O pewnym zagadnieniu F. Leji dotyczącym sumowania kierunkowego macierzy

(1)

F. B

arański

(Kraków)

O pewnym zagadnieniu F. Leji dotyczącym sumowania kierunkowego macierzy

1. F. Leja w pracy zamieszczonej w Math. Annalen, tom 103, zeszyt 2 , pt. „Sur la notion de convergence des series doubles” wprowadził pojęcie sumowania macierzy

<* 00 ? <* 01 ? <* 02 ? • • •

^ <10? <11? <*12? • • •

<20? <21 ? <*22? • • • w dowolnym kierunku w następujący sposób.

Niech X oznacza dowolną liczbę dodatnią, l ustalony kierunek, przy czym a jest kątem między kierunkiem wierszy macierzy ( 1 ) i danym kie

runkiem l. Niech

ctga

^—

t, 0 < t <

^{o o ,}

i niech A(X,Xt) oznacza trójkąt (domknięty) utworzony przez pierwszy wiersz, pierwszą kolumnę i prostą łączącą punkt X na pierwszej kolumnie z punktem Xt na pierwszym wierszu. Dalej niech

( 2 ) S(A, t ) = У aa

2 (

a

, U)

oznacza sumę wyrazów macierzy (1) zawartych w trójkącie A(X, Xt).

Przy ustalonym t suma (2) jest funkcją schodkową zmiennej X. Jeżeli istnieje

lim S(X,t) =

⁸

{t),

A-+00

to S(t) nazywamy sumą w kierunku t macierzy ( 1 ).

Jeżeli t = oo, mamy tzw. sumowanie wierszami:

n oo

lim$(A,

^{o o )}

= lim ^ £ aik =

⁸

(oo),

Пг-ЮО k=0

(2)

jeżeli t = O — sumowanie kolumnami:

n

⁰⁰

lim$(A, 0 ) = lim 2 * £ aik = ^ (°).

A->oo

п-юо

fc_Q £_g

W cytowanej powyżej pracy F. Leja podał przykład macierzy (1) sumo walnej w każdym kierunku do tej samej liczby, przy czym odnośny szereg podwójny jest rozbieżny (w sensie Pringsheima).

2. W związku z sumowaniem kierunkowym F. Leja postawił zagad

nienie zbadania własności funkcji S(t). Między innymi chodziło o zbada

nie, czy istnieje macierz ( 1 ) sumo walna w każdym kierunku do innej sumy.

Podamy przykład takiej właśnie macierzy. Weźmy pod uwagę macierz O, ] 0 g | l + i j , ..., l o g | l - f , ...

log ( l

~f~ t"), O, O , . . . , O,

dla której

^oo = ® — O dla Tc Ф O, a0/c = log | l -J- —j , Щ0 — — lo g |l + -

7

-| dla i Ф O, aik — O dla i ФО, к ^ 0.

Wykażemy, że macierz (3) jest sumowalna w kierunku t do funkcji logi dla O < t < oo. Istotnie, jeżeli t < 1 , to

fl(A,i) **Ы1+^)+- +1°*(1+;** ^{) ]} = - * * £ + * m m gdzie

czyli

m

= [ A i ] + 1 ,

n

= [ A] ( l ) ,

S(X, t) = — log /---- -— [я] ■)

* \ [ A i ] + l + [ A i ] + 1 /

l1) Symbol [aj oznacza część całkowitą liczby a.

(3)

i wobec tego

S(h, t)

-

log*

= $ ( * ) ;

jeżeli t

> 1 ,

to

8(h, t ) = l o g ( ~

+ —

),

\ m ml gdzie

m

⁼

[Я]

^{+ 1 ,}

n — [ht], czyli

/ i [Я*]

**т , * ) - ю е ( ш -1 + т + 1** wobec czego

8 ( t y = ] i m S ( h , t ) — log*.

Л-+00

Ponadto

S(

o o ) = o o ,

S

( 0 ) = — o o .

Jest widoczne, że macierz (2) nie jest sumowalna w sensie Pringsheima, tzn. nie istnieje

m9n lim £ aik.

m,n-+oo it=o

3. P rzypadek trójw ym iarow y. Weźmy pod uwagę macierz tró j

wymiarową o wyrazach

( 4 )

dpqr

,

V i Q_) V — § 1

1 , 2 , . . .

Niech Я oznacza współrzędną punktu na osi p, a , u dwie dowolne* Mczby dodatnie (ustalone), ht współrzędną punktu na osi q oraz hu współ

rzędną punktu na osi r.

Niech А (Я, ht, hu) oznacza czworościan (domknięty) ograniczony płaszczyznami układu oraz płaszczyzną odcinającą na osiach p , q , r odpowiednio odcinki h, ht, hu i niech

(5) S ( A , t , u ) = J ? apgr

Ям)

będzie sumą wyrazów macierzy (4) należących do czworościanu А (Я, ht, hu).

Przy ustalonych t, u suma ( 6 ) jest funkcją schodkową zmiennej Я. Gra

nicę

lim S(h, t, u) = 8{t, u)

A->oo

nazywamy sumą macierzy (4) w dwukierunhu (t , u).

(4)

Podamy teraz przykład macierzy (4), dla której 8(ł, u) jest postaci Al o g t +Bl o g u (А, В stałe różne od zera),

oraz przykład macierzy (4), dla której S( t , u) jest funkcją różnowar- tościową.

P r z y k ła d 1. Mech сг, c2, e3 oznaczają trzy liczby różne od zera, dla których

сх + с2+ с

^{3 =} ^{0 .}

Weźmy pod uwagę macierz

<*ooo = Oj

*poo — c i l ° g 1 1 + / 1

**<*o«o** = G2 log | l i ■ —| ,

<* 00 r = C 3 ! o g |l + ^ j,

P = 1 , 2 , . . . ,

2 = 1 , 2 , . . . ,

*■ = 1 , 2 , . . . ,

*pqr 0 dla pozostałych wskaźników.

Jeżeli 0 < i <

^{o o ,}

0 < u <

^{o o ,}

to na podstawie poprzedniego przy

kładu

S(t, u) = c 2 logtf+c 3 logw.

P r z y k ła d 2 . Mech cx, c21 c2 oznaczają trzecie pierwiastki z je dynki, tzn.

1 ,

g

2 — 1 13 i Уз

°8 2 2 1‘

Wówczas funkcja S(t, u) z poprzedniego przykładu jest różnowar- tościowa.

Istotnie, ponieważ

1 , /3 tx S ( h , Ux) — log^% + — tlog —

2 2 %

oraz

и г) = — ^ logt2u 2 + ilog — ,

л л 2

więc z równości ux) = $(tf2, w2) wynika, że

, h i ^2

oraz log — = log — ,

log < 1 % = log t2u2

(5)

skąd

txux — t2u 2 oraz t2u x = łxu z i, z uwagi na to, że wszystkie te liczby są dodatnie,

Ux = ^ 2 , tX == t2 .

Nasuwa się zagadnienie skonstruowania takiej macierzy ( 1 ), dla której suma w kierunku ł jest równa f(t), gdzie f(t) jest z góry daną funkcją ciągłą i ograniczoną dla

^{0 <}

t

< o o .

Ф.

Бараньски

(Краков)

О НЕКОТОРОЙ ПРОБЛЕМЕ Ф. ЛЕЙА КАСАЮЩЕЙСЯ СУММИРОВАНИЯ БЕСКОНЕЧНЫХ МАТРИЦ ПО ДАННОМ НАПРАВЛЕНИИ

РЕЗЮМЕ

Даются примеры матриц, для которых сумма в данном направлении явля

ется однозначной функцией направления.

Даны примеры матриц 2- и 3-мерных.

F.

Ba r a ń s k i

(Kraków)

ON A PROBLEM OF F. LEJA CONCERNING THE SUMMABILITY OF MATRICES IN GIVEN DIRECTION

S U M M A R Y

O pewnym zagadnieniu F. Leji dotyczącym sumowania kierunkowego macierzy

F. B

(Kraków)

O pewnym zagadnieniu F. Leji dotyczącym sumowania kierunkowego macierzy

1. F. Leja w pracy zamieszczonej w Math. Annalen, tom 103, zeszyt 2 , pt. „Sur la notion de convergence des series doubles” wprowadził pojęcie sumowania macierzy

<* 00 ? <* 01 ? <* 02 ? • • •

^ <*10? <*11? <*12? • • •

<*20? <*21 ? <*22? • • • w dowolnym kierunku w następujący sposób.

Niech X oznacza dowolną liczbę dodatnią, l ustalony kierunek, przy czym a jest kątem między kierunkiem wierszy macierzy ( 1 ) i danym kie­

runkiem l. Niech

ctga

t, 0 < t <

i niech A(X,Xt) oznacza trójkąt (domknięty) utworzony przez pierwszy wiersz, pierwszą kolumnę i prostą łączącą punkt X na pierwszej kolumnie z punktem Xt na pierwszym wierszu. Dalej niech

( 2 ) S(A, t ) = У aa

2 (

, U)

oznacza sumę wyrazów macierzy (1) zawartych w trójkącie A(X, Xt).

Przy ustalonym t suma (2) jest funkcją schodkową zmiennej X. Jeżeli istnieje

lim S(X,t) =

{t),

to S(t) nazywamy sumą w kierunku t macierzy ( 1 ).

Jeżeli t = oo, mamy tzw. sumowanie wierszami:

lim$(A,

= lim ^ £ aik =

(oo),

jeżeli t = O — sumowanie kolumnami:

n

lim$(A, 0 ) = lim 2 * £ aik = ^ (°).

п-юо

W cytowanej powyżej pracy F. Leja podał przykład macierzy (1) sumo walnej w każdym kierunku do tej samej liczby, przy czym odnośny szereg podwójny jest rozbieżny (w sensie Pringsheima).

2. W związku z sumowaniem kierunkowym F. Leja postawił zagad­

nienie zbadania własności funkcji S(t). Między innymi chodziło o zbada­

nie, czy istnieje macierz ( 1 ) sumo walna w każdym kierunku do innej sumy.

Podamy przykład takiej właśnie macierzy. Weźmy pod uwagę macierz O, ] 0 g | l + i j , ..., l o g | l - f , ...

log ( l

dla której

^oo = ® — O dla Tc Ф O, a0/c = log | l -J- —j , Щ0 — — lo g |l + -

-| dla i Ф O, aik — O dla i ФО, к ^ 0.

Wykażemy, że macierz (3) jest sumowalna w kierunku t do funkcji logi dla O < t < oo. Istotnie, jeżeli t < 1 , to

fl(A,i) Ы1+^)+- +1°*(1+; ) ] = - * * £ + * m m gdzie

czyli

m

n

S(X, t) = — log /---- -— [я] ■)

l1) Symbol [aj oznacza część całkowitą liczby a.

i wobec tego

S(h, t)

log*

jeżeli t

to

8(h, t ) = l o g ( ~

),

\ m ml gdzie

m

[Я]

n — [ht], czyli

/ i [Я*]

т , * ) - ю е ( ш -1 + т + 1 wobec czego

8 ( t y = ] i m S ( h , t ) — log*.

Ponadto

S(

S

Jest widoczne, że macierz (2) nie jest sumowalna w sensie Pringsheima, tzn. nie istnieje

m9n lim £ aik.

m,n-+oo it=o

3. P rzypadek trójw ym iarow y. Weźmy pod uwagę macierz tró j­

wymiarową o wyrazach

dpqr

V i Q_) V — § 1

Niech Я oznacza współrzędną punktu na osi p, a *, u dwie dowolne Mczby dodatnie (ustalone), ht współrzędną punktu na osi q oraz hu współ­

rzędną punktu na osi r.

Niech А (Я, ht, hu) oznacza czworościan (domknięty) ograniczony płaszczyznami układu oraz płaszczyzną odcinającą na osiach p , q , r odpowiednio odcinki h, ht, hu i niech

(5) S ( A , t , u ) = J ? apgr

będzie sumą wyrazów macierzy (4) należących do czworościanu А (Я, ht, hu).

Przy ustalonych t, u suma ( 6 ) jest funkcją schodkową zmiennej Я. Gra­

nicę

lim S(h, t, u) = 8{t, u)

nazywamy sumą macierzy (4) w dwukierunhu (t , u).

Podamy teraz przykład macierzy (4), dla której 8(ł, u) jest postaci Al o g t +Bl o g u (А, В stałe różne od zera),

oraz przykład macierzy (4), dla której S( t , u) jest funkcją różnowar- tościową.

^ <10? <11? <*12? • • •

<20? <21 ? <*22? • • • w dowolnym kierunku w następujący sposób.

Niech X oznacza dowolną liczbę dodatnią, l ustalony kierunek, przy czym a jest kątem między kierunkiem wierszy macierzy ( 1 ) i danym kie

2. W związku z sumowaniem kierunkowym F. Leja postawił zagad

nienie zbadania własności funkcji S(t). Między innymi chodziło o zbada

fl(A,i) **Ы1+^)+- +1°*(1+;** ^{) ]} = - * * £ + * m m gdzie

**т , * ) - ю е ( ш -1 + т + 1** wobec czego

3. P rzypadek trójw ym iarow y. Weźmy pod uwagę macierz tró j

Niech Я oznacza współrzędną punktu na osi p, a , u dwie dowolne* Mczby dodatnie (ustalone), ht współrzędną punktu na osi q oraz hu współ

Przy ustalonych t, u suma ( 6 ) jest funkcją schodkową zmiennej Я. Gra

**<*o«o** = G2 log | l i ■ —| ,

to na podstawie poprzedniego przy

P r z y k ła d 2 . Mech cx, c21 c2 oznaczają trzecie pierwiastki z je dynki, tzn.

Даются примеры матриц, для которых сумма в данном направлении явля