Wst¦p do statystycznej analizy danych (3 inf, 2016/2017)
2. Prawdopodobie«stwo warunkowe, caªkowite, wzór Bayesa
Zad. 2.1 Dziewi¦¢dziesi¡t procent samolotów startuje o czasie. Osiemdziesi¡t procent samolotów l¡duje o czasie. Siedemdziesi¡t pi¦¢ procent samolotów startuje i l¡duje o czasie.
a) Czekasz na samolot, który wystartowaª o czasie. Jakie jest prawdopodobie«- stwo, »e wyl¡duje on punktualnie?
b) Samolot wyl¡dowaª punktualnie. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e wystarto- waª on o czasie?
c) Czy zdarzenia startu o czasie i punktualnego l¡dowania s¡ niezale»ne?
Zad. 2.2 Trzej strzelcy strzelaj¡ (niezale»nie) do butelki. Butelka zostaje zbita jedn¡
kul¡. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e zbiª j¡ pierwszy ze strzelców, skoro tra aj¡
oni z prawdopodobie«stwami odpowiednio: 0.3, 0.8, 0.4.
Zad. 2.3 Gra polega na tym, »e spo±ród dwóch urn losujemy jedn¡, nast¦pnie wyci¡gamy z niej kul¦. Gdy kula jest biaªa, wygrywamy. Przed rozpocz¦ciem gry dano nam 2 biaªe i 7 czarnych kul, które mamy wªo»y¢ do pustych urn, co najmniej jedn¡ kul¦
do ka»dej urny. Jak najkorzystniej rozªo»y¢ kule w urnach przed gr¡?
Zad. 2.4 Fabryki A, B, C produkuj¡ odpowiednio 50%, 20%, 30% ogólnej produkcji
»arówek. Udziaª braków produkcji wynosi: 5%, 2%, 3% produkcji danej fabryki.
Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e:
a) losowo wybrana »arówka jest sprawna,
b) je»eli »arówka jest sprawna, to pochodzi z fabryki A?
Zad. 2.5 W jednakowych zamkni¦tych pudeªkach mamy 9 peªnych talii kart i jedn¡ zde- kompletowan¡, zawieraj¡c¡ 20 kart czarnych i tylko 4 czerwone. Z losowo wybranej talii wylosowano kart¦ czarn¡. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e pochodzi ona z talii zdekompletowanej?
Zad. 2.6 Przesyªamy ci¡g skªadaj¡cy si¦ z zer i jedynek. Zaªó»my, »e przy przesyªaniu 0 przekªamanie nast¦puje z prawdopodobie«stwem 25, a przy przesyªaniu 1 w jednym przypadku na dziesi¦¢. Wiedz¡c, »e otrzymano 0 oraz, »e stosunek liczby wysªanych 1 do 0 wynosi 5 do 7, obliczy¢ prawdopodobie«stwo, »e wysªano 0.
1
Wst¦p do statystycznej analizy danych (3 inf, 2016/2017)
2'. Prawdopodobie«stwo warunkowe, caªkowite, wzór Bayesa - zadania do samodzielnego rozwi¡zania
Zad. 2'.1 W spi»arni byªo n butelek soku, w tym k butelek soku malinowego. Kto±
wypiª jedn¡ butelk¦. Oblicz prawdopodobie«stwo, »e wyj¦ta teraz butelka b¦dzie zawieraªa sok malinowy.
Zad. 2'.2 W komodach A, B, C s¡ po 2 szu ady. W ka»dej szu adzie jest jedna moneta:
w komodzie A s¡ monety zªote, w C srebrne, a w B jest jedna zªota i jedna moneta srebrna. Wylosowano komod¦, nast¦pnie szu ad¦ i znaleziono tam monet¦ zªot¡.
Jaka jest szansa, »e w drugiej szu adzie te» jest moneta zªota ?
Zad. 2'.3 Do urny zawieraj¡cej n kul, w tym k biaªych, doªo»ono dwie kule ustalaj¡c kolor ka»dej z nich przez rzut monet¡: orzeª oznaczaª biaª¡ kul¦, reszka - czarn¡.
Oblicz prawdopodobie«stwo, »e wylosowana z tej urny jedna kula b¦dzie biaªa.
Zad. 2'.4 rednio, pi¦ciu m¦»czyzn na stu oraz dwie kobiety na tysi¡c s¡ daltonistami.
Z grupy o jednakowej liczbie kobiet i m¦»czyzn wybrano losowo jedn¡ osob¦.
a) Jakie jest prowdopodobie«stwo tego, »e wybrana osoba jest daltonist¡?
b) Wylosowana osoba okazaªa si¦ daltonist¡. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e jest to m¦»czyzna?
Zad. 2'.5 Dane s¡ 3 urny zawieraj¡ce po 8 kul biaªych i 4 czarne ka»da, oraz 5 urn zawie- raj¡cych po 4 kule biaªe i 6 kul czarnych ka»da. Z losowo wybranej urny wylosowano kul¦.
a) Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e kula ta jest biaªa?
b) Kula okazaªa si¦ biaªa. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e kula ta zostaªa wylosowana z jednej z urn nale»¡cych do drugiej grupy?
Zad. 2'.6 Rzucono trzy sze±cienne kostki do gry. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e cho¢by na jednej z nich wypadnie jedynka, je»eli wiadomo, »e na wszystkich trzech kostkach byªy ró»ne wyniki?
2
