Matematyka Dyskretna

Matematyka Dyskretna

Zestaw zada´n nr 5

1. W kt´orej sytuacji morna znale´z´c me_,˙za dla ka˙zdej z pa´n ze zbioru {1, ..., 6} spo´sr´od tych pan´ow ze zbioru {1⁰, ..., 6⁰}, kt´orych lubi:

(a) 1 lubi 1⁰, 2⁰, 6⁰, 2 lubi 2⁰, 5⁰, 3 lubi 1⁰, 3⁰, 4 lubi 2⁰, 3⁰, 5 lubi 2⁰, 4⁰, 6 lubi 1⁰, 3⁰.

(b) 1 lubi 1⁰, 4⁰, 6⁰, 2 lubi 2⁰, 5⁰, 6’, 3 lubi 2⁰, 3⁰, 5’, 4 lubi 2⁰, 3⁰, 5⁰, 6⁰, 5 lubi 2⁰, 5⁰, 6 lubi 3⁰, 5⁰, 6⁰.

Wykorzystaj algorytm oparty na ”przyje_,ciu”.

2. Niech rodzina U = (A₁, ..., A_n) speÃlnia warunek z twierdzenia Halla czyli

∀I ⊂ {1, ..., n} | ∪_i∈I A_i| ≥ |I|.

Niech V = (B1, ..., Bn) be_,dzie rodzina_,minimalnych podzbior´ow zbior´ow A₁, ..., A_n speÃlniaja_,cych ten warunek czyli B_i ⊂ A_i dla i = 1, ..., n oraz

∀I ⊂ {1, ..., n} | ∪_i∈I B_i| ≥ |I|,

ale usunie_,cie dowolnego elementu z kt´oregokolwiek ze zbior´ow B_ipowoduje,

˙ze warunek z twierdzenia Halla nie jest speÃlniony. Nie stosuja_,c twierdzenia Halla pokaza´c, ˙ze ka˙zdy B_ima dokÃladnie jeden element. Wywnioskowa´c,

˙ze rodzina U ma transwersale_,.

3. Mamy zbiory pa´n i pan´ow speÃlniaja_,ce warunek Halla. Dodatkowo niech C be_,dzie panem lubianym przez co najmniej jedna_, pania_,. R´o˙znymi metodami pokaza´c, ˙ze mo˙zna znale´z´c me_,˙za dla ka˙zdej z pa´n tak, aby C byÃl jednym znich.

4. Mamy zbiory n pa´n i k pan´ow speÃlniaja_,ce warunek Halla. Dodatkowo ka˙zda pani lubi co najmniej m(≤ n) pan´ow. Pokaza´c, ˙ze n par maÃl˙ze´nskich mo˙zna wybra´c na co najmniej m! sposob´ow.

5. Pokaza´c, ˙ze w grupie n pa´n i m pan´ow istnieje k pa´n , kt´orym mo˙zna znale´z´c me_,˙z´ow wtedy i tylko wtedy, gdy dowolny podzbi´or pa´n ( powiedzmy r elementowy ) lubi co najmniej k + r − n pan´ow.