Wymienione niżej wyniki przedstawiłem w maju 1966 r. na semi­

E.

(Poznań)

O pewnych klasach funkcji

Celem niniejszej pracy jest podanie pewnych uwag dotyczących klas funkcji okresowych i nieokresowych spełniających warunki Lip- schitza wyższych rzędów. Badania tego rodzaju rozpoczął 8 . Bernstein i A. Zygmund. W ostatnich latach stały się one przedmiotem wielu prac, zwłaszcza matematyków radzieckich (por. np. spis literatury na końcu pracy).

Wymienione niżej wyniki przedstawiłem w maju 1966 r. na semi­

narium prowadzonym pod kierunkiem Profesora W. Orlicza, któremu składam podziękowanie za życzliwe uwagi i pomoc w przygotowaniu pracy do druku.

Artykuł ten stanowi wstępną część pracy poświęconej całkom osobli­

wym, ogłoszonej w Annales Polonici MathematiciIV, 3 (1958), str. 249-268.

1. Definicje i przykłady. Weźmy pod uwagę klasę C2n funkcji ciągłych 27T-okresowych. Modułem ciągłości Tc-tego rzędu funkcji f(oc)eC2rz nazywamy

cok{d) = w*(<5; /) = max { max \Alf(%)\}, gdzie

к

4 / W = £ ( - i ) * " * ( • ) / ( * + « > .

i

=0

Moduł drugiego rzędu pisze się zwykle w postaci symetrycznej Ъ2(д) = max { max \f(x—h) — 2f (x) Jr f(x-\-h)\}.

Łatwo zauważyć, że

( 1 ) c o * + i ( < 5 ) < 2 c o ft(<5).

Niech Ж i a oznaczają dwie stałe dodatnie, przy czym a < Tc. Klasę funkcji o module spełniającym nierówności:

wf c ( ó ; /) < M ó a lub ojk(d‘, /) < Mdk{\ln<5| + 1 ) dla 0 < ó < n

R oczniki PTM - Prace Matematyczne III 8

114 R. Taberski

oznaczamy odpowiednio przez L ip^ a i W^Jc. W pracy ograniczamy się przeważnie do przypadków Ti = 1 i Tc — 2.

Pokażemy dla przykładu, że funkcja okresowa ( 2 ) f(x) = |sina?|a (O < a < 2 ) należy do klasy Lip^a.

Jak wiadomo, w przypadku 0 < a ^ 1 i

| sin“ <5 dla 0 < <5 < ^ ₇ c,

^ = 1 1 dla < <3 < 7 c.

Korzystając z ( 1 ) i przyjmując x 0 otrzymamy (3) co 2 (ó) 12 sin“ ó dla 0 < <5 < ,

l 2 dla -| ₇ c < <5 ^ те.

A więc

/ (x) e Lipf) a oraz / (a?) e Lipjj2) a.

Jeżeli l < a < ₂ , to w ₂ (ó) ma nadal postać (3). Aby to wykazać, wystarczy udowodnić nierówność

(4) | /(a > -A )-2 /(* )+ /(® + A)| < 2/(A)

dla i (równość zachodzi, gdy ₀ = ₀ ).

Rozróżnimy dwa przypadki:

P r z y p a d e k 1. f {x — Ti) — 2f(x)-\-f(x-\-h) ^ ₀ . Mamy

f {x — h ) - 2 f ( x ) + f ( x + h ) =

= |sina?cos& — cosa?sinfr|a — 2 sinaa?+ | sin x cos Ti + cos x sinh\a.

Korzystając z nierówności

(5) ( a - 6 )a + (a + ó )a < 2 ( a e+&°), słusznej dla а ^ Ъ ^ 0 (przy 1 < a < 2), dostajemy

f { x ~ Тъ)~ ₂ /(сс) + /(ж+Л) ^ ₂ [cosa ₀ sin“A—sina ₀ ( l —cos“/i)] <

< 2sinaA =,2/(A).

P r z y p a d e k 2. /(a? — A) — 2/(a?)+/(® +A) < 0 , a więc 0 < 2 /(a ? )~

- [ / ( ® - Л ) + /(® + А)].

Kależy udowodnić, że

2f{x) — [/(® —*) + /(® + A)] < 2 /(A ),

czyli

2 sin“a? — [|sin(<r — A)|°+ |sin(a? + A)|“] < ₂ sina^, lub

2 (sinaa? —sina7&) ^ |sina?cos/i — cos<rsmA|“ + |sinajcos/i + cosa?sin&|a.

Jeżeli x < h, to ostatnia nierówność jest oczywista. Przypuśćmy, że x > h. Ponieważ

( ₆ ) 2{aa- b a) < ( a - b ) a+ ( a + b)a dla a > b > _{0 (1} < a < ₂ ), wystarczy udowodnić nierówność

(7) 2(sinaa?—sina/&) < 2 [sinaa?cosa/i — cosa«sina/i], czyli

sinaa? sinah

( 8 ) --- < ---

1 —cos“a? 1 —cosa7&

(gdy h = 0, w (7) występuje znak równości). Łatwo sprawdzić, że у — sina# /( l — cos"#) jest funkcją, malejącą w przedziale ( 0 , | 7 т), a więc zachodzi ( 8 ).

U w aga. Moduł oo2(ó) przy a = 2 można obliczyć bezpośrednio.

Rachunki wówczas znacznie się upraszczają. Z przedstawienia f ( x - h ) — 2f(x)-\-f(x-{-h) = h2f"(^), gdzie х —

widać od razu, że f ( x ) e Lip| 2 ) 2 .

W podobny sposób oblicza się moduł ciągłości funkcji f(x) = | ₂ sin-|£c|a ₍₀ < a < ₂ ).

Dostajemy

co 2 (ó) = 2(2sin£<5)a dla 0 < <5 ^ тг.

A więc f{x)e Lipj^oc.

Ostatni przykład wykorzystuję w pracy, o której wspomniałem we wstępie.

Analogiczne definicje modułów i klas wprowadza się w przypadku funkcji ciągłych nieokresowych, określonych w przedziale właściwym lub niewłaściwym (ograniczamy stosownie zakres zmienności x i h).

Można udowodnić, że w dowolnym przedziale <—c, c} (właściwym lub nie) funkcja f{x) = \x\a (0 < a < 2 ) ma moduł co2(ó) = 2óa (0 <

< ó < c). Rachunki przeprowadza się jak wyżej (2), z tym że nie trzeba

odróżniać przypadku 2, ponieważ f(x) jest funkcją wypukłą. Mamy zatem

przykład funkcji klasy Lipj^a (0 < a < 2 ) w przedziale ( — e , c ) .

116 R. Taberski

2. Relacje między klasami. Zajmiemy się naprzód przypadkiem funkcji okresowych f ( x ) e C 2v:. Z nierówności (1) wynika bezpośrednio, że

L ip$a C L ip iec, gdy 0 < a < 1.

Znane jest również twierdzenie w pewnym sensie odwrotne:

Istnieją stale P — P ( M , a) i Q = Q( M), przy których L ipg a C Lip^ a, gdy 0 < a < 1, oraz

L ip g l C F§>1 (patrz [7], str. 51-52, 63; [3], str. 141-145).

Klasa L ip ^ l nie zawiera się w żadnej z klas Lip$ 1 (patrz [1], str.

162-165, funkcja Weierstrassa).

U w aga. W konstruktywnej teorii ([3], str. 132-135) wyznacza się P i Q w przypadku 0 < ó < Łatwo jednak dowieść, że można dobrać P i Q dla wszystkich <5 z rozważanego tu przedziału 0 < <5 ^ n.

Zachodzi również następujące

T wierdzenie 1. Jeżeli 1 < a < 2, to istnieje taka stała В — R ( M , a), że Lip^a C L ip $ l.

D ow ód . M ech f ( x ) e L ip §a _{( 1} < a < 2). Oznaczmy przez najlepsze przybliżenie funkcji f{x) wielomianami trygonometrycznymi stopnia co najwyżej n.

Mt mocy twierdzenia Stieczkina ([4], str. 226-227)

(9) ElU) < CM In",

gdzie C jest pewną stałą uniwersalną. Zastosujemy teraz metodę Bern­

steina ([3], str. 132-135). M ech Tn{x) będzie wielomianem (trygono­

metrycznym) najlepszego przybliżenia; określamy ciąg

U0{x) = Т г(х), Un{x) = T 2n(x) — T2n-i(x)j n = 1 ,2 , ... . Oczywiście

OO

f(x) = ^ Un(x).

n= 0 Korzystając z (9) dostajemy

|!7„И| < |Ts.(® )-/(® )| + |/(® )-2>-i(® )| < C M (l + 2“)/2“ . Na mocy nierówności Bernsteina ([3], str. 123-124)

■ли'пШ ^ C M ( i + 2 a)i&a- 1)n.

A więc

OO

oo

\f(x) — f{x+h)\ < ^ \TJn{x)— Un(x + h)| = h \и'п( х + Щ \ <

Można otrzymać ogólniejsze wyniki.

T w ierdzenie 2.

1° Lip^a C L ip ^ ^ a , gdy 0 < a <

istnieją stale P = P{ k, M , a), Q — Q(k, M) i В = j R(A;, Ж , a), przy których,

2 ° Lip^+1) a C Lipj^ a, 0 < a < &, 3° Lip£+1)&C W ^ k ,

4° Lip^+1)a C Lipj^fe, gdy к < a < fc-fl.

S zk ic d ow od u . Relacja 1° wynika z nierówności (1). Następnych relacji dowodzimy poprzez E'n{f): jeżeli /(a?) eLip^+1)a ₍₀ < a < & + ₁ ),

([4], str. 226-227); modyfikując metodę Bernsteina i Zygmunda ([3], str. 132-135 i 143-144) wykazujemy 2°, 3° i 4°.

Przejdźmy teraz do funkcji ciągłych nieokresowych, określonych w przedziale właściwym: /(ж )e(7<a, &>. Jak wyżej, z nierówności ( 1 ) wynika zawieranie

Timan ([5], str. 244 i dalsze) pokazał, że jeżeli /(a?)eLip£2fl oraz f(a) = f(b) = 0 , to

OO

ОЖ ( 1 + 2 “) ^ ( l / 2 (a" 1 )n) U ; stąd

/) < CM ■ г— - — д = Р д , czyli /(a?)eLipgl, c. n. o.

A ---1

to

K l f ) < C(k)Mjna

Lip*§a C ŁipiuH1*") gdy 0 < a <; k.

Istnieje funkcja, dla której znak < przechodzi w = . Widać stąd, iż

klasa L ip j^ l jest szersza od L ip ^ l i nie zawiera się w żadnej z klas

L ip $ l.

118 E. Taberski

Podamy teraz odpowiednik twierdzenia 1 . Weźmy pod uwagę pod- klasę L ip §;jba funkcji f ( x ) e Lip^a (w <a , b » spełniających warunek ( 1 0 ) \f{o>) — f{b)\ < L,

gdzie L jest pewną stałą.

T wierdzenie 3. Dla dowolnych M , L i a (1 < a < 2) można znaleźć stałą R = B (M , L , a), przy której

L ip $; i a C L ip g l w przedziale <a , 6 ).

D ow ód . Niech /(a^eLip^.^a (1 < а < 2). Przypuśćmy, że a = 0 i /(u) = 0, przez co nie zmniejszymy ogólności. Utwórzmy funkcję pomoc­

niczą <p{x) = f(x) — xf{b)jb. Mamy <p(a) — <p{b) = 0 i oczywiście <p(x)e eLip^a. Przedłużmy cp(x) w sposób podany w lemacie 2, §3. Na pod­

stawie zacytowanego lematu dostaniemy funkcję okresową Ф(я?)е 1 л р ^ а (na całej prostej). Na mocy twierdzenia 1 , przy pewnej stałej 8, Ф{х)е e L ip ^ l; a więc tym bardziej 9 ?(a?)eLip^l w przedziale (a, 6 ). Innymi słowy,

\(p{x) — cp{x-\- h) < Sh, czyli |/(a?)—■ /(гс+й.)| < (8-ł-\f{b)jb\)h.

Wobec (10), \f(b)lb\ < L/b-, zatem \f(x)—f(x-{-h)\^.Rh, gdzie

< (8-\-Llb), c. n. o.

Uwaga. Twierdzenie 3 przestaje być prawdziwe, jeżeli w jego sfor­

mułowaniu zastąpimy Lip(^; i « przez Lip||) a. Oto przykład. Zbiór funkcji liniowych fm(x) = mx (m = 1 , 2 , . . . ) zawarty jest w dowolnej kla­

sie L ip § « (0 < a < 2) w przedziale < 0 ,1>. Zbiór ten nie zawiera się jednak w żadnej z klas L ip ^ l (w < 0 , 1 )).

3. Najlepsze przybliżenie. W tym paragrafie przedstawione zostaną wyniki uzyskane dla funkcji nieokresowych. Analogiczne twierdzenia w przypadku okresowym są znane.

Montel ([ ₂ ], str. 182) udowodnił, że jeżeli f(x) jest funkcją ciągłą i /(aOeLipga _{( 1} ^ a ^ ₂ ) w przedziale by, to w dowolnym pod- przedziale (a-\-e,b — e)

En(f) ^ K ( e ) l n a,

przy czym K { e ) - > o o , gdy e -> 0 + {En(f) oznacza najlepsze przybli­

żenie funkcji f{x) wielomianami algebraicznymi stopnia co najwyżej n).

Pokażemy obecnie, że zachodzi mocniejsze

T wierdzenie 4. Jeżeli f(x) jest funkcją ciągłą i /(ж )е к р § а ( 1 < а < ₂ ) w (a , by, to w całym przedziale <a , ₆ )

En{ f ) ^ K \ n a,

gdzie К jest pewną stałą.

U w aga 1. Dla a = 1 sformułowane twierdzenie udowodnili Timan i Dziadyk [ ₆ ].

U w aga 2. Można przyjąć f(a) = f(b) — 0. W przeciwnym razie tak dobralibyśmy A i B, by funkcja cp(x) — f(x)-\-Ax-\-B miała tę własność. Oczywiście, <p(x)eLipjjja oraz F n(f) = F n(<p).

L emat 1. Jeżeli f(x) jest funkcją ciągłą w przedziale <a , b>, f(a) =

= f(b) = ₀ oraz f ( x ) e Lip^a _{( 1} < a < ₂ ) w (a, b}, to тах|/(ж)| ^ \M{b — a)a.

L emat 2 . O funkcji f(x) zakładamy to samo co w lemacie 1. Niech

F(x) - -

— f(2a — x) dla 2a — b ^ . x < a , f(x) dla a ^ x ^ b,

przedłużenie okresowe dla pozostałych x.

Wówczas F(x) jest funkcją ciągłą o okresie 2 (b — a) oraz _F(®)«LipSU (1 ^ a ^ 2 ) na całej prostej.

Dowód lematu 1 przeprowadza się w zasadzie tak jak w pracy [5]

(str. 247-248, § 2). Metodą podaną w [ 6 ] (lemat na str. 500) udowodnimy teraz drugą część lematu ₂ . M e ograniczając ogólności można przyjąć a = 0. Wtedy /(0) = f(b) = 0 oraz

F{x) =

— f( — x) dla —b ^ . x < 0 , f(x) dla ₀ < x ^ b,

przedłużenie okresowe dla pozostałych x.

Wystarczy rozważyć dwa przypadki:

P r z y p a d e k 1. x — h < 0 < x < x + h < b. Wynika stąd 0 < ж <

< h < b. Obierzmy liczbę naturalną p i 0 < § < 2 tak, by

( _{1 1} ) li = (2p — ₁ + #)®.

Przypuśćmy naprzód, że p = 1. Korzystając z tożsamości F ( x - h ) - 2 F ( x ) + F ( x + h ) = { f ( 0 ) - 2 f ( x ) + f { 2 x ) } +

+ { /( 0 ) - 2 / [ ( l + ł#)® ] + /[ ( 2 + # ) a ? ] } - { /( f t p ) - 2 / [ ( l + i # ) ® ] + /( 2 ®)) dostajemy

(12) \F{x—h) — 2F{x) + F{x+h)\ <

< Щ 1 + (1 + £ # ) “+ ( ! - W ] < 6Mha.

1 2 0

R. Taberski

Jeżeli

> 2, to

F ( x — h) — 2 F (x) Ą-F (x + h) =

p —2

= {/[2(p — г)ж] — 2 / [ 2 ( р - г — 1)я] + / ( [ 2 ( р - г - 2 ) ж ] } +

г = 0

+ {/(0)-2/(®) + /(2®)) + {/[(2p-2)*]-2/[(2p-l+i#)a>] +

+ / [ ( 2 p + #)®]} —( /[ ( 2 p — 2 + #)®] — 2 / [ ( 2 p —l + ł#)® ] + / ( 2 p»)}.

Stąd

|^(ж—А ) - 2 ^(я?) + ^(ж+Л.)| < Ж [ 2 а( р - 1 ) + 1 + ( 1 + |^)а+ ( 1 - ^ ) а]^“ <

< i f [2ap + 2 ] a?“ < 2М{2р-\-±)ха.

N a mocy (11) jest x

Д/(2р— 1-f-#), czyli x ^ h j ( 2 p

1). A więc

(13) \ F ( x - h ) - 2 F ( x )

F{x+h)\ < 2M

+ ^ - ha < Mha .

P r z y p a d e k 2. ж — / г, < 0 < ж < b < я+й. T y m s a m y m b < 2Ть N a podstawie lematu 1, max|.F(a?)| ^

Mba. Zatem

X

\ F ( x - h ) - 2 F ( x ) + F ( x + h)\ < у Mba < }Ж (2 й )а = } 2 а+ 2 т а, czyli

(14) |^(ж-Л)-2^(ж)+^(®+Л)| < -^-ЖГ.

Z (12), (13) i (14) wynika, że

c

oz( d ) F

< 6Mda dla 0 <

< b — a, c. n. o.

A b y otrzymać twierdzenie 4, wystarczy skorzystać z lematu 2 i twierdzenia Montela.

Opierając się na lemacie ([3], str. 162-163) i twierdzeniu 4 łatwo można udowodnić

T w i e r d z e n i e 5. Jeżeli f(x) ma ciągłą p-tą pochodną i f v\x) eLip^a ( 1 ^

<

w (a , b}, to w tym przedziale zachodzi nierówność

E M ) « gdzie L jest pewną stalą.

Prace cytowane

[1] N. J. A c h i ez er, Teoria aproksymacji, Warszawa 1957.

[2] P. M o n te l, Sur les polynomes d’approximation, Bull. Soc. Math. France

46 (1918), str. 151-192.

[3] И. П. Н а т а н с о н , Конструктивная теория функций, Москва-Ленин- град 1949.

[4] С. Б. С т е ч к и н , О порядке наилучших приближений непрерывных функ­

ций, Известия А к. Наук СССР, серия мат., 15 (1951), str. 219-242.

[5] А. Ф. Т и м а н , О квази-гладких функциях, Известия Ак. Наук СССР, серия мат., 15 (1951), str. 243-254.

[6] А. Ф. Т и м а н и В. К. Д з я д ы к , О наилучшем приближении квази- -гладких функций обыкновенными полиномами, Доклады А к. Наук СССР 75 (1950), str. 499-501.

[7] A. Z y g m u n d , Smooth functions, Duke Math. Journ. 12 (1945), str. 4 7 - 7 6

P. Т

(Познань)

О Н Е К О Т О Р Ы Х К Л А С С А Х Ф У Н К Ц И Й Р Е З ЮМ Е

В работе установлены соотношения между классами непрерывных функций, удовлетворяющих условиям Липшица высших порядков; доказана теорема о наилучшем приближении непериодических функций алгебраическими поли­

номами.

R. T

(Poznań)

ON SOME CLASSES OF FU N CTIO N S S U M M A R Y

In this paper we state the relations between classes of continuous fun­

ctions, satisfying Lipschitz conditions of higher orders; moreover, we prove

a theorem concerning the best approximation of non-periodic functions by

algebraic polynomials.