GEOMETRIA PRZESTRZENNA Lista zadań nr 7
14.1. Podaj przykład dwóch izometrii, które komutują (mówimy, że odwzorowania F i G komutują, jeżeli F ◦ G = G ◦ F ) oraz dwóch takich, które nie komutują.
14.2. Pokaż, że izometrie przeprowadzają (proste w proste – było), płaszczyzny w płasz- czyzny, sfery w sfery i okręgi w okręgi.
14.3. Pokaż, że izometrie zachowują odległości punktu od prostej lub płaszczyzny, między prostymi, między płaszczyznami, pola, objetości, miary kątów (płaskich – było), dwu- ściennych, kątów między prostą a płaszczyzną itp. Spróbuj wymyślić coś, czego izome- trie nie zachowują.
14.4. Jakiego typu izometria liniowa przeprowadza punkt (x, y, z) na punkt:
a) (x, y, −z) b) (−y, x, z) c) (x, −y, −z) d) (y, z, x) e) (−x, −y, −z) f) (−y, x, −z) g) (y, −z, x) h) (y, −z, −x) i) (z, y, x) j) (x, y, z)?
15.1. O pewnej izometrii wiadomo, że każdą prostą przeprowadza na prostą do niej równo- legą. Czy ta izometria musi być translacją?
15.2. Pokaż, że dla dowolnego prostopadłościanu istnieje izometria, która ustawia go w następującym położeniu standardowym:
— jeden wierzchołek prostopadłościanu znajduje się w początku układu współrzęd- nych;
— trzy z jego krawędzi leżą na osiach układu współrzędnych.
Następnie ułóż i rozwiąż analogiczne zadanie dla kątów trójściennych (musisz najpierw ustalić, jak ma wyglądać położenie standardowe).
15.3. Wskaż możliwie dużo różnych izometrii, które przeprowadzają ustalony sześcian w siebie. Czy mogą być wśród nich izometrie bez punktu stałeego?
15.4. Zauważ, że:
a) symetria obrotowa z kątem obrotu π jest symetrią środkową (gdzie ma środek?);
c) złożenie obrotów wokół tej samej osi jest obrotem wokół tej samej osi o kąt równy sumie odpowiednich kątów obrotu.
Wywnioskuj z tego, że każdą symetrię obrotową można przedstawić jako złożenie symetrii środkowej i obrotu.
16.1. Pokaż, że izometria, która ma punkt stały, jest złożeniem co najwyżej trzech symetrii.
16.2. Pokaż, że izometria, która zachowuje punktowo pewną prostą, jest złożeniem co naj- wyżej dwóch symetrii. (Uwaga: mówimy, że odwzorowanie f : X → X zachowuje punktowo zbiór K ⊂ X, jeżeli f |K (f obcięte do K) jest identycznością.)
16.3. Czym może być izometria, która zachowuje punktowo pewną płaszczyznę?
16.4. Dane są cztery punkty A, B, C, D takie, że |AB| = |BC| = |CD| = |DA|. Czy z tego wynika, że istnieje izometria, która przeprowadza A na B, B na C, C na D i D na A?
