Fale Wykład VI

Wykład VI

Fale

t

t + Dt

Rodzaje fal

1. Fale mechaniczne

2. Fale elektromagnetyczne

3. Fale materii

dyfrakcja elektronów

Fala podłużna

Przemieszczenia elementów spirali ( w prawo i w lewo)

są równoległe do kierunku, w jakim porusza się fala z prędkością 𝒗 𝒗

Fala poprzeczna

Element liny wykonuje ruch w kierunku

prostopadłym do kierunku rozchodzenia się

fali

𝒗

𝒗

impuls

fala sinusoidalna

Fale na wodzie, fale

sejsmiczne – kombinacja fal poprzecznych i podłużnych.



• długość fali: odległość  pomiędzy kolejnymi powtórzeniami kształtu fali (np. grzbietami, dolinami)

Amplituda A

• amplituda: maksymalne odchylenie A od punktu równowagi.

A

x y

Własności fali

sinusoidalnej

Okres – odstęp czasu między momentami, gdy grzbiety (doliny) dwóch sąsiednich fal przechodzą przez ten sam punkt.

Prędkość fazowa: w czasie równym T fala pokonuje dystans 𝛌, zatem prędkość z jaką przemieszcza się fala:

Częstotliwość: ilość grzbietów (dolin), które w ciągu jednej sekundy, przechodzą przez ten sam punkt

v = λ / T

Własności fali

Równanie fali

𝒗

x y

𝒙 = 𝒗𝒕

Brązowa linia – zdjęcie fali w chwili t=0.

Równanie fali w chwili t:

𝐲(𝐱 , 𝟎) = 𝐲_𝐦𝐬𝐢𝐧(^𝟐𝝅

𝛌 𝒙)

Niebieska linia – zdjęcie fali w chwili t.

(położenie cząstki ośrodka jest takie samo dla 𝒙 = 𝒏𝛌, gdzie n –liczba całkowita)

𝐲(𝐱 , 𝐭) = 𝐲_𝐦𝐬𝐢𝐧 𝟐𝝅

𝛌 (𝒙 − 𝐯𝐭) = 𝐲_𝐦𝐬𝐢𝐧 𝟐𝝅 (𝒙

𝝀 − 𝒕 𝑻)

𝐯 = 𝛌 𝐓

Równanie fali w chwili t=0:

Równanie fali

𝐲(𝐱, 𝐭) = 𝐲_𝐦𝐬𝐢𝐧 𝟐𝝅 (𝒙

𝝀 − 𝒕

𝑻)

• wprowadzimy pojęcie liczby falowej: k = 2p/

• podstawiamy 𝝎 = ^𝟐𝝅_𝑻

𝐲(𝐱, 𝐭) = 𝐲_𝐦𝐬𝐢𝐧(𝒌𝒙 − 𝝎𝒕)

Jest to równanie fali płaskiej rozchodzącej się w kierunku +osi x

Relacja między prędkością fali i prędkością kątową

v = λ / T = (2π / k) / T = (2π / T) / k = ω / k

Parametry fali

Długość fali - odległość  pomiędzy kolejnymi powtórzeniami kształtu fali, amplituda - maksymalne odchylenie y_m od punktu równowagi

0

y(x , ) = y sin(-kx + φ) y(x, t) = y sin(ωt - kx + φ)

Równanie fali:

Wykres fali dla t=0

𝒗

x

 y

y_m

Długość fali i liczba falowa

Długość fali i liczba falowa

kλ = 2π

1

  0

[ (

  ]

y(x , ) = y sin -k x )

1

0

(

)

y(x , ) = y sin -kx

Wielkość k = 2p/ nazywa się liczbą falową.

𝒗

x

 y

y_m

1

0

  0

y(x , ) = y(x , )



k = 2π

m m

y(0, t) = y sin(ωt + φ) = y sin[ω(t + T) + φ]

0 t y

y( , ) = sin(ωt + φ)

Wykres fali dla x=0 𝒗

t

T y

y_m

Okres fali i częstość

wT= 𝟐𝝅 T=

𝝎

Prędkość, z jaką przemieszcza się stała faza fali:

y(x , t) = y sin(ωt - kx + φ)

faza fali ma się nie zmieniać:

Wyprowadzenie wzoru na prędkość fazową fali

𝒗

x y

fala w ∆𝒙 chwili t=0

fala w chwili t

𝒗 = 𝒅𝒙 𝒅𝒕

𝝎𝒕 − 𝒌𝒙 + 𝝋 − 𝒇𝒂𝒛𝒂

𝝎𝒅𝒕 − 𝒌𝒅𝒙 = 𝟎 𝒗 = 𝒅𝒙

𝒅𝒕 = 𝝎

𝒌

Fala przenosi energię

𝒗

x y

Prędkość fali w idealnie napiętej linie zależy jedynie od naprężenia T i gęstości liniowej m materiału, z którego wykonana jest lina.

𝒗 = 𝑻

𝝁

𝒗

𝒅𝒎

Fala przenosi energię

Średnia moc czyli średnia szybkość z jaką przenoszona jest energia przez falę biegnącą w linie:

Fala przenosi energię

Współczynniki m oraz v zależą od materiału i naprężenia liny.

Interferencja fal

Superpozycja fal

Co się stanie gdy „zderzą” się dwie fale?

Nastąpi ich „dodanie” ,

czyli superpozycja.

Interferencja fal biegnących w linie

1 _m

)

y (x , t) = y sin(ω t - kx

1 fala

2 m

y (x , t) = y sin(ω t - kx + φ)

2 fala

Superpozycja:

1



) 

y(x,t) = y (x , t) y (x , t) = y sin(ω t - kx y sin(ωt -kx + φ)

𝒔𝒊𝒏𝜶 + 𝒔𝒊𝒏𝜷 = 𝟐 𝐬𝐢𝐧𝜶 + 𝜷

𝟐 𝒄𝒐𝒔𝜶 − 𝜷 𝟐

𝐲 𝐱, 𝐭 = 𝟐𝐲_𝐦𝐜𝐨𝐬𝛗

𝟐 𝐬𝐢𝐧(𝛚​ 𝐭 − 𝐤𝐱 + 𝛗 𝟐)

Fala biegnie w tym samym kierunku!

𝐲 𝐱, 𝐭 = 𝟐𝐲

𝐜𝐨𝐬 𝛗

𝟐 𝐬𝐢𝐧(𝛚​ 𝐭 − 𝐤𝐱 + 𝛗 𝟐 ) Interferencja fal biegnących w linie

𝝋 = 𝟎

Interferencja konstruktywna

𝝋 = 𝝅

Interferencja destruktywna

x x y

y

𝐲₁(𝐱 ,   𝐭)

𝐲₂(𝐱 ,   𝐭) x y

𝐲₁(𝐱 ,   𝐭) i 𝐲₂(𝐱 ,   𝐭)

Odbicie fali

Kiedy fala dociera do ośrodka o innej gęstości, ulega odbiciu.

• Jeśli gęstość tego ośrodka jest większa od gęstości ośrodka w

którym rozchodzi się fala, to faza fali po odbiciu ulega

przesunięciu o 180°.

• Jeśli mniejsza – to nie ma

przesunięcia fazy.

Fale stojące

1 _m

)

y (x , t) = y sin(ωt - kx

2 _m

 )

y (x , t) = y sin(ω t kx

𝒔𝒊𝒏𝜶 + 𝒔𝒊𝒏𝜷 = 𝟐 𝐬𝐢𝐧𝜶 + 𝜷

𝟐 𝒄𝒐𝒔𝜶 − 𝜷 𝟐

𝐲 𝐱, 𝐭 = 𝟐𝐲

𝐬𝐢𝐧(𝐤𝐱)𝐜𝐨𝐬(𝛚​ 𝐭)

𝒕 = 𝑻 𝒕 = 𝟎 𝟒

Fale stojące

𝐲 𝐱, 𝐭 = 𝟐𝐲

𝐬𝐢𝐧(𝐤𝐱)𝐜𝐨𝐬(𝛚​ 𝐭) Strzałki:

Węzły: 𝒌𝒙 = 𝒏𝝅 𝒙 = 𝒏 

𝟐 𝒌𝒙 = (𝒏 + 𝟏

𝟐 )𝝅 𝒙 = (𝒏 + 𝟏

𝟐 )  𝟐

n=1,2,3…

Fale stojące w linie, strunie

Warunek na powstanie fali stojącej:

𝑳 = 𝒏

𝟐



= 𝐯

𝒇

= 𝟐𝐋

𝐧

𝐧𝐯 𝟐𝐋

n=1 częstotliwość podstawowa (pierwsza harmoniczna) n=2,3… kolejne harmoniczne

L

𝑳 = _𝟏 𝟐

𝑳 = 2_𝟐 𝟐

𝑳 = 3_𝟑 𝟐

Fala dźwiękowa

𝒗

𝒗 𝑭

Fala dźwiękowa

Prędkość dźwięku w gazach:

𝒗 = 𝑩 𝝆

B – moduł ściśliwości

objętościowej, 𝝆 – gęstość ośrodka

𝒗 = 𝒔𝒑𝒓ęż𝒚𝒔𝒕𝒐ść 𝒐ś𝒓𝒐𝒅𝒌𝒂 𝒃𝒆𝒛𝒘ł𝒂𝒅𝒏𝒐ść 𝒐ś𝒓𝒐𝒅𝒌𝒂 Prędkość fali mechanicznej:

Prędkość dźwięku w różnych ośrodkach

ośrodek v(m/s)

powietrze (𝟐𝟎℃) 343

woda 1493

miedź 3560

Zależność prędkości dźwięku w powietrzu od temperatury:

𝒗 = 𝟑𝟑𝟏𝒎/𝒔 𝟏 + 𝑻_℃ 𝟐𝟕𝟑℃

Natężenie dźwięku

𝑰 = 𝟏

𝟐 𝝆𝒗𝝎

𝒔

Można pokazać, że natężenie fali : Fala transportuje energię.

Natężenie fali tj. stosunek mocy, którą transportuje fala przez jednostkę powierzchni

lub:

𝑰 = ∆𝑷

𝟐𝝆𝒗

Spektrum fal dźwiękowych

Zakres słyszalny: 20Hz-16000Hz

Próg słyszalności, przy częstotliwości 1000Hz: 𝑰_𝟎 = 𝟏𝟎^−𝟏𝟐𝑾/𝒎^𝟐

Próg bólu, przy częstotliwości 1000Hz: 𝟏𝑾/𝒎^𝟐

Poziom dźwięku w skali decybelowej : 𝜷[𝒅𝑩] = 𝟏𝟎𝒍𝒐𝒈( 𝑰 𝑰_𝟎)

Próg bólu w skali decybelowej:

𝜷[𝒅𝑩] = 𝟏𝟎𝒍𝒐𝒈

𝟏𝑾 𝒎^𝟐 𝟏𝟎^−𝟏𝟐𝑾

𝒎^𝟐

𝒅𝑩 = 𝟏𝟎𝒍𝒐𝒈𝟏𝟎^𝟏𝟐𝒅𝑩 = 𝟏𝟐𝟎𝒅𝑩

Szept: 30dB, odkurzacz – 70dB, koncert rockowy – 120dB

Fala kulista - natężenie od odległości

𝑰 = 𝑷_ź𝒓 𝟒𝝅𝒓^𝟐

Natężenie w odległości r od źródła:

r

promień fali

czoło fali

Prawo odwrotnych kwadratów:

𝑰

𝑰

= 𝒓

𝒓

Interferencja fal dźwiękowych

𝑳

− 𝑳

= (𝒎 + 𝟏

𝟐 )λ 𝑳

− 𝑳

= 𝒎λ

m=0,1,2

Interferencja konstruktywna:

Interferencja destruktywna:

  𝑳_𝟐

𝑳_𝟏

Efekt Dopplera

Efekt Dopplera

Obserwator i źródło dźwięku ( o częstości 𝒇_ź𝒓 ) poruszają się:

𝑓_𝑜 = 𝒗 ± 𝒗_𝒐

𝒗 ∓ 𝒗_ź𝒓 𝒇_ź𝒓

Górne znaki – obserwator i źródło dźwięku zbliżają się do siebie:

𝒇_𝒐 > 𝒇_ź𝒓  _𝒐 <  _ź𝒓

Dolne znaki - obserwator i źródło dźwięku oddalają się od siebie

𝒇_𝒐 < 𝒇_ź𝒓  _𝒐 >  _ź𝒓

Efekt Dopplera dla fali elektromagnetycznej

Dolne znaki- satelita

zbliża się do odbiornika Górne znaki – satelita oddala się od odbiornika

𝒇 = 𝒇

𝒄 ∓ 𝒗 𝒄 ± 𝒗

Częstość fali mierzona przez odbiornik zmienia się z

wysokiej na niską gdy satelita przelatuje nad odbiornikiem.