Identyfikacja parametrów inercji pierwszego rzędu z opóźnieniem

ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ S e r i a : AUTOMATYKA z . 14

________ 1969 Nr k o l . 267

Mgr i n ż . K r z y s z t o f N a ł ę o k i K a t e d r a T e o r i i R e g u l a c j i

2 . 2 . IDENTYFIKACJA PARAMETRÓW INERCJI PIERWSZEGO-RZĘDU Z OPÓŹ­

NIENIEM 1. Wstęp

Problem i d e n t y f i k a c j i parametrów o b i e k t u i n e r c y j n e g o p i e r w s z e ­ go r z ę d u z op óź ni e ni em j e s t dośó c i e k a w y , gdyż powszechnie s t o ­ s u j e s i ę apr ok s yma oj ę obiektów wysoki ego r z ę d u t a ki m w ł a ś n i e modelem. O b i e k t t a k i j e s t c h a r a k t e r y z o w a n y 3 p a r a m e t r a m i : wzmoo- n i e n i e m ( k ) , s t a ł ą o z a s u ( T ) , o późni eniem (czasem o p ó ź n i e n i a ) (S) O d .

' Problem i d e n t y f i k a c j i p ar amet rów , w p o s t a c i n a j o g ó l n i e j s z e j , p o l e ga na optymalnym o k r e ś l e n i u numerycznyob w a r t o ś c i w s p ó ł c z y n ­ ników w r ó wn a n i a c h s t a n o w i ą c y c h proponowany model matematyczny badanego o b i e k t u , na p o ds t a w i e odpowiednio l i c z n e g o z b i o r u po­

miarów w i e l k o ś o l c h a r a k t e r y z u j ą c y c h zachowanie s i ę t e g o o b i e k ­ t u . Wspomniany z b i ó r pomiarów t o w y n i k i e k s p e r y m e n t u . Optymal- nośó j e s t pr zy tym r ozumi ana w s e n s i e pewnego, z ał o ż o n e g o z g ó r y , k r y t e r i u m j a k o ś c i a p r o k s y m a c j i pewnym modelem danego o b i e k t u na znanym z b i o r z e pomiarów. Efektem i d e n t y f i k a c j i p a - ramentrów j e s t pewien z b i ó r uporządkowany numerycznyob w a r t o ś ­ c i współ czynników modelu.

Yi n i n i e j s z e j praoy ja k o k r y t e r i u m j a k o ś c i p r z y j ę t o o d l e g ł o ś ć między z b i o r a m i sygnałów [V].

2 . Model o b i e k t u Model r ó żn ic zko wy

T*y + y * kxx ( t - S)

(

.

)

równoważna p o s t a ó całkowa wzoru ( 2 . 1 ) t

y ( t ) = y 0* e x p ( - jp) + |

J

(3

O z n a c z a j ą c Q - kwant c z a s u o r a z

t o nxQ + a ; S = NxQ p r z y z a ł o ż e n i u , że x(kQ + s ) = x ^ s 6 ( 0 ; Q) mamy

k«X p

y(nQ+s) = y n e x p ( - ^ ) + —

J

i d l a s = Q otrzymujemy model d y s k r e t n y

112________________________________ ______________ K r z y s z t o f N ą łę o k l

V i = V D + X n - N * E ( 2 *4)

g d z i e :

D = exp ( - Q /T ) E » k (1 - U)

Otrzymany model ( 2 . 4 ) p odlega i d e n t y f i k a o j i metodą m i n i m a l i z a c j i o d l e g ł o ś c i kwadratowej [

1

3 . Al gor ytm i d e n t y f i k a c j i

O z n a c z a j ą c p r z e z y Q w y j ś c i e o b i e k t u a p r z e z y* w y j ś c i e modelu i odpowiedni o z b i o r y pomiarowe I i f mamy o d l e g ł o ś ó między n i mi

d2 (Y/Y‘ ) - J £ (y a + 1 - y ; + i ) 2 ( 3 . 1 )

I d e n t y f i k a c j a parametrów l n a r o j l . 113 U w z g l ę d n i a j ą c w powyższym związku równanie modelu ( 2 . 4 ) o r a z

o znacza jąo

1 v tj Funkoja k o . r e l a o j i wzajemnej

n £ ‘ i » ! « - V » > o l ą g 6 . { a j ± { b j

otrzymaaiy

d2 (Y /X *) = Ryy (0) (1+D^) + E* 1 ^ ( 0 ) - 2D Ry y O ) +

( 3 . 2 )

- ■ [ y w i - i y n ]

Przy tym z a ł o ż o n o dodatkowo, że o i ą g i { x ^ i { j j J s t a ­ c j o n a r n y m i c i ą g a m i przypadkowymi.

Poszukiwane minimum o d l e g ł o ś o i , o k r e ś l o n e j wzorem ( 3 . 2 ) , ze wzg lęd u na p a r a m e t r y modelu d y s k r e t n e g o D, E 1 N można p r z e - prowadzió w sposób n a s t ę p u j ą c y [

2

I . Dla podanych ciągów i wyznaczyć f u n k c j ę ko­

r e l a c j i wzajemnej Rx y (q) d l a q z zadanego a p r i o r i p r z e d z i a ł u spodziwanych ozasów o p ó ź n i e n i a .

P r z y j ą ó F : = 1 ; N1 : ■ -1

I I . Wyznaczyć w a r t o ś ó i n d e k s u N d l a k t ó r e g o SN = max S

s - R ^ C l U - B ! § , ( « )

(odpowiada t o m i n l m a l i z a o j i w y r a ż e n i a ( 3 . 2 ) ze w z g lę du na N) P r z y j ą ó , że o p ó ź n i e n i e j e s t równe N.

I I I . J e ż e l i N = N1 t o k on ie o i d e n t y f i k a c j i , i n a c z e j p r z e j ś ć do IV.

IV. Skompensować o p ó ź n i e n i e p r z e z p r z e s u n i ę o i e o i ą g u jy^J- o N m i e j s o . Y/yznaczyó p a r a m e t r y D i E d l a modelu i n e r c j i b ez o p ó ź n i e n i a wg wzoru

114 K r z y s z t o f N a ł ę c k i g d z i e

yN x o y N+1

• •

• •

B

• •

y M-1 XM—1-N y M

( p a t r z [i] , [2] ) .

7 . J e ż e l i D = P t o k o n i e c i d e n t y f i k a c j i , i n a c z e j p r z e j ś ć do VI .

7 1 . J e ż e l i D = 0 t o o t i e k t t e z i n e r o y j n y , i n a c z e j p r z e j ś ć do 7 1 1 .

7 1 1 . Zał ożyć P : * D, N1: = N i p r z e j ś ć do I I . 4 . Algorytm u p r o s z c z o n y

Oznaczmy w zg lę dn ą f u n k c j ę a u t o k o r e l a c j i c i ą g u {x i} p r z e z r n p r z y czym

Rx x ( n ) = r * Rx x ( 0 ) ( 4 , 1 )

i z a k ł a d a j ą c , że

lr n l * i 1 ~ D) n ^ 0 ( 4 . 2 )

można wykazać [2] , że f u n k c j a k o r e l a c j i wzajemnej ciągów

1 W

M-N-1 ,

B ^ ( p ) = G * D i+N -p—1 G = 0 0 n s t ( 4 , 3 )

o r a z że

max R ( p ) = R „ ( N- 1) p a t r z d o d a t e k ( 4 . 4 ) JLjr

I d e n t y f i k a c j a parametrów i n e r c j i . . 115 Wniosek powyższy pozwala u p r o ś c i ć a l g o r y t m I d e n t y f i k a c j i p a r a ­ metrów modelu ( 2 . 4 ) do p o s t a c i :

I . Wyznaozyó f u n k c j ę k o r e l a c j i Rx y (<ł) I I . Znaleźó max R: : y (q) = RXy ( N1)

N: = H1 + 1

I I I . Skompensować o p ó ź n i e n i e N i za s to sow ać wzór ( 3 . 3 ) . 5. S k u t k i z a ł o ż e ń u p r a s z o z a j ą o y o h

S p e ł n i e n i e warunków ( 4 . 2 ) i ( D. 7) j e s t równoważne warunkowi

M < t 1 Y D d l a n 4 0 ( 5 . 1 )

przy tym

(1 - D) < Q/T ( 5 . 2 )

O s t a t e c z n i e mamy

lr nl < Q > T V2 |rn | M3C n 4 O ( 5 . 3 )

Ponieważ w a r t o ś ć c z a s u o p ó ź n i e n i a S = N Q j e s t o k r e ś l o n a z d o k ł a d n o ś c i ą do Q/2 t o d o kł a d n o ś ć t a j e s t tym l e p s z a im m n i e j ­ sze j e s t Q t z n . im m n i e j s z e j e s t Ir^l max.

Oznacza t o , że s y g n a ł wejśoiowy x ( t ) powi ni en zajmować od­

powiedni o s z e r o k i e pasmo c z ę s t o t l i w o ś o i .

Załóżmy n p . że s y g n a ł we jś ciowy x ( t ) j e s t b i a ł y m szumem przepuszczonym p r z e z i d e a l n y f i l t r dolr io pr zepu sto wy o c z ę s t o ­ t l i w o ś c i g r a n i c z n e j F. Wtedy

116 K r z y s z t o f N a ł ę c k i U w z g l ę d n i e n l e ( 5 . 4 ) w ( 5 . 3 ) d a j e

Q > ( 5 . 5 )

Ponieważ r ó w n o c z e ś n i e ( zg od ni e z tw. K o t i e l n i k o w a - . S h a n n o n a )

Ponieważ pasmo p r z a p u s z o z a n i a i d e n t y f i k o w a n e g o o b i e k t u o k r e ­ ś l o n e j e s t p r z e z f = 1 / 2 i r T , t o

S t ą d w n i o s e k , źe aby można b y ł o stosowaó u p r o s z c z o n y z a ł o ż e n i a ­ mi ( 4 . 2 ) i ( D. 7) a l g o r y t m i d e n t y f i k a c j i w widmie s y g n a ł u w e j - śolowegó powinny s i ę z n a l e ź ć c z ę s t o t l i w o ś c i n i e m n i e j s z e n i ż 7% g ó r n e j g r a n i c y pasma p r z e p u s z c z a n i a badanego o b i e k t u . 'Wyda­

j e s i ę , że war unek t e n ł a t w o można w y p e ł n i ć . 6 . Zak oń czen ie

J e ż e l i znane s ą numeryczne w a r t o ś c i parametrów D i E, t o wyzna­

c z e n i a k i T j e s t j u ż b a r d z o p r o s t e , gdyż

Q < JCT ( 5 . 6 )

O s t a t e c z n i e

( 5 . 7 )

——ir RS 0 . 0 6 8

g r 3CJ

( 5 . 8 )

k = A ; ■ - o t

(

.

)

W praoy [¿] podane s ą w y n i k i e k s p e r y m e n t a l n e g o s p ra w dz an ia o p i s a n y c h algoryt mów ( k t ó r e s ą z u p e ł n i e z a d a w a l a j ą c e ) o r a z po­

r ównan ie t y c h algoryt mów z innymi a l g o r y t m a m i i d e n t y f i k a c j i

I d e n t y f i k a c j a parametrów i n e r c j i . . . 117 parametrów ob ie któw l i n i o w y c h z o p ó źn i en ie m . Porównanie t o wy­

pada na k or zyźó o p i s a n y o h w n i n i e j s z y m r e f e r a c i e a l goryt mów.

Sam za ś r e f e r a t j e s t pewnym u z u p e ł n i e n i e m p ra cy [2] , k t ó r a z o s t a ł a wykonana j a k o p ra c a dyplomowa w K a t e d r z e T e o r i i Re­

g u l a c j i pod k i e r u n k i e m P r o f „ dr S t e f a n a Węgrzyna,

LITERATURA

[1] Węgrzyn S . - Podstawy Automa ty ki kompl eksowej . I n s t y t u t A ut oma tyk i PAN Warszawa 1969 r .

[

2

P r a c a dyplomowa, K a t e d r a T e o r i i R e g u l a c j i Gl iwi ce 1969 r .

DODATEK

O z n ac za j ąc p r ze z

(D.1)

p r z y s p e ł n i e n i u z a ł o ż e n i a ( 4 . 2 ) mamy d l a

(D.2)

p = N - 1

(D.3)

(D.4)

1 18 K r z y s z t o f M ał ęc kl

k . , . M-N-1 ,

W - £ 1)3 + “ k 1' + ^ ” 3 ^ - k - i <D- 5 >

s t ą d

D-a <

|zN+k|

J e ż e l i t e r a z

1 - a > a =£> a < £■i

1 — a > D + a ==> a < (D.7)

t o o c z y w i s t e j e s t , że

max Zq = Z ^ ^ (D.8)

o r a z , że

max R ^ i l ) = &x ZN-1 = Rxy (N- 1) (D.9)

Warażenie ( D.9) j e s t i d e n t y c z n e z ( 4 . 4 ) a p r z y t o c z o n e w Dodatku r o z w a ż a n i a s t a n o w i ą wyprowadzenie te g o zwi ąz ku .