Równania różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu
Marcin Orchel
Spis treści
1 Wstęp 1
1.1 Liniowe równania różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu . . . 1 1.2 Nieliniowe równania różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu . . . 15 1.3 Zagadnienia dodatkowe . . . 20
2 Zadania 20
2.1 Zadania na 3.0 . . . 20 2.2 Zadania na 4.0 . . . 21 2.3 Zadania na 5.0 . . . 21
1 Wstęp
1.1 Liniowe równania różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu Równanie:
X1 ∂z
∂x1 + X2 ∂z
∂x2 + . . . + Xn ∂z
∂xn = Y (1)
gdzie funkcja z jest szukaną funkcją n zmiennych niezależnych xi, Xioraz Y są funkcjami tych zmiennych niezależnych nazywamy równaniem różniczkowym cząstkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli funkcje Xi oraz Y zależą również od z to równanie nazywamy quasi-liniowym. Jeśli Y ≡ 0 to równanie nazywamy jednorodnym.
Przykład:
∂u (x, y)
∂x = 0 (2)
Z tego wynika, że rozwiązanie jest niezależne od x, a zatem rozwiązaniem jest dowolna funkcja zależna od y:
u (x, y) = f (y) (3)
Przykładowe rozwiązanie, u(x, y) = 2y2, rozwiązanie na wolframalpha.com, http://
www.wolframalpha.com/input/?i=d%2Fdx%28u%28x%2Cy%29%29++%3D+0, wizualizacja przy- kładowego rozwiązania,http://www.wolframalpha.com/input/?i=u%28x%2Cy%29+%3D+
2y^2.
Przykład 1.
∂z
∂x+ ∂z
∂y = 0 (4)
Rozwiązanie:
z = Φ (y − x) (5)
Rozwiązanie to można sprawdzić zauważając, że pochodna funkcji złożonej jest równa
∂f (g (x, y))
∂x = ∂g (x, y)
∂x
∂f (t)
∂t (6)
gdzie t = g(x, y). Jeśli teraz podstawimy g(x, y) = y − x otrzymamy z równania wyjścio- wego
−∂f (t)
∂t +∂f (t)
∂t = 0 (7)
Rozwiązanie na wolframalpha.com,http: // www. wolframalpha. com/ input/ ?i= %28d%
2Fdx% 28u% 28x% 2Cy% 29% 29% 29+ %2B+ %28d% 2Fdy% 28u% 28x% 2Cy% 29% 29% 29+ %3D+ 0. Na- rysowane rozwiązanie na wolframalpha.com,http: // www. wolframalpha. com/ input/
?i= y+ -+x+ -+z+ %3D+ 0.
Rozwiązywanie jednorodnych równań różniczkowych cząstkowych linio- wych. Całkowanie tego równania polega na całkowaniu odpowiadającego mu układu charakterystycznego:
dx1 X1
= dx2 X2
= . . . = dxn Xn
(8) Jeśli dla dowolnej zmiennej xk zachodzi Xk6= 0 to układ przekształcamy do postaci:
dxj dxk
= Xj Xk
(9) gdzie j = 1, 2, . . . , n
Wprowadzamy zmienną t i otrzymujemy:
dxj
dt = Xj (10)
Każda całka pierwsza układu (8) jest rozwiązaniem układu jednorodnego dla równania wyjściowego i na odwrót.
Jeśli mamy n − 1 niezależnych całek pierwszych postaci:
ϕi(x1, . . . , xn) = Ci (11) to:
z = Φ (ϕ1, . . . , ϕn−1) (12)
gdzie Φ jest dowolną funkcją zmiennych ϕi.
Przykład 2.
xz∂u
∂x + yz∂u
∂y −x2+ y2∂u
∂z = 0 (13)
Układ charakterystyczny tego równania:
dx xz = dy
yz = −dz
x2+ y2 (14)
Możemy z tego układu wyodrębnić przykładowo dwa następujące równania dx
xz = dy
yz (15)
dx
xz = −dz
x2+ y2 (16)
Z pierwszego równania po uproszczeniu z mamy:
y = C1x (17)
Całka pierwsza to
C1 = y
x (18)
Po podstawieniu do drugiego równania otrzymujemy:
dx
xz = − dz
x2 1 + C12 (19)
Możemy to równanie sprowadzić do równania o zmiennych rozdzielonych
1 + C12xdx = −zdz (20)
Po scałkowaniu:
x2
2 + C12x2
2 = −z2
2 + C2 (21)
x2+ C12x2+ z2 = C2 (22)
Po podstawieniu C1 z (18) otrzymujemy
x2+ y2+ z2= C2 (23)
Całkami pierwszymi układu są:
y
x = C1 (24)
x2+ y2+ z2= C2 (25)
Rozwiązanie ogólne:
u = φ
y
x, x2+ y2+ z2
(26)
Rozwiązanie na wolframalpha.com, http: // www. wolframalpha. com/ input/ ?i= xz%
28d% 2Fdx% 28u% 28x% 2Cy% 2Cz% 29% 29% 29+ %2B+ yz% 28d% 2Fdy% 28u% 28x% 2Cy% 2Cz% 29%
29% 29+ -+% 28x^2+ %2B+ y^2% 29% 28d% 2Fdz% 28u% 28x% 2Cy% 2Cz% 29% 29% 29+ %3D+ 0. Alternatywnie możemy po przekształceniu uzyskać układ równań
dx
xz = −dz
x2+ y2 (27)
dy
yz = −dz
x2+ y2 (28)
Układ ten ma 2 równania, załóżmy, że x i y to zmienne zależne, a z to zmienna niezależ- na, otrzymujemy układ równań w postaci normalnej (rozwiązany względem pochodnych)
dx
dz = −xz
x2+ y2 (29)
dy
dz = −yz
x2+ y2 (30)
Dzielimy drugie równanie przez pierwsze i otrzymujemy dy
dx = y
x (31)
Rozwiązujemy to równanie za pomocą rozdzielania zmiennych i otrzymujemy
y = c1x (32)
Czyli całka pierwsza to
c1 = y
x (33)
Następnie podstawiamy y z (32) do pierwszego równania (29) i otrzymujemy dx
dz = −xz
x2+ c21x2 (34)
Równanie to już rozwiązywaliśmy w poprzedniej wersji (19).
Sprawdzenie, możemy podstawić u = y/x i otrzymujemy prawdę, sprawdzenie na wol- framalpha.comhttp: // www. wolframalpha. com/ input/ ?i= xz% 28d% 2Fdx% 28y% 2Fx%
29% 29+ %2B+ yz% 28d% 2Fdy% 28y% 2Fx% 29% 29+ -+% 28x^2+ %2B+ y^2% 29% 28d% 2Fdz% 28y%
2Fx% 29% 29+ %3D+ 0. Możemy podstawić u = x2+ y2 + z2, sprawdzenie na wolframal- pha.comhttp: // www. wolframalpha. com/ input/ ?i= xz% 28d% 2Fdx% 28x^2+ %2B+ y^2+
%2B+ z^2% 29% 29+ %2B+ yz% 28d% 2Fdy% 28x^2+ %2B+ y^2+ %2B+ z^2% 29% 29+ -+% 28x^2+ %2B+
y^2% 29% 28d% 2Fdz% 28x^2+ %2B+ y^2+ %2B+ z^2% 29% 29+ %3D+ 0. Przykład 3.
2x∂u
∂x + y∂u
∂y = 0 (35)
Układ charakterystyczny
dx 2x = dy
y (36)
Jest to równanie o zmiennych rozdzielonych, rozwiązanie c1 = y
√x (37)
Rozwiązanie równania
u = φ
y
√x
(38) Rozwiązanie na wolframalpha.com http: // www. wolframalpha. com/ input/ ?i= 2x%
28d% 2Fdx% 28u% 28x% 2Cy% 29% 29% 29+ %2B+ y% 28d% 2Fdy% 28u% 28x% 2Cy% 29% 29% 29+ +%
3D+ 0.
Przy rozwiązywaniu układów możemy również skorzystać z własności proporcji, jeśli a1
b1
= a2 b2
= a3 b3
= t (39)
to dla dowolnych rzeczywistych k1, k2, k3 spełniających warunek
k1b1+ k2b2+ k3b3 6= 0 (40) zachodzi równość
k1a1+ k2a2+ k3a3
k1b1+ k2b2+ k3b3 = t (41) Możemy również sprobować zapisać układ równań w postaci
dx = f1(x, y, z) t (42)
dy = f2(x, y, z) t (43)
dz = f3(x, y, z) t (44)
i spróbować dodać stronami wszystkie równania. Jeśli otrzymamy
f1(x) dx + f2(y) dy + f3(z) dz = 0 (45) to możemy skorzystać ze wzoru
df = ∂f
∂xdx +∂f
∂ydy +∂f
∂zdz (46)
i zaproponować funkcję f (x, y, z) jako f (x, y, z) =
Z
f1(x) dx + Z
f2(y) dy + Z
f3(z) dz (47)
Rozwiązywanie niejednorodnych liniowych i quasi-liniowych równań róż- niczkowych cząstkowych. Poszukujemy rozwiązania w postaci uwikłanej:
V (x1, . . . , xn, u) = 0 (48) Funkcja V jest rozwiązaniem poniższego równania jednorodnego z n + 1 zmiennymi niezależnymi:
X1∂V
∂x1 + X2∂V
∂x2 + . . . + Xn∂V
∂xn + Y∂V
∂u = 0 (49)
dla którego układ charakterystyczny jest następujący:
dx1
X1 = dx2
X2 = . . . =dxn
Xn
= du
Y (50)
Przykład 4.
xu∂u
∂x+ yu∂u
∂y = x2+ y2+ u2 (51)
Układ charakterystyczny:
dx xu = dy
yu = du
x2+ y2+ u2 (52)
dx xu = dy
yu (53)
dx
xu = du
x2+ y2+ u2 (54)
Z pierwszego równania otrzymujemy:
y = C1x (55)
A więc całka pierwsza to
C1 = y
x (56)
Po podstawieniu do drugiego:
dx
xu = du
x2 1 + C12+ u2 (57)
Po przekształceniu otrzymujemy równanie różniczkowe zwyczajne jednorodne:
du dx = x
u
1 + C12+u
x (58)
Wprowadzamy zmienną pomocniczą
z = u
x (59)
Po pomnożeniu przez x (59) i zróżniczkowaniu mamy du
dx = z + xdz
dx (60)
Po podstawieniu do (58):
xdz dx = 1
z
1 + C12 (61)
Po scałkowaniu
1 + C12ln |x| = 1
2z2+ C3 (62)
2 1 +y2 x2
!
ln |x| = u2
x2 + 2C3 (63)
u2
x2 − 2 1 +y2 x2
!
ln |x| = C4 (64)
Rozwiązanie ogólne równania jednorodnego ma postać:
V = φ y x,u2
x2 − 2 1 +y2 x2
! ln |x|
!
(65) A zatem zgodnie z (48) rozwiązanie równania wyjściowego ma postać uwikłaną
φ y x,u2
x2 − 2 1 + y2 x2
! ln |x|
!
= 0 (66)
Rozwiązanie na wolframalpha.com, http: // www. wolframalpha. com/ input/ ?i=
xu% 28d% 2Fdx% 28u% 28x% 2Cy% 29% 29% 29+ %2B+ yu% 28d% 2Fdy% 28u% 28x% 2Cy% 29% 29%
29+ %3D+ x^2+ %2B+ y^2+ %2B+ u^2. Przykład 5.
x∂u
∂x + y∂u
∂y = x3− y3+ u (67)
Układ charakterystyczny:
dx x = dy
y = du
x3− y3+ u (68)
dx x = dy
y (69)
dx
x = du
x3− y3+ u (70)
Z pierwszego równania otrzymujemy:
y = C1x (71)
A więc całka pierwsza to
C1 = y
x (72)
Po podstawieniu do równania (70) y z równania (71) otrzymujemy dx
x = du
x3 1 − C13+ u (73)
Traktujemy to równanie jako równanie ze zmienną zależną u(x). Jest to równanie róż- niczkowe zwyczajne liniowe, którego rozwiązaniem jest
u = C2x −1 2
C13− 1x3 (74) Rozwiązanie na wolframalpha http: // www. wolframalpha. com/ input/ ?i= dx% 2Fx+
%3D+ dy% 2F% 28x^3% 281-C^3% 29+ %2B+ y% 29. A więc całka pierwsza to C2= u
x +1 2
y3 x3 − 1
!
x2 (75)
Rozwiązanie ogólne równania jednorodnego ma postać:
V = φ y x,u
x +1 2
y3 x3 − 1
! x2
!
(76) A zatem zgodnie z (48) rozwiązanie równania wyjściowego ma postać uwikłaną
φ y x,u
x +1 2
y3 x3 − 1
! x2
!
= 0 (77)
Rozwiązanie to możemy przekształcić do postaci jawnej, zakładając, że istnieje funk- cja odwrotna Ψ do drugiego argumentu i otrzymujemy
u x +1
2 y3 x3 − 1
!
x2= Ψ
y x
(78)
u = xΨ
y x
−1 2
y3 x3 − 1
!
x3 (79)
u = xΨ
y x
−1 2
y3− x3 (80) Rozwiązanie na wolframalpha.com,http: // www. wolframalpha. com/ input/ ?i= x% 28d%
2Fdx% 28u% 28x% 2Cy% 29% 29% 29+ %2B+ y% 28d% 2Fdy% 28u% 28x% 2Cy% 29% 29% 29+ %3D+ x^3+ - +y^3+ %2B+ u.
Przykład 6.
u∂u
∂x+ u∂u
∂y = x + y (81)
Rozwiązujemy najpierw odpowiadające mu równanie jednorodne u∂V
∂x + u∂V
∂y + (x + y)∂V
∂u = 0 (82)
Rozwiązanie na wolframalpha.comhttp: // www. wolframalpha. com/ input/ ?i= %28u%
29% 28d% 2Fdx% 28V% 28x% 2Cy% 2Cu% 29% 29% 29+ %2B+ %28u% 29% 28d% 2Fdy% 28V% 28x% 2Cy%
2Cu% 29% 29% 29+ %2B+ %28x% 2By% 29% 28d% 2Fdu% 28V% 28x% 2Cy% 2Cu% 29% 29% 29+ %3D+
0. Rozwiązanie
V (x, y, u) = φ
y − x,1 2
u2− 2xy
(83) Rozwiązanie równania wyjściowego to
φ
y − x,1 2
u2− 2xy
= 0 (84)
Rozwiązanie to możemy przekształcić do postaci jawnej, zakładając, że istnieje funkcja odwrotna Ψ do drugiego argumentu i otrzymujemy
1 2
u2− 2xy= Ψ (y − x) (85)
u = ± q
2Ψ (y − x) + 2xy (86)
Rozwiązanie na wolframalpha.comhttp: // www. wolframalpha. com/ input/ ?i= %28u%
29% 28d% 2Fdx% 28u% 28x% 2Cy% 29% 29% 29+ %2B+ %28u% 29% 28d% 2Fdy% 28u% 28x% 2Cy% 29%
29% 29+ %3D+ x+ %2B+ y.
Przedstawienie graficzne. Dla dwóch zmiennych niezależnych x1 = x i x2 = y rozwiązanie równania:
P (x, y, z)∂z
∂x+ Q (x, y, z)∂z
∂y = R (x, y, z) (87)
postaci z = f (x, y) jest pewną powierzchnią w przestrzeni, którą nazywamy powierzch- nią całkową danego równania. Wektor normalny do tej powierzchni wynosi:
∂z
∂x,∂z
∂y, −1
(88) Wektor normalny jest prostopadły do wektora (P, Q, R). Układ charakterystyczny tego równania jest następujący:
dx
P (x, y, z) = dy
Q (x, y, z) = dz
R (x, y, z) (89)
Z powyższego wynika, że krzywe całkowe tego układu równań nazywane również jego charakterystykami są styczne do wektora (P, Q, R). A zatem charakterystyki, które mają z powierzchnią z = f (x, y) jeden punkt wspólny, leżą więc całkowicie na tej powierzchni.
Przykład 7.
∂z
∂x+ ∂z
∂y = 0 (90)
Rozwiązanie:
z = Φ (y − x) (91)
Przykładowe rozwiązanie: z = y −x. Wektor normalny do tej powierzchni wynosi po prze- niesieniu na prawą stronę i obliczeniu pochodnych cząstkowych: [−1, 1, 1]. Jest on prosto- padły do wektora (P, Q, R) = [1, 1, 0]. Rozwiązanie na wolframalpha.com,http: // www.
wolframalpha. com/ input/ ?i= %28d% 2Fdx% 28u% 28x% 2Cy% 29% 29% 29+ %2B+ %28d% 2Fdy%
28u% 28x% 2Cy% 29% 29% 29+ %3D+ 0. Narysowane rozwiązanie na wolframalpha.com,http:
// www. wolframalpha. com/ input/ ?i= y+ -+x+ -+z+ %3D+ 0. Zagadnienie Cauchy’ego.
Dane jest n funkcji n − 1 zmiennych niezależnych t1, t2, . . . , tn−1. x1 = x1(t1, t2, . . . , tn− 1)
x2 = x2(t1, t2, . . . , tn− 1) . . .
xn= xn(t1, t2, . . . , tn− 1)
(92)
Zagadnienie Cauchy’ego dla równania różniczkowego cząstkowego liniowego polega na znalezieniu takiego rozwiązania:
z = ϕ (x1, x2, . . . , xn) (93) że po podstawieniu danych wcześniej n funkcji otrzymujemy wcześniej ustaloną funkcję ψ (t1, t2, . . . , tn−1) (94) czyli:
ϕ (x1(t1, t2, . . . , tn−1) , x2(t1, t2, . . . , tn−1) , . . . , xn(t1, t2, . . . , tn−1)) =
ψ (t1, t2, . . . , tn−1) (95)
Dla dwóch zmiennych niezależnych problem redukuje się do znalezienia powierzchni cał- kowej przechodzącej przez ustaloną krzywą. Jeśli krzywa ta ma styczną zmieniającą się w sposób ciągły i w żadnym punkcie nie jest styczna do jakiejś charakterystyki to za- gadnienie Cauchy’ego ma w pewnym otoczeniu tej krzywej jednoznaczne rozwiązanie.
Powierzchnia całkowa składa się wtedy ze wszystkich charakterystyk przecinających da- ną krzywą.
Przykład 8. Jak zdefiniować warunki Cauchy’ego aby poniższe równanie miało rozwią- zanie u = (y − x)2
∂u
∂x+∂u
∂y = 0 (96)
Odpowiedź: warunek brzmi
u (0, y) = y2 (97)
Krzywą (0, t, t2) można wyobrazić sobie w przestrzeni trójwymiarowej i przez nią musi przechodzić poszukiwana funkcja u.
Układ charakterystyczny
dx 1 = dy
1 (98)
A więc rozwiązaniem układu jest
C1 = y − x (99)
gdzie C1 jest stałą. Powyższe wyrażenie jest całką pierwszą układu charakterystycznego.
Rozwiązanie ogólne ma postać
φ (y − x) (100)
Jeśli ogólne rozwiązanie jest postaci powyższej, to możemy zauważyć, że u = (y − x)2 spełnia to równanie, ponadto spełnia dodatkowy warunek, jak podstawimy x = 0. Pyta- nie, czy jest to jedyna taka funkcja, która będzie takiej postaci jak rozwiązanie ogólne i spełniała dodatkowy warunek. Więcej informacji w [1], str. 362. Bardziej technicznie możemy wyprowadzić to rozwiązanie następująco. Traktując niezależnie zmienne x, y, u warunek możemy zapisać w postaci parametrycznej jako krzywą postaci
x = 0 (101)
y = t (102)
u = t2 (103)
Następnie tworzymy układ równań dołączając do powyższych równań całkę pierwszą
x = 0 (104)
y = t (105)
u = t2 (106)
C1 = y − x (107)
Zadanie polega na wyznaczeniu u z powyższego układu niezależnie od x, y, t, a zatem otrzymujemy
u = C12 (108)
Następnie podstawiamy wartości stałych i otrzymujemy
u (x, y) = (y − x)2 (109)
Przykład 9.
x∂u
∂x+ y∂u
∂y + z 2
∂u
∂z = 0 (110)
u (1, y, z) = y + z2 (111)
Układ charakterystyczny:
dx x = dy
y = 2dz
z (112)
Całki pierwsze:
y x = C1
z2
x = C2 (113)
Otrzymujemy układ
x = 1 y = t1
z = t2
y x = C1
z2 x = C2 u = t1+ t22
(114)
Stąd:
u = C1+ C2 (115)
I po podstawieniu całek pierwszych otrzymujemy u (x, y, z) = y
x +z2
x (116)
Rozwiązanie ogólne na wolframalpha.com, http: // www. wolframalpha. com/ input/
?i= x% 28d% 2Fdx% 28u% 28x% 2Cy% 2Cz% 29% 29% 29+ %2B+ y% 28d% 2Fdy% 28u% 28x% 2Cy% 2Cz%
29% 29% 29+ %2B+ z% 2F2% 28d% 2Fdz% 28u% 28x% 2Cy% 2Cz% 29% 29% 29+ %3D+ 0. Rozwiąza- nie zagadnienia Cauchy’ego na wolframalpha.com, http: // www. wolframalpha. com/
input/ ?i= x% 28d% 2Fdx% 28u% 28x% 2Cy% 2Cz% 29% 29% 29+ %2B+ y% 28d% 2Fdy% 28u% 28x%
2Cy% 2Cz% 29% 29% 29+ %2B+ z% 2F2% 28d% 2Fdz% 28u% 28x% 2Cy% 2Cz% 29% 29% 29+ %3D+ 0%
2C+ u% 281% 2Cy% 2Cz% 29+ %3D+ y+ %2B+ z^2.
Przykład 10. Przykład dla równania liniowego niejednorodnego x∂u
∂x+ y∂u
∂y = 6x − y (117)
z warunkiem
u (2, t) = t2
4 + 12 − t (118)
Najpierw tworzymy równanie jednorodne x∂V
∂x + y∂V
∂y + (6x − y)∂V
∂u = 0 (119)
Chcemy przekształcić warunek tak aby mógł być dołączony do równania jednorodnego.
Proponujemy następujące rozumowanie: jeśli mamy jakieś rozwiązanie szczególne u1(x, y) równania wyjściowego to możemy skonstruować rozwiązanie szczególne równania jed- norodnego, które mu odpowiada, to jest
V1(x, y, u) = u1(x, y) − u . (120) Możemy podstawić powyższe do równania (119) i otrzymujemy równanie wyjściowe dla u1.
Układ charakterystyczny
dx x = dy
y = du
6x − y (121)
Rozpatrujemy dwa równania
dx x = dy
y (122)
dy
y = du
6x − y (123)
Z pierwszego równania otrzymujemy
y = C1x (124)
C1 = y
x (125)
Po podstawieniu do drugiego równania x otrzymujemy dy
y = du 6Cy
1 − y (126)
Traktujemy zmienną u jako zmienną zależną. Otrzymujemy równanie różniczkowe zwy- czajne liniowe. Rozwiązaniem jest
u = C2+ 6 y C1
− y (127)
Rozwiązanie na wolframalpha.com http: // www. wolframalpha. com/ input/ ?i= dx%
2Fx+ %3D+ dy% 2F% 286x% 2FC+ -+x% 29. Całka pierwsza to
C2 = u − 6x + y (128)
A więc rozwiązaniem równania jednorodnego jest funkcja V = φ
y
x, u − 6x + y
(129) Rozwiązaniem równania wyjściowego jest funkcja u dana w postaci uwikłanej
φ
y
x, u − 6x + y
= 0 (130)
Po rozwikłaniu otrzymujemy
u − 6x + y = ψ
y x
(131) u = ψ
y x
+ 6x − y (132)
Możemy zauważyć, że warunek wyjściowy możemy przekształcić do postaci V (2, t, s) = t2
4 + 12 − t − s (133)
A więc otrzymujemy układ równań
x = 2 (134)
y = t (135)
u = s (136)
V = t2
4 + 12 − t − s (137)
C1 = y
x (138)
C2 = u − 6x + y (139)
Wyznaczamy V jako V = y2
2 + 12 − y − u = C12x2
2 + 12 − C1x − u = C12x2
2 + 12 − C1x − C2− 6x + y (140)
= C12x2
2 + 12 − C1x − C2− 6x + C1x = 2C12− C2 (141) A więc po podstawieniu za C1 i C2 otrzymujemy
V = 2y2
x2 − u + 6x − y (142)
Po przyrównaniu do 0 otrzymujemy 2y2
x2 − u + 6x − y = 0 (143)
u = 2y2
x2 + 6x − y (144)
Możemy sprawdzić, że powyższe jest rzeczywiście rozwiązaniem równania wyjściowego oraz że jest spełniony warunek wyjściowy. Rozwiązanie na wolframalpha.com http: //
www. wolframalpha. com/ input/ ?i= x% 28d% 2Fdx% 28u% 28x% 2Cy% 29% 29% 29+ %2B+ y%
28d% 2Fdy% 28u% 28x% 2Cy% 29% 29% 29+ %3D+ 6x+ -+y.
Inny sposób: mając dane rozwiązanie ogólne pytanie jest takie jak dobrać funkcję ψ aby był spełniony dany warunek. Możemy podstawić wartości zmiennych niezależnych z warunku do ogólnego rozwiązania a następnie podstawić ogólne rozwiązanie do warunku i otrzymujemy
ψ
t 2
+ 12 − t = t2
4 + 12 − t (145)
A więc
ψ
t 2
= t2 4 =
t 2
2
(146) A więc funkcja ψ jest funkcją kwadratową. A zatem otrzymujemy rozwiązanie szczególne
u = 2y2
x2 + 6x − y (147)
Inne pytanie jest takie, w jaki sposób wyznaczyć warunek Cauchy’ego dla podanego rozwiązania szczególnego? Można podstawić odpowiednie stałe do rozwiązania, przykła- dowo do powyższego rozwiązania podstawiamy x = 2 i otrzymujemy wyjściowy warunek.
Przykład 11. Znaleźć powierzchnię całkową równania pierwszego rzędu
∂z
∂x+ ∂z
∂y = z (148)
do której należy krzywa x = 0, z = ϕ (y). Układ charakterystyczny ma postać:
dx 1 = dy
1 = dz
z (149)
Charakterystykami przechodzącymi przez punkt (x0, y0, z0) są:
y = x − x0+ y0 (150)
z = z0ex−x0 (151)
Powierzchnia całkowa ma więc przedstawienie parametryczne postaci:
y = x + y0 (152)
z = exϕ (y0) (153)
przy czym podstawiliśmy x0 = 0, z0 = ϕ (y0). Wyeliminowanie y0 prowadzi do wzoru z = exϕ (y − x).
Rozwiązanie na wolframalpha.com, http: // www. wolframalpha. com/ input/ ?i=
%28d% 2Fdx% 28z% 28x% 2Cy% 29% 29% 29+ %2B+ %28d% 2Fdy% 28z% 28x% 2Cy% 29% 29% 29+ %3D+
z% 28x% 2Cy% 29.
1.2 Nieliniowe równania różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu Postać ogólną równania różniczkowego cząstkowego pierwszego rzędu nazywamy równa- nie uwikłane typu:
F
x1, . . . , xn, z, ∂z
∂x1, . . . , ∂z
∂xn
= 0 (154)
Rozwiązanie równania
z = ϕ (x1, . . . , xn; a1, . . . , an) (155) zależne od n parametrów aidla którego jakobian względem tych parametrów dla wartości x1, . . . , xn z rozpatrywanego obszaru nie znika:
∂ ϕ0x1, . . . , ϕ0xn
∂ (a1, . . . , an) 6= 0 (156) nazywamy całką zupełną.
Wszystkie rozwiązania o pochodnych cząstkowych rzędu pierwszego mogą być otrzy- mane z całki zupełnej za pomocą metody uzmiennienia stałych.
Oznaczamy
∂z
∂x = p (157)
∂z
∂y = q (158)
Ogólne równanie o pochodnych cząstkowych pierwszego rzędu
F (x, y, z, p, q) = 0 (159)
Całka zupełna w postaci uwikłanej
V (x, y, z, a, b) = 0 (160)
w postaci rozwiązanej względem z
z = φ (x, y, a, b) (161)
Mamy rodzinę powierzchni kulistych
(x − a)2+ (y − b)2+ z2 = R2 (162) Znaleźć równanie o pochodnych cząstkowych, dla którego ta rodzina stanowi całkę zu- pełną. Traktujemy z jako funkcję x i y, różniczkowujemy równanie względem x i y.
Następnie rugujemy a i b. Otrzymujemy
x − a + zp = 0 (163)
y − b + zq = 0 (164)
skąd
x − a = −zp (165)
y − b = −zq (166)
Po podstawieniu do wyjściowego równania otrzymujemy
z21 + p2+ q2= R2 (167)
Rozwiązanie ogólne otrzymujemy z równania na całkę zupełną, równania
b = ω (a) (168)
oraz równania
∂V
∂a +∂V
∂bω0(a) = 0 (169)
przez rugowanie a i b.
Aby otrzymać rozwiązania osobliwe wyliczmy a i b z równań
φ0a(x, y, a, b) = 0 (170)
φ0b(y, x, a, b) = 0 (171)
do równania (161). Otrzymamy konkretną funkcję z.
Inny przykład: całka zupełna jest dana jako
z = ax + by + ab (172)
Szukamy równania różniczkowego cząstkowego:
p = a (173)
q = b (174)
z = px + qy + pq (175)
Szukamy całki osobliwej:
0 = x + b (176)
0 = y + a (177)
z = −xy (178)
Szukamy całki ogólnej musimy obrać związek
b = ω (a) (179)
i rugujemy parametr a z równań
z = ax + ω (a) y + aω (a) (180)
0 = x + ω (a) + ω0(a) (y + a) (181) Całkowanie wyjściowego równania daje się sprowadzić do całkowania układu charak- terystycznego
dx1 P1
= . . . = dxn Pn
= dz
p1P1+ . . . + pnPn
= −dp1
X1+ p1Z = . . . = −dpn
Xn+ pnZ (182) gdzie
Z = ∂F
∂z (183)
Xi = ∂F
∂xi (184)
pi = ∂z
∂xi (185)
Pi = ∂F
∂pi (186)
dla i = 1, . . . , n Rozwiązania układu charakterystycznego, które spełniają dodatkowo warunek
F (x1, . . . , xn, z, p1, . . . , pn) = 0 (187) nazywamy wstęgami charakterystycznymi.
Mamy równanie
F (x, y, z, p, q) = 0 (188)
Chcemy wyznaczyć drugie równanie
Φ (x, y, z, p, q) = a (189)
tak aby układ tych równań spełniał warunek całkowalności zupełnej. W ten sposób otrzy- mujemy dla niewiadomej Φ równanie liniowe o pochodnych cząstkowych rzędu pierwszego
P∂Φ
∂x + Q∂Φ
∂y + (P p + Qq)∂Φ
∂z − (X + Zp)∂Φ
∂p − (Y + Zq)∂Φ
∂q = 0 (190) Równaniu temu odpowiada układ charakterystyczny
dx P = dy
Q = dz
P p + Qq = − dp
X + Zp = − dq
Y + Zq (191)
Znajdujemy jedną całkę pierwszą a więc
Φ (x, y, z, p, q) = a (192)
i z tego równania i z równania wyjściowego obliczamy p i q za pomocą zmiennych x, y, z i przez stałą a
Specjalne typy równań
F (p, q) = 0 (193)
Przykład 12. Rozwiązać równanie
∂u
∂x +∂u
∂y
∂u
∂y = 0 (194)
Rozwiązanie na wolframalpha.comhttp: // www. wolframalpha. com/ input/ ?i= %28d%
2Fdx% 28u% 28x% 2Cy% 29% 29% 29+ %2B+ %28d% 2Fdy% 28u% 28x% 2Cy% 29% 29% 29% 28d% 2Fdy%
28u% 28x% 2Cy% 29% 29% 29+ %3D+ 0. Pierwsze zadanie polega na znalezieniu dowolnej cał- ki zupełnej dla tego równania. Przekształcamy to równanie do postaci
p + q2 = 0 (195)
Następnie konstruujemy równanie liniowe 1∂Φ
∂x + 2q∂Φ
∂y = 0 (196)
Znajdujemy całkę pierwszą tego równania, która wynosi
C1= y − 2qx (197)
Z tego równania otrzymujemy
q = y − C1
2x (198)
A z równania (195) otrzymujemy
p = −(y − C1)2
4x2 (199)
Rozwiązujemy ten układ równań: Z pierwszego równania otrzymujemy z = y2
4x− C1y
2x + C2(x) (200)
Podstawiając do drugiego otrzymujemy
− y2
4x2 +C1y
2x2 + C20 (x) = −(y − C1)2
4x2 (201)
A więc
C20 (x) = −(y − C1)2 4x2 + y2
4x2 −C1y
2x2 (202)
A więc
C2(x) = (y − C1)2 4x − y2
4x+C1y
2x + C2 (203)
A więc
z = y2
4x−C1y
2x +(y − C1)2 4x − y2
4x+C1y
2x + C2= (y − C1)2
4x + C2 (204)
Sprawdzenie czy to jest całka zupełna, podstawiając do równania wyjściowego otrzy- mujemy
−(y − C1)2
4x2 + 2(y − C1)
4x 2(y − C1)
4x = 0 (205)
−(y − C1)2
4x2 +(y − C1)2
4x2 = 0 (206)
A więc rzeczywiście jest to całka zupełna.
Następnym etapem jest znalezienie rozwiązania ogólnego bazując na całce zupełnej.
Całka zupełna w postaci uwikłanej to
y2− 2C1y + C12+ 4C2x = 4xz (207) V = C12− 2yC1+ y2+ 4C2x − 4xz = 0 (208) Dołączamy równanie
C2 = ω (C1) (209)
gdzie ω(C1) to dowolna różniczkowalna funkcja. Podstawiamy to wyrażenie w V i otrzy- mujemy
V = C12− 2yC1+ y2+ 4ω (C1) x − 4xz = 0 (210) Dołączamy równanie
∂V
∂C1 + ∂V
∂C2ω0(C1) = 0 (211)
2C1− 2y + 4xω0(C1) = 0 (212) Jeśli obliczymy z tego C1 dla wybranej dowolnej funkcji ω to po podstawieniu do V otrzy- mamy rozwiązanie szczególne. Nie ma za bardzo jak podać wprost rozwiązania ogólnego, ponieważ najpierw musimy znaleźć C1(x, y, z) z równania (212). Przykładowo załóżmy, że
ω (C1) = C1 (213)
wtedy
2C1− 2y + 4x = 0 (214)
C1 = 2y − 4x
2 = y − 2x (215)
Podstawiając do z otrzymujemy z = 4x2
4x + C1 = 4x2
4x + y − 2x = x + y − 2x = y − x (216) Sprawdźmy, czy jest to rozwiązanie tego równania, po podstawieniu otrzymujemy
− 1 + 1 = 0 (217)
a więc jest to rozwiązanie szczególne równania wyjściowego.
1.3 Zagadnienia dodatkowe Układ kanoniczny równań różniczkowych.
2 Zadania
2.1 Zadania na 3.0
Znaleźć rozwiązanie ogólne równań:
•
x∂u
∂x + y∂u
∂y + z2y∂u
∂z = 0 (218)
• ∂u
∂z − (y + 2z)∂u
∂y + (2y + 4z)∂u
∂z = 0 (219)
• 1
u
∂u
∂x +1 u
∂u
∂y = x + y (220)
Rozwiązać zagadnienia Cauchy’ego:
•
z − y2∂u
∂x+ z∂u
∂y + y∂u
∂z = 0 (221)
u (0, y, z) = 2y (y − z) (222)
•
1 + x2∂u
∂x + xy∂u
∂y = 0 (223)
u (0, y) = y2 (224)
•
x∂u
∂x+ y∂u
∂y = u2y (225)
x = t y = t2 u = 1
(226)
Rozwiązać również powyższe równania symbolicznie w Matlabie i na wolframalpha. Wy- świetlić na wykresie w Matlabie przykładowe rozwiązanie. Do każdej całki pierwszej wyświetlić na wykresie w Matlabie pole kierunkowe. Wyświetlić na wykresie w Matlabie warunki Cauchy’ego.
2.2 Zadania na 4.0 Rozwiązać równanie:
(mz − ny)∂z
∂x+ (nx − lz)∂z
∂y = ly − mx (227)
gdzie l, m, n są stałe. Podać znaczenie geometryczne charakterystyk oraz rozwiązania ogólnego. Przedstawić na wykresie.
Rozwiązać również powyższe równania symbolicznie w Matlabie i na wolframalpha.
Wyświetlić na wykresie w Matlabie przykładowe rozwiązanie. Do każdej całki pierwszej wyświetlić na wykresie w Matlabie pole kierunkowe.
2.3 Zadania na 5.0
Rozważmy ruch dwóch punktów na płaszczyźnie oddziałujących ze sobą za pośrednic- twem siły grawitacji. Jeden z punktów znajduje się w początku układu współrzędnych.
Zapisać równania ruchu za pomocą funkcji Hamiltona. Rozwiązać te równania wykorzy- stując teorie układów kanonicznych równań różniczkowych.
Rozwiązać również powyższe równania symbolicznie w Matlabie i na wolframalpha.
Wyświetlić na wykresie w Matlabie przykładowe rozwiązanie. Do każdej całki pierwszej wyświetlić na wykresie w Matlabie pole kierunkowe.
Literatura
[1] W. W. Stiepanow, Równania różniczkowe. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1964.
11
