Prawo propagacji niepewności.
W przypadku pomiarów metodą pośrednią wartość wielkości ustala się na podstawie wartości innych wielkości zmierzonych bezpośrednio. Na przykład objętość
V
0 prostopadłościanu o krawędziachD
0,
S
0,
W
0znajdziemy mierząc długości każdej krawędzi i obliczając
V
S
D
V
=
⋅
⋅
W jaki sposób niepewności pomiarów długości krawędzi przenoszą się na niepewność wyznaczenia objętości prostopadłościanu? Gdyby znane były błędy pomiarów, to po rozwinięciu
V
(
D
,
S
,
W
)
w szereg Taylora i pominięciu składników rozwinięcia wyższych rzędów otrzymujemyW
W
V
S
S
V
D
D
V
V
V
∆
∂
∂
+
∆
∂
∂
+
∆
∂
∂
+
=
0skąd można by już było znaleźć szukaną różnicę w objętości
W
W
V
S
S
V
D
D
V
V
V
V
∆
∂
∂
+
∆
∂
∂
+
∆
∂
∂
=
−
=
∆
0 .Błędy pomiarów nie są jednak znane i musimy poszukać innego sposobu.
Przypuśćmy, że wyznaczamy wartość wielkości
Y
, która jest funkcją dwóch, lub więcej, mierzonych zmiennychx
1 ix
2,...
.,...)
,
(
x
1x
2f
y
=
.Na podstawie pomiarów wyznaczamy wartości średnie i niepewności
)
(
,
ii
u
x
x
W pierwszym przybliżeniu najlepszą wartość wielkości wyznaczanej da
,...)
,
(
x
1x
2f
y
=
a jej niepewność możemy oszacować na podstawie rozrzutu wartości
,...)
,
(
1j 2j jf
x
x
y
=
otrzymanych przez podstawienie różnych zestawów indywidualnych wartości
x
ij do funkcjif
.Miarą niepewności
u
( y
)
jest pierwiastek wariancji (odchylenie standardowe)(
)
−
=
∑
∞ → 2 21
lim
y
y
N
j N yσ
.Różnicę
y
j−
y
możemy oszacować podobnie jak wcześniej∆
V
(
)
(
2 2)
...
2 1 1 1+
−
∂
∂
+
−
∂
∂
≅
−
x
x
x
y
x
x
x
y
y
y
j j j i podstawiając otrzymujemy(
)
(
)
∑
∂
∂
−
+
∂
∂
−
+
≅
∞ → 2 2 2 2 1 1 1 2...
1
lim
x
x
x
y
x
x
x
y
N
j j N yσ
(
)
(
)
(
)(
)
+
−
−
∂
∂
∂
∂
+
−
∂
∂
+
−
∂
∂
≅
∑
∞ →...
2
1
lim
2 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1x
x
x
x
x
y
x
y
x
x
x
y
x
x
x
y
N
j j j j NDwa pierwsze składniki można wyrazić przez odpowiednie wariancje
(
)
−
=
∑
∞ → 2 1 1 21
lim
1x
x
N
j N xσ
i(
)
−
=
∑
∞ → 2 2 2 21
lim
2x
x
N
j N xσ
.Następny składnik wymaga wprowadzenia pojęcia kowariancji między zmiennymi
x
1 ix
2.(
)(
)
[
]
−
−
=
∑
∞ → 1 1 2 21
lim
2 1x
x
x
x
N
j j N x xσ
. Ostatecznie, po podstawieniach...
2
...
1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2+
∂
∂
∂
∂
+
+
∂
∂
+
∂
∂
≅
x x x x yx
y
x
y
x
y
x
y
σ
σ
σ
σ
.Z definicji niepewność jest pierwiastkiem estymatora wariancji, czyli
...
)
,
(
2
...
)
(
)
(
)
(
1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 1 2+
∂
∂
∂
∂
+
+
∂
∂
+
∂
∂
≅
u
x
x
x
y
x
y
x
u
x
y
x
u
x
y
y
u
Wzór
∑∑
∑
≠∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
=
i j i i i ix
x
u
x
y
x
y
x
u
x
y
y
u
(
)
(
)
2
(
1,
2)
2 1 2 2 2 nazywa się wzorem propagacji (przenoszenia) niepewności i wyraża prawo propagacji niepewności.W przypadku niezależności zmiennych, braku korelacji, kowariancje między nimi znikają i prawo propagacji niepewności można zapisać w formie uproszczonej
∑
∂
∂
=
i i ix
u
x
y
y
u
(
)
2(
)
2 2 albo∑
∂
∂
=
i i ix
u
x
y
y
u
(
)
2(
)
2Szczególne przypadki wynikające z prawa propagacji niepewności (użyteczne przy szacowaniu niepewności złożonej)
Suma i różnica
a
x
y
=
±
1
=
∂
∂
x
y
⇒
u
(
y
)
=
u
(
x
)
W przypadku różnicy może się zdarzyć, żeu
(
y
)
>
y
. Niepewność względna wyniesiea
x
x
u
y
y
u
y
u
r±
=
=
(
)
(
)
)
(
Przykład. W doświadczeniu rejestrowano cząstki z rozpadu preparatu promieniotwórczego. Na początku eksperymentu zarejestrowano 723 zliczenia w ciągu 15 s, a na jego końcu 19 zliczeń w tym samym czasie. Bieg własny detektora (tło) zarejestrowano oddzielnie z dużą
dokładnością i w przeliczeniu na 15 s wynosi ono 14,2 zliczenia z zaniedbywalnie małą niepewnością.
Wiadomo, że liczby zliczeń w tego typu doświadczeniu podlegają rozkładowi Poissona, zatem estymatorem odchylenia standardowego i niepewności standardowej jest pierwiastek liczby zliczeń. Wyniki pomiarów można przedstawić następująco:
723
1=
x
,u
(
x
1)
=
723
=
26
,
9
19
2=
x
,u
(
x
2)
=
19
=
4
,
36
2
,
14
=
b
,u
(
b
)
=
0
Po uwzględnieniu tła wyniki skorygowane są następujące:
8
,
708
2
,
14
723
1 1=
x
−
b
=
−
=
N
9
,
26
)
(
)
(
N
1=
u
x
1=
u
8
,
4
2
,
14
19
2 2=
x
−
b
=
−
=
N
36
,
4
)
(
)
(
N
2=
u
x
2=
u
Po uwzględnieniu reguły podawania dwóch cyfr znaczących niepewności wyniki zapisujemy w postaci:
709
1=
N
,u
(
N
1)
=
27
8
,
4
2=
N
,u
(
N
2)
=
4
,
4
Względne niepewności standardowe wynoszą w tym przykładzie
%
8
,
3
038
,
0
8
,
708
9
,
26
)
(
N
1=
=
=
u
r%
91
91
,
0
8
,
4
36
,
4
)
(
N
2=
=
=
u
rWażona suma i różnica
y
jest ważoną sumąx
1 ix
2 jeżeli2 1
bx
ax
y
=
±
Pochodne cząstkowe są odpowiednimi stałymi
a
x
y
=
∂
∂
1 ,b
x
y
±
=
∂
∂
2 co prowadzi do:)
,
(
2
)
(
)
(
)
(
2 2 1 2 2 2 1 2 2x
x
abu
x
u
b
x
u
a
y
u
=
+
±
Przykład. Doświadczenie jak poprzednie z tym, że wartość tła detektora otrzymano w jednym 15 sekundowym pomiarze, który dał wynik 14
zliczeń. W tym przypadku wyniki pomiarów można przedstawić następująco:
723
1=
x
,u
(
x
1)
=
723
=
26
,
9
19
2=
x
,u
(
x
2)
=
19
=
4
,
36
14
=
b
,u
(
b
)
=
14
=
3
,
74
Po skorygowaniu wartości wyniosą odpowiednio709
14
723
1 1=
x
−
b
=
−
=
N
1
,
27
14
723
)
(
)
(
)
(
N
1=
u
2x
1+
u
2b
=
+
=
u
5
14
19
2 2=
x
−
b
=
−
=
N
74
,
5
14
19
)
(
)
(
)
(
N
2=
u
2x
2+
u
2b
=
+
=
u
a ostatecznie709
1=
N
,u
(
N
1)
=
27
0
,
5
2=
N
,u
(
N
2)
=
5
,
7
W tym przykładzie względne niepewności standardowe wynoszą
038
,
0
709
1
,
27
)
(
N
1=
=
u
r1
,
1
5
74
,
5
)
(
N
2=
=
u
rMnożenie i dzielenie
y
jest ważonym iloczynemx
1 ix
2 jeżeli 2 1x
ax
y
=
±
Pochodne cząstkowe są równe odpowiednio2 1
ax
x
y
=
±
∂
∂
, 1 2ax
x
y
=
±
∂
∂
co prowadzi do:)
,
(
2
)
(
)
(
)
(
2 22 2 1 2 12 2 2 2 1 2 1 2 2x
x
u
x
x
a
x
u
x
a
x
u
x
a
y
u
=
+
+
albo 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2)
,
(
2
)
(
)
(
)
(
x
x
x
x
u
x
x
u
x
x
u
y
y
u
=
+
+
Podobnie, jeżeli
y
jest otrzymane w wyniku dzieleniax
1 ix
2, to2 1
x
ax
y
=
±
i związek między niepewnościami ma postać2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2
)
,
(
2
)
(
)
(
)
(
x
x
x
x
u
x
x
u
x
x
u
y
y
u
=
+
−
Przykład. Zmierzono długości podstawy i wysokości trójkąta otrzymując
cm
0
,
5
=
b
,u
(
b
)
=
0
,
1
cm
cm
0
,
10
=
h
,u
(
h
)
=
0
,
3
cm
Pole trójkąta wynosicm
0
,
25
2
=
=
bh
A
a względna niepewność standardowa wartości pola 2 2 2 2
)
(
)
(
)
(
)
(
h
h
u
b
b
u
A
A
u
A
u
r=
=
+
albo 2 2 2 2)
(
)
(
)
(
h
h
u
b
b
u
A
A
u
=
+
2 2 210
3
,
0
5
1
,
0
)
(cm
25
+
=
2cm
90
,
0
=
Potęgowanie
b
ax
y
=
± Pochodnay
względemx
wynosix
by
abx
x
y
=
±
b=
±
∂
∂
± −1Przykład. Pole koła jest proporcjonalne do kwadratu promienia 2
r
A
=
π
⋅
. Jeżeli promień wyznaczono nar
=
10
,
0
cm
z niepewnościącm
0,3
)
(
r
=
u
, to pole wynosi 2cm
100
π
=
A
ze względną niepewnością standardową wynoszącą
%
0
,
6
0
,
10
3
,
0
2
)
(
2
)
(
=
=
=
r
r
u
A
u
r albo 2 2cm
6
0
,
10
3
,
0
)
cm
0
,
10
(
2
)
(
2
)
(
=
=
π
=
π
r
r
u
A
A
u
Zależność wykładnicza
bx
e
c
y
=
± Pochodnay
względemx
wynosiy
b
e
b
c
x
y
=
±
bx=
±
∂
∂
±W tym przypadku niepewność względna wynosi
)
(
)
(
)
(
b
u
x
y
y
u
y
u
r=
=
Jeżeli stała podnoszona do potęgi jest różna od
