6. BADANIE WAHADŁA SPRĘŻYNOWEGO

KATEDRA FIZYKI

L A B O R A T O R I U M F I Z Y K I 6. BADANIE WAHADŁA SPRĘŻYNOWEGO

W laboratoryjnym układzie do badań wahadło sprężynowe (Rys. 1.) stanowi sztywnie zamocowana sprężyna z podwieszonymi na jej swobodnym końcu szalką i płytkami o sumarycznej masie ms + m. Ciężar Fg mas ms + m powoduje odchylenie sprężyny od położenia równowagi, skutkujące wydłużeniem x (Rys. 1b). Zgodnie z prawem Hooke’a w zakresie odkształceń sprężystych reakcję sprężyny (siłę sprężystości) Fs opisuje zależność:

∙ (1)

gdzie: x – wydłużenie sprężyny,

k – zależna od materiału stała sprężystości sprężyny, Znak „-” oznacza przeciwnie skierowany zwrot siły Fs do wychylenia x końca sprężyny z położenia równowagi.

W warunkach statycznych (nieruchoma szalka z masą m) zachodzi równość wartości sił Fs oraz Fg = (m+msz)·g.

∙ ∙ ∙ (2)

gdzie: g – wartość przyspieszenia ziemskiego,

Wobec powyższego między wydłużeniem x sprężyny a obciążającymi jej koniec masami płytek i szalki zachodzi zależność:

∙ ∙ (3)

Poprzez chwilowe zadziałanie skierowaną pionowo (w dół lub w górę) zewnętrzną siłą na masę m wahadło sprężynowe zacznie wykonywać drgania swobodne. Charakterystycznym dla tego dynamicznego w czasie zjawiska jest wykonywany w pionie posuwisto-zwrotny ruch końca sprężyny wraz z szalką i płytkami. Jeżeli amplituda drgań będzie na tyle niewielka, że odkształcenia sprężyny będą sprężyste, wtedy ruch wahadła można potraktować jako harmoniczny.

Zgodnie z teorią ruchu harmonicznego siła F odpowiedzialna za przyspieszenie układu drgającego o masie m+msz opisana jest zależnością:

∙ ∙ (4)

gdzie: ω – częstość drgań,

W przypadku wahadła sprężystego siłą F odpowiedzialną za drgania jest siła sprężystości Fs. Wobec tego z porównania (1) i (4) otrzymujemy relację:

∙ ∙ ∙ (5)

Biorąc pod uwagę, że

∙ (6)

gdzie: T –okres drgań, czyli czas wykonania jednego pełnego drgania,

oraz łącząc (5) i (6), okres T drgań swobodnych szalki i płytek podwieszonych do końca sprężyny Rys.1. a) zwisająca swobodnie sprężyna,

b) wahadło sprężynowe.

m

a b

x

Fs

Fg msz

o współczynniku sprężystości k wyraża się zależnością:

2 ∙ ∙ (7)

Bazująca na przesłankach teoretycznych zależność (7) dla nietłumionych drgań wahadła sprężynowego dobrze przewiduje zależność okresu T od parametrów m i k. Jednak w rzeczywistych warunkach laboratoryjnych ruch wahadła jest tłumiony przez opór powietrza, co skutkuje ciągłą stratą energii drgań. Dlatego pomiar czasu t drgań należy prowadzić w początkowej fazie zjawiska obejmującej kilkadziesiąt wahnięć, natomiast amplituda drgań powinna być na tyle mała, by ruch szalki z płytkami odbywał się z niewielkimi prędkościami. Staranność w dochowaniu tych zaleceń pozwala zminimalizować wpływ oporu powietrza na ruch wahadła i nie wprowadzać poprawek do analiz wyników pomiarów.

Ważnym czynnikiem wpływającym na wartość okresu T jest uwzględnienie niezerowej wartości masy własnej sprężyny ms i udziału jej fragmentów w ruchu wahadła. Wobec tego całkowita energia drgań E wahadła sprężynowego jest sumą energii drgań Em masy płytek m i szalki Esz oraz energii Es masy ms

sprężyny:

(8) Sumę energii ruchu drgającej masy m oraz złączonej z nią szalki o masie msz wyraża zależność przewidywana przez teorię ruchu harmonicznego:

∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ (9)

gdzie: A –amplituda drgań.

Przyjmuje się, że sprężyna wahadła jest jednorodna a jej masa własna ms rozłożona jest w sposób równomierny. Całkowita energia Es jest sumą (10) wkładów elementarnych wartości energii dEs drgań wykonywanych z identyczną częstością ω przez każdy fragment sprężyny oddalony o x od jej nieruchomego końca, mający grubość dx i masę elementarną dm, (Rys. 2.):

! (10)

Podczas drgań długość L sprężyny ulega ciągłym zmianom. Tylko w odniesieniu do swobodnego końca sprężyny amplituda A drgań będzie równa tej, z jaką drga szalka z płytkami. Natomiast pozostałe fragmenty oddalone o x (x < L) od punktu zaczepienia sprężyny (Rys. 2.) wykonują drgania o amplitudach mniejszych od A, i wartościach Ax opisanych zależnością (11):

"# $∙ (11)

Przyjmując, że materiał z którego wykonana została sprężyna jest jednorodny, jego gęstość liniową μ wyrażamy poprzez:

% _$ (12)

Ilość energii drgań dEs skumulowanej w elemencie o masie dm poruszającego się ruchem harmonicznym z częstością ω i amplitudą Ax wyrażamy różniczkową zależnością:

! ^{& ∙ ∙ '} (14)

Uwzględniając zależności (11) i (13) wyrażenie (14) przyjmuje postać:

! _$ ∙ ! ∙ (_$∙ ) ^{∙ ∙}_∙$* ∙ ∙ ! (15)

Biorąc pod uwagę (10) i (15) całkowita energia drgań sprężyny wynosi:

! ^{∙ ∙}_∙$* $

+ ! ^{∙ ∙}_∙$* ∙ ,^-_. ^./₊^{$ ∙ ∙}_∙$* ∙^-_.0^{. (1*∙ )∙ ∙} (16) Na podstawie otrzymanej zależności można stwierdzić, że udział w drganiach sprężyny w sposób efektywny wnosi jedynie trzecia część jej masy. Wyrażona wzorem (8) energia drgań rozważanego wahadła sprężynowego stanowi sumę składowych z zależnościami (9) i (16) i przyjmuje szczegółową postać:

∙ ∙ (¹_*∙ )∙ ∙ ( ²_*)∙ ∙

(17) Obecną w powyższym wyrażeniu sumę ( _.) można traktować jako kumulującą energię drgań sprężystych efektywną masę wahadła sprężynowego. Wynik otrzymany w (17) wprowadza do zależności (7) poprawkę uwzględniającą masę ms sprężyny wahadła:

2 ∙ ∙ ^2* (18)

Dla potrzeb analiz danych doświadczalnych zależność (18) wygodniej jest zapisać w formie przekształconej:

3∙ ∙ ^3∙ ∙ ( _.) (19)

Pierwszy składnik wyrażenia (19) może przyjmować wartość zmienną, zależną od masy płytek na szalce, podczas gdy drugi składnik jest niezmienny i wynika z cech elementów stałych danego wahadła sprężynowego.

WYKONANIE POMIARÓW

1. Zdjąć z końca sprężyny szalkę na płytki. Odczytać i zapisać położenie y0 końca sprężyny oraz oszacowane wartości niepewności pomiaru bezpośredniego położenia: Δd(y) wzorcowania i Δe(y) ekspery- mentatora. Oszacowane wartości niepewności przyjąć jako wspólne dla wszystkich pomiarów położeń w tym ćwiczeniu.

2. Obciążyć szalką koniec sprężyny. Odczytać i zapisać położenie ysz końca sprężyny. (Odczyty położenia dokonywać wykorzystując krawędź boczną czerwonego krążka doczepionego do końca sprężyny).

3. Zważyć płytkę na wadze laboratoryjnej i zapisać jej masę mi. Płytkę umieścić na szalce, następnie odczytać i zapisać położenie końca obciążonej sprężyny yi.

4. W chwili największego (lub najmniejszego) wychylenia szalki włączyć stoper, następnie zliczyć ni drgań mierząc czas ti ich trwania. Zapisać wartość ni oraz wartość ti a także oszacowane wartości niepewności:

Δd(t) wzorcowania oraz eksperymentatora Δe(t) uwzględniając momenty włączenia i stopera. Dla wszystkich pomiarów czasu drgań wahadła przyjąć identyczne wartości oszacowania niepewności.

UWAGA: Po wprawieniu wahadła w ruch drgający należy chwilę odczekać na ustabilizowanie ruchu wahadła, po czym rozpocząć pomiar liczby drgań i ich czasu. Liczba zmierzonych drgań powinna zawierać się w zakresie od 30 do 50.

4. Czynności z pkt. 3-4 należy powtórzyć stopniowo zwiększając masę płytek obciążających, co najmniej dla 5 różnych mas mi.

TABELA POMIARÓW 1

y0 ysz

[………..] [………]

Δd(y) = Δd(y0) = Δd(ysz) = …… Δe(y) = Δe(y0) = Δe(ysz) = ……

TABELA POMIARÓW 2

i mi yi ni ti

[……..] [……..] [-] [s]

1 2

Δd(t) = …… Δd(mi) = ……

Δe(t) = …… Δe(mi) = ……

OPRACOWANIE WYNIKÓW POMIARÓW CZĘŚĆ I.

1. Wykonać przykłady oszacowania rozszerzonej (k = 2) wartości całkowitej niepewności U(y):

4 5 ∙ ^{6∆89 : 6∆}_. ^{;9 :} (20)

4. Wykorzystując dane z powyższego przykładu wykonać przykład oszacowania całkowitej niepewności u(xi):

> < ?@^A#_A9⁼

B∙ 4 5+ C @^A#_A9⁼₌∙ 4 5< C 64 5+ : 64 5< : 2 ∙ 64 5 : √2 ∙ 4 5 (23)

5. Uzupełnić Tabelę Wyników 1 wartościami w jednostkach SI.

TABELA WYNIKÓW 1

i mi U(mi) xi U(xi)

[10^-3 kg] [10^-3 kg] [10^-3 m] [10^-3 m]

1 2

6. Wykonać wykres zależności wydłużenia wahadła x od masy m użytych płytek. Poprowadzić prostą najlepszego dopasowania do trendu ułożeń punktów doświadczalnych.

7. Korzystając z makrofunkcji REGLINP (arkusz Excel) wyznaczyć wartości parametrów a i b równania prostej dopasowania E ∙ F. Również wyznaczyć wartości u(a), u(b) oraz R². Otrzymane wartości wyrażone w jednostkach SI zapisać w Tabeli Wyników 2.

TABELA WYNIKÓW 2

nachylenie odcięta miara jakości

dopasowania

a u(a) b u(b) R²

[uzupełnij jednostkę] [uzupełnij jednostkę] [uzupełnij jednostkę] [uzupełnij jednostkę] [-]

przed zaokrągleniem po zaokrągleniu

8. Korzystając z wyniku (3) przewidywań teoretycznych i otrzymaną w pkt. 7 wartość nachylenia prostej obliczyć wartość współczynnika sprężystości sprężyny k badanego wahadła:

G (24)

Do obliczeń użyć wartość stałej g z nie mniej niż 4 cyframi znaczącymi!

9. Oszacować wartość niepewności u(k) współczynnika sprężystości:

> ?H^A_AG∙ > E I ( ^{∙J G}_G ) ∙^{J G}_G (25)

10. Korzystając z wyniku (3) przewidywań teoretycznych i wartości odciętej prostej otrzymanej w pkt. 7.

obliczyć wartość masy msz szalki badanego wahadła sprężynowego:

K

G (26)

11. Oszacować wartość niepewności u(msz) wyznaczenia masy szalki:

> ?H^A_AG ∙ > E I H^A_AK ∙ > F I ( ^{K∙J G}_G ) (^{J K}_G ) ∙ (^{J G}_G ) (^{J K}_K ) (27)

CZĘŚĆ II.

12. Wykonać przykłady oszacowania rozszerzonej (k = 2) wartości całkowitej niepewności U(t):

4 L ∙ ^{6∆8M : 6∆}_. ^{;M :} (28)

13. Dla dowolnego ti wykonać przykład obliczenia wartości Ti:

< M₌

N₌ (29)

14. Wykonać przykład oszacowania wartości całkowitej niepewności u(Ti):

> < ?@^A_AM⁼

=∙ 4 L< C (^{O M}_N=⁼) ^{O M}_N=⁼ (30)

15. Wykonać przykład obliczenia wartości Ti2

< <∙ < (31)

16. Wykonać przykład oszacowania wartości całkowitej niepewności u(Ti2):

>6 <: ?@^A_A⁼₌∙ > < C 62 ∙ <∙ > < : 2 ∙ > < ∙ < (32)

17. Uzupełnić Tabelę Wyników 3 wartościami wyrażonymi w jednostkach SI.

TABELA WYNIKÓW 3

18. Wykonać wykres zależności kwadratu okresu T² drgań wahadła sprężynowego od masy m użytych płytek. Poprowadzić prostą najlepszego dopasowania do trendu ułożeń punktów doświadczalnych.

19. Korzystając z makrofunkcji REGLINP (arkusz Excel) wyznaczyć wartości parametrów a i b równania prostej dopasowania E ∙ F. Również wyznaczyć wartości u(a), u(b) oraz R². Otrzymane wartości wyrażone w jednostkach SI zapisać w Tabeli Wyników 4.

TABELA WYNIKÓW 4

nachylenie odcięta miara jakości

dopasowania

a u(a) b u(b) R²

[uzupełnij jednostkę] [uzupełnij jednostkę] [uzupełnij jednostkę] [uzupełnij jednostkę] [-]

przed zaokrągleniem po zaokrągleniu

20. Korzystając z zależności (19) przewidywań teoretycznych i otrzymaną w pkt. 19 wartość nachylenia prostej obliczyć wartość współczynnika sprężystości sprężyny k badanego wahadła:

mi u(mi) ni ti u(t) Ti u(Ti) T²i u(T²i)

[10^-3 kg] [10^-3 kg] [-] [s] [s] [s] [s] [s²] [s²]

1 2

22. Korzystając z zależności (19) przewidywań teoretycznych, wartości odciętej prostej otrzymanej w pkt. 19. i wartości współczynnika sprężystości k otrzymanej w pkt. 20. obliczyć wartość masy sprężyny ms badanego wahadła sprężynowego:

3 ∙ (^K_G ) ⁽³⁵⁾

23. Oszacować wartość niepewności u(ms) wyznaczenia masy sprężyny:

> ?H^A_AG ∙ > E I H^A_AK ∙ > F I @_A^A ∙ > C

?H 2^.∙K_G ∙ > E I H^._G∙ > F I 6 3 ∙ > :

3 ( ^{∙K∙J G}_G ) (^{J K}_G ) 6> :

⁽³⁶⁾

24. Dokonać oceny zgodności zależności przewidywanych przez teorię ruchu harmonicznego z zależnościami otrzymanymi na drodze doświadczalnej. Zestawić w formie tabelarycznej wyznaczone wartości parametrów stałych badanego wahadła sprężynowego wraz z ich niepewnościami. Dokonać oceny zbieżności otrzymanych wartości (uwzględniając niepewności ich wyznaczenia) stałej sprężystości sprężyny w oparciu o wyniki pomiarów właściwości statycznych i dynamicznych wahadła.

LITERATURA

[1] SZYDŁOWSKI H.: Pracownia fizyczna, PWN, Warszawa 1994.

[2] DRYŃSKI T.: Ćwiczenia laboratoryjne z fizyki, PWN, Warszawa 1978.

[3] HALLIDAY D., RESNICK R., WALKER J.: Podstawy fizyki, cz. 1, PWN, Warszawa 2003.

[4] REWAJ T. (red.): Ćwiczenia laboratoryjne z fizyki w politechnice, PWN, Warszawa 1978.

[5] Ćwiczenia Laboratoryjne z Fizyki (praca zbiorowa), Skrypt Nr 279, Politechnika Opolska 2007.