie x + 1
2p =
s
q − 1 4p2· u Oznaczając α =qq −14p2 mamy dx = α du.
Z dx
(x2+ px + q)n =
Z α du
α2n(1 + u2)n = α1−2n
Z du
(1 + u2)n
Jeśli n = 1, to
Z du
1 + u2 = arc tg u + C Jeśli n > 1, to stosujemy wzór rekurencyjny
Z du
(1 + u2)n = 1
2n − 2 · u
(1 + u2)n−1 + 2n − 3 2n − 2
Z du
(1 + u2)n−1 tyle razy ile trzeba.
Całki ułamków prostych
Dowód wzoru rekurencyjnego
Zn=
Z du (1 + u2)n
Zn=
Z 1 + u2− u2
(1 + u2)n du = Zn−1−
Z u
2 · 2u du (1 + u2)n =
Zn−1+ u
2(n − 1)(1 + u2)n−1 −
Z du
2(n − 1)(1 + u2)n−1 =
Zn−1+ u
2(n − 1)(1 + u2)n−1 − 1
2(n − 1) · Zn−1 = 1
2n − 2 · u
(1 + u2)n−1 + 2n − 3 2n − 2· Zn−1
Całka z pierwiastkiem z funkcji homograficznej
W (x , y ) – funkcja wymierna dwóch zmiennych.
Z
W
x , n
sax + b cx + d
dx , |a| + |c| > 0 Podstawienie
n
sax + b cx + d = u x = −b + dun
a − cun , dx = n(ad − bc)un−1 (a − cun)2 du sprowadza wyjściową całkę do całki z funkcji wymiernej.
Całki sprowadzalne do całek z funkcji wymiernych
Całka z pierwiastkiem z trójmianu kwadratowego
Z
W x ,√
ax2+ bx + c dx , a > 0 , b2− 4ac 6= 0
Stosuje się podstawienie
√
ax2+ bx + c = (u − x )√
a , x = au2− c 2au + b co doprowadza do całki z funkcji wymiernej.
Całka z pierwiastkiem z trójmianu kwadratowego
Z
W x ,√
ax2+ bx + c dx , a < 0 , b2− 4ac < 0
Oznaczamy α = 4a∆ i stosujemy podstawienie
√
ax2 + bx + c = x + b 2a
!
u −√ α Wtedy
x = 2√ α u u2− a − b
2a
i podstawienie to prowadzi do całki z funkcji wymiernej.
Metoda współczynników nieoznaczonych
Dla szczególnych całek z pierwiastkiem z trójmianu kwadratowego
Całek postaci
Z Wn(x )
√ax2+ bx + c
gdzie Wn(x ) jest wielomianem stopnia n, można poszukiwać w postaci
Z Wn(x )
√ax2+ bx + c = Pn−1(x )√
ax2+ bx + c+A
Z dx
√ax2+ bx + c Pn−1(x ) jest wielomianem stopnia n − 1, A jakąś stałą.
Współczynników wielomianu Pn−1(x ) oraz liczby A poszukuje się różniczkując tę równość stronami, porządkując
i porównując współczynniki wielomianów, które znajdą się w licznikach lewej i prawej strony
Funkcje zawierające funkcje trygonometryczne
W (u, v ) – funkcja wymierna dwóch zmiennych.
Z
W (sin x , cos x ) dx
Podstawienie tgx
2 = u , x = 2 arc tg u , dx = 2 du 1 + u2
sin x = 2u
1 + u2 , cos x = 1 − u2 1 + u2
Całki sprowadzalne do całek z funkcji wymiernych
Funkcje zawierające funkcje trygonometryczne w parzystych potęgach
W (u, v ) – funkcja wymierna dwóch zmiennych.
Z
W (sin2x , cos2x ) dx
Podstawienie
tg x = u , x = arc tg u , dx = du 1 + u2
sin2x = u2
1 + u2 , cos2x = 1 1 + u2
Funkcje zawierające funkcję eksponencjalną
V (u) – funkcja wymierna.
Z
V (eax) dx Podstawienie
eax = u , x = ln u
a , dx = du au
T. Rzeżuchowski Analiza, semestr 2
Całka Riemanna – wprowadzenie
Definicja
Podziałem odcinka [a, b] nazywa się każdy skończony ciąg punktów ∆ = (x0, x1, . . . , xn) spełniający warunek
a = x0 ¬ x1 ¬ · · · ¬ xn = b Średnicą podziału ∆ nazywa się liczbę
d (∆) = max{xi − xi −1; i = 1 , . . . , n}
Jeśli wybierzemy z każdego z przedziałów [xi −1, xi] podziału
∆ po jednym punkcie ξi, to mówimy, że ten wybór punktów, oznaczany X = (ξ1, . . . , ξn), odpowiada podziałowi ∆ .
Sumy całkowe
Niech f : [a, b] → R.
Definicja
Sumą całkową funkcji f dla podziału ∆ = (x0, x1, . . . , xn) i odpowiadającego mu wyboru punktów X = (ξ1, . . . , ξn) nazywa się sumę
σ(f , ∆, X ) =
n
X
i =1
f (ξi) (xi − xi −1)
Normalny ciąg podziałów
Definicja
Ciąg podziałów ∆n odcinka [a, b] nazywa się normalnym, jeśli
n→∞lim d (∆n) = 0
czyli ciąg średnic tych podziałów jest zbieżny do zera.
Całka Riemanna – definicja
Niech f : [a, b] → R Definicja
Jeśli dla dowolnego ciągu normalnego podziałów ∆n odcinka [a, b] i odpowiadających im wyborów punktów Xn ciąg sum całkowych σ(f , ∆n, Xn) jest zbieżny, to granicę tę nazywamy całką Riemanna (całką oznaczoną) funkcji f na przedziale [a, b] i oznaczamy jako
Z b a
f (x ) dx
Uwaga: Jeśli ciągi sum całkowych σ(f , ∆n, Xn) są zawsze zbieżne, jak w definicji, to granica jest zawsze taka sama – stąd wynika jednoznaczność określenia całki.
Twierdzenie
Funkcja całkowalna w sensie Riemanna jest ograniczona.
Ograniczoność funkcji na przedziale [a, b] nie wystarcza do jej całkowalności.
Przykład
Funkcja f : [0, 1] → R określona w następujący sposób f (x ) =
( 1 gdy x ∈ Q
0 gdy x ∈ [0, 1] \ Q nie jest całkowalna w sensie Riemanna.
Całka sumy funkcji i iloczynu funkcji przez liczbę
Twierdzenie
Jeśli funkcje f i g są całkowalne na przedziale [a, b], to suma f + g też jest całkowalna na [a, b] i
Z b a
(f (x ) + g (x )) dx =
Z b a
f (x ) dx +
Z b a
g (x ) dx =
Twierdzenie
Jeśli funkcja f jest całkowalna na przedziale [a, b], to dla każdej liczby γ ∈ R funkcja γf też jest całkowalna i
Z b a
γf (x ) dx = γ
Z b a
f (x ) dx
Rodzina funkcji całkowalnych w sensie Riemanna na ustalonym odcinku [a, b] spełnia wszystkie warunki przestrzeni liniowej, z działaniem dodawania funkcji i mnożenia przez skalar.
Oznaczamy tę przestrzeń jako R[a,b]. Odwzorowanie
f →
Z b a
f (x ) dx
jest odwzorowanie liniowym z przestrzeni R[a,b] w R.
Sumy górne i sumy dolne
Niech f : [a, b] → R będzie ograniczona.
∆ = (x0, x1, . . . , xn) podział odcinka [a, b].
Definicja
Sumą górną dla podziału ∆ nazywa się liczbę S (f , ∆) =
n
X
i =1
sup
x ∈[xi −1,xi]
f (x )
!
(xi − xi −1) a sumą dolną liczbę
s(f , ∆) =
n
X
i =1
inf
x ∈[xi −1,xi]f (x )
!
(xi − xi −1)
Lemat
Dla każdego podziału ∆ odcinka [a, b] i każdego
odpowiadającego mu wyboru punktów X zachodzą nierówności s(f , ∆) ¬ σ(f , ∆, X∆) ¬ S (f , ∆)
Lemat
Dla każdego podziału ∆ odcinka [a, b] i każdego ε > 0 istnieją wybory punktów X i Y takie, że
σ(f , ∆, X∆) S (f , ∆) − ε σ(f , ∆, Y∆) ¬ s(f , ∆) + ε
Rozdrobnienie podziału
Porównywanie sum górnych i dolnych
Definicja
Podział ˜∆ jest rozdrobnieniem podziału ∆ odcinka [a, b], jeśli każdy punkt podziału ∆ jest też punktem podziału ˜∆ – piszemy wtedy ∆ ≺ ˜∆.
Lemat
Jeśli funkcja f : [a, b] → R jest ograniczona i ∆ ≺ ˜∆, to s(f , ∆) ¬ s(f , ˜∆) ¬ S (f , ˜∆) ¬ S (f , ∆)
Wniosek
Dla dowolnych dwóch podziałów ∆ i Γ odcinka [a, b] zachodzi nierówność
s(f , ∆) ¬ S (f , Γ)
Definicja
Całką górną ograniczonej funkcji f : [a, b] → R nazywa się liczbę
Z b a
f (x ) dx = inf{S (f , ∆) ; ∆ podziały [a, b]}
a całką dolną liczbę
Z b a
f (x ) dx = sup{s(f , ∆) ; ∆ podziały [a, b]}
Sumy górne i dolne – własności
Lemat
Jeśli funkcja f : [a, b] → R jest ograniczona, ∆p ciągiem normalnym podziałów odcinka [a, b], a ∆ jego dowolnym, ustalonym podziałem, to
∀ε > 0, ∃¯p, ∀p ¯p; S (f , ∆p) ¬ S (f , ∆) + ε
∀ε > 0, ∃˜p, ∀p ˜p; s(f , ∆p) s(f , ∆) − ε
Normalny ciąg podziałów
Twierdzenie
Jeśli funkcja f : [a, b] → R jest ograniczona, ∆p jest ciągiem normalnym podziałów odcinka [a, b], to
p→∞lim S (f , ∆p) =
Z b a
f (x ) dx
p→∞lim s(f , ∆p) =
Z b a
f (x ) dx
Charakteryzacja całkowalności przez całkę górną i dolną
Twierdzenie
Ograniczona funkcja f : [a, b] → R ma całkę Riemanna wtedy i tylko wtedy, gdy
Z b a
f (x ) dx =
Z b a
f (x ) dx Dla funkcji całkowalnych
Z b a
f (x ) dx =
Z b a
f (x ) dx =
Z b a
f (x ) dx
Wniosek
Ograniczona funkcja f : [a, b] → R ma całkę Riemanna wtedy i tylko wtedy, gdy
∀ε > 0, ∃∆; S(f , ∆) − s(f , ∆) ¬ ε
Całkowalność funkcji ciągłych
Twierdzenie
Jeśli funkcja f : [a, b] → R jest ciągła, to ma całkę Riemanna.
Lemat
Jeśli funkcja f : U → R jest ograniczona, to sup
x ∈U
f (x ) − inf
x ∈Uf (x ) = sup
u,v ∈U
(f (u) − f (v )) = sup
u,v ∈U
|f (u) − f (v )|
Twierdzenie
Funkcja monotoniczna, określona na przedziale domkniętym, ograniczonym, ma całkę Riemanna.
T. Rzeżuchowski Analiza, semestr 2
Całka Riemanna – własności, obliczanie
Twierdzenie
Jeśli funkcja f : [a, b] → R jest całkowalna, to jest ona również całkowalna na każdym przedziale [α, β] ⊂ [a, b].
Addytywność całki względem przedziałów
Twierdzenie
Niech b ∈ [a, c]. Funkcja f : [a, c] → R jest całkowalna na przedziale [a, c] wtedy i tylko wtedy, gdy jest całkowalna na przedziałach [a, b] i [b, c].
Zachodzi równość
Z c a
f (x ) dx =
Z b a
f (x ) dx +
Z c b
f (x ) dx
Rozszerzamy definicję całki
Z b a
f (x ) dx na przypadek, gdy a > b.
Chcemy zachować prawdziwość wzoru
Z c a
f (x ) dx =
Z b a
f (x ) dx +
Z c b
f (x ) dx niezależnie od wzajemnego położenia punktów a, b i c.
Całka na przedziale o długości 0 jest równa 0, więc dla dowolnych a i b
0 =
Z a a
f (x ) dx =
Z b a
f (x ) dx +
Z a b
f (x ) dx czyli
Z b a
f (x ) dx = −
Z a b
f (x ) dx
Wnioskowanie o całkowalności funkcji
na podstawie całkowalności innej funkcji
Lemat
Jeśli funkcja g jest całkowalna na przedziale [a , b] , funkcja f jest określona na tym przedziale oraz istnieje taka stała L 0 , że zachodzi warunek
∀x, y ∈ [a, b]; |f (x) − f (y )| ¬ L|g (x) − g (y )|
to f też jest całkowalna.
Twierdzenie
Jeśli funkcja f jest całkowalna na [a, b], to funkcja |f | jest też całkowalna oraz prawdziwa jest nierówność
Z b a
f (x ) dx
¬
Z b a
|f (x)| dx
Wniosek
Jeśli funkcje f , g : [a, b] → R są całkowalne, to funkcje φ(x ) = max{f (x ), g (x )} , ψ(x ) = min{f (x ), g (x )} są również całkowalne na [a, b].
max{α, β} = α + β + |α − β|
2 , min{α, β} = α + β − |α − β|
2
Mnożenie funkcji całkowalnych
Lemat
Jeśli funkcja f jest całkowalna na [a, b], to jej kwadrat f2 jest również funkcją całkowalną na [a, b].
Twierdzenie
Jeśli funkcje f , g są całkowalne na [a, b], to ich iloczyn jest również funkcją całkowalną i zachodzi nierówność
Z b a
f (x )g (x ) dx
!2
¬
Z b a
f2(x ) dx ·
Z b a
g2(x ) dx
