Zbadać zbieżność szeregów naprzemiennych

1. Obliczyć sumy szeregów.

(a) ^P∞_n=1(2n−1)(2n+1)²

(b) ^P∞_n=1^3·2n₆^+2·3n ⁿ

(c) ^P∞_n=1(√

n + 2 − 2√

n + 1 +√ n) (d) ^P∞_n=12ⁿn

2. Zbadać zbieżność szeregów korzystając z Kryterium porównawczego.

(a) ^P∞_n=12n¹+1

(b) ^P∞_{n=1ln n}¹ (c) ^P∞_n=1^q_n4ⁿ₊₁ (d) ^P∞_n=1^sin_n²2^nx, x ∈ R

3. Zbadać zbieżność szeregów korzystając z Kryterium D’Alemberta.

(a) ^P∞_n=1ⁿ_2n⁵ (b) ^P∞_n=15^n!n

(c) ^P∞_n=1(2n−5)!⁷³ⁿ (d) ^P∞_n=1³_23n−1²ⁿ⁺¹

4. Zbadać zbieżność szeregów korzystając z Kryterium Cauchy’ego.

(a) ^P∞_n=1⁽

n+1 n )ⁿ²

3ⁿ

(b) ^P∞_n=1^(n!)n

nⁿ²

(c) ^P∞_n=1(ⁿ⁺³_n )ⁿ²

5. Zbadać zbieżność szeregów naprzemiennych.

(a) ^P∞_n=1(−1)^{n 1√}_n (b) ^P∞_n=1(−1)ⁿ(√

n + 1 −√ n) (c) ^P∞_n=1(−1)ⁿ(1 −_n¹)

6. Zbadać zbieżność szeregów

(a) ^P∞_{n=1(n+1) 3}¹ n (b)^P∞_n=1n (√

n²+ 1 −√

n²− 1) (c) ^P∞_n=12n¹+1 (d)^P∞_n=1 ^{qn 1}_n

(e) ^P∞_n=1(_n+1ⁿ )ⁿ²2ⁿ (f) ^P∞_n=1 ^a_n!ⁿ, a > 1 (g) ^P∞_n=1(−1)^{n 1}_n (h)^P∞_n=12nⁿ+3^{5 n}

(i) ^P∞_n=1(2n)!ⁿ³ (j)^P∞_n=1 ⁿ²

(2+_n¹)ⁿ

(k) ^P∞_n=1^3·2n₆^+2·3n ⁿ (l) ^P∞_n=1 √ ¹

n (n+1)

(m) ^P∞_n=1(²ⁿ⁺¹_3n+1)ⁿ² (n)^P∞_n=1( ⁿ²

e

√

n2+n) (o) ^P∞_n=1(n+1)ⁿ ₂

KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH.

Kryterium Cauchy’ego. Rozważmy szereg o wyrazach dodatnich

∞

X

n=1

an

(i) Jeżeli lim sup

n→∞

√n

a_n< 1, to szereg ten jest zbieżny.

(ii) Jeżeli lim sup

n→∞

√n

an> 1, to szereg ten jest rozbieżny.

Kryterium D’Alemberta. Rozważmy szereg o wyrazach dodatnich

∞

X

n=1

an.

(i) Jeżeli lim sup

n→∞

a_n+1 an

< 1, to szereg ten jest zbieżny.

(ii) Jeżeli lim inf

n→∞

an+1

an

> 1, to szereg ten jest rozbieżny.

Kryterium porównawcze 1. Rozważmy szeregi o wyrazach dodatnich

∞

X

n=1

a_n,

∞

X

n=1

b_n. Jeżeli dla prawie wszystkich liczb n ∈ N spełniona jest nierówność a_n≤ b_n oraz

(i) szereg

∞

X

n=1

bn jest zbieżny, to szereg

∞

X

n=1

an jest zbieżny.

(ii) szereg

∞

X

n=1

a_n jest rozbieżny, to szereg

∞

X

n=1

b_njest rozbieżny.

Definicja. Mówimy, że szereg

∞

X

n=1

an jest ograniczony jeżeli ciąg sum częściowych {S_n} jest ograniczony, tzn.

∃_{M >0} ∀_n∈N |S_n| ≤ M.

Kryterium Dirichleta. Jeżeli szereg

∞

X

n=1

an jest ograniczony, a ciąg {λ_n}^∞_n=1 jest taki, że ∀_n λn ≥ λ_n+1 ≥ 0 i λ_n^n→∞−→ 0, to

∞

X

i=1

λ_na_njest zbieżny.

Przykłady ciągów zbieżnych.

1. lim

n→∞

log_an

n = 0, a > 1 2. lim

n→∞

√n

a = 1 3. lim

n→∞

√n

n = 1

4. lim

n→∞

n^k

aⁿ = 0, a > 1 5. lim

n→∞

aⁿ

n! = 0, a > 0 6. lim

n→∞(1 + 1 n)ⁿ= e 7. lim

n→∞(1 + m

n)ⁿ= e^m