Równania różniczkowe rzędu pierwszego, które sprowadzają się do równań o zmiennych rozdzielonych

(1)

Równania różniczkowe

rzędu pierwszego, które

sprowadzają się do równań

o zmiennych rozdzielonych

Autorzy:

Vsevolod Vladimirov

(2)

(1)

Równania różniczkowe rzędu pierwszego, które sprowadzają się do równań o zmiennych rozdzielonych

Autor: Vsevolod Vladimirov

Całkowanie równań różniczkowych (RR) rzędu pierwszego wiąże się, na ogół, z przedstawieniem ich w postaci równań o zmiennych rozdzielonych.

1. Równanie postaci

Stosujemy podstawienie . Różniczkując względem otrzymamy i wówczas wyjściowe równanie ma postać

lub, po rozdzieleniu zmiennych,

Całkując powyższe wyrażenie, otrzymamy

PRZYKŁAD

Przykład 1:

W tym przypadku , zaś . Podstawiając to do powyższego równania, otrzymujemy:

Stąd otrzymujemy rozwiązanie

2. Równania jednorodne. Są to równania, które nie zmieniają kształtu przy transformacjach , gdzie jest dowolną stałą nie równą się zeru. Równanie takie może być sprowadzone do postaci

Stosujemy podstawienie . Wówczas i Otrzymamy wtedy

a po rozdzieleniu zmiennych

Całkując stronami, otrzymamy:

= f(a t + b x).

d x d t

z = a t + b x

z

t,

z

′

= a + b

_x

′

= a + b f(z),

d z d t

= dt.

d z a+b f(z)

∫

d z

= t + C.

a+b f(z)

= 2 t + x.

d x d t

z = 2 t + x

z

′

= 2 + ,

_x

′

_{f(z) = z}

∫

d z

= ln

= t.

2+z 2+zC

x = C − 2 (t + 1).

e

t

x → α x, t → α t

α

= f ( ) .

d x d t xt

z =

x t

x = z t

x

′

= t + z.

z

′

=

,

d z d t t −xx ′ t2 f(z)−z_t

=

.

d t t f(z)−zd z

log[ ] = ∫

t

.

C f(z)−zd z

(3)

(2) (3) (4)

PRZYKŁAD

Przykład 2:

Zgodnie z powyższym wzorem , więc mamy do policzenia całkę

Wracając do zmiennej wyjściowej otrzymamy równość

Wprowadzając dogodną stałą zgodnie ze wzorem , po elementarnych przekształceniach otrzymujemy rozwiązanie

3. Do jednorodnego równania sprowadza się równanie postaci

Rozpatrzmy najpierw przypadek szczególny

Wprowadzamy podstawienie:

Ponieważ więc zatem zmienną będziemy traktować jako nową zmienną niezależną, zaś funkcja będzie nową zmienną zależną. Zauważmy że zachodzą równości oraz . Równanie można zatem przepisać w postaci

gdzie

Przypomnijmy kiedy układ równań liniowych

można rozwiązać względem zmiennych . Postać macierzowa tego układu jest następująca:

Z twierdzenia Cramera wynika, iż układ ma jedno rozwiązanie , o ile

= (1 + )

d x d t xt xt

f(z) = z(z + 1)

∫

d z

= ∫

= − .

f(z)−z z+ −zd zz2 1_z

= − log[ ] ≡ log C − log t.

t x Ct

= log C

C~

x =

t

.

−log t C~

= f (

) .

d x d t aa12t+ x+t+ x+bb12 cc12

=

.

d x d t aa12t+ x+t+ x+bb12 cc12

t = r + α,

x = p + β.

x = x(t),

p = p(t),

r

p

dt = dr,

dx = dp

=

,

d p d r aa12r+ p+r+ p+bb12 hh12

= α + β + ,

= α + β + .

h

1

a

1

b

1

c

1

h

2

a

2

b

2

c

2

{ α + β + = 0,

a

1

b

1

c

1

α + β + = 0

a

2

b

2

c

2

α, β

⋅ ( ) = [

] ⋅ ( ) = − ( ) .

M^

α

β

,

a

1

,

a

2

b

1

b

2

α

β

c

1

c

2

α, β

J = det

M^

=

a

1

b

2

−

a

2

b

1

≠ 0.

α, β

h

1

,

h

2

(4)

(5) (6)

(7)

(8) Jeżeli warunek powyższy zachodzi, wówczas możemy w sposób jednoznaczny dobrać stałe w taki sposób że znikną. Dzieląc licznik i mianownik prawej strony równania ( 4 ) przez , otrzymamy wtedy

Jest to jednorodne równanie, które poprzez podstawienie sprowadza się do równania o zmiennych rozdzielonych. Jeżeli , wówczas nie można wyeliminować opisanym wyżej sposobem parametrów . Niemniej jednak ten przypadek również jest całkowalny. Rzeczywiście, równość oznacza, że współczynniki są proporcjonalne, tzn. istnieje stała taka że , . A zatem równanie ( 3 ) można przepisać w postaci równania ( 1 )

I tak jak w równaniu ( 1 ) wprowadzamy podstwienie otrzymując równanie

które jest równaniem o zmiennych rozdzielonych.

Przypadek ogólny, czyli równanie ( 2 ), przekształcamy w podobny sposób: jeżeli , to wówczas przechodzimy do zmiennych , , gdzie stałe

określamy jako rozwiązania układu równań

W wyniku dla funkcji otrzymujemy równanie

jest to równanie jednorodne.

W przypadku gdy , równanie ( 2 ) można zapisać jako

Podstawienie , sprowadza go do równania o zmiennych rozdzielonych:

UWAGA

Uwaga 1:

W przypadku gdy , równanie ( 2 ) sprowadza się do równania postaci ( 7 ).

4. Równania jednorodne uogólnione. Jest to klasa równań, które się nie zmieniają przy jednoczesnym skalowaniu zmiennej zależnej i niezależnej , gdzie -stałe. Równania takie można przedstawić w postaci

Podstawienie sprowadza równanie ( 8 ) do równania o zmiennych rozdzielonych:

α, β

h

1

,

h

2

r

=

= F ( ) .

d p d r + a1 b1pr + a2 b2pr p r

z =

p_r

det M =

a

1

b

2

−

a

2

b

1

= 0

h

1

,

h

2

J = 0

k ≠ 0

a

1

= k

a

2

b

1

= k

b

2

=

= F( t + x).

d x d t k( t+ x)+aa22t+ x+bb22 c2c1

a

2

b

2

z = t + x,

a

2

b

2

= F(z) + ,

d z d t

b

2

a

2

t + x ≠ k( t + x)

a

1

b

1

a

2

b

2

ξ = t − t

0

η = x − x

0

t

0

,

x

0

+

+ = 0,

a

1

t

0

b

1

x

0

c

1

+

+ = 0.

a

2

t

0

b

2

x

0

c

2

η(ξ)

= f (

) = f (

) = F [ ]

dη dξ aa12ξ+ ηξ+ ηbb12 + η/ξ a1 b1 + η/ξ a2 b2 η ξ

t + x = k( t + x)

a

1

b

1

a

2

b

2

= f (

) = ( t + x).

d x d t k( t+ x)+aa22t+ x+bb22 c2c1

f

2

a

2

b

2

z = t + x

a

2

b

2

=

(z) + = F(z).

d z d t

b

2

f

2

a

2

t + x = k( t + x)

a

1

b

1

a

2

b

2

t → α t, x →

α

k

x

_{0 ≠ α, k}

=

f ( ) .

d x d t

t

k−1 txk

z = xt

−k

=

.

d z d t f(z)−k zt

(5)

Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie

http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.

Data generacji dokumentu: 2019-04-15 06:23:27

Oryginalny dokument dostępny pod adresem: https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php? link=30bccb067ce8a9339b276d764e6b6ec1