Wykład VI Mechanika

1

Wykład VI Mechanika

Formalizm Lagrange’a

¹

Ruch z więzami

Mamy układ M cząstek opisany równaniami ruchu M i

dt F r

m_i d ⁱ _i  , 2 ,

2 1

2   .

Jeśli ruch cząstek nie jest poddany jakimś zewnętrznym ograniczeniom, mamy 3M zmiennych niezależnych



x₁,y₁,z₁,x₂,y₂,z₂,x_M,y_M,z_M



i dla pełnego określenia ruchu układu należy wyznaczyć 3M współrzędnych – układ ma 3M stopni swobody.

Jeśli ruch cząstek poddany jest ograniczeniom – na układ nałożone są więzy – np. w postaci warunku

M f k

r r r

f_k( ₁, ₂, ,_M)0, 1,2, 3

 

 ,

wówczas liczba stopni swobody jest zmniejszona do N 3M  f . Obecność więzów wprowadza jakby dodatkowe siły.

Przykład 1

Mamy wahadło – kulkę o masie m, zawieszoną na nieważkim pręcie o długości l.

















2 2 2

0

l y x

mg y

m x m









xlsin, ylcos





























2 2

2 2

sin cos

sin 0 cos

cos sin











 

 









l

 g

















Mamy początkowo 2 zmienne, lecz ze względu na wiąz nie są one niezależne - układ ma tylko jeden stopień swobody, a kąt jest „wygodą” współrzędną.

Współrzędne i prędkości uogólnione

Współrzędne uogólnione – zbiór wzajemnie niezależnych parametrów



q₁,q₂,,qN



zupełnie opisujących ruch danego układu zgodnie z nałożonymi nań więzami.

Prędkości uogólnione – pochodne czasowe współrzędnych uogólnionych



q₁,q₂,,qN



. Przykład 1 cd.

współrzędna uogólniona – , prędkości uogólniona – ^.

1 Joseph Louis Lagrange 1736-1813

0

2sin 



 



^

2

Wykład VI cd. Mechanika

Funkcja Langrange’a



q q q_k



q



q q q_k



q ₁, ₂,, ,  ₁,₂,, , T – energia kinetyczna, V – energia potencjalna.

Przykład 1 cd.

) cos 1 2 (

2

2   

 ml mgl

L 

Zasada najmniejszego działania (Hamiltona

²

)

Działanie: ( , , ), (₁) ₁, ( ₂) ₂

2

1

q t q q t q t q q L dt S

t

t









^

Równanie Lagrange’a – jeden stopień swobody

) (t

q – trajektoria przy której działanie jest minimalne. Rozważamy małe odchylenia od tej trajektorii tzn. q(t)q(t), q(t₁)q(t₂)0.





^{   }

 ²

1 2

1

0 ) , , ( )

, , (

t

t t

t

t q q L dt t q q q q L dt

S    



q q t q q q L

q t q q t L

q q L t q q q q

L 





 



   

 











 ( , , ) ( , , )

) , , ( ) , , (





^ _ ^{ } _

 ²

1 2

1

) , , ( )

, ,

( ^t

t t

t

dt q d q

t q q dt L q q

t q q dt L

S  

 





całkowanie przez części drugiego członu uwzględniające, że q t( )₁ q t( )₂ 0:

2 2 2

1 1 1

0

( , , ) ( , , ) ^t ( , , )

t t

t t t

L q q t d L q q t d L q q t

dt q q dt q

q dt q  dt q 



 

         

 

2

1

( , , ) ( , , )

0

t

t

L q q t d L q q t

S dt q

q dt q

 



^^   ^  ^   _dt^{d L q q t( , , )}_q ^{L q q t( , , )}_q ^0

2 William Rowan Hamilton 1805-1865

) , ( ) , ( ) , ,

(q q t T q q V q t

L    

Układ porusza się w taki sposób, że działanie na drodze od q(t₁)q₁ do q(t₂)q₂ przyjmuje minimalną wartość

) (x₀

f ^{- minimum} ) 0 ) (

( )

( ₀  ₀  ⁰ 

 dx

dx x x df f dx x f df

) ( ) ( )

( ) ( ) ( '

) ( ) ( ) ( '

) ( ) ( ) ( '

t q t dt q

d t

q t q t q

t dt q t d q t q

t q t q t q











  































dt q q d 



3

Wykład VI cd. Mechanika

Związek z równaniem Newtona

x

q – współrzędna kartezjańska

) , 2 (

) , ( ) , ( ) , , (

2

t x x V t m q V q q T t q q

L     





) 0 , 0 (

) , , ( )

, ,

( 



 



 







x t x x V

q m t q q L q

t q q L dt

d  





Przykład 1 cd.

) cos 1 2 (

2

2   

 ml mgl

L 

0 sin ) 0

, , ( )

, ,

(    







  

l g q

t q q L q

t q q L dt

d  





Równania Lagrange’a – N stopni swobody



q q q_N



q



q q q_N



q ₁, ₂,, ,  ₁,₂,,

Uogólnione pędy i siły

i

i q

p L



  - uogólniony pęd



q_i r_i  p_i m_ir_i



i

i q

F L



  - uogólniona siła 



 















i i

i

i r

F V r

q

Zachowanie pędu





^ _^



i i

i

i q

p L

P  , ^



_^{ }



_^

i i

i i q

L q

L dt

d dt

dP

 1) 0

dt

dP pod nieobecność sił 0



 qi

L .

2) 0 dt

dP , gdy L zależy tylko od różnic (qi-qj), wtedy

j

i q

L q

L



 

 

 i



_^{ }0

i qi

L . N

q i t q q L q

t q q L dt

d

i i

 



, ) ( , , ) 0, 1,2, ,

(  









zakładamy zachodzenie równań Lagrange’a

4

Wykład VI cd. Mechanika

Energia

q L q L E

i i

i 







^ _

^

^{qi ri  ETV}

^

Zachowanie energii

i i i i i

i i i i i i i i

dE d L dL L d L L L L

q q q q q

dt dt q dt q dt q t q q

           





   



      



    

i

i i i

dE d L L L L

dt q dt q q t t

     





       

Energia jest zachowywana, gdy funkcja Lagrange’a nie zależy jawnie od czasu.

Przykład 2

Równanie ruchu wahadła o zmiennej długości l(t), która jest zadaną funkcją czasu.

   

^{(1 cos )}

) 2 cos 1 2 (

2 2 2 2

2   

      



 m l l mgl

mgl v

m v

L _l   



 

 

^ ^{  ml  mll}

L dt mgl d

ml L

L ² , sin ,  ² 2



 

 

 





Przykład 3

Równanie ruchu wahadła zawieszonego na nici nawiniętej na walcu o promieniu R długości l .

  ^

^{  }

^

^{( ) }

^

^{sin ( )cos}

^

cos 2 ) (

2 sin

2 2 2

2 m l R mg l R l R

R l R

l mg y m x

L              



  ^

)2

(l R L m 





2

2 2 ( )

)

(    

L m l R ^ m l R R^ dt

d    











 ⁽ ^{) ( )sin}

2 mg l R

R R l

L m   



 

zakładamy zachodzenie równań Lagrange’a

0 sin

2  

  

 l

g ll 







lR

  

R



²g^sin



⁰