WYKŁAD 12

(1)

WYKŁAD 12 3.6. Całka oznaczona Riemanna i jej własności. Zastosowania geometryczne

całki oznaczonej.

3A+B135 (Definicja: całka oznaczona Riemanna). Rozważmy funkcję :[ , ]

f a b  . Punkty ax₀   x₁ ... x_n  tworzą podział odcinka [ , ]b a b na n części. Niech  x_k x_k x_k_₁ - długość k-tego odcinka,

max1

n k

k n x

     - średnica podziału, _k - punkt pośredni k-tego odcinka, _k[x_k_₁,x_k], gdzie 1 k  . n Utwórzmy n-tą sumę całkową dla funkcji :f

1

( )

n

n k k

k

f x

 





 (1) Jeżeli ciąg (_n) sum całkowych jest zbieżny, gdy średnica _n 0, do granicy właściwej niezależnej ani od sposobu podziału przedziału [ , ]a b ani od sposobów wyboru punktów pośrednich _k, gdzie 1 k  , to tę granicę nazywamy całką n oznaczoną funkcji f w przedziałe [ , ]a b i oznaczamy symbolem ( )

b

a

f x dx



^{. Mamy}

zatem

0 0

1

( ) lim lim ( )

n n

b n

n k k

a k

f x dx f x

   

  

 







. Wtedy funkcja f jest całkowalna w

przedziale [ , ]a b , a i b nazywamy dolną granicą i górną granicą całkowania.

3A+B136 (Twierdzenie). Funkcja ciągła w przedziale [ , ]a b jest całkowalna w tym przedziale.

Uwaga. Jeżeli funkcja f jest całkowalna na przedziale [ , ]a b , to

1

( ) lim

b n

n k

a

b a b a

f x dx f a k

n n

 

    

 



  



(obliczanie całek przy pomocy sumy całkowej podziału równomiernego).

Przyklad:

1

2

0 1 .

1 ( 1) 1

( ) , [0,1] lim lim .

2 2

n

n ciąg n

k aryt

k n n

f x x x xdx

n n n

  

  

       









3A+B137 (Własności całek). Jeżeli funkcje f i g są całkowalne na [ , ]a b , to 137.1) liniowość:

( ( ) ( )) , ( ) ( ) ;

b b b

a a a

f x g x d x f x d x g x d x

     

  

  

137.2) addytywność ze względu na przedział całkowania: dla c( , )a b mamy

(2)

( ) ( ) ( ) ;

b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx

  

137.3) monotoniczność (o zachowaniu nierówności przy całkowaniu):

jeżeli ( )f x  g x( ) dla x[ , ]a b to ( ) ( ) ,

b b

a a

f x dx g x dx

 

w szczególności ( ) ( ) ( )

b

a

m ba 



f x dxM ba ^{, gdzie}

inf sup

[ , ] [ , ]

min ( ), max ( );

x a b x a b

m f x M f x

 

 

137.4) twierdzenie całkowe o wartości średniej: jeżeli f jest ciągła na [ , ]a b , to

( ) ( )( )

b

a

f x dx f c ba



dla pewnego c( , )a b ; liczbę ¹ ( )

b

a

f x dx ba



nazywamy wartością średnią funkcji f na przedziale [ , ]a b ;

137.5) całka funkcji nieparzystej, parzystej: niech [ , ] [a b  c c c, ],  ; wtedy 0

a) ( ) 0

c

f x dx





 dla funkcji f nieparzystej na [c c, ], b)

0

( ) 2 ( )

c c

c

f x dx f x dx









dla funkcji f parzystej na [c c, ]; 137.6) definiujemy ( ) 0, ( ) ( )

a def a b

a b a

f x dx  f x dx  f x dx

  

^.

3A+B138 (Uwaga: warunki całkowalności funkcji).

138.1. Warunek konieczny: jeżeli funkcja f jest całkowalna na przedziale [ , ]a b , to jest ograniczona na tym przedziale. Ale nie każda funkcja ograniczona na [ , ]a b jest na [ , ]a b całkowalna.

Przykład: funkcja Dirichleta 1,

( ) , [ , ] [0,1]

0, x Q

D x x a b

x Q

 

    , gdzie Q jest

zbiorem liczb wymiernych, nie jest całkowalna na przedziale [0,1].

138.2. Warunek wystarczający: jeżeli funkcja f jest ograniczona na przedziale [ , ]a b i ma na tym przedziale skończoną liczbę punktów nieciągłości pierwszego rodzaju, to jest na nim całkowalna. Wtedy całkę definiujemy ze wzoru

addytywnosci z punktami pośrednimi c w punktach nieciągłości.

3A+B139 (Funkcja górnej granicy całkowania). Jeżeli funkcja f jest całkowalna w przedziale [ , ]a b oraz c[ , ]a b , to funkcja ( ) ( )

x def

c

f t dtF x



górnej granicy całkowania jest ciągła na przedziale [ , ]a b i ma pochodne właściwe w każdym

(3)

punkcie x , w którym funkcja f jest ciągła, przy czym ₀ F x'( )₀  f x( )₀ . Wtedy, jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale [ , ]a b , to funkcja F jest jej funkcją pierwotną, przy czym ( ) ( ), ( , )

x

c

d f t dt f x x a b

dx



  ^.

Przykład:

2 2 2

2 2 2 2 2

' '

x c x x x

t t t t t

x x c c c

d e dt e dt e dt e dt e dt

dx



    

 

     

    

     





 

 

 

 



4 2

2 2

( (F x )F(x)) 'F x'( )2xF'(  x)( 1) e^^x 2x e ^^x .

3A140 (Główne twierdzenie podstawowe rachunku całkowego: wzór Newtona- Leibniza). Jeżeli funkcja f jest ciągła na [ , ]a b , to

( ) ( ) ( ) ( )

b def

b a a

f x dxF b F a F x



^,

gdzie F jest dowolną funkcją pierwotną funkcji f w tym przedziale.

Uwaga. Twierdzenie 3A140 pozwala sprowadzić obliczenie całki oznaczonej funkcji ciągłej f do obliczenia całki nieoznaczonej czyli jakiejkolwiek funkcji pierwotnej funkcji f.

Przykład (korzystamy z algorytmu calkowania funkcji wymiernych, zobacz 3A+B131.1):

1 5 4 3 2 1

2

3 2

0 0

3 2 3 1 1 1

3 2 1

1 1 1

x x x x x x

dx x x dx

x x x x

               

 

1

3 2 2

0

1

1 3 2 2 2

ln 1 ln 1 arctg 3 ln 2 .

2 3 3 3

2 x

x x x x x x 

 

   

            

 

 

3A141 (Twierdzenie o całkowaniu przez części). Jeżeli funkcje u i v mają ciągłe pochodne na przedziale [ , ]a b , to

( ) '( ) [ ( ) ( )] ( ) '( ) .

b b

b a

a a

u x v x dx  u x v x  v x u x dx

 

Przykład:

1 1

2 1

0 2

0 0

1 1

2

2 0

0

arccos ,

arccos 1 [ arccos ]

, 1

1 ( 2 ) 1

2 1 1.

2 1 2

u x d u dx x d x

x d x x x x

d v d x v x x x d x

x x

    

 

       

      



 



(4)

3A142 (Twierdzenie o całkowaniu przez podstawienia). Jeżeli 1) funkcja f jest ciągła na przedziale [ , ]a b ,

2) funkcja :[ , ]t t₀ ₁ [ , ]a b ma ciągłą pochodną na przedziale [ , ]t t , ₀ ₁ 3) ( )t₀  oraz a ( )t₁  , to b

( )

b

a

f x dx 



¹

0

( ( )) '( ) .

t

f  t  t dt



Przykłady:

a)

1 0

2

0 1

1 0

0 1

cos , sin

1 cos 2 1 cos , 1 cos

1 sin ( sin )

2 2

0

x t dx tdt

t t t

x dx t t dt dt

t t





  

 

    

     

   

 

  

^;

b)

1 1 2

2 2 2

1 0 0

sin , cos

1 2 1 cos

2 0 sin 0, 1 sin

2

x t dx t dt

x dx x dx tdt

 





 

 

 

     

   

 

  

^.

3A143 (Interpretacja geometryczna całki oznaczonej). Niech T oznacza trapez krzywoliniowy, ograniczony wykresem nieujemnej funkcji f na [ , ]a b , osią Ox, prostymi x=a, x=b. Suma całkowa

1

( )

n

n k k

k

f x

 





 tej funkcji na [ , ]a b jest przybliżeniem pola trapezu T przez sumę pól prostokątów Pk o podstawach

1

k k k

x x x _

   i wysokościach f( ), 1_k   . Pole k n T trapezu krzywoliniowego T definiujemy wtedy jako granicę (o ile istnieje) sumy pól prostokątów Pk aproksymujących ten trapez, gdy średnica (podziału) _n  . 0 Mamy zatem,

0 0

1 1

lim lim ( ) ( ) .

n n

n n b

k k k

k k a

T P f x f x dx

  

   









 



3A+B144 (Zastosowania całek oznaczonych w geometrii).

144.1. Obliczanie pól: jeżeli funkcje f i g są ciągłe na [ , ]a b , to pole D obszaru D ograniczonego wykresami funkcji y f x( ) i yg x( ) oraz prostymi x=a, x=b wyraża się wzorem

( ) ( )

b

a

D 



f x g x dx^,

w szczególności, ( ( ) ( ))

b

a

D 



g x  f x dx^{dla ( )}^{f x} ^^{g x}^{( ),} ^x^^{[ , ]}^{a b} . Analogicznie ( ) ( )

d

c

D 



f y g y d y jeżeli obszar D jest ograniczony wykresami funkcji ( )

x f y i xg y( ) oraz prostymi yc y,  d.

Przykłady. Obliczyć pola figur geometrycznych ograniczonych podanymi krzywymi:

(5)

1) y  x 4 0,y² 4y  mamy: x 0;

1 3 2 1

2

4 4

3 5

( 4 4 ) 4 20 .

3 2 6

y y

D y y y dy y

 

 

        

 



2) ysin ,x ycos ,x x0,x mamy: ;

/ 4

0 0 / 4

sin cos (cos sin ) (sin cos ) 2 2.

D x x dx x x dx x x dx

  







 



 



 

3) ćwiczenie (B): D ab dla obszaru

2 2

( , ) : x y 1

D x y

a b

 

   

  ⁽^a^{ b}⁰^, ^⁰⁾ ograniczonego ellipsej.

144.2. Długość L krzywej L:

1) o równaniach parametrycznych: L{( ( ), ( )) :x t y t t[ , ],t t₀ ₁ t₀  , gdzie funkcje t₁} ( ), ( )

xx t y y t mają ciągłe pochodne na [ , ]t t , ₀ ₁ przy czym



x t'( )

 

²  y t'( )



² 0,t[ , ]t t0 1 ; wtedy

   

1

0

2 2

'( ) '( )

t

L 



x t  y t dt, w szczególności,

2) o równaniu (jawnym) y f x x( ), [ , ],a b a , gdzie 'b f jest ciągła na [ , ]a b ; mamy zatem ^b ¹



^{'( )}



²

a

L 



 f x dx^.

Przykłady. Obliczyć długość łuku krzywej:

a) cykloidy xr t( sin ),t yr(1 cos ),0 t  t 2,

2 2

2 2 2 2

0 0 0

(1 cos ) sin 2 sin 4 sin 8 ;

2

L r t r tdt r t dt r udu r

  





  









b) ^L^



^{( ,ln ) :}^x ^x ^x^^[1, ^e^]



^

2

2 2

1 1

1

e e

x t

L dx x dx

x x ^

  





   





1

1 1

2 ...

e t

t dt

 



144.3. Objętość bryły. Niech bryła V leży między płaszczyznami x=a, x=b, a pole S(x) przekroju bryły płaszczyzną prostopadła do osi Ox w punkcie x jest funkcją ciągłą na [ , ]a b . Wtedy objętość V bryły V wyraża się wzorem

( )

b

a

V 



S x dx^. Przykłady:

1) objętość V bryły i pole _ox S_ox powierzchni obrotowej powstałej z obrotu wykresu nieujemnej funkcji y f x x( ), [ , ]a b , wokół osi Ox:

 

²

2( ) , 2 ( ) 1 '( )

b b

ox ox

a a

V 



f x dx S  



f x  f x dx^;

(6)

podobnie wyraża się V_{o y} , S_{o y} :

 

²

2( ) , 2 ( ) 1 '( )

d b

oy oy

c a

V 



x y dy S  



x y  x y dy^; 2) (objętość obszaru ograniczonego ellipsoidej). Niech

2 2 2

( , , ) : x y z 1 , 0, 0, 0

V x y z a b c

a b c

 

        

 

3 . Wtedy na mocy

3A+B144.1(3) mamy:

2 2 2

0

1 1 2 2 1 4 .

3

a a

a

x x x

V b c dx bc dx abc

a a a

  



 

         

 

 

3B145 (Zastosowania w fizyce):

145.1) droga L przebyta w ruchu ze zmienną szybkością ( )V t  v t( ) na [ , ]a b wyraża się wzorem ( ) ;

b

a

L 



V t dt

145.2) praca A wykonana przez zmienną siłę ( )F x  F x( ) od x=a do x=b wyraża się wzorem ( )

b

a

A



F x dx itd.

3B146 (Uwaga). Aproksymacja całek sumami całkowymi daje metody przybliżone obliczania całek.

146.1. Metoda prostokątów:

0 1 1

( ) ( ... )

b

n a

b a

f x dx y y y

n ^

    



^,

gdzie _k b a

y f a k

n

  

    dla 0   ; k n 1

błąd _n przybliżenia określa się wzorem

2

[ , ]

( )

max '( )

n 2

x a b

b a n f x

 

  .

146.2. Metoda trapezów:

0

1 1

( ) ( ... )

2

b

n

n a

b a y y

f x dx y y

n ^

   

     



^;^ⁿ ^⁽^b₁₂^_n^a²⁾³ _x^max__{[ , ]}_{a b} ^f ^{''( )}^x ^;

146.3. Metoda parabol – wzór Simpsona:

0 2 2 2 ... 2 2 2( 1 3 ... 2 1)

( ) ,

6 3 3

b

n n n

a

b a y y y y y y y y

f x dx n

 

         

    



k 2

b a

y f a k

n

  

   , 0 k 2n;

5

(4) 4 [ , ]

( )

max ( )

n 2880

x a b

b a

f x

 n



  .

(7)

3.7. Całki niewłaściwe.

3A147 (Definicja: całki niewłaściwe pierwszego rodzaju). Niech funkcja f będzie określona na przedziale I (gdzie I [ ,a  , () , ]b lub (  ) i całkowalna ; ) na dowolnym przedziale [ , ]a b₁ ₁  . Wtedy całkę niewłaściwą (pierwszego I rodzaju) funkcji f na I definiujemy wzorem:

147.1) ( ) lim ( )

def B

a B a

f x dx f x dx



 

 

(całka niewłaściwa na półprostej);

147.2) ( ) lim ( )

b def b

A A

f x dx f x dx

  









(całka niewłaściwa na półprostej);

147.3) ( ) lim ( ) lim ( ) ( ) ( )

c B c

def

A B

A c c

f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx

 

   

   

   

    

(całka niewłaściwa na prostej, c oznacza dowolną liczbę rzeczywistą),

jeżeli granice po prawej stronie znaku równości istnieją i są właściwe, wtedy mówimy, że całka niewłaściwa jest zbieżna. W przeciwnym przypadku mówimy, że całka jest rozbieżna (do  , jeżeli granica istnieje i jest równa odpowiednio

 , ).

Uwaga. Jeżeli całka f x dx( )







w 3A147 jest zbieżna dla pewnego c  , to jest zbieżna dla dowolnego c i jej wartość nie zależy od c .

3B148 (Wartość główna całki niewłaściwej). Wartość główną definiujemy wzorem

. . ( ) lim ( )

def A

A A

V P f x dx f x dx



 







^.

3A+B149 (Uwaga). Korzystając z twierdzenia Newtona-Leibniza, mamy

1) ( ) lim ( ) ( ) ( )

def x a

a

f x dx F x F a F x

 

   



^{; 2)} ^b ^{f x dx}^{( )} ^{F x}^{( )}^b





 ^;

3) f x dx( ) F x( )

 

 



 ^{, gdzie}^F jest funkcją pierwotną funkcji f .

3A+B150 (Przykłady).

(8)

150.1) ₂

1 1

lim 1

2 4 4

1 ^x

dx arctg x arctg x arctg x

 



  

     



 ^;

pole obszaru

150.2) Całka

1

0

dla 1 lim lim 1

ln dla 1

B B

a B B a

a a B

a

x

dx dx

x x

x





    

  

 

   

  



 

1

, 1 1

, 1 a ^

  

 

  



dla

  jest zbieżna, dla 01    jest rozbieżna do  ; 1 150.3)

0

0 0

sin lim sin lim sin lim [ cos ]

B

A B A A

A

x dx x dx xdx x



  



   

  

lim [ cos ]0^B

A x

   (nie istnieje, jest rozbieżna);

150.4) . . sin lim [ cos ]^A_A lim [ cos ( cos( ))] 0

A A

V P xdx x A A



  



       



^.

3A151 (Definicja: całki niewłaściwe drugiego rodzaju). Niech funkcja f (może być nieograniczona) będzie określona na przedziale I

(gdzieI ( , ], [ , ) lub a b a b [ , )a c ( , ], c b c( , )a b ) i będzie całkowalna na dowolnym przedziale [ , ]a b₁ ₁  . Wtedy całkę niewłaściwą (drugiego I

rodzaju) funkcji f (nieograniczonej) na I definiujemy wzorem:

151.1)

0

( ) lim ( )

b def b

a a

f x dx _ f x dx

 







^dla^I ^^{( , ]}^{a b} ^;

151.2)

0

( ) lim ( )

b def b

a a

f x dx _ f x dx



 

 

^dla^I ^^{[ , )}^{a b} ^;

151.3)

1

1 2

2

0 0

( ) lim ( ) lim ( ) ( ) ( )

b def c b c b

a a c a c

f x dx _ f x dx _ f x dx f x dx f x dx



    

   

    

dla I [ , )a c ( , ]c b ; 151.4)

0

. . ( ) lim ( ) ( )

b def c b

a a c

V P f x dx _ f x dx f x dx



 

 

   

 

  

^dla^I ^^{[ , )}^{a c} ^^{( , ]}^{c b} ^.

3A152 (Przykład: zbieżność calek postaci

0 b dx

x^



^).

(9)

Całka

1

0 0 0

, 1

lim ... 1

, 1

b b

a

dx dx b

x ^ x



 

  

  

    

  



 

dla 0   jest zbieżna, dla 1   jest rozbieżna do  . 1

3A+B153 (Twierdzenia: kryteria zbieżności całek niewłaściwych).

153.1. Kryterium porównawcze zbieżności (rozbieżności) całek:

niech 0 f x( )g x( ) dla x , gdzie I I   , [ ;( , ]b a  , ()   , ( , ], ) a b , [ , )a b lub [ , )a c ( , ]c b . Wtedy

a) jeżeli całka niewłaściwa funkcji g na przedziale I jest zbieżna, to całka funkcji f na tym przedziale jest także zbieżna;

b) jeżeli całka funkcji f na I jest rozbieżna, to całka funkcji

g na I jest także rozbieżna.

153.2. Kryterium ilorazowe zbieżności całek: niech

funkcje f i g dodatnie (albo ujemne) określone na I i całkowalne na dowolnym przedziale [ , ]a b , ₁ ₁ [ , ]a b₁ ₁  , I spełniają warunek

lim ( ) ( )

x c

f x k

 g x  (gdzie

0   ; c   dla k I   , ( , ]b c   dla I [ ;a  , c   dla )

( , )

I    , ca^ dla I ( , ]a b , cb^ dla I [ , )a b , c dla c [ , ) ( , ]

I  a c  c b .

Wtedy całki niewłaściwe funkcji f i g na I są jednocześnie zbieżne albo rozbieżne.

Przykład. Zbadać zbieżność całki niewłaściwej

1000 2

1 1

dx

x x



 



. Mamy: ₁₀₀₀ 1 ₂

( ) 1

f x  x x

  , ₁₀₀₀1 ( )

g x  x , ( )

lim 1

( )

x

f x

 g x  ,

1000 1

dx x





jest zbieżna  ₁₀₀₀ ₂

1 1

dx

x x



 



jest także zbieżna.

3A154 (Definicja: zbieżność bezwzględna całek niewłaściwych). Całka niewłaściwa funkcji f na przedziale I jest zbieżna bezwzględnie, gdy całki niewłaściwe funkcji f oraz f są zbieżne.

(10)

3A+B155 (Twierdzenie). Jeżeli funkcja f jest całkowalna na dowolnym przedziale [ , ]a b₁ ₁ [ ,a ) i jeżeli całka ( )

a

f x dx





jest zbieżna bezwzględnie, to

jest zbieżna. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.

3A+C156 (Twierdzenie Dirichleta). Jeżeli funkcja f jest całkowalna na dowolnym przedziale [ , ]a B [ ,a  oraz ) ( )

B

a

f x dx K



^{( K} ^^const^dla

B, a  ) i funkcja g monotonicznie maleje do 0, gdy B x  , to całka niewłaściwa ( ) ( )

a

f x g x dx





jest zbieżna.

3A157 (Uwaga). Jeżeli funkcja f jest nieograniczona na sąsiedztwach punktów

1, 2,..., _n [ , ]

c c c  a b (gdzie c₁c₂   ), to całkę niewłaściwę funkcji f na [ , ]... c_n a b definiujemy wzorem:

1 2

1 1

( ) ( ) ( ) ... ( ) ... ( )

k

k n

c

c c

b b

a a c c c

f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx



     

    

^{, gdzie}

1 1

( ) ( ) ( )

k k

c c c

f x dx f x dx f x dx

 

 

  

⁽^c^k^¹^{  ).}^c ^c^k

3A+B158 (Przykłady). Zbadać zbiezność podanych całek niewłaściwych:

1)

0 x

dx

e x





 ^{, 2)}

32 2 0 1

x dx x





 ^{, 3)}

0 32 2 11

x dx





x ^{, 4)} 3 0 2

sin x dx x





^{, 5)}

0

sin x x dx





^,

6)

0 sin x x dx





^{, 7)} ⁰ _cos^dx_x





^{, 8)} 0



1



dx

x x





 ^.