Wykład 30

Wykład 30

Fizyka jądrowa.

Dla chemika, jądro atomowe jest ładunkiem punktowym, w którym zawarta jest prawie cała masa atomu. Jądro atomowe odgrywa istotną rolę w budowie atomów i cząsteczek chemicznych.

Stwierdzono, że składa się ono z protonów i neutronów, których oddziaływania grają istotną rolę w codziennym życiu, jak również w historii i budowie wszechświata. Rozszczepienie bardzo ciężkich jąder takich jak uran jest obecnie istotnym źródłem energii, podczas gdy synteza termojądrowa bardzo lekkich jąder jest źródłem energii powstającej w gwiazdach włączając w to Słońce i możliwe, ze jest sposobem na otrzymanie w przyszłości bardzo wydajnych źródeł energii.

30.1 Własności jąder atomowych.

Jądro atomu zawiera dwa rodzaje cząsteczek: protony i neutrony, które w przybliżeniu mają tę samą masę (neutron jest o 0,2% masywniejszy od protonu). Proton posiada ładunek +e, a neutron nie ma ładunku. Liczba protonów Z jest liczbą atomową atomu, jest to jednocześnie ilość elektronów w atomie. Liczba neutronów N jest w przybliżeniu równa Z dla lekkich jąder i jest narastająco większa od Z dla cięższych jąder. Całkowita ilość nukleonów (protonów i neutronów) A = N + Z nazywa się liczbą masową. Dwa lub więcej jąder posiadających tę samą liczbę Z, ale różną liczbę N i A nazywają się izotopami. Określone jądro zapisuje się stosując symbol chemiczny plus indeks górny równy A (¹H – wodór, ²H + deuteron zawierający proton i neutron, ³H – tryton zawierający proton i dwa neutrony).

Wewnątrz jądra atomowego nukleony podlegają działaniu silnych sił przyciągających o strony swoich sąsiadów. Oddziaływania te nazywają się oddziaływaniami silnymi i są znacznie większe niż siły elektrostatycznego odpychania między protonami. Silne oddziaływania występujące między dwoma neutronami, dwoma protonami i neutronem i protonem są w przybliżeniu takie same. Dwa protony podlegają oczywiście siłom odpychania z powodu jednoimiennych ładunków, które to siły próbują osłabić oddziaływanie silne w jądrze. Siły jądrowe maleją gwałtownie wraz z odległością i można je zaniedbać kiedy nukleony znajdują się w odległości większej niż kilka fm (fm – femtometr = 10^-15m, lub inna nazwa 1 fermi).

Rozmiar i kształt jąder.

Rozmiary i kształt jąder można badać poprzez bombardowanie ich cząstkami o wysokiej energii i obserwowaniu ich rozproszenia. Można w tym celu używać na przykład neutronów lub elektronów.

Szereg doświadczeń wskazuje, że jądra mają kształt sfer, których promienie można opisać w przybliżeniu zależnością:

𝐑 = 𝐑_𝟎𝐀^𝟏/𝟑 30.1

Promień jądra.

gdzie R₀ jest równe około 1,5fm. Z faktu, że promień jądra jest proporcjonalny do A^1/3 wynika, że objętość jądra jest proporcjonalna do A. Ponieważ masa jądra atomowego jest również proporcjonalna do A, to gęstość jąder jest w przybliżeniu taka sama. Jest to analogia do kropli cieczy, której gęstość również nie zależy od jej rozmiarów. Model kroplowy jąder atomowych sprawdza się z powodzeniem w opisie szeregu ich własności i w szczególności dobrze tłumaczy zjawisko rozszczepienia jąder.

Liczby N i Z.

Dla lekkich jąder największą stabilność mają te jądra, w których ilość protonów i neutronów jest jednakowa 𝑁 ≈ 𝑍. Dla cięższych jąder niestabilność spowodowana odpychaniem kulombowskim protonów jest mniejsza, gdy ilość neutronów przewyższa liczbę protonów. Widać to na przykładzie stabilnych izotopów pierwiastków: dla ¹⁶₈𝑂, N = 8, Z = 8, dla ₂₀⁴⁰𝐶𝑎, N = 20, Z = 20, dla ₂₆⁵⁶𝐹𝑒, N = 30, Z = 26, dla ²⁰⁷₈₂𝑃𝑏, N = 125, Z = 82, dla ²³⁸₉₂𝑈, N = 146, Z = 92. (Liczbę atomową często umieszcza się jako indeks dolny przed symbolem pierwiastka).

Rysunek 30.1 przedstawia wykres N w funkcji Z dla znanych stabilnych jąder. Krzywa pokrywa się z prostą dla lekkich jąder.

Można zrozumieć dążenie do tego aby n i z były równe poprzez rozważenie

A nukleonów w

jednowymiarowej studni potencjału. Rysunek 30.2 przedstawia poziomy energetyczne dla ośmiu neutronów i dla czterech

neutronów i czterech protonów. Z powodu zakazu Pauliego tylko dwie identyczne cząstki (z Rysunek 30.1

Rysunek 30.2

przeciwnymi spinami) mogą być w tym samym stanie. Ponieważ proton i neutron nie są identyczne, można je umieścić po dwa w każdym stanie, tak jak pokazane jest na rysunku 30.2b. W ten sposób całkowita energia czterech neutronów i czterech protonów jest mniejsza niż ośmiu neutronów (lub ośmiu protonów) jak widać na rysunku 30.2a. Kiedy uwzględni się energia kulombowskiego odpychania, która jest proporcjonalna do Z², to sytuacja ulega zmianie. Dla dużej liczby A i Z energia całkowita może zwiększyć się mniej poprzez dodanie dwu neutronów niż poprzez dodanie jednego neutronu i jednego protonu, ponieważ energia elektrostatycznego odpychania dodaje się w ostatnim przypadku. To tłumaczy dlaczego N > Z dla ciężkich jąder.

Masa i energia wiązania jąder.

Masa jądra jest mniejsza niż masa jego składników o ΔE/c², gdzie ΔE jest energią wiązania. Kiedy dwa lub więcej nukleonów łączy się, aby stworzyć jądro, całkowita masa zmniejsza się i energia wydziela się na zewnątrz. Odwrotnie, rozdzielić jądro na składniki należy dostarczyć energii do układu, aby wywołać zwiększenie się masy spoczynkowej.

Masy atomowe i jądrowe są często wyrażane w jednostkach masy atomowej (u), zdefiniowanej jako jedna dwunasta masy neutralnego atomu¹²₆𝐶. Energia spoczynkowa jednostki masy atomowej wynosi:

1𝑢 𝑐² = 931,5𝑀𝑒𝑉 30.2

Rozważmy na przykład ₂⁴𝐻𝑒, który składa się z dwu protonów i dwu neutronów. Masę atomu można zmierzyć dokładnie za pomocą spektroskopu masowego. Masa ₂⁴𝐻𝑒 wynosi 4,002603u. Masa jednego ₁¹𝐻 jest równa 1,007825u. Suma mas dwu atomów ₁¹𝐻 plus dwu neutronów jest równa 2(1,007825u) + 2(1,008665u) = 4,03298u jest większa niż masa ₂⁴𝐻𝑒 o 0,030377u. Na podstawie tej różnicy z równania 30.2 możemy znaleźć energię wiązania jądra helu:

0,030377𝑢 𝑐² = 0,030377𝑢 𝑐²∙931,5𝑀𝑒𝑉/𝑐²

1𝑢 = 28,30𝑀𝑒𝑉

Tak więc, całkowita energia wiązania ₂⁴𝐻𝑒 jest równa 28,3MeV. Ogólnie energię wiązania atomu o masie MA zawierającego Z protonów i N neutronów można znaleźć obliczając różnicę między masą jego składowych i masą jądra i mnożąc przez c²:

𝐄_𝐰 = 𝐙𝐌_𝐇+ 𝐍𝐌_𝐧− 𝐌_𝐀 𝐜^𝟐 30.3

Całkowita energia wiązania.

gdzie M_H jest masą atomu ₁¹𝐻, a m_n jest masą neutronu. Zwróćmy uwagę, że masa Z elektronów w ZMH redukuje się z Z elektronami w MA. W tabeli 1 podane są masa neutronu i masa paru wybranych izotopów.

Przykład 1.

Znajdź energię wiązania ostatniego neutronu w ⁴𝐻𝑒.

Analiza zadania. Energią wiązania jest c² razy różnica ³𝐻𝑒 plus neutron i ⁴𝐻𝑒. Odpowiednie masy możemy znaleźć z tabeli.

1. Dodaj masę neutronu do ³𝐻𝑒: 𝑚³_𝐻𝑒 + 𝑚_𝑛 = 3,016030𝑢 + 1,008665𝑢 = 4,024695𝑢 2. Odejmij masę ⁴𝐻𝑒 : 𝑚³_𝐻𝑒 + 𝑚_𝑛 − 𝑚⁴_𝐻𝑒 = 4,024695𝑢 − 4,002603 = 0,022092𝑢 3. Oblicz energię wiązania: 𝐸_𝑤 = ∆𝑚 𝑐² = 0,022092𝑢 𝑐²∙931,5𝑀𝑒𝑉 /𝑐²

1𝑢 = 20,58𝑀𝑒

TABELA 1

Masy atomowe neutronu i wybranych izotopów.

Pierwiastek Symbol Z

Masa atomowa

Neutron n 0 1,008 665

Wodór ¹H 1 1,007 825

Deuter ²H lub D 1 2,014 102

Tryt ³H lub T 1 3,016 050

Hel ³He

4He

2 2

3,016 030

Lit ⁶Li 3 4,002 603

Bor ¹⁰B 5 10,012 939

Węgiel ¹²C

13C

14C

6 6 6

12,000 000 13003 354 14,003 242

Azot ¹³N

14N

7 7

13,005 738 14,003 074

Tlen ¹⁶O 8 15,994 915

Żelazo ⁵⁶Fe 26 55,939 395

Srebro ¹⁰⁷Ag 47 106,905 094

Złoto ¹⁹⁷Au 79 196,966 541

Ołów ²⁰⁸Pb 82 207,976 650

Polon ²¹²Po 84 211,989 629

Rad ²²⁶Ra 88 222,017 531

Uran ²³⁸U 92 238,048 608

Pluton ²⁴²Pu 94 242,058 725

Rysunek 30.3 przedstawia energię wiązania przypadającą na jeden nukleon Ew/A w funkcji A.

Średnia wartość wynosi około 8,3MeV. Płaska część krzywej dla A > 50 pokazuje, że Ew jest proporcjonalna z grubsza do A. To wskazuje, że istnieje stan nasycenia sił jądrowych w jądrze, tzn. każdy nukleon jest przyciągany tylko przez najbliższych sąsiadów. Taka sytuacja prowadzi również do tego, że gęstość jądra jest stała co zgadza się z pomiarami promienia jąder.

Jeżeli, na przykład nie byłoby nasycenia i każdy nukleon

związany byłby z pozostałymi, to każdy nukleon przyciągałby A – 1 sąsiadów i byłoby A(A - 1) wiązań. Całkowita energia wiązania, która jest miarą energii potrzebnej do rozerwania wszystkich tych wiązań byłaby proporcjonalna do A(A - 1) i Ew/A nie byłoby w przybliżeniu stałe. Ostry wzrost krzywej dla małych A jest spowodowany zwiększającą się ilością najbliższych sąsiadów i tym samym większą ilością wiązań. Stopniowe opadanie krzywej dla dużych wartości A powstaje w wyniku kulombowskiego odpychania protonów, które zwiększa się jak Z² i zmniejsza tym samym energię wiązania na jeden nukleon. W rezultacie dla bardzo dużych A odpychanie Kulombowskie staje się tak duże, że jądra posiadające A większe niż 300 stają się niestabilne i ulegają spontanicznemu rozszczepieniu.

30.2 Promieniotwórczość naturalna.

Wiele jąder jest promieniotwórczych, co oznacza, że rozpadają się one na inne jądra i emitują cząstki takie jak fotony, elektrony, neutrony, lub cząstki α. Określenia rozpad α, rozpad β, rozpad γ pojawiły się zanim było wiadomo, że cząstkami α są jądra ⁴He, cząstkami β albo elektrony (β^-), lub pozytony (β⁺) (cząstka identyczna jak z elektronem, posiadająca ładunek +e) i promieniowanie γ to promieniowanie elektromagnetyczne (fotony). Szybkość rozpadu nie jest stała w czasie, a zmienia się ekspotencjalnie. Ta ekspotencjalna zależność od czasu jest charakterystyczna dla wszystkich rodzajów promieniotwórczości naturalnej i odzwierciedla fakt, że pojedynczy akt rozpadu jest procesem statystycznym.

Niech N jest ilością jąder promieniotwórczych po pewnym czasie t. Jeżeli rozpad pojedynczego jądra jest procesem przypadkowym, to możemy oczekiwać, że ilość jąder rozpadająca się w czasie dt

E_w/A

Rysunek 30.3

będzie proporcjonalna do dt i do N. Z powodu tych rozpadów ilość jąder radioaktywnych będzie maleć. Zmiana N może być w związku z tym zapisana jako

𝑑𝑁 = −𝜆𝑁𝑑𝑡 30.4

gdzie λ jest stała proporcjonalności zwaną stałą rozpadu. Aby rozwiązać równanie 30.4 rozdzielmy najpierw zmienne:

𝑑𝑁

𝑁 = −𝜆𝑑𝑡 Po scałkowaniu otrzymamy:

𝑙𝑛𝑁 = −𝜆𝑡 + 𝐶 30.5

gdzie C jest stałą całkowania. Przekształcając dalej mamy:

𝑁 = 𝑒^{−𝜆𝑡 +𝐶} = 𝑒^𝐶𝑒^−𝜆𝑡 lub

𝐍 = 𝐍_𝟎𝐞^−𝛌𝐭 30.6

Prawo rozpadu promieniotwórczego.

gdzie 𝑁₀ = 𝑒^𝐶 jest ilością jąder w chwili t = 0. Ilość rozpadów na sekundę nazywa się szybkością rozpadu promieniotwórczego R:

𝐑 = −^𝐝𝐍_𝐝𝐭 = 𝛌𝐍 = 𝛌𝐍_𝟎𝐞^−𝛌𝐭 = 𝐑_𝟎𝐞^−𝛌𝐭 30.7 Szybkość rozpadu.

gdzie

𝐑_𝟎= 𝛌𝐍_𝟎 30.8

jest szybkością rozpadu w chwili t = 0. Szybkość rozpadu jest ilością mierzoną doświadczalnie.

Średni czas życia τ jest odwrotnością stałej rozpadu:

𝛕 =^𝟏_𝛌 30.9

Średni czas życia τ.

Po czasie równym średniemu czasowi życia ilość jąder promieniotwórczych i szybkość rozpadu zmaleją e razy (dlaczego?), czyli do około 37% swojej początkowej wartości. Czas połowicznego zaniku t1/2 jest zdefiniowany jako czas potrzebny do tego aby ilość jąder promieniotwórczych zmalała do połowy swojego stanu początkowego. Podstawiając t = t1/2 i N = N0/2 z równania 30.6 otrzymamy:

𝑁₀

2 = N₀e^−λt1/2 30.10 i po przekształceniach

t_1/2 =^{ln 2}_λ =^0,693_λ = 0,693τ 30.11 Czas połowicznego zaniku t1/2.

Rysunek 30.4 przedstawia wykres N od t. Jeżeli pomnożymy liczby na osi N prze λ wykres będzie przedstawiał R od t. Po każdym czasie równym czasowi połowicznego zaniku ilość jąder, które się nie rozpadły, zmniejszy się o połowę swojej poprzedniej wartości Na przykład jeżeli początkowo szybkość zaniku wynosi R₀, to po czasie t_1/2 wyniesie ¹

2𝑅₀, po 2 t_1/2 ¹

2∙¹₂𝑅₀ itd. Po n czasach połowicznego zaniku:

𝑅 = ¹₂ ^𝑛𝑅₀ 30.12

Czas połowicznego dla różnych jąder zmienia się od bardzo małych (mniejszych niż 1μs) do bardzo dużych (rzędu 10¹⁶ lat).

Przykład 2.

Źródło promieniotwórcze posiada czas połowicznego rozpadu 1min. W chwili t = 0 zostało umieszczone w pobliżu detektora i stwierdzono, że szybkość zliczeń (ilość rozpadów na jednostkę czasu) wynosi 2000zliczeń/s. Znajdź szybkość zliczeń po 1min, 2min, 3min i 10min.

Analiza zadania. Szybkość zliczeń maleje o połowę po każdej minucie.

Rozwiązanie.

1. Po jednej minucie oczywiście: 𝑅₁ = ¹₂𝑅₀ = ¹₂ ^{2000𝑧𝑙𝑖𝑐𝑧}_𝑠 = 1000𝑧𝑙𝑖𝑐𝑧/𝑠 2. Po t = 2min połowa po 1min.: 𝑅₂ =¹₂𝑅₁ = ¹₂ ^{1000𝑧𝑙𝑖𝑐𝑧}_𝑠 = 500𝑧𝑙𝑖𝑐𝑧/𝑠 3. Po t = 3min połowa po 2min.: 𝑅₂ =¹₂𝑅₂ =¹₂ ^{500𝑧𝑙𝑖𝑐𝑧}_𝑠 = 250𝑧𝑙𝑖𝑐𝑧/𝑠 4. Po t = 10min szybkość zliczeń będzie

(1/2)¹⁰ razy mniejsza: 𝑅₂ = ¹₂ ¹⁰𝑅₀₂ = ¹₂ ^{2 2000𝑧𝑙𝑖𝑐𝑧}_𝑠 ≈ 2𝑧𝑙𝑖𝑐𝑧/𝑠

Przykład 3.

Jeżeli wydajność rejestracji w przykładzie 2 wynosi 20% to, (a) ile jest jąder promieniotwórczych w chwili t = 0, (b) po czasie t = 1min, (c) ile jąder rozpadnie się w ciągu pierwszej minuty?

Analiza zadania. Wydajność zależy od prawdopodobieństwa, że cząstka powstająca w rozpadzie dotrze do detektora i detektor dokona zliczenia. Jeżeli wydajność detektora wynosi 20%, to szybkość rozpadu musi być 5 razy większa od szybkości zliczania.

Rysunek 30.4

(a) 1. Związek między ilością jąder promieniotwórczych, 𝑅 = 𝜆𝑁 a szybkością rozpadu:

2. Stała rozpadu: 𝜆 = ^0,693_𝑡

1/2 = ^0,693_{1𝑚𝑖𝑛}

3. Szybkość rozpadu: 𝑅₀ = 5 ∙^{2000𝑧𝑙𝑖𝑐𝑧}_𝑠 = 10⁴𝑠⁻¹

4. Liczba początkowa jąder: 𝑁₀ =^𝑅_𝜆⁰= _0,693¹⁰⁻⁴_𝑚𝑖𝑛^𝑠−1₋₁= 8,66 ∙ 10⁵ (b) Po czasie t = 1min = t1/2 : 𝑁₁ =¹₂ 8,66 ∙ 10⁵ = 4,33 ∙ 10⁵ (c) Ilość jąder, które się rozpadły ∆𝑁 = 𝑁₀− 𝑁₁ = 4,33 ∙ 10⁵

w pierwszej minucie:

W układzie SI jednostką szybkości rozpadu promieniotwórczego jest Becqerel (Bq), który zdefiniowany jest jako ilość rozpadów na sekundę:

1Bq = 1rozpad/s 30.13

Historyczną jednostką jest kiur (Ci), która zdefiniowana jest jako:

𝟏𝐂𝐢= 𝟑, 𝟕 ∙ 𝟏𝟎^𝟏𝟎𝐫𝐨𝐳𝐩 𝐬 = 𝟑, 𝟕 ∙ 𝟏𝟎^𝟏𝟎𝐁𝐪 30.14

Jeden curie jest szybkością promieniowania jaka jest emitowana z 1g radu. Ponieważ jest to duża jednostka często stosuje się podjednostki milicurie (mCi) i mikrocurie (μCi).

Rozpad beta.

Rozpad beta występuje w jądrach, które mają zbyt dużo, albo zbyt mało neutronów w celu zapewnienia stabilności. W rozpadzie β, A pozostaje stałe podczas gdy Z zwiększa się o 1 (rozpad β^-1), lub zmniejsza się o 1 (rozpad β⁺¹).

Najprostszym przykładem rozpadu β jest rozpad swobodnego neutronu na proton plus elektron (Okres połowicznego rozpadu neutronu wynosi 10.8min). Energia

rozpadu wynosi 0,782MeV i jest to różnica między energią spoczynkową neutronu, a energią spoczynkową protonu i elektronu.

Bardziej ogólnie w rozpadzie β^-1 jądro o liczbie masowej A i liczbie porządkowej Z rozpada się na jądro, w porównaniu do jądra macierzystego, o liczbie masowej A i liczbie atomowej Z’ = Z + 1 z jednoczesną emisją elektronu. Jeżeli energia rozpadu byłaby dzielona

tylko między jądro i elektron i elektron, to energia elektronu byłaby całkowicie określona przez zasadę zachowania energii i pędu. Jednak doświadczalnie obserwuje się w rozpadzie β^-1 elektrony emitowane w przedziale energii, które zmieniają się od zera do pewnej maksymalnej wartości.

Typowe widmo energetyczne elektronów ilustruje rysunek 30.5.

Rysunek 30.5

Aby wyjaśnić brak zachowania energii w rozpadzie β W. Pauli 1930 roku zasugerował emisję trzeciej cząstki, którą nazwał neutrino. Ponieważ zmierzone maksimum energii emitowanych elektronów jest równe całkowitej dostępnej energii w rozpadzie, to energia spoczynkowa i masa spoczynkowa muszą być równe zeru (Obecnie przyjmuje się, że masa neutrina jest bardzo mała, ale różna od zera). W 1948 pomiar pędów emitowanych elektronów i odrzucanych jąder pokazał, że neutrino jest potrzebne jest do zachowania pędu w rozpadzie β. Po raz pierwszy neutrino zostało zaobserwowane doświadczalnie w 1957 roku. Obecnie wiadomo, że istnieją co najmniej trzy neutrina, jedno związane z elektronami (νe), jedno (νμ) związane z mionami i jedno, (ντ) nie zarejestrowane jeszcze doświadczalnie, związane nowo odkrytą cząstką elementarną tau τ. Co więcej, każde neutrino ma swoją antycząstkę, zapisywane jako 𝜈_𝑒, 𝜈_𝜇, 𝜈_𝜏. To właśnie antyneutrino jest emitowane w rozpadzie neutronu:

𝑛 → 𝑝 + 𝛽⁻+ 𝜈_𝑒 30.15

W rozpadzie β⁺ proton ulega zamianie na neutron czemu towarzyszy emisja pozytonu (i neutrina).

Swobodny proton nie może ulec rozpadowi na neutron z powodu zasady zachowania energii (masa spoczynkowa neutronu plus pozytonu jest większa niż masa protonu ), jednak ponieważ energia wiązania ma wpływ, to taki rozpad możliwy jest wewnątrz jądra. Typowy rozpad β⁺ można zapisać np.:

7𝑁

13 → 𝐶¹³₆ + 𝛽⁺+ 𝜈_𝑒 30.16

Elektrony i pozytony emitowane w rozpadach β nie istnieją wewnątrz jądra atomowego. Tworzą się one w procesie rozpadu, tak samo jak powstają fotony w trakcie przejścia atomu z wyższego na niższy stan energetyczny.

Ważnym przykładem rozpadu β jest rozpad ¹⁴C, który jest używany do datowania węglem radioaktywnym:

14𝐶→ + 𝑁 +¹⁴ 𝛽⁻+ 𝜈_𝑒 30.17

Okres połowicznego okresu dla ¹⁴C wynosi 5730 lat. Promieniotwórczy węgiel ¹⁴C powstaje w górnych warstwach atmosfery i wywoływany jest promieniowanie kosmiczne. Chemiczne zachowanie węgla ¹⁴C jest takie samo jak zwykłego węgla ¹²C. Na przykład, atomy z tymi jądrami tworzą z tlenem cząsteczki CO₂. Ponieważ żywe organizmy cały czas wymieniają CO₂ z atmosferą, to stosunek ¹⁴C do

12C w żywych organizmach pozostaje stały i wynosi on około 1,3 ∙ 10⁻¹². Po śmierci organizmu ¹⁴C przestaje być absorbowany z atmosfery i stosunek ¹⁴C do ¹²C cały czas maleje z powodu rozpadu ¹⁴C.

Ilość rozpadów ¹⁴C na minutę i na jeden gram węgla w żywym organizmie można łatwo policzyć znając okres połowicznego rozpadu i ilość ¹⁴C w jednym gramie węgla. Otrzymujemy, że w żywym organizmie zachodzi około 15,0 rozpadów na minutę, na gram. Korzystając z tego wyniku i mierząc ilość rozpadów na minutę, na gram w martwej próbce kości, drzewa, czy innego przedmiotu zawierającego węgiel,

możemy określić wiek próbki. Na przykład, jeżeli zmierzymy szybkość rozpadów 7,5 na minutę, na gram, to stwierdzimy, że próbka ma 5730lat.

Przykład 4.

Kość zawierająca 200g węgla wykazuje szybkość rozpadu β równą 400rozp./min. Ile lat liczy kość?

Analiza zadania. Najpierw z grubsza oceńmy wiek kości. Jeżeli kość pochodziła by z żywego organizmu, to oczekiwalibyśmy, że szybkość rozpadu wynosi (15rozp./min∙g)(200g) = 3000rozp./min. Ponieważ 400/3000 jest z grubsza równe 1/8, to znaczy, że próbka musi mieć około trzech okresów połowicznego rozpadu, czyli 3(5730)lat = 17190lat. Znajdźmy jednak dokładniejszy wiek kości.

1. Zapisz szybkość rozpadu R_n po n 𝑅_𝑛 = ¹₂ ^𝑛𝑅₀ okresach t1/2 od początkowej

szybkości R0:

2. Oblicz R₀ dla 200g: 𝑅₀ = 15𝑟𝑜𝑧𝑝/𝑚𝑖𝑛 ∙ 𝑔 200𝑔 = 3000𝑟𝑜𝑧𝑝/𝑚𝑖𝑛 3. Podstawmy R_n do wzory z 1.: 𝑅_𝑛 = ¹₂ ^𝑛3000𝑟𝑜𝑧𝑝/𝑚𝑖𝑛 = 400𝑟𝑜𝑧𝑝/𝑚𝑖𝑛

4. Obliczmy n: ¹₂

𝑛 = ₃₀₀₀⁴⁰⁰ 2^𝑛 = ³⁰⁰⁰₄₀₀ = 7,5 𝑛𝑙𝑛2 = 𝑙𝑛7,5, 𝑛 =^{𝑙𝑛 7,5}_{𝑙𝑛 2} = 2,91

5. Wiek kości wynosi nt_1/2: 𝑡 = 𝑛𝑡_1/2 = 2,91 5730𝑙𝑎𝑡 = 16700𝑙𝑎𝑡.

Rozpad gamma.

W rozpadzie γ jądro będące w stanie wzbudzonym przechodzi do niższego stanu poprzez emisję fotonu (kwantu γ). Jest to jądrowy odpowiednik spontanicznej emisji fotonu przez atom czy cząsteczkę chemiczną. W przeciwieństwie do rozpadów α czy β jądro po rozpadzie pozostaje tym samym jądrem. Ponieważ odległości między poziomami energetycznymi w jądrze są rzędu 1MeV (dla porównania odległości te są rzędu 1eV), to długości fal emitowanych fotonów są rzędu 1pm (1pm = 10^-12m):

𝜆 =^ℎ𝑐_𝐸 =^{1240𝑒𝑉∙𝑛𝑚}_{1𝑀𝑒𝑉} = 1,24𝑝𝑚

Średnie czasy życia dla rozpadów γ są często bardzo krótkie (rzędu 10^-11s i mniejsze). Zwykle obserwuje się je tylko dlatego, że towarzyszą im również rozpady α lub β. Na przykład, jeżeli jądro macierzyste rozpada się poprzez rozpad β na jądro w stanie wzbudzonym, to jądro to przechodzi do stanu podstawowego poprzez emisję kwantu γ. Stosunkowo mało źródeł promieniowania gamma

posiada czasy rozpadu rzędu godzin. Stany, w których jądro przebywa przez długi czas nazywają się stanami metastabilnymi.

Rozpad alfa.

Wszystkie bardzo ciężkie jądra (Z > 83) są niestabilne pod względem rozpadu α, ponieważ masa pierwotna radioaktywnego jądra jest większa od sumy mas produktów rozpadu – cząstki α i jądra po rozpadzie.

Rozważmy rozpad ²³²Th (Z = 90) na ²²⁸Ra (Z = 88) i cząstkę α. Możemy to zapisać:

90𝑇ℎ →

232 ²²⁸₈₈𝑅𝑎+ 𝛼 → ²²⁸₈₈𝑅𝑎+ 𝐻𝑒₂⁴ 30.18

Masa atomu ²³²Th wynosi 232,038124u. Masa atomu po rozpadzie ²²⁸Ra wynosi 228,031139u.

Dodając do ostatniej masę ⁴He – 4,002603, otrzymujemy masę produktów rozpadu równą 232,033742u. Jest to mniej niż masa ²³²Th o 0,004382u, co po pomnożeniu przez 631,5MeV/c², daje 4,08MeV/c² nadwyżki masy spoczynkowej ²³²Th nad masą spoczynkową produktów rozpadu.

Dlatego też, teoretycznie izotop ²³²Th jest niestabilny na rozpad α. Taki rozpad, rzeczywiście ma miejsce w przyrodzie i towarzyszy mu emisja cząstek α o energiach kinetycznych równych 4,08MeV.

Ogólnie, jeżeli jądro emituje cząstkę α, to zarówno N jak i Z zmniejszają się o 2, a liczba A zmniejsza się o 4. Jądro po rozpadzie jest często nadal promieniotwórcze i dalej rozpada się poprzez emisję β, lub α lub obu cząstek. Jeżeli jądro macierzyste ma liczbę masową A, która jest równa 4 razy liczba całkowita, to jądro po rozpadzie i wszystkie dalsze w łańcuchu będą miały liczby masowe równe 4 razy liczba całkowita. Podobnie, jeżeli liczby masowe jąder pierwotnych są 4n + 1, gdzie n jest liczbą całkowitą, to wszystkie jądra w łańcuchu promieniotwórczym będą miały liczby masowe 4n + 1, z n zmniejszającym się o jeden w każdym rozpadzie. Widzimy zatem, że istnieją cztery możliwe łańcuchy promieniotwórcze w rozpadach α, zależnie od tego czy A jest równe 4n, 4n + 1, 4n + 2, 4n + 3, gdzie n jest liczbą całkowitą. Wszystkie te

łańcuchy oprócz jednego obserwuje się na Ziemi. Ciąg 4n + 1 nie jest obserwowany, ponieważ jego najdłużej żyjącym składnikiem jest ²³⁷Np, który ma okres połowicznego zaniku równy 2 X 10⁶ lat. Ponieważ jest znacznie mniej niż wiek Ziemi, to seria ta zanikła.

Rysunek 30.6 pokazuje rodzinę toru, dla której A = 4n. Rozpoczyna się ona rozpadem ²³²Th na ²²⁸Ra. To ostatnie jądro jest w części bogatszej w neutrony czyli na lewo od krzywej stabilności (linia przerywana), w związku z czym często rozpada się poprzez rozpad β^- na

228Ac i dalej na ²²⁸Th. Następnie mamy cztery rozpady α

Rysunek 30.6

do ołowiu i znów z części bogatszej w neutrony poprzez dwa rozpady β i jeden α lub jeden β i jeden α do stabilnego izotopu ²⁰⁸Pb.

Energie cząstek α z rozpadów spontanicznych zawierają się w przedziale od 4 do 7 MeV, a czas połowicznego rozpadu ich źródeł wynosi od 10^-5s do 10¹⁰lat. Ogólnie, im mniejsza energia cząstki tym dłuższy czas życia. Występowanie bardzo dużego przedziału czasów połowicznego rozpadu zostało wytłumaczone przez Gamowa w 1928 roku. Przyjął on, że cząsteczka α najpierw powstaje wewnątrz jądra, a następnie przechodzi przez kulombowską barierę

potencjału dzięki efektowi potencjału (Rysunek 30.7). Niewielki wzrost energii cząstki α zmniejsza względną wysokość bariery U – E, jak również jej szerokość. Ponieważ prawdopodobieństwo głębokości wniknięcia w barierę jest czułe na wysokość i grubość bariery, to małe zwiększenie energii cząstki prowadzi do dużego wzrostu prawdopodobieństwa przeniknięcia przez barierę, i tym samym zmniejszenia średniego czasu życia jądra.

30.3 Reakcje jądrowe.

Informacje o jądrze zwykle otrzymuje się poprzez bombardowanie ich różnymi cząstkami i obserwowanie rezultatów. Chociaż pierwsze eksperymenty tego typu posiadały ograniczenia z powodu użycia tylko naturalnych źródeł promieniowania, to jednak dostarczyły wiele ważnych odkryć. W 1932 roku J.D.Cockford i E.T.S.Walton przeprowadzili reakcję:

𝑝 + 𝐿𝑖 →₃⁷ ₂⁴𝐻𝑒 +₂⁴𝐻𝑒

stosując sztucznie przyspieszane protony. Mniej więcej w tym samym czasie został skonstruowany generator Van de Graaffa, jak również powstał pierwszy cyklotron. Od tego czasu został dokonany niebywały postęp w technologii przyspieszania i rejestracji cząstek i przebadano cały szereg różnych reakcji jądrowych.

Kiedy cząstka uderza w jądro, to może zdarzyć się szereg różnych rzeczy. Uderzająca cząstka może się zderzyć sprężyście lub niesprężyście, lub może być zaabsorbowana przez jądro i może być wysłana inna cząstka lub cząstki. W zderzeniu niesprężystym jądro przechodzi w stan wzbudzony i wysyła następnie kwant γ lub inną cząstkę.

Ilość energii wydzielona, lub zaabsorbowana w reakcji (w układzie odniesienia środka masy) nazywa się energią reakcji Q. Wartość Q jest równa c² razy różnica mas Kidy energia jest uwalniana podczas reakcji, wtedy reakcja jest egzotermiczna. W reakcjach egzotermicznych całkowita masa cząstek wchodzących w reakcję jest większa niż całkowita masa cząstek wyjściowych reakcji i Q jest

Kulombowska energia potencjalna

potencjalna

Rysunek 30.7

=𝒌𝟐𝒆𝒁𝒆 𝒓

potencjalna

potencjalna

dodatnie. Jeżeli całkowita masa cząstek wejściowych jest mniejsza niż cząstek wychodzących, wtedy potrzebna jest dodatkowa energia aby reakcja mogła zajść i taką reakcję nazywamy reakcją endotermiczną. Wartość Q dla reakcji endotermicznej jest ujemna. Ogólnie, jeżeli Δm jest przyrostem masy, to energia reakcji wynosi:

Q = − ∆m c² 30.19

Energia reakcji.

Endotermiczna reakcja nie może zajść poniżej pewnej progowej reakcji. W laboratoryjnym układzie odniesienia, w którym spoczywające cząstki są bombardowane przez nadlatujące cząstki, energia progowa jest trochę większa niż 𝑄 , ponieważ produkty rozpadu muszą posiadać pewną energię kinetyczną, aby była być spełniona zasada zachowania pędu.

Miarą efektywnych rozmiarów jądra dla konkretnej reakcji jądrowej jest przekrój poprzeczny σ.

Jeżeli I jest ilością zderzających się cząstek jednostce czasu (natężenie zderzeń), a R jest ilością reakcji na jednostkę czasu, na jeden nukleon, to przekrój poprzeczny dany jest wzorem:

𝜎 = ^𝑅_𝐼 30.20

Przekrój poprzeczny ma wymiar powierzchni. Ponieważ przekroje poprzeczne są rzędu kwadratu promieni jąder, to wygodną jednostką dla nich jest barn, który zdefiniowany jest jako:

1barn = 10^-28m². 30.21

Przekrój poprzeczny dla danej reakcji jądrowej jest funkcją energii. Dla reakcji endotermicznych jest on równy zero poniżej pewnej energii progowej.

Przykład 5.

Znajdź energię reakcji dla 𝑝 + 𝐿𝑖 →₃⁷ ₂⁴𝐻𝑒 +₂⁴𝐻𝑒 i określ rodzaj reakcji.

Analiza zadania. Z tabeli 1. znajdziemy masy atomów i obliczymy różnicę mas cząstek wychodzących i w chodzących do reakcji. Q jest dane wzorem 30.19.

1. Masy z tabeli 1.: ¹H = 1,007825u, ⁷Li = 7,016004u, ⁴He = 4,002603u 2. Suma mas początkowa: mi = 1,007825u + 7,016004u = 8,0023829u 3. Suma mas końcowa: mf = 2(4,002603u) = 8,005206u

4. Przyrost masy: Δm = mf – mi = -0,018623u

5. Wartość energii reakcji: Q = -(Δm)c² = (+0,0018623u)c² (931,5MeV/uc²)=

=17,35MeV.

Q jest dodatnie, czyli reakcja jest egzotermiczna.

Reakcje z udziałem neutronów.

Reakcje z udziałem neutronów są ważne dla zrozumienia działania reaktorów jądrowych.

Najbardziej prawdopodobną reakcją zderzenia neutronu posiadającego energię większą niż 1MeV z jądrem jest jego rozproszenie. Jednak nawet jeżeli zderzenie jest sprężyste, to neutron traci część energii ponieważ jądro uzyskuje energię odrzutu. Jeżeli neutron ulega szeregu zderzeń, to jego energia maleje, aż do momentu kiedy stanie się rzędu energii ruchu termicznego kT, gdzie k jest stałą Boltzmanna, a T jest temperaturą bezwzględną. (W temperaturze pokojowej wynosi ona około 0,025eV.) Wtedy neutron równie łatwo traci energię w wyniku pochłonięcia go przez jądro, jak i sprężystego rozproszenia. Neutrony posiadające energię rzędu kT nazywają się neutronami termicznymi.

W niskich energiach istnieje duże prawdopodobieństwo, że neutron zostanie pochłonięty z jednoczesną emisją promieniowania γ ze wzbudzonego jądra. Rysunek 30.8 przedstawia przekrój poprzeczny dla neutronów w srebrze w funkcji energii neutronów. Ostry skok na krzywej nazywa się rezonansem. Poza rezonansem przekrój poprzeczny zmienia się łagodnie wraz z energią, malejąc wraz ze wzrostem energii grubsza jak 1/v, gdzie v jest prędkością neutronów. Można wytłumaczyć tę zależność w następujący sposób: Rozważmy

neutron poruszający się z prędkością v w pobliżu jądra o średnicy 2R. Czas potrzebny na przejście neutronu w okolicach jądra wynosi 2R/v. Tak więc przekrój poprzeczny na wychwyt neutronu jest proporcjonalny do czasu jaki neutron spędza w sąsiedztwie jądra. Przerywana linia na rysunku 30.8 odzwierciedla tę zależność. W maksimum rezonansu wartość przekroju poprzecznego jest bardzo duża (σ > 5000barn) w porównaniu z wartością tylko około 10barn zaraz za rezonansem. Wiele pierwiastków wykazuje podobne rezonanse dla przekroju poprzecznego wychwytu neutronu.

30.4 Rozszczepienie i synteza jądrowa.

Rysunek 30.9 przedstawia wykres różnicy mas przypadającej na jeden nukleon (M – Zmp – Nmn)/A w jednostkach MeV/c² w funkcji A.

(Wielkość

∆𝑚 = 𝑍𝑚_𝑝 + 𝑁𝑚_𝑛 − 𝑀 nazywamy defektem masy).

Wykres ten jest po prostu negatywem wykresu energii wiązania z rysunku 30.3. Z rysunku 30.9 widzimy, że ta różnica mas spoczynkowych przypadająca na jeden nukleon zarówno dla bardzo ciężkich jąder ( 𝐴 ≈ 200 ), jak i bardzo lekkich jąder ( 𝐴 ≤ 20) jest większa niż dla jąder średni ciężkich. W rezultacie, gdy bardzo ciężkie jądro takie jak ²³⁵U rozpada się na dwa lżejsze jądra

Rysunek 30.8

wtedy uwalnia się energia. Proces taki nazywamy rozszczepieniem jądra. Jeżeli dwa lekkie jądra, takie jak ²H i³H łączą się razem, tworząc jądro o większej masie również uwalnia się energia. Proces taki nazywamy syntezą jądrową, lub reakcją termojądrową.

Zastosowanie rozszczepienia jąder i reakcji termojądrowej w broni nuklearnej wywarło duży wpływ na nasze życie w ciągu ostatnich pięćdziesięciu lat. Pokojowe zastosowanie tych procesów w reaktorach jądrowych odgrywa znaczną rolę w rozwoju źródeł energii i stwarza nadzieje na dalszy ich rozwój w przyszłości.

Rozszczepienie.

Bardzo ciężkie jądra (Z > 92) mogą podlegać spontanicznemu rozszczepieniu. Rozpadają się one na dwa jądra nawet wtedy, jeżeli nie podlegają żadnemu zewnętrznemu zakłóceniu. Możemy to zrozumieć rozpatrując przez analogię naładowaną kroplę cieczy. Jeżeli kropla nie jest zbyt duża, napięcie powierzchniowe jest w stanie zdominować siły kulombowskiego odpychania i utrzymać krople w całości. Istnieje jednak pewien maksymalny rozmiar powyżej, którego kropla stanie się niestabilna i samoistnie rozpadnie się na części. Spontaniczne rozszczepienie nakłada górną granicę na rozmiary jąder i tym samym ogranicza ilość pierwiastków, które mogą istnieć stabilnie.

Niektóre ciężkie jądra, takie jak uran, pluton, mogą być sprowokowane do rozpadu poprzez wychwyt neutronu. W rozszczepieniu ²³⁵U, na przykład, jądro uranu ulega wzbudzeniu po dostaniu się do niego neutronu, a to powoduje jego rozszczepienie na dwa jądra i szereg neutronów. Siły kulombowskiego odpychania powodują, że fragmenty rozszczepienia uzyskują energię kinetyczną, co ostatecznie przejawia się jako energia cieplna. Rozważmy ,na przykład, rozszczepienie jądra o

Różnica mas na jeden nukleon, MeV/c²

Rysunek 30.9

liczbie masowej A = 200 na dwa jądra o liczbie masowej A = 100. Ponieważ masa spoczynkowa dla A = 200 jest około 1MeV na jeden nukleon większa od tej, która przypada dla A = 100, to nastąpi uwolnienie około 200MeV w przypadku rozpadu jednego jądra. Jest to duża wartość energii. Dla porównania, chemiczna reakcja spalania uwalnia tylko 4eV kiedy atom węgla łączy się z dwoma atomami tlenu.

Przykład 6.

Oblicz ile energii w kilowatogodzinach zostałoby uwolnione z 1g ²³⁵U, gdyby uległ rozszczepieniu. Załóż, że w jednym akcie rozszczepienia uwalnia się 200MeV.

Analiza zadania. Musimy znaleźć ilość jąder uranu w 1g ²³⁵U. Zrobimy to wiedząc, że liczba Avogadro (𝑁_𝐴 = 6,02 ∙ 10²³) jąder znajduje się w 235g ²³⁵U.

1. Całkowita energia: 𝐸 = 𝑁𝐸_{𝑗ą𝑑𝑟𝑜} = 𝑁(200𝑀𝑒𝑉/𝑗ą𝑑𝑟𝑜)

2. Obliczamy N: 𝑁 =^6,02∙10_{235𝑔/𝑚𝑜𝑙}^{23𝑗𝑎𝑑𝑒𝑟 /𝑚𝑜𝑙} ∙ 1𝑔 = 2,56 ∙ 10²¹𝑗ą𝑑𝑒𝑟

3. Obliczamy całą energię: 𝐸 = ^200∙10_{𝑗ą𝑑𝑟𝑜}^6𝑒𝑉 ∙ 2,56 ∙ 10²¹ =^1,6∙10_{𝑗ą𝑑𝑟𝑜}^−19𝐽∙_3600𝑠^1ℎ ∙_{1000𝐽 /𝑠}^1𝑘𝑊 =

= 2,28 ∙ 10⁴𝑘𝑊ℎ.

Rozszczepienie uranu zostało odkryte w 1939 roku przez Hahna i Strassmanna, którzy stwierdzili (wykonując bardzo dokładną analizę chemiczną), że jeżeli bombardować uran neutronami to powstają pierwiastki o pośrednich masach (takie jak bar i lantan). Odkrycie faktu, że w trakcie procesu rozszczepienia powstaje kilka neutronów doprowadziło do rozważań, czy nie można ich by użyć do dalszego procesu rozszczepienia, tzn. wywołania reakcji łańcuchowej. Uran

235U wychwytuje neuron przechodząc w wzbudzone jądro

236U i następnie w 15% przypadków emituje promieniowanie γ, w 85% przypadków ulega rozszczepieniu. Proces rozszczepienia może być porównany, w pewnym stopniu, do drgań kropli cieczy, jak jest pokazane na rysunku 30.10.

Jeżeli oscylacja są gwałtowne kropla rozszczepia się na dwie części. Stosując model kroplowy Bohr i Wheeler obliczyli energię krytyczną EC potrzebną aby ²³⁶U uległ rozpadowi.

Wynosi ona 5,3MeV co jest mniej niż energia wzbudzenia (6,4MeV) kiedy neutron zostaje pochłonięty przez jądro ²³⁵U.

Zatem powstałe jądro ²³⁶U ma dostatecznie dużo energii aby

Rozszczepione jądra

Rysunek 30.10

przejść proces rozszczepienia. Z drugiej strony energia krytyczna dla rozszczepienia ²³⁹U wynosi 5,9MeV.Wychwyt neutronu przez jądro ²³⁸U prowadzi do energii wzbudzenia tylko 5,2MeV. Dlatego też, jeżeli neutron zostaje pochłonięty przez ²³⁸U i tworzy się jądro

239U, to energia wzbudzenia nie jest na tyle duża aby mogło zajść rozszczepienie jądra. W tym przypadku wzbudzone jądro ²³⁹U przechodzi w jądro neptunu ²³⁹Np poprzez rozpad γ i β i następnie poprzez rozpad β ponownie staje się jądrem ²³⁹U.

Jądra, które ulegają rozszczepieniu mogą rozpadać się na dwa średniej masy jądra w różny sposób, jak to pokazano na rysunku 30.11. W zależności od rozszczepienia mogą powstawać przy tym 1, 2 lub 3

neutrony. Średnio powstaje ich około 2,5 w rozszczepieniu ²³⁵U. Typowa postać reakcji rozszczepienia wygląda następująco:

𝑛 +²³⁵₉₂𝑈 → ¹⁴¹₅₆𝐵𝑎 +₃₆⁹²𝐾𝑟 + 3𝑛

Reaktory jądrowe.

Aby utrzymać reakcję łańcuchową w reaktorze jądrowym co najmniej jeden z neuronów emitowany w wyniku rozszczepienia ²³⁵U musi być wychwyconym przez inne jądro ²³⁵U i spowodować jego rozszczepienie. Stała powielania k reaktora jest zdefiniowana jako średnia liczba neutronów z każdego rozszczepienia, która spowoduje kolejne rozszczepienia. Maksymalną wartością k jest 2,5, jednak w praktyce jest ona mniejsza z dwu przyczyn: (1) niektóre neutrony mogą wydostać się z obszaru zawierającego materiał rozszczepieni owy i (2) część neutronów może być wychwycona przez nierozszczepiające się jądra. Jeżeli k = 1, to reakcja rozszczepienia będzie ulegać tylko podtrzymaniu. Jeżeli k jest mniejsze od 1, to reakcja wygaśnie. Jeżeli jednak k jest znacząco większe od 1, to szybkość reakcji będzie wzrastać gwałtownie i reakcja rozprzestrzeni się szybko. Przy projektowaniu bomby atomowej takie rozprzestrzenianie się jest jak najbardziej pożądane. W reaktorach jądrowych wartość k musi być utrzymywana bardzo bliski wartości 1.

Ponieważ neutrony emitowane w reakcji rozszczepienia mają energie rzędu 1MeV, podczas gdy szansa na to, że jądro 235U rozpadnie się na dwie części jest większa dla mniejszych energii, to reakcja łańcuchowa będzie podtrzymywana tylko wtedy, gdy neutrony zostaną spowolnione zanim wydostaną się poza rejon reaktora. Neutrony posiadające wysokie energie (1 lub 2MeV) tracą gwałtownie swoją energię w wyniku zderzeń niesprężystych z ²³⁸U, który jest głównym składnikiem

Liczba masowa A

Rysunek 30.11

naturalnego uranu. (Naturalny uran składa się w 99,3% z ²³⁸U i tylko z 0,7% uranu ulegającemu rozszczepieniu - ²³⁵U.) Jeżeli tylko energia neutronów spada poniżej energii wzbudzenia jądra w reaktorze (1MeV), wtedy dominującym procesem utraty energii staje się rozproszenie sprężyste, w którym szybkie neurony zderzają się z cząstkami będącymi w spoczynku i przekazują im część swojej energii kinetycznej. Takiego rodzaju przekazywanie energii jest efektywne, jeżeli masy zderzających się cząstek są porównywalne. Neutron nie przekaże praktycznie żadnej energii jeżeli zderzy się sprężyście z jądrem uranu. Takie zderzenie jest jak zderzenie piłeczki pingpongowej z piłką do piłki nożnej. Piłeczka zostanie odbita od dużej piłki i tylko znikoma ilość energii zostanie przekazana piłce futbolowej. Dlatego też w charakterze spowalniacza (moderatora), który umieszczany jest rdzeniu reaktora używa się takich materiałów składających się z lekkich atomów jak woda czy węgiel. Neutrony są spowalniane poprzez zderzenia sprężyste z jądrami moderatora aż do momentu znalezienia się w równowadze termicznej z moderatorem. Z powodu stosunkowo dużego przekroju poprzecznego na wychwyt neutronów przez jądra wodoru w wodzie reaktory stosujące zwykłą wodę nie mogą łatwo osiągnąć 𝑘 ≈ 1, chyba że używają wzbogaconego uranu, w którym zawartość ²³⁵U wzrasta z 0,7% do 1 – 4%. Naturalny uran można użyć, jeżeli użyje się ciężkiej wody (D2O) zamiast lekkiej wody (H2O). Pomimo tego, iż ciężka woda jest droga, to część reaktorów stosuje ją jako moderator, aby uniknąć budowy drogich urządzeń do wzbogacania uranu.

Rysunek 30.12 przedstawia główne cechy reaktora używanego powszechnie w USA służącego do wytwarzania energii elektrycznej. Produkty rozszczepienia w rdzeniu ogrzewają wodę do wysokiej temperatury, która krąży w głównym obiegu zamkniętym. Woda ta, która służy również jako spowalniacz, znajduje się pod wysokim ciśnieniem, aby zapobiec wrzeniu. Gorąca woda jest wpompowywana jest do wymiennika cieplnego, gdzie ogrzewa wodę w drugim obiegu i zamienia ją w parę. Para ta służy do napędu turbin, które wytwarzają energię elektryczną.

Rysunek 30.12

Aby reaktor pracował bezpiecznie konieczne jest precyzyjne kontrolowanie stałej powielania k.

Używa się w tym celu zarówno naturalnych mechanizmów ujemnego sprzężenia zwrotnego, jak i mechanicznych metod kontroli. Jeżeli k jest większe od 1 i szybkość reakcji wzrasta, wtedy temperatura reaktora wzrasta. Jeżeli używa się wody jako moderatora, to jej gęstość maleje wraz ze wzrostem temperatury i staje się mniej efektywnym spowalniaczem. Drugą ważną metodą kontroli jest użycie kontrolnych prętów wykonanych na przykład z kadmu, który posiada bardzo duży przekrój poprzeczny na wychwyt neutronów. W momencie włączenia reaktora pręty kadmowe są tak głęboko wprowadzone do rdzenia, że k jest mniejsze od 1. Następnie pręty są powoli wyciągane, aż k wzrośnie do 1. Jeżeli k staje się większe od 1 pręty są wprowadzane ponownie.

Mechaniczna kontrola szybkości reakcji nuklearnej w reaktorze przy użyciu prętów kontrolnych jest możliwa tylko dlatego, iż część neutronów powstająca w wyniku rozszczepienia uranu jest neutronami spowolnionymi. Czas potrzebny na spowolnienie neutronów od energii 1 – 2MeV do poziomu energii termicznych a następnie pochłonięcie ich przez jądra uranu jest tylko rzędu milisekund. Jeżeli wszystkie neutrony powstające w wyniku rozszczepienia byłyby szybkimi neutronami, to znaczy, byłyby emitowane bezpośrednio w procesie rozszczepienia, wtedy żadna kontrola mechaniczna nie byłaby skuteczna; reaktor uległby rozerwaniu zanim pręty kadmowe zostałyby wprowadzone. Jednak około 0,65% wyemitowanych neutronów jest opóźniona w czasie o średnio 14s. Elektrony te nie powstają w procesie samego rozszczepienia, ale są produktem rozpadu lżejszych jąder po rozszczepieniu. Poniższy przykład demonstruje wpływ opóźnianych neutronów na reakcję rozszczepienia.

Przykład 7.

Jeżeli średni czas generacji rozszczepienia (czas, w którym neutron wyemitowany w jednym akcie rozszczepienia powoduje następne rozszczepienie) wynosi t1 = 1ms i stała powielania jest równa 1,001, to ile czasu potrzeba aby szybkość reakcji wzrosła dwukrotnie?.

Analiza zadania. Czas potrzebny na podwojenie szybkości reakcji jest to ilość rozpadów N potrzebna do podwojenia razy czas generacji. Jeżeli k = 1,001 to szybkość reakcji po N rozpadach wynosi 1,001^N. Znajdziemy ilość rozpadów poprzez przyrównanie 1,001^N do 2.

1. Obliczmy N: 1,001 ^𝑁 = 2

𝑁𝑙𝑛1,001 = 𝑙𝑛2 𝑁 =_{𝑙𝑛 1,001}^{𝑙𝑛 2} = 693

2. Mnożąc N przez czas generacji: 𝑡 = 𝑁𝑡₁ = 693 ∙ 0,001𝑠 = 0,693𝑠 Uwaga. Nie jest to czas wystarczający na wsunięcie prętów kontrolnych.

Przykład 8.

Zakładając, że 0,65% wyemitowanych neutronów jest opóźnionych o 14s znajdź średni czas generacji i czas podwojenia szybkości reakcji, jeżeli k = 1,001.

Analiza zadania. Czas podwojenia jest równy Ntśr, gdzie tśr jest średnim czasem między rozpadami. Ponieważ 99,35% czasów generacji wynosi 0,001s, a 0,65% wynosi 14s, to średni czas generacji jest równy:

1. Średni czas generacji: tśr = 0,9935(0,001s) + 0,0065(14s) = 0,092s 2. Podwojenie nastąpi po

69s aktach, ponieważ k = 1,001

patrz poprzedni przykład. t = Ntśr = 693(0,092s) = 63,8s.

Uwaga. Pomimo, iż liczba neutronów opóźnionych jest mniejsza niż 1%, to odgrywają one istotną rolę w prędkości podwajania szybkości reakcji. Czas podwojenia 64s jest to całkowicie dostateczna ilość czasu na mechaniczne wsunięcie prętów kontrolnych.

Synteza termojądrowa (Reakcja termojądrowa).

Podczas reakcji termojądrowej lekkie jądra takie jak deuteron (²H) lub tryton (³H) łączą się i tworzą cięższe jądro. Typowa reakcja termojądrowa wygląda następująco:

1𝐻

2 + 𝐻₁³ → 𝐻𝑒 + 𝑛 + 17,6𝑀𝑒𝑉₂⁴

Energia uwolniona w trakcie syntezy termojądrowej zależy od konkretnej reakcji. W przypadku reakcji ²H + ³H wynosi ona 17,6MeV.Mimo, iż jest to mniej niż podczas reakcji rozszczepienia, to jednak na jednostkę masy przypada większa energia: 17,6MeV/5nukleonów = 3,52MeV w porównaniu z około 1MeV podczas rozszczepienia.

Produkcja energii powstającej w wyniku syntezy lekkich jąder jest bardzo obiecująca z powodu względnej obfitości paliwa i warunków bezpieczeństwa. Niestety jak do tej pory nie opracowano w pełni technologii syntezy, która nadawała by się do praktycznego zastosowania na szeroką skalę.

Zajmiemy się reakcją ²H + ³H; inne reakcje nastręczają podobne problemy.

Z powodu kulombowskiego odpychania między jądrami ²H i ³H potrzebne są ogromne energie kinetyczne jąder, rzędu 1MeV, aby zbliżyć jądra na tyle do siebie, aby siły przyciągania jądrowego stały się efektywne i spowodowały ich połączenie. Takie energie są osiągane w akceleratorach, jednak ponieważ rozproszenie jąder podczas zderzenia jest znacznie bardziej prawdopodobne niż ich synteza, to zderzanie z sobą jąder wymaga użycia większej energii niż otrzymało by się z w wyniku syntezy. Aby uzyskać odpowiednio wysokie energie jąder musiały by być one nagrzewane do temperatury na tyle wysokiej, aby synteza zachodziła w wyniku przypadkowych zderzeń termicznych. Ponieważ dość znaczna ilość cząsteczek posiada energie większe niż średnia energia kinetyczna ruchu cieplnego ³₂𝑘𝑇, i ponieważ część jąder może przenikać przez barierę kulombowską dzięki efektowi tunelowemu, to temperatura T, która odpowiada 𝑘𝑇 ≈ 10𝑘𝑒𝑉 była by już

dostateczna, aby być pewnym, że dostateczna ilość jąder ulega syntezie, pod warunkiem, że gęstość jąder jest dostatecznie duża. Temperatura, która odpowiada kT = 10keV jest rzędu 10⁸K. Takie temperatury występują wewnątrz gwiazd i tam reakcje termojądrowe dominują. W takich temperaturach gaz składa się z dodatnich jonów i ujemnych elektronów i nazywa się plazmą.

Jednym z problemów powstającym podczas prób otrzymania kontrolowanej reakcji termojądrowej jest utrzymanie plazmy na tyle długo, aby zdążyła zajść reakcja syntezy. Wewnątrz słońca plazma jest utrzymywana przez ogromne pole grawitacyjne słońca. Na Ziemi, w laboratorium stworzenie takich warunków napotyka na ogromne problemy. W 1957 roku Lawson pokazał, że musi być spełnione następujące kryterium: nτ > 10²⁰s∙jony/m³, (n – gęstość jąder, τ – czas utrzymywania plazmy), aby efektywność reakcji termojądrowej była dostateczna. W celu otrzymania tak dużych gęstości stosuje się urządzenia zwane tokamakami. Obecnie realizowany jest międzynarodowy projekt badawczy ITER (International Thermonuclear Experimental Reactor) na wielką skalę, budowy ogromnego tokamaka w Marsylii, który ma kosztować 10 miliardów €. Pierwszy zapłon przewidywany jest na rok 2016. Według projektów ITER ma każdorazowo podtrzymywać reakcję syntezy przez około 500 sekund, osiągając wydajność 500 MW.

.