03-1 Równanie transportu promieniowania
Dla jednego rodzaju promieniowania
) , ; , ( ) , ( ) ( ) Ω , ( 1 ' ' ' ' '' '' ' '' '' ' '' ''
∫ ∫
+ + − ∇ − = ∂ ∂ Ω s T dT dΩ T Ω T Ω T Ω t T v ! ! ! ! ! ! µ ϕ ϕ µ ϕ ϕ ϕ ' ϕgęstość strumienia promieniowania
t S N ∆ ∆ ∆
rozkład gęstości strumienia Ω
T
! energia jednostkowy wektor kierunkowy (kąt bryło-wy) ) , ; , ( '' '' ' ' ' Ω T Ω T s ! ! µ µ
rozkład gęstości mocy źródeł
różniczkowy współczynnik osłabienia ' ', Ω T ! - promieniowanie padające Ω T, ! - promieniowanie rozproszone
∫ ∫
= dT '' dΩ! '' µ'(T '',Ω! '' ;T,Ω!)µ współczynnik osłabienia całkowity
V N v t v ∆ ∆ = ' ϕ
prędkość promieniowania o energii T czas
liczba cząstek/kwantów na jednostkę objęto-ści ośrodka
Przypadki szczególne równania transportu:
1. moc źródeł i gęstość strumienia są niezależne od czasu
) , ; , ( ) , ( ) ( ) , ( ) , ( ' ' ' '' '' ' '' '' ' '' ''
∫ ∫
+ = + ∇ T Ω T Ω s T dT dΩ T Ω T Ω T Ω Ω! ϕ ! µϕ ! ! ϕ ! µ ! !03-2 2. źródła są włączone na krótki, skończony, odcinek czasu
) , ; , ( ) , ( ) , ( ) , ( ' ' '' '' ' '' '' ' '' '' '
∫ ∫
+ = + ∇Φ T Ω Φ T Ω S dT dΩ Φ T Ω T Ω T Ω Ω! ! µ ! ! ! µ ! !Równanie transportu promieniowania Dla dwóch rodzajów promieniowania
) , ; , ( ) , ( ) , ; , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ; , ( ) , ( ) , ; , ( ) , ( ) , ( ) , ( '' 1 '' 1 2 2 ' '' 1 '' 1 ' 1 '' 1 '' 1 '' 2 '' 2 2 2 ' '' 2 '' 2 ' 2 '' 2 '' 2 ' 2 2 2 ' 2 2 2 2 ' 2 '' 2 '' 2 1 1 ' '' 2 '' 2 ' 2 '' 2 '' 2 '' 1 '' 1 1 1 ' '' 1 '' 1 ' 1 '' 1 '' 1 ' 1 1 1 ' 1 1 1 1 ' 1
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
+ + = + ∇ + + = + ∇ Ω T Ω T Ω T Φ Ω d dT Ω T Ω T Ω T Φ Ω d dT S Ω T Φ Ω T Φ Ω Ω T Ω T Ω T Φ Ω d dT Ω T Ω T Ω T Φ Ω d dT S Ω T Φ Ω T Φ Ω ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! µ µ µ µ µ µ ) , ; , ( '' 2 '' 2 1 1 ' T Ω! T Ω!µ - różniczkowy współczynnik osłabienia opisujący proces powstawania promieniowania (1) o energii T i kierunku 1 Ω"1 z promieniowania (2) o energii ''
2
T i kierunku '' 2 Ω" .
03-3 Równanie transportu dla cząstek naładowanych
Rozpraszanie bez zmiany energii: ) ( ) , ; , ( '' '' '' ' T Ω T Ω ⋅δ T −T µ ! !
Zmiana energii (przedstawiona przez zdolność hamowania) bez zmiany kierun-ku: x T T ∂ ∂ ⋅ ∂ Φ ∂ '
, którą można uprościć wprowadzając pojęcie zasięgu resztkowego cząstki
∫
− − = T dx dT dT T p 0 1 '' '' )( - zasięg pozostały cząstce o energii T.
[
( , ) ( , )]
( , ) ) , ( ' ' ' '' ' '' ' ' ''∫
− + ∂ ∂ − = ∇ ⋅ dΩ Φ p Ω Φ p Ω Ω Ω p Φ S Ω p Φ Ω! ! ! ! ! µ ! !03-4 Całkowe równania transportu
[
]
) , , ; , ( ) ; , ( ) ; , ( ) ; , ( '' '' ' '' '' ' '' '' ' ) ( 0 ' 0 '' ''∫ ∫
∫
− − + − ∫ =∞ − Ω a r Ω T Ω T Ω a r Ω T Φ Ω d dT Ω a r Ω T S e da r Ω T Φ a da a ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! µ µ ∫ − − ∞∫
a da a e Ω a r Ω T S da 0 '' '') ( ' 0 ) ; , ( ! ! ! µ ) , , ; , ( ) ; , ( 0 '' '') ( '' '' ' '' '' ' '' '' 0 ∫ − − − ∞∫ ∫
∫
a da a e Ω a r Ω T Ω T Ω a r Ω T Φ Ω d dT da µ µ ! ! ! ! ! ! ! !03-5
Rozwiązania równania transportu.
Szereg Neumann’a
[
( , ; ) ( , ; ) ( , ; , )]
) ; , ( ( ) ' '' '' ' '' '' ' '' '' 0 '∫ ∫
∫
− + − =∞dae− S T Ω r aΩ dT dΩ Φ T Ω r aΩ T Ω T Ω r Ω T Φ ! ! µ T a ! ! ! ! ! ! ! µ ! ![
]
) , ; , ( ) ; , ( ) ; , ( ) ; , ( ''' ''' '' '' ' '' ''' ''' ' ''' ''' '' '' '' ' ) ( 0 '' '' ' ''∫ ∫
∫
− − + − − = − ∞ − Ω T Ω T Ω b Ω a r Ω T Φ Ω d dT Ω b Ω a r Ω T S e db Ω a r Ω T Φ T b ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! µ µ 1. podstawienie∫ ∫
∫
∫
∫
∫
∫ ∫
∫
∫
∫
− − + − − + − = − − ∞ ∞ − − ∞ ∞ − ∞ ) , ; , ( ) , ; , ( ) ; , ( ) , ; , ( ) ; , ( ) ; , ( ) ; , ( '' '' ' ''' ''' '' '' ' '' ''' ''' ' ) ( ) ( 0 0 ''' ''' '' '' '' '' ' '' '' '' ' ) ( ) ( 0 0 '' '' ' ) ( 0 ' '' '' Ω T Ω T Ω T Ω T Ω b Ω a r Ω T Φ e db da Ω d dT Ω d dT Ω T Ω T Ω b Ω a r Ω T S e db da Ω d dT Ω a r Ω T S e da r Ω T Φ b T a T b T a T a T ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! µ µ µ µ µ µ µ µ itd.03-6 Rozwiązanie iteracyjne
∑
∞ = = 0 ' ' i i Φ Φ ' iΦ – rozkład strumienia promieniowania rozproszonego i–razy i = 0 – promieniowanie nierozproszone ) ; , ( ) ; , ( ( ) ' 0 ' 0 T Ω r dae S T Ω r aΩ Φ ! ! =∞ − T a ! !− !
