GEOMETRIA PRZESTRZENNA Lista zadań nr 2
3.1. Podaj równanie opisujące zbiór punktów równo odległych od punktów (−2, 0, 2) i (2, 2, 4). Jaki to zbiór?
3.2. Oblicz odległość między przeciwległymi krawędziami czworościanu foremnego o kra- wędzi długości 1.
3.3. Oblicz odległość między płaszczyznami wyznaczonymi przez dwie przeciwległe ściany ośmiościanu foremnego o krawędzi a.
3.4. Podaj przykład trzech prostych k, l, m parami skośnych o tej własności, że odległość d(k, l) = 3, d(l, m) = 4 a d(m, k) = 5.
(Alternatywna definicja odległości)
3.5. Dla dowolnych podzbiorów przestrzeni A i B niech dist(A, B) = min d(A, B), gdzie A i B są dowolnymi punktami odpowiednio w A i B ∈ B. Pokaż, że jeżeli A i B są zbiorami jednopunktowymi, prostymi lub płaszczyznami, to dist(A, B) = d(A, B).
4.1. Można napisać 33 różnych zdań postaci: Rzut prostopadły bździągwy na bździągwę może być bździągwą, zastępując słowo bździągwa słowami punkt, prosta bądź płasz- czyzna w odpowiedniej formie gramatycznej. Które z tych zdań są prawdziwe?
4.2. Znajdź punkty, które są rzutami:
a) wierzchołków sześcianu na prostą zawierającą przekątną jego ściany;
b) wierzchołków czworościanu na jedną z jego krawędzi.
4.3. Dany jest wielościan wypukły wykonany z nieznanego materiału o zmiennej gęstości.
Pokaż, że co najmniej jedna ze ścian tego wielościanu ma tę własnośc, że rzut środka ciężkości wielościanu na płaszczyznę ściany leży wewnątrz tej ściany. (Wskazówka:
postaw wielościan na stole i patrz, czy się przewróci.)
1
