9 grudnia 2005
1. Wyzna zy¢ najwiksz¡ i najmniejsz¡ warto±¢ funk ji na zadanym zbiorze.
(a) z = x a + y b,je±li x 2 + y2 = 1, a >0, b > 0; (b) z = A · x 2 + 2B · xy + C · y2 ,je±li x 2 + y2 = 1; ( ) z = x 2 + 12xy + 2y2 , je±li4x 2 + y2 = 25; (d) u= x − 2y + 2z, je±li x 2 + y2 + z2 = 1; (e) u= x 2 + y2 + z2 ,je±li x2 a2 + y2 b2 + z2 c2 = 1 (a > b > c > 0); (f) u= xyz, je±li x 2 + y2 + z2 = 1i x+ y + z = 0; (g) u= x2 a2 + y2 b2 + z2 c2, je±lix 2 + y2 + z2
= 1 i xcos α + y cos β + z cos γ = 0 (a > b > c >0,
cos2 α+ cos2 β+ cos2 γ = 1); (h) u= x 2 1+ x 2 2+ · · · + x 2 n, je±li x1 a1 + x2 a2 + · · · + xn an = 1 (ai >0); (i) u= x p 1+ x p 2+ · · · + xpn (p >1), je±li x1 + x2+ · · · + xn = a (a >0).
2. Wyzna zy¢ ekstrema warunkowe funk ji f(x, y) przy danym warunku g(x, y) = 0. (a) f(x, y) = x + y, g(x, y) = e x+y − xy −1 ; (b) f(x, y) = xy, g(x, y) = x 2 + y2 −8 = 0; ( ) f(x, y) = 1 x + 1 y, g(x, y) = 1 x2 + 1 y2 −1,x 6= 0, y6= 0. 3. Elipsoidax 2 + 2 · y2 + z2
= 1zostaªaprzekrojonapªasz zyzn¡ x+ y + z = 0. Znale¹¢dªugo±¢ póªosi elipsyotrzymanej w przekroju.
4. Udowodni¢ nierówno±¢ xn+ yn 2 ≥ x + y 2 n , dlan≥1 i x≥0, y≥0.
Wskazówka: znale¹¢minimum funk ji z =
1 2 ·(x
n+ yn)
