1 − 2,5 ∙ 1 = c − 1,5 =− b 1 − 2,5 + 1 =− b x + x =− ba

Temat: Wzory Vi ѐ te’a.

***czytamy: wzory Wieta ; Ich nazwa pochodzi od nazwiska francuskiego matematyka François Viète’a.

** x1, x2 to miejsca zerowe funkcji kwadratowej (jeśli zadanie dotyczy funkcji kwadratowej) bądź pierwiastki (czyli rozwiązania) równania kwadratowego (jeśli zadanie dotyczy właśnie równania kwadratowego)

Zad 2.217/88

a) Z treści zadania mamy: a=1 x1= -2,5 x1 +x2= -1,5

Skorzystajmy z informacji, że x1 +x2= -1,5. Wstawiając w to równanie x1= -2,5 otrzymujemy:

-2,5+x2= -1,5 x2= -1,5+2,5 x2=1

A teraz zastosujemy wzory Viѐte’a

x

+ x

= −b

a

−2,5+1= −b 1

−1,5=−b

x

∙ x

= c a

−2,5 ∙1= c 1

Wzory Viѐte’a często używane są do sprawdzania jakich znaków są miejsca zerowe funkcji

kwadratowej (lub też pierwiastki równania kwadratowego), bez konieczności ich wyliczania z osobna.

Przykład 1

Mamy funkcję kwadratową określoną wzorem f(x)=13x²+5x-39. Skorzystajmy ze wzorów Viѐte’a i obliczmy sumę i iloczyn miejsc zerowych naszej funkcji, ale bez wyliczania ich wartości.

Wypiszmy najpierw współczynniki: a=13, b=5, c= -39

x

+ x

= −b

a = −5 13 x

∙ x

= c

a = −39 13 =−3

Co nam to wszystko daje? Widać, że miejsca zerowe naszej funkcji kwadratowej są różnych znaków (bo iloczyn wyszedł ujemny, a tylko mnożenie dwóch liczb różnych znaków daje wynik ujemny)

Przykład 2

Mamy funkcję kwadratową określoną wzorem f(x)=13x²+5x+39. Skorzystajmy ze wzorów Viѐte’a i obliczmy sumę i iloczyn miejsc zerowych naszej funkcji, ale bez wyliczania ich wartości.

Wypiszmy najpierw współczynniki: a=13, b=5, c= 39

x

+ x

= −b

a = −5 13 x

∙ x

= c

a = 39 13 =3

Co nam to wszystko daje? Widać, że miejsca zerowe naszej funkcji kwadratowej są ujemne . Skąd to wiemy? Iloczyn jest dodatni – czyli x1 oraz x2 są albo dodatnie, albo ujemne. Ale ponieważ suma wyszła ujemna, to wiemy, że x1 oraz x2 są ujemne.

Zauważmy, że jeśli mamy daną funkcję kwadratową oraz jeśli:

x1 ∙x2>0 x1 +x2>0 to miejsca zerowe są oba dodatnie x1 ∙x2>0 x1 +x2<0 to miejsca zerowe są oba ujemne x1 ∙x2<0 --- to miejsca zerowe są różnych znaków

x1 ∙x2≥0 x1 +x2≥0 to miejsca zerowe są nieujemne (większe lub równe zero) x1 ∙x2≥0 x1 +x2≤0 to miejsca zerowe są niedodatnie (mniejsze lub równe zero) x1 ∙x2≤0 --- to jedno miejsce zerowe jest niedodatnie, drugie nieujemne

Tak samo mamy w równaniu kwadratowym

x1 ∙x2>0 x1 +x2>0 to rozwiązania (pierwiastki równania) są oba dodatnie x1 ∙x2>0 x1 +x2<0 to pierwiastki równania są oba ujemne

x1 ∙x2<0 --- to pierwiastki równania są różnych znaków

x1 ∙x2≥0 x1 +x2≥0 to pierwiastki równania są nieujemne (większe lub równe zero) x1 ∙x2≥0 x1 +x2≤0 to pierwiastki równania są niedodatnie (mniejsze lub równe zero) x1 ∙x2≤0 --- to jeden pierwiastek jest niedodatni, drugi nieujemny

Praca domowa zad 2.217/88 b,c