1. Prawdopodobie«stwo klasyczne, warunkowe, caªkowite.

Wst¦p do statystycznej analizy danych (3 inf, 2012/2013)

1. Prawdopodobie«stwo klasyczne, warunkowe, caªkowite.

Schemat Bernoullego.

Zad. 1.1 Dwóch studentów chodzi niezbyt regularnie na zaj¦cia. Jeden opuszcza 40%

zaj¦¢, a drugi chodzi na 70%. Jednocze±nie s¡ na 40% zaj¦¢. Obliczy¢ prawdopo- dobie«stwo, »e na zaj¦ciach:

a) jest dokªadnie jeden z nich, b) nie ma »adnego.

Zad. 1.2 Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e w±ród pi¦ciu losowo wybranych osób nie ma dwóch osób spod tego samego znaku zodiaku?

Zad. 1.3 W szae znajduje si¦ 10 par butów. Wyj¦to z niej losowo 4 buty. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e w±ród nich jest dokªadnie 1 para?

Zad. 1.4 Rozmieszczamy 15 kul w 10-ciu ponumerowanych szuadach. Jakie jest praw- dopodobie«stwo, »e w ka»dej szuadzie o numerze nieparzystym znajdzie si¦ do- kªadnie jedna kula, za± w ka»dej szuadzie o numerze parzystym dokªadnie dwie kule?

Zad. 1.5 Obliczy¢ niezawodno±¢ ukªadu zªo»onego z dwóch przeka¹ników poª¡czonych równolegle, przy zaªo»eniu, »e przeka¹niki dziaªaj¡ niezale»nie i niezawodno±¢ ka»- dego z nich wynosi p.

Zad. 1.6 Trzej strzelcy strzelaj¡ (niezale»nie) do butelki. Butelka zostaje zbita jedn¡

kul¡. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e zbiª j¡ pierwszy ze strzelców, skoro traaj¡

oni z prawdopodobie«stwami odpowiednio: 0.3, 0.8, 0.4.

Zad. 1.7 Gra polega na tym, »e spo±ród dwóch urn losujemy jedn¡, nast¦pnie wyci¡gamy z niej kul¦. Gdy kula jest biaªa, wygrywamy. Przed rozpocz¦ciem gry dano nam 2 biaªe i 7 czarnych kul, które mamy wªo»y¢ do pustych urn, co najmniej jedn¡ kul¦

do ka»dej urny. Jak najkorzystniej rozªo»y¢ kule w urnach przed gr¡?

Zad. 1.8 Do urny zawieraj¡cej n kul, w tym k biaªych, doªo»ono dwie kule ustalaj¡c kolor ka»dej z nich przez rzut monet¡: orzeª oznaczaª biaª¡ kul¦, reszka - czarn¡.

Oblicz prawdopodobie«stwo, »e wylosowana z tej urny jedna kula b¦dzie biaªa.

Zad. 1.9 Przesyªamy ci¡g skªadaj¡cy si¦ z zer i jedynek. Zaªó»my, »e przy przesyªaniu 0 przekªamanie nast¦puje z prawdopodobie«stwem ²₅, a przy przesyªaniu 1 w jednym przypadku na dziesi¦¢. Wiedz¡c, »e otrzymano 0 oraz, »e stosunek liczby wysªanych 1 do 0 wynosi 5 do 7, obliczy¢ prawdopodobie«stwo, »e wysªano 0.

Zad. 1.10 Automat produkuje w ci¡gu jednego cyklu produkcyjnego 10 detali. Prawdo- podobie«stwo, »e dowolnie wybrany detal oka»e si¦ wybrakowany wynosi 0, 01. Po ilu cyklach prawdopodobie«stwo wyprodukowania co najmniej jednego wybrakowa- nego detalu b¦dzie nie mniejsze ni» 0, 8?

1

Wst¦p do statystycznej analizy danych (3 inf, 2012/2013)

Zad. 1.11 (*) Wykonujemy n niezale»nych do±wiadcze« polegaj¡cych na wyborze jednej kuli z urny zawieraj¡cej kul¦ biaª¡ i czarn¡. Otrzymane kule wrzucamy do innej urny. Z urny tej losujemy k razy ze zwracaniem. Obliczy¢ prawdopodobie«stwo, »e zawiera ona same biaªe kule, je»eli w trakcie k losowa« nie pojawiªy si¦ czarne kule.

2

Wst¦p do statystycznej analizy danych (3 inf, 2012/2013)

1'. Prawdopodobie«stwo klasyczne, warunkowe, caªkowite.

Schemat Bernoullego.

Zadania do samodzielnego rozwi¡zania.

Zad. 1'.1 Z talii kart losujemy jedn¡. Z nast¦puj¡cych zdarze« wybra¢ pary zdarze«

wykluczaj¡cych si¦:

A - wylosowano króla, B - wylosowano pika,

C - wylosowano kart¦ czerwon¡, D - wylosowano kart¦ mªodsz¡ od 10.

Zad. 1'.2 Rzucamy par¡ kostek sze±ciennych. Niech A i B b¦d¡ zdarzeniami takimi,

»e: A - iloczyn oczek na kostkach jest równy 12, B - przynajmniej na jednej kostce wypadªa nieparzysta liczba oczek. Opisz przestrze« zdarze« elementarnych oraz zdarzenia: A ∩ B, A ∪ B^C, B \ A.

Zad. 1'.3 Wiadomo, »e: P (A⁰) = ¹₃, P (A ∩ B) = ¹₄, P (A ∪ B) = ²₃. Ile wynosi: P (B⁰), P (A ∩ B⁰), P (B \ A)?

Zad. 1'.4 Wykonujemy trzy rzuty monet¡. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e otrzy- mamy:

a) dokªadnie dwie reszki, b) co najwy»ej dwie reszki?

Zad. 1'.5 Dziesi¦ciu podró»nych, w tym czterech m¦»czyzn, wsiada losowo do o±miu wa- gonów. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e m¦»czy¹ni wsi¡d¡ do ró»nych wagonów o parzystych numerach, za± kobiety do wagonów o numerach nieparzystych?

Zad. 1'.6 Na balu karnawaªowym bawi si¦ 15 par. Do jednego z konkursów wylosowano 5 osób. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e jest w±ród nich co najmniej jedna para?

Zad. 1'.7 Co jest bardziej prawdopodobne przy jednym rozdaniu kart do bryd»a (czte- rech graczy, 52 karty): czy to, »e dwaj partnerzy dostan¡ wszystkie 13 trei, czy te»

to, »e »aden z nich nie dostanie ani jednego trea?

Zad. 1'.8 (*) Ka»dy z n patyków przeªamano na dwie cz¦±ci: dªug¡ i krótk¡. Otrzymano w ten sposób 2n kawaªków; poª¡czono je losowo w pary, z których ka»da tworzy nowy

"patyk". Obliczy¢ prawdopodobie«stwo, »e:

a) wszystkie kawaªki zostaªy poª¡czone w pierwotnym ukªadzie;

b) wszystkie dªugie kawaªki zostaªy poª¡czone z krótkimi.

Zad. 1'.9 Na polowanie udaªo si¦ 5 my±liwych. Nagle ukazaªo si¦ stado 6 kaczek. Ka»dy z my±liwych szybko wycelowaª w jedn¡ kaczk¦ i oddaª strzaª. Przyjmijmy, »e my±liwi s¡ znakomitymi strzelcami, a wi¦c strzaª ka»dego byª celny. Zaªó»my tak»e, »e ±rut ze strzelby my±liwego traa tylko do jednej kaczki oraz, »e kaczka zostaje upolowana wtw. gdy traª do niej co najmniej jeden z my±liwych. Oblicz prawdopodobie«stwo,

»e polowanie prze»yj¡ dokªadnie 2 kaczki.

3

Wst¦p do statystycznej analizy danych (3 inf, 2012/2013)

Zad. 1'.10 Dziecko wkªada losowo 10 cukierków do 10 torebek. Jakie jest prawdopo- dobie«stwo, »e pewna torebka b¦dzie zawieraªa 3 cukierki i dokªadnie dwie torebki zostan¡ puste?

Zad. 1'.11 Dane s¡ 3 urny zawieraj¡ce po 8 kul biaªych i 4 czarne ka»da, oraz 5 urn zawieraj¡cych po 4 kule biaªe i 6 kul czarnych ka»da. Z losowo wybranej urny wylosowano kul¦.

a) Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e kula ta jest biaªa?

b) Kula okazaªa si¦ biaªa. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e kula ta zostaªa wylosowana z jednej z urn nale»¡cych do drugiej grupy?

Zad. 1'.12 Rzucono trzy sze±cienne kostki do gry. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e cho¢by na jednej z nich wypadnie jedynka, je»eli wiadomo, »e na wszystkich trzech kostkach byªy ró»ne wyniki?

Zad. 1'.13 W spi»arni byªo n butelek soku, w tym k butelek soku malinowego. Kto±

wypiª jedn¡ butelk¦. Oblicz prawdopodobie«stwo, »e wyj¦ta teraz butelka b¦dzie zawieraªa sok malinowy.

Zad. 1'.14 W pierwszej z dwóch urn znajduj¡ si¦ 3 biaªe i 4 czarne kule, a w drugiej 5 biaªych i 3 czarne. Z pierwszej urny wylosowano dwie kule, a z drugiej jedn¡, po czym z tych trzech kul wybrano losowo jedn¡. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e kula ta b¦dzie biaªa?

Zad. 1'.15 W urnie jest n kul o numerach od 1 do n. Losujemy po jednej kuli bez zwra- cania. Obliczy¢ prawdopodobie«stwo, »e w co najmniej jednym losowaniu numer kuli pokryje si¦ z numerem losowania.

Wskazówka: Zastosuj wzór wª¡cze« i wyª¡cze«.

Zad. 1'.16 Prawdopodobie«stwo uzyskania co najmniej jednego sukcesu po przeprowa- dzeniu trzech do±wiadcze« wg schematu Bernoullego jest równe 0, 657. Obliczy¢

prawdopodobie«stwo sukcesu w pojedynczym do±wiadczeniu.

Zad. 1'.17 Palacz nosi w kieszeni dwa pudeªka zapaªek. Za ka»dym razem, gdy potrze- buje zapaªki, bierze j¡ z losowo wybranego pudeªka. Po pewnym czasie, wybieraj¡c jedno z pudeªek stwierdzi on, »e jest ono puste. Jakie jest prawdopodobie«stwo,

»e w tym momencie drugie pudeªko b¦dzie zawieraªo k zapaªek, je±li na pocz¡tku ka»de pudeªko zawieraªo n zapaªek?

4