Optymalizacja sprzęgła do układu napędowego lokomotywy

Andrzej G RZY B

OPTYMALIZACJA SPRZĘGŁA DO UKŁADU NAPĘDOWEGO LOKOMOTYWY

S treszczenie. W pracy przedstawiono optym alizację kinem atyczną wybranego sprzęgła cięglow ego przeznaczonego do układu napędowego lokomotywy z usprężynow anym i w zględem zestawów kołowych silnikam i trakcyjnym i. W ykorzy­

stano, w yznaczone w pracy [5] przez zastosow anie szeregów potęgow ych m ałego para­

m etru, przybliżone analityczne rozw iązania układu nieliniowych równań algebraicznych opisujących m echanizm sprzęgła. Optym alizację wykonano w ogólniejszym przypadku i częściow o inną m etodą (analityczno-num eryczną) niż w cytowanej pracy, otrzym ując potw ierdzenie w cześniejszych wyników.

OPTIMIZATION OF A COUPLING OF LOCOMOTIVE DRIVE SYSTEM

Sum m ary. This paper is devoted to the m athem atical determ ination o f the optimal param eters o f a chosen assigned for a locom otive drive system with m otors m ounted on springs. The analysis is perform ed done in a moving reference frame connected w ith the w heel o f the vehicle and then, in view o f the acceleration o f the centre o f yoke, in an ab­

solute system connected w ith the vehicle in motion, that is with a rotating m echanism.

M aking use o f the equations derived in this work and determ ining the kinem atic proper­

ties o f a pull rod coupling, kinem atics optim isation o f the m echanism is carried out. The optim al dim ensions and angles o f coupling are selected.

1. W STĘP

U kłady napędow e lokom otyw elektrycznych o dużych m ocach i prędkościach jazdy charak­

teryzuje osadzenie elektrycznych silników trakcyjnych oraz przekładni zębatych w ostoi nad­

w ozia lub częściej w ram ie wózka. Często w tych układach stosuje się wał drążony ułożysko- wany w kadłubie silnika, obejm ujący z odpow iednim luzem wał osiowy zestaw u kołowego.

P rzenoszenie m om entu napędow ego z silnika na zestawy kołowe przem ieszczające się pod­

czas jazd y w zględem nadw ozia lub ramy w ózka oraz skom pensow anie najogólniej pojętej

niew spółosiow ości łączonych w ałów zapew niają odpow iednie sprzęgła. Stanow ią one zwykle m echanizm y o złożonej strukturze z podatnym i więzami i członami. W ym agany je s t nie tylko w ybór odpow iedniego sprzęgła kom pensującego, ale rów nież optym alny dobór je g o param e­

trów.

Problem y w yboru sprzęgła kom pensującego szeroko rozpatrzono w pracach [od 5 do 9, 11 i 12]. Z agadnienia optym alnego doboru param etrów określonego typu sprzęgła rozw ażono w pracach [3, 5, 11 i 14]. A nalizę i dobór wzajem nego ustaw ienia sprzęgieł w układzie napędo­

w ym przedstaw iono w [1 i 10].

Rys. 1. Przykładow e schem aty kinem atyczne sprzęgieł Fig. 1. S am ples o f coupling kinem atic schem e

D o analizy przyjm ujem y sprzęgło o schem acie kinem atycznym przedstaw ionym na rys. Ib.

R ozw ażam y je ja k o m echanizm płaski bez elem entów podatnych, czyli przy uproszczeniu polegającym na przyjęciu tylko rów noległego przem ieszczania się osi łączonych w ałów. N a rys. 1 elem enty napędzające oznaczono cyframi 1, a cyframi 2 elem enty napędzane.

W sprzęgle tym m ożliw e je st uzyskanie stałego przełożenia pomiędzy łączonym i w ałam i, w w arunkach zm iennej w czasie odległości e = e(t) ich osi, m etodą w łaściw ego doboru w arto­

ści param etrów w ym iarow ych [2, 3 i 5], W arunkiem je st spełnienie zależności w ektorow ych:

Z pow yższej zależności w ynika, że czworokąty A \B \C \D \ oraz A jB iC iD j są rów noległo- bokam i, w zw iązku z czym kąt pom iędzy odcinkami A \D \ (odcinek związany z walem napę­

dzającym ) i A 2O2 (zw iązany z w ałem napędzanym ) przy zm ianach odległości e, jest stały w czasie.

S tosow ane w krajow ych lokom otyw ach sprzęgło typu A lsthom (rys. la ), przy stały m e oraz kącie a nachylenia cięgieł w ynoszącym 45°, zapew nia stałe przełożenie [13], jed n ak przy w ielkości e zm iennej w czasie przełożenie to je st rów nież zm ienne.

W sprzęgłach o zm iennej w czasie odległości pom iędzy osiami w ałów w ystępują różnice w prędkościach kątow ych tych w ałów wyw ołujące w ym uszone drgania skrętne układu m echa­

nicznego. W zbudzane drgania pow odują pogorszenie cech użytkowych układu (w tym zm niejszenie je g o trw ałości), szczególnie przy zw iększonych prędkościach jazdy. Zatem po­

A 2

A jB i = D , C j , i = 1,2.

żądane je s t stosow anie w układach napędowych sprzęgieł bez tej wady, zw anych równobież- nymi lub synchronicznym i.

W analizie sprzęgieł, które cechuje nieliniowość geom etryczna, wykorzystuje się zwykle do rozw iązyw ania równań metody małego parametru oparte na w ykorzystaniu m ałych w arto­

ści odległości osi w ałów w odniesieniu do w ym iarów m echanizm u [4], Ścisłe rozw iązania równań są trudne do w yznaczenia i nieefektywne w analizie.

Celem pracy je st w yznaczenie optym alnych param etrów sprzęgła równobieżnego o schem acie ja k na rys. Ib, zasługującego na rozpowszechnienie, stanow iących podstawę do opracow ania projektu rozw iązania konstrukcyjnego.

W przyjętym płaskim m odelu sprzęgła brak elem entów podatnych w parach kinem atycz­

nych m echanizm u, ogniw a uważamy za sztywne, a masy cięgieł pomijamy. O dległość osi w ałów , przy ich rów noległym odchylaniu się, je st niew ielka w odniesieniu do długości cię­

gieł, co je s t zgodne z praktyką [1], Przyjęto, że usprężynowane części pojazdu (z o sią wału napędzającego) p o ru sza jąsię ruchem jednostajnym prostoliniowym .

W optym alizacji opieram y się na wynikach analizy kinematycznej przedstawionej w pracy [5], W e w spom nianej pracy założono (w celu uproszczenia analizy przy optym alizacji sprzę­

gła), że odległość osi w ałów je st stała w czasie. Optym alizację wykonano w dwu etapach:

analitycznie i analityczno-graficznie. Obecnie rezygnujemy z założenia, że odległość osi w a­

łów je s t stała w czasie, a ponadto zam iast analityczno-graficznej optym alizacji zastosujem y optym alizację num eryczną, która je st szybsza i łatwo może być w ykorzystana do bardziej zło­

żonego m odelu m echanizm u.

2. W Y B R A N E WYNIKI ANALIZY KINEM ATYCZNEJ

N a rys. 2 przedstaw iony je st schem at kinematyczny wybranego m echanizm u z odpow iednim i oznaczeniam i. W położeniu nieodchylonym (rys. 2a) sprzęgło m a je d n ą oś sym etrii i opisane je st czterem a parametrami wymiarowym i: a, b, a i p. W skaźnik 1 dotyczy punktów po stronie w ału napędzającego, a 2 po stronie wału napędzanego. Dodatkow y wskaźnik 0 dotyczy punktów w przypadku braku odchylenia osi w ałów (położenie konstruk­

cyjne). U kład 0 \X \y \ je st układem inercjalnym (bezwzględnym ), a położenie układu w zględ­

nego , zw iązanego z kołem pojazdu, opisują wielkości e(t) i <p(t). Zakładam y, że środek masy .S'jarzma /?i/i2C-’iC'2 w położeniu nieodchylonym pokrywa się z punktem O2 .

W zw iązku z przew idyw aną optym alizacją kinem atyczną przedstawim y w yrażenia opisują­

ce ruch środka masy jarzm a (punktu 5) oraz kąty v|/| i v)/2 obrotu cięgieł w układzie bez­

w zględnym . N a podstaw ie [5], przy pom inięciu składników m ałych rzędu drugiego i w yższych, m am y następujące zależności:

e e . „ ■>, e c o s2cc e . , , ,

*i.v sm2tp + O (s -) , y [S = ~ — — ---— — cos2<p + 0(e ) , (1)

2 2 s m 2a 2 sin 2cx 2 sin 2a

c o s ( a ) f - a ) ■>. c o s ( o / - a )

M ' , = --- - e + 0 (e" ) , m/j = ł j — - £ + 0 (e ) , ( 2 )

sin 2a sin 2a

gdzie:

e

ep = to t , e = — ,

przy czym co oznacza prędkość kątową, z ja k ą obracają się łączone wały, e je st m ałym para­

m etrem , a 0(e *) oznacza, żc pom inięte wyrazy m ają wykładnik potęgowy m ałego parametru nie m niejszy od k. Z godnie z przyjętym założeniem o jednostajnym prostoliniow ym ruchu pojazdu prędkość kątow a co je st stała.

Rys. 2. S chem at kinem atyczny w ybranego sprzęgła: a - param etry w ym iarow e sprzęgła nicodchylonego, b - u kłady w spółrzędnych o raz w ielkości opisujące sprzęgło odchylone

Fig. 2. K inem atic schem e o f chosen coupling: a - dim ensional param eters o f undeviate coupling, b - dim ensional co o rd in ate system s and quantities describing deviated coupling

N a podstaw ie przedstaw ionych rozw iązań m ożna stw ierdzić, że przy przyjętej dokładności, w szczególnym przypadku stałej odległości epom iędzy osiami w ałów , w układzie 0\X\y\ to­

rem środka ja rz m a je st okrąg o środku K i prom ieniu r , gdzie:

( e e c o s 2a 'j ^ _ e V 2 ’ 2 sin 2a ) ’ 2 s in 2a ’

czyli prędkość kątow a tego środka je st dw ukrotnie w iększa od prędkości kątowej co łączonych w ałów , a je g o przyspieszenie je st stałym przyspieszeniem dośrodkow ym w ruchu po okręgu o prom ieniu rz p rędkością kątow ą 2co.

3. O PT Y M A L IZ A C JA SPRZĘG ŁA

Przyspieszenie średniokw adratow e u\Sm środka masy jarzm a S w układzie 0\X\y\

w dow olnym przedziale czasu T opisuje wyrażenie:

«1 (3)

w którym przyspieszenie obliczamy z zależności:

a i:.v = * is + y \s ■ (4)

M inim alizacja średniokw adratow ego przyspieszenia ais„, zapew nia zm niejszenie sił bez­

w ładności oraz reakcji dynam icznych w układzie napędowym.

R ozw ażym y dw a przypadki zmiennej w czasie odległości e = e(t)\ zdeterm inowany oraz przypadkowy.

W przypadku pierw szym podstawiam y:

e = em + ea sinv i , (5)

gdzie e „ ,, ea oraz v przyjm ujem y za stale w czasie.

Zakładam y, że v i co m ogą być względem siebie niewspółm ierne, czyli ich stosunek może być niew ym ierny. W zw iązku z tym przedział czasu T dobieramy tak długi, że w artość każdej funkcji trygonom etrycznej w potędze pierwszej jest w nim równa zeru, natom iast przy całko­

waniu pozostają jedynie średnie wartości stałych. W szystkie iloczyny funkcji trygonom e­

trycznych należy oczyw iście przedtem zamienić na funkcje trygonom etryczne sumy lub różni­

cy kątów w ykorzystując odpowiednie, znane tożsamości. Podstaw iając zależności (1) i (5) do (3) i (4), w w yniku obliczeń przeprowadzonych za pom ocą program u M athematica, otrzym u­

jemy:

a .s.„, = --- J 16 e;o) 'l+ e] (v 4+ 12v 2or 2+ 8ro 4 \ + 0( s 2) .

LS" 2 s in 2oc 3/ V ’

Ł atw o zauw ażyć, że m inim um wielkości a\sm rozpatrywanej jako funkcja param etrów w ym iarow ych sprzęgła: a ,b , a i P wystąpi wtedy, gdy kąt a przyjm ie wartość optymalną:

a = a

=

co je st zgodne z w ynikiem uzyskanym w pracy [5] przy założeniu e stałego w czasie (przyjęte uproszczenie pozw oliło tam jednak na uw zględnienie większej dokładności rozw inięcia w zględem potęg m ałego param etru s).

W przypadku funkcji przypadkowej e(/) zakładamy, że:

e (/) = e,„ + e„(/)

jest procesem stochastycznym stacjonarnym i ergodycznym o wartości średniej e„,, przy czym e(t) m a funkcję autokorelacyjną Aj,(t ) . Zachodzą następujące zależności:

W w yniku analizy otrzym ujem y w tym przypadku:

a ,

2Kt(0))~ &o 2K,,(0) +

gdzie:

a K ei(t ) je s t funkcją korelacji wzajem nej procesów e (t) i ¿ '(/).

O ptym alną w artością kąta cc je s t w tym przypadku taka sama jego w artość ja k poprzednio w yznaczona (6).

Ze w zględu na zw iększenie trwałości przegubów m etalow o-gum ow ych stosow anych w praktyce w przegubach: A , , B , , C, oraz D, , gdzie / = 1 ,2 (rys. 2b), korzystna je s t m inim ali­

zacja kątów obrotu cięgieł v|/| i v|>2 ■

R ozw ażając podobnie ich średniokw adratow e wartości i \\j2m zdefiniow ane następują­

co:

po uw zględnieniu (2 ) dochodzim y do wniosku, że m inim um tych w ielkości, rozpatryw anych ja k o funkcje param etrów w ym iarow ych sprzęgła, wystąpi w tedy, gdy kąt a przyjm ie po­

przednio ju ż w yznaczoną wartość optym alną (6), a długości b cięgieł b ęd ą m ożliw ie najw ięk­

sze.

O ptym alnego doboru param etrów : a, b i (3 dokonam y na podstaw ie uzupełniających kryte­

riów, poniew aż nie m ają one w pływ u na przyspieszenie ci\s,n. W tym celu przyjm iem y dodat­

kow e w arunki. Założym y, że nieodchylone sprzęgło powinno się mieścić w kole o prom ieniu r:, a w ierzchołki czw orokąta Z?io/?2()CjoC2o z rys. 2a leżeć na zew nątrz koła o prom ieniu r„ . Zadane param etry r- i r„. należy przyjąć na podstawie w ym iarów koła i wału osiow ego, sta­

now iących elem enty konstrukcji układu napędowego lokom otywy. Ze w zględów konstrukcyj­

nych przyjm iem y również, że odległość pom iędzy przegubam i Cjo i C20 pow inna być nie m niejsza od zadanej odległości 2c (rys. 3). Długości b cięgieł pow inny być m aksym alne w ram ach w prow adzonych ograniczeń.

N a rys. 3 przedstaw ione są dwa środkow osym etryczne obszary F i F ', w których powinny zaw ierać się odcinki A 20B 20 i C 20D 20 z rys. 2a, przy czym w spółrzędne punktów na osiach u- kładu 0 2Xjyi pow inny spełniać warunek:

x . - x „ > 0 .

Do optym alizacji num erycznej z ograniczeniam i przyjm iem y za zm ienne decyzyjne trzy bezw ym iarow e param etry:

g 4 = ę f + ę ; - 2 ę 2 co s(a + ę , ) - l , g , = ę f + ę ; + Q , co s(a + ę , ) - l ,

£& — 2 y 2 — C 2 >

gdzie:

y , = — oraz y , = —

r. " r

są bezw ym iarow ym i param etram i konstrukcyjnymi.

Rys. 3. S chem at pom ocniczy do optym alnego doboru param etrów : a, b i p Fig. 3. H elp schem e for optim al selection o f param eters: a, b i P

P ierw sze ograniczenie w ynika z warunku:

a drugie to w ym aganie, aby odległość prostej A 2oB2o od punktu O2 była nie m niejsza od pro­

m ienia rw , co pow oduje również, że a nie może być mniejsze od ru. .

T rzecie ograniczenie to warunek, że punkty A 2o i C’20 powinny być odległe od osi 0 2x 2 co najm niej o c oraz że kąt P m usi być nieujem ny. Dwa następne ograniczenia to warunki, aby odległości każdego z punktów B2o i C'20 od punktu O2 były nie w iększe od prom ienia r.. Zapi­

sane zostały w postaci kw adratów tych odległości i kwadratu promienia. Ze w zględów kon­

strukcyjnych przyjm iem y również, że odległość pom iędzy przegubami każdego cięgła (podobnie ja k pom iędzy punktam i Cjo i C20), czyli długość każdego cięgła b, pow inna być nie m niejsza od zadanej odległości 2c. W ynika stąd ostatnie, szóste ograniczenie stanowiące w spom niane w ym aganie.

W analizie num erycznej w ykorzystano własny program kom puterow y służący do optym a­

lizacji (w arunkow ej), z ograniczeniam i nieliniow ym i funkcji wielu zm iennych, oparty na m etodzie P ow ella przesuwanej funkcji kary. Wynik uzyskuje się poprzez ciąg kolejnych m i­

nim alizacji bezw arunkow ych odpow iednio zm odyfikowanej funkcji celu. Do m inim alizacji bez ograniczeń zastosow ano m etodę sympleksów. Jest to m etoda bezgradientow a, którą cha­

rakteryzuje duże praw dopodobieństw o w yznaczenia m inim um globalnego, niezależnie od w yboru punktu startow ego.

O ptym alizację przeprow adzano przy różnych w artościach param etrów y , oraz y , . Przykładow o, przyjm ując yi = 0,6 i y2 = 0,2 otrzym ujemy:

<;, = 0,7205, ę , = 0,5657, <; , = 0,9840 oraz p„,„ = 57,38°, a przy yi = 0,7 i 72 ~ 0,2:

ę , = 0,7235, ę , = 0,5657, ę , = 0,9778 oraz P = 57,02° .

D okładności spełnienia ograniczeń oraz wyznaczenia m inim um przyjęto za rów ne 10'7. O- trzym ane wymiki są zgodne z w artościam i, które m ożna wyznaczyć ze w zorów zaczerpniętych z pracy [5]:

yj2(r: + c) J 2 r. + c

2 ’ Vr ' 2 ’ K aretan r . - c

które, ja k ju ż w spom niano, w yprow adzono tam m etodą anaiityczno-graficzną.

4. UW AGI K O Ń C O W E

P rzedstaw iona w pracy analiza potw ierdziła w cześniej uzyskany (przy m ocniejszych zało­

żeniach) w ynik. Jest nim stw ierdzenie, że przy podstaw owym kryterium optym alizacji, któ­

rym je s t m inim um średniokw adratow ej wartości przyspieszenia środka m asy jarzm a, sprzęgło należy konstruow ać tak, aby kąt a nachylenia cięgieł w ynosił 45°. D odatkow e w ym agania dotyczące w ym iarów sprzęgła oraz m inim alizacji kątów obrotu cięgieł w ykorzystano w celu w yznaczenia m atem atycznego sform ułow ania funkcji celu i ograniczeń, a następnie num e­

rycznego w yznaczenia optym alnych wartości pozostałych w ymiarów. A naliza ta potw ierdziła popraw ność zależności w yprow adzonych poprzednio inną metodą. Przedstaw iona m etoda optym alizacji je s t bardziej uniw ersalna i przez to łatw iejsza do zastosow ania przy rozpatry­

w aniu złożonych m echanizm ów (nie tylko sprzęgieł). W yznaczone param etry optym alne m o­

g ą stanow ić podstaw ę do w łaściw ego kształtow ania mechanizm u w jego rozw iązaniu kon­

strukcyjnym .

LITER A TU R A

1. G rzyb A., R om aniszyn Z.: W pływ w zajem nego ustaw ienia sprzęgieł typu A lsthom w układach napędow ych lokom otyw na obciążenia wału drążonego i jego łożysk. A rchi­

w um B udow y M aszyn, 2, XXI, 1974, s. 229-255.

2. G rzyb A.: Płaskie sprzęgło cięgłowe. Patent polski nr 86715, 1976.

3. G rzyb A.: M echanika i optym alizacja wybranego sprzęgła cięgłow ego dla układów napę­

dow ych pojazdów szynowych. Praca doktorska, Politechnika K rakowska, K raków 1975.

4. G rzyb A.: On a perturbation m ethod for the analysis o f the kinetostatics o f mechanisms.

A kadem ie V erlag, ZA M M , Z. angew. Math. Mech. 72, 6, T615-T618, 1992.

5. G rzyb A.: K inem atyka i optym alizacja sprzęgła układu napędowego lokom otyw. Czasopi­

sm o T echniczne Politechniki Krakowskiej, M echanika, z. 2-M, 1997, s. 49-63.

6 . G rzesikiew icz W., O siecki J., Piotrowski J.: Podstawy dynam iki pojazdów szynowych.

W ydaw nictw a Politechniki W arszawskiej, W arszawa 1974.

7. M adej J.: W łasności dynam iczne układów napędow ych z wychylnym i sprzęgłam i cztero- cięgłow ym i. A rchiwum Budowy M aszyn, 2, XXI, 1974, s. 305-323.

8. M adej J.: M echanizm y napędowe pojazdów szynowych. W ydaw nictwa Politechniki W ar­

szaw skiej, W arszaw a 1978.

9. M adei J.: M echanika napędu pojazdów szynowych z elektrycznymi silnikam i trakcyjnymi.

PW N, W arszaw a 1983.

10. O siecki J.: Equations o f vibrations and analysis o f the dynam ic loadings o f a drive system w ith A lsthom -type couplings. N onlinear V ibrations Problems, 10, 1969, s. 225-243.

11. O siecki J.: Struktura i kinem atyka płaskich sprzęgieł cięgłowych kom pensujących nie- w spółosiow ość łączonych wałów. A rchiw um Budowy M aszyn, 3, XVI, 1969, s. 379-397.

12. O siecki J.: D rgania układów m echanicznych z płaskimi sprzęgłam i cięgłow ym i kom pen­

sującym i niew spółosiow ość łączonych wałów. A rchiwum Budowy M aszyn, 4, XVI, 1969, s. 451-478.

13. R om aniszyn Z.: K inem atyka m echanizm u cięgłowego typu „A lsthom ” . A rchiw um Budo­

wy M aszyn, 2, XV, 1968, s. 313-332.

14. R om aniszyn Z., Życzkow ski M.: O ptym alizacja kinem atyczna m echanizm u cięgłow ego typu „A lsthom ” . A rchiwum Budowy M aszyn, 1, XVI, 1969, s. 123-136.

Recenzent: Prof.dr hab.inż. Jerzy Madej

A bstract

T his paper is devoted to the mathem atical determ ination o f the kinem atics o f a chosen coupling represented diagram m atically in Fig. 2 and assigned for a locom otive drive system w ith m otors m ounted on springs. The difficulty o f describing the motion o f such a m echanism resulting from the necessity o f solving sets o f nonlinear algebraic equations is circum vented with sufficient accuracy by applying pow er series o f small quantity. The analysis is perform ed done in a m oving reference frame (h xy yi connected with the wheel o f the vehicle and then, in view o f the acceleration o f the centre o f yoke, in an absolute system 0\X \y\ connected w ith the vehicle in motion, that is with a rotating mechanism. M aking use o f the equations derived in this w ork and determ ining the kinem atic properties o f a pull rod coupling, kinem atics optim i­

sation o f the m echanism is carried out. The optimal dim ensions a, b and angles a , (3 o f cou­

pling are selected.