Wprowadzenie do modelowania cyklicznych szeregów czasowych za pomocą liniowych równań różnicowych w przestrzeni rozmytych liczb rzeczywistych

Pełen tekst

(1)Zeszyty Naukowe nr. 798. Uniwersytetu Ekonomicznego w Krakowie. 2009. Jacek Wołoszyn Katedra Informatyki. Paweł Wołoszyn Katedra Systemów Obliczeniowych. Wit Urban Katedra Informatyki. Wprowadzenie do modelowania cyklicznych szeregów czasowych za pomocą liniowych równań różnicowych w przestrzeni rozmytych liczb rzeczywistych Streszczenie. Problematyka badawcza artykułu jest związana z wielowymiarową analizą szeregów czasowych. Zaprezentowano w nim metodę takiej analizy opartą na modelowaniu dynamiki cykli z wykorzystaniem liniowych równań różnicowych w przestrzeni rozmytych liczb rzeczywistych. W tym celu wykorzystamo własności arytmetyki rozmytej oraz transformacje pojedynczego cyklu szeregu czasowego do postaci rzeczywistej liczby rozmytej. Słowa kluczowe: arytmetyka rozmyta, rzeczywiste liczby rozmyte, statystyczne szeregi czasowe, metody analizy wielowymiarowej.. 1. Wstęp Badania różnorodnych procesów zachodzących w systemach ekonomicznych, a także w systemach będących przedmiotem obserwacji wielu innych dziedzin nauki wymagają często użycia metod analizy statystycznych szeregów czasowych.

(2) Jacek Wołoszyn, Paweł Wołoszyn, Wit Urban. 152. [Song, Leland i Chissom 1995, Turksen 1988, Zadeh 1977]. Wśród poszukiwanych cech istotną rolę odgrywa cykliczność szeregów, pozwalająca wnioskować o mechanizmach leżących u podłoża badanego zjawiska. Problematyka badawcza prezentowanego opracowania została poświęcona cyklicznym szeregom czasowym, a konkretnie możliwościom modelowania dynamiki cyklicznej za pomocą równań różnicowych w przestrzeni rozmytych liczb rzeczywistych. Zaproponowana tu metoda stanowi zastosowanie podejścia wielowymiarowego w konstruowaniu rozmytych modeli procesów, a jej zastosowanie do konkretnego przykładu wraz z uzyskanymi rezultatami daje podstawę do sformułowania wniosków świadczących o przydatności opisywanej koncepcji w analizie statystycznych szeregów czasowych. 2. Wybrane pojęcia i definicje arytmetyki rozmytej Jedną z podstawowych definicji w arytmetyce rozmytej stanowi określenie pojęcia rzeczywistej liczby rozmytej. Zostało ono sformułowane przez L.A. Zadeha [1965] na bazie pojęcia zbioru rozmytego.. Definicja 1. Rozmyta liczba rzeczywista jest zbiorem rozmytym w przestrzeni R mającym ciągłą funkcję przynależności μ α oraz spełniającym warunek wypukłości: μ α (y) ≥ μ α (x) ∧ μ α (z) ∀x, y, z ∈ R, y ∈ [x; z] (1). Klasę rozmytych liczb rzeczywistych oznacza się często symbolem N(R). Konsekwencją przyjęcia tej definicji stało się określenie działań arytmetycznych na rzeczywistych liczbach rozmytych. Ta część teorii zbiorów rozmytych została oparta na zdefiniowanej również przez L.A. Zadeha [1965] zasadzie rozszerzenia. Definicja 2. Niech f będzie odwzorowaniem X1 × … × X n → Y, takim że y = f(x1, …, xn); y ∈ Y, xi ∈ X i ∀ i ∈ Nn oraz niech Ai ∈ P(X)∀ i ∈ Nn. Iloczyn kartezjański A1 × … × An przekształcany jest zgodnie z odwzorowaniem f w zbiór rozmyty B ∈ P(Y) określony funkcją przynależności:. ⎧ sup min(μ A (x1 ), …, μ A (xn )) dla f −1 (y) ≠ ∅ ⎪⎪ x ∈ X , …, x ∈ X μ B (y) = ⎨ y = f ( x , …, x ) ⎪ 0 dla f −1 (y) = ∅ ⎪⎩ 1. 1. 1. n. 1. n. n. n. ∀y ∈ Y (2). Wykorzystując tę zasadę, można znajdować rozmyte odpowiedniki nierozmytych odwzorowań poprzez zastąpienie koncepcji skalarnie określonej zmiennej podejściem, w którym występuje zbiór stopni przynależności odpowiadających.

(3) Wprowadzenie do modelowania…. 153. poszczególnym potencjalnym jej wartościom. Powyższa definicja umożliwia określenie podstawowych operacji arytmetycznych na rzeczywistych liczbach rozmytych [Klir i Pan 1998]. Definicja 3. Jeśli założyć, że A i B ∈ N(R), oraz przyjąć:. a) f(x1, x2) = x1 + x2 dla operacji dodawania A + B ∈ N(R),. (. ∀y ∈ R ;. ). μ A+ B (y) = sup min μ A (x1 ), μ B (x2 ) x1 , x2 ∈ R y = x 1 + x2. b) f(x1, x2) = x1 – x2 dla operacji odejmowania A – B ∈ N(R),. (. ∀y ∈ R ;. ). μ A– B (y) = sup min μ A (x1 ), μ B (x2 ) x1 , x2 ∈ R y = x 1 – x2. c) f(x1, x2) = x1*x2 dla operacji mnożenia A*B ∈ N(R),. (. ∀y ∈ R ;. ). μ A *B (y) = sup min μ A (x1 ), μ B (x2 ) x1 , x2 ∈ R y = x 1* x2. d) f(x1, x2) = x1 / x2, x2 ≠ 0 dla operacji dzielenia A / B ∈ N(R), μ A /B (y) =. sup. min μ A (x1 ), μ B (x2 ). x1∈ R, x2∈ R – {0} y = x 1 /x2. (. ). ∀y ∈ R .. (3). (4). (5). (6). Na podstawie powyższej definicji zostały sformułowane założenia numerycznego przetwarzania działań arytmetyki rozmytej zaproponowane w pracy [Kaufmann i Gupta 1985]. Podstawowym elementem zawartego w niej podejścia jest założenie o spełnianiu przez ich argumenty warunków wypukłości oraz normalności. Pierwszy z nich został już sformułowany przy okazji definicji rzeczywistej liczby rozmytej. Normalność natomiast jest określana w stosunku do zbiorów rozmytych w następujący sposób.. Definicja 4 [Kaufmann i Gupta 1985]. Zbiór rozmyty A ∈ P(X) (gdzie P(X) oznacza klasę wszystkich zbiorów rozmytych w przestrzeni X) nazywamy normalnym, jeżeli. ∃x ∈ X μA(x) = 1.. (7). ∀x ∈ X μA(x) < 1,. (8). Jeżeli natomiast. zbiór A nazywamy podnormalnym, subnormalnym..

(4) Jacek Wołoszyn, Paweł Wołoszyn, Wit Urban. 154. W razie spełnienia przez liczbę rozmytą x obu wymienionych warunków można dla niej wyznaczyć przedziały związane z wybranymi poziomami α dla jej funkcji przynależności.. Definicja 5 [Kaufmann i Gupta 1985]. Jeżeli x ∈ N(R), poziom wartości jej funkcji przynależności α ∈ [0; 1] pozwala wyznaczyć przedział xα = ⎡⎣ a1(α ) ; a2(α ) ⎤⎦ = x x ∈ R | μ x ( x x ) ≥ α . {. {. (9). Uwzględnienie własności wypukłości liczby rozmytej x pozwala stwierdzić, że przedział xα jest malejącą funkcją poziomu α. Wynika z tego następująca definicja.. Definicja 6 [Kaufmann i Gupta 1985]. Jeżeli x ∈ N(R) oraz x spełnia warunek wypukłości, to dla każdych α, α’ ∈ [0; 1] takich, że α’ > α, jeżeli xα = ⎡⎣ a1(α ) ; a2(α ) ⎤⎦ = x x ∈ R | μ x ( x x ) ≥ α . (10). xαʹ = ⎡⎣ a1(αʹ) ; a2(αʹ) ⎤⎦ = x x ∈R | μ x ( x x ) ≥ αʹ , . (11). xαʹ ⊂ xα . (12). ⎡⎣ a1(αʹ) ; a2(αʹ) ⎤⎦ ⊂ ⎡⎣ a1(α ) ; a2(α ) ⎤⎦ . . (13). {. }. {. wówczas lub inaczej. }. Opierając się na dwóch przedstawionych definicjach, można podać określenia podstawowych działań na liczbach rozmytych.. Definicja 7 [Kaufmann i Gupta 1985]. Jeżeli liczby rozmyte x i y ∈ N(R) oraz x α i yα oznaczają przedziały przy określonym poziomie α dla tych liczb wyznaczone wzorami. xα = ⎡⎣ a1(α ) ; a2(α ) ⎤⎦ = { x x ∈ R | μ x (x x ) ≥ α} . (14). yα = ⎡⎣b1(α ) ; b2(α ) ⎤⎦ = x y ∈ R | μ y (x y ) ≥ α , . (15). x α + yα = ⎡⎣ a1(α ) ; a2(α ) ⎤⎦ + ⎡⎣b1(α ) ; b2(α ) ⎤⎦ = ⎡⎣ a1(α ) + b1(α ) ; a2(α ) + b2(α ) ⎤⎦ . (16). x α − yα = ⎡⎣ a1(α ) ; a2(α ) ⎤⎦ − ⎡⎣b1(α ) ; b2(α ) ⎤⎦ = ⎡⎣ a1(α ) − b1(α ) ; a2(α ) − b2(α ) ⎤⎦ . . (17). {. }. wówczas ∀ α ∈ [0; 1] oraz.

(5) Wprowadzenie do modelowania…. 155. Przestrzeń, w której są określane argumenty tych operacji, zawężono do rzeczywistych liczb dodatnich R +z powodu problemów z jednoznacznym zdefiniowaniem mnożenia i dzielenia z zastosowaniem przedstawionego podejścia.. Definicja 8 [Kaufmann i Gupta 1985]. Jeżeli liczby rozmyte x i y ∈ N(R +) oraz xα i yα oznaczają przedziały przy określonym poziomie α dla tych liczb wyznaczone wzorami. xα = ⎡⎣ a1(α ) ; a2(α ) ⎤⎦ = x x ∈ R + | μ x ( x x ) ≥ α. {. }. (18). {. ( ) }. (19). yα = ⎡⎣b1(α ) ; b2(α ) ⎤⎦ = x y ∈ R + | μ y x y ≥ α ,. wówczas ∀ α ∈ [0; 1]. x α * yα = ⎡⎣ a1(α ) ; a2(α ) ⎤⎦ * ⎡⎣b1(α ) ; b2(α ) ⎤⎦ = ⎡⎣ a1(α ) * b1(α ) ; a2(α ) * b2(α ) ⎤⎦ . (20). x α yα = ⎡⎣ a1(α ) ; a2(α ) ⎤⎦ ⎡⎣b1(α ) ; b2(α ) ⎤⎦ = ⎡⎣ a1(α ) / b1(α ) ; a2(α ) / b2(α ) ⎤⎦ . . (21). oraz. Zastosowany w definicjach 7 i 8 rozkład działań arytmetycznych na liczbach rozmytych na odpowiadające im operacje na skalarnych wierzchołkach wykresu funkcji przynależności właściwych dla kolejnych poziomów α stanowi odwrócenie zasady rozszerzenia L.A. Zadeha. Zaletą takiego określenia operacji arytmetycznych na liczbach rozmytych jest względna łatwość numerycznego wyznaczenia wyników tych działań [Anile, Deodato i Privitera 1994, Navara i Zabokrtsky 2000]. Natomiast wadą takiego podejścia jest ograniczenie arytmetyki rozmytej do klasy liczb rozmytych o wypukłej i normalnej funkcji przynależności, a w przypadku iloczynu i ilorazu charakteryzujących się także zawężeniem przestrzeni zdefiniowania argumentów. 3. Zasady analizy cyklicznej zmienności szeregów czasowych z wykorzystaniem arytmetyki rozmytej Jedną z istotnych własności zjawisk ekonomicznych jest występujący często cykliczny w przybliżeniu charakter zmienności wielkości wykorzystywanych do analizy związanych z nimi procesów. Ogólna definicja cyklu podaje, że stanowi on ciąg uporządkowanych zmian, w wyniku których po upływie danego okresu substancja, mechanizm lub system wraca do swojego stanu początkowego. Dobrym przykładem jest jednostajnie obracające się koło..

(6) Jacek Wołoszyn, Paweł Wołoszyn, Wit Urban. 156. Jeśli wziąć pod uwagę tę definicję oraz zachowania systemów ekonomicznych w przeszłości, niemożliwe jest oczywiście znalezienie cyklu odpowiadającego tej definicji. Łatwo bowiem zauważyć, że z reguły występuje zjawisko polegające na osiągnięciu przez system ekonomiczny stanu różnego od początkowego przynajmniej w odniesieniu do pewnego zbioru zmiennych. W ten sposób przebieg kolejnych cykli ma charakter nieregularny, co utrudnia modelowanie cyklu. Próbę przezwyciężenia związanych z tym problemów mogą stanowić badania wykorzystujące równania różnicowe zdefiniowane w przestrzeni rozmytych liczb rzeczywistych.. xt +1 = f ( xt ). xt +1 , xt ∈ N ( R) ; f : N ( R) → N ( R) . (22). Jako punkt wyjścia takiego podejścia należy przyjąć założenie, że pojedynczy przebieg cyklu wybranej zmiennej opisującej dynamikę badanego systemu ekonomicznego, niezależnie od długości trwania okresu, który on zajmuje, stanowi etap rozwoju tego systemu. Etap taki może być kojarzony z przechodzeniem systemu z pewnego stanu wyjściowego do stanu związanego z zakończeniem cyklu zmian, a stanowiącego rezultat różnych oddziaływań. Oczywiście rozważana zmienność dotyczy wybranego aspektu rozwoju badanego systemu ekonomicznego związanego z określonymi zmiennymi. Osiągnięty stan końcowy stanowi zarazem początek przebiegu kolejnego cyklu. W ten sposób cykliczna zmienność określonych charakterystyk może być także uznana za ścieżkę rozwoju prowadzącą poprzez kolejne stany, które system osiąga w rezultacie zakończenia kolejnych etapów. W przyjętym podejściu każdy cykl może być badany na dwa sposoby. Pierwszy z nich polega na analizie zmienności wielkości badanych zmiennych na początku lub końcu cyklu. Jest to jednak podejście statyczne, które abstrahuje od oddziaływań związanych z realizacją zmian w rozważanym systemie. Ich rezultatem jest właśnie, jak to już zostało wspomniane, cykliczny charakter zmienności badanych zmiennych. Dlatego też dużo bardziej interesujące wydaje się odwołanie do idei równań różnicowych w modelowaniu przebiegu kolejnych cykli jako jednego z podstawowych narzędzi wykorzystywanych do opisu dynamiki systemowej. W takim podejściu wiedza o przebiegu bieżącego cyklu może zostać wykorzystana do wnioskowania o jego przyszłej postaci. W ten sposób rezultaty oddziaływań sterujących dynamiką systemu, a więc pośrednio także samo sterowanie, mogą zostać uwzględnione w modelowaniu jego zmienności. Podstawę stanowi jednak założenie, że przebieg dowolnego pojedynczego cyklu stanowi zmienną odpowiedniego równania różnicowego. Przyjęcie tego założenia rodzi jednak problem wykorzystania danych wielowymiarowych. Próbę przezwyciężenia tej trudności może stanowić zastosowanie rzeczywistych liczb rozmytych. Łatwo bowiem zauważyć, że przebieg cyklu określonej zmiennej daje się potencjalnie łatwo zinterpretować dzięki pojęciu funkcji przynależności. W takim przypadku.

(7) Wprowadzenie do modelowania…. 157. należy przyjąć, że poziom wartości badanej zmiennej dla danego momentu jest miarą jego przynależności do cyklu. Oczywiście należy przy tym uwzględnić wymogi formalne wynikające z definicji zbioru rozmytego oraz rzeczywistej liczby rozmytej nakładające na funkcję przynależności ograniczenie do przedziału obustronnie domkniętego [0; 1]. Z tego ograniczenia wynika konieczność przeskalowania wartości badanej zmiennej dla przebiegu danego cyklu tak, aby ten warunek był spełniony. W tym celu można wykorzystać zależność (23).. XC = XCi , t ∈ R zbiór wartości zmiennej dla pojedynczego przebiegu cyklu ⎧ ⎫ X ⎪ ⎪ Ci , t XCʹ i = ⎨ XCʹ i , t = ⎬ t ∈ kCi ∈ Z:1 ≤ kCi ≤ n max XCi ⎪⎭ ⎪⎩ i = 1, 2, … i. {. }. {. }. (23). Łatwo zauważyć, że wielkości ze zbioru XCʹ i tworzą w ograniczonym zakresie funkcję przynależności rzeczywistej liczby rozmytej mogącej służyć do opisu wybranego cyklu zmiennej X. xCi ∈ N ( R) fx. (x ) = X. (24) Przy dalszej konwersji zbioru wartości XCʹ i do postaci takiej funkcji należy uwzględnić problem wielkości nienależących do tego zbioru. Problem ten można względnie łatwo rozwiązać w sytuacji, gdy jest spełniony następujący warunek.. Ci. xC i. xx ∈ R ∧ j ≤ xx ≤ k Ci. Ci. xx = t. ʹ Ci , t. Ci. j, k ∈ {t} , j < k. . (25). Wówczas wartości funkcji przynależności można wyznaczyć za pomocą aproksymacji liniowej (26). fx. Ci. (x ) = a. Ci , j. xC i. aCi, j =. XCʹ i, j. −. x x + bCi, j Ci. XCʹ i, k. (26). j−k. bCi, j = XCʹ i , k – aCi , j k. j, k ∈ {t}. . Natomiast istotną trudność stanowią wielkości niemieszczące się w przedziale wyznaczonym przez granice zbioru {t}.. xx ∈ R ∧ Ci. (x. xC i. ≤ 1 ∨ n ≤ xx. Ci. ). (27).

(8) Jacek Wołoszyn, Paweł Wołoszyn, Wit Urban. 158. Oczywiście najbardziej sensownym rozwiązaniem wydaje się przyjęcie poniższego założenia.. fx. (x ) = 0 : x xC i. xC i. ≤ 1 ∨ n ≤ xx. Należy jednak pamiętać, że nie musi być spełniony następujący warunek. Ci. Ci. (28). XCʹ , 1 = 0 ∧ XCʹ , n = 0. (29) Wynika to z przedstawionej wcześniej dyskusji dotyczącej niedoskonałości przebiegu cykli w funkcjonowaniu systemów ekonomicznych. Rozwiązanie, które można w takim przypadku zaproponować, również opiera się na aproksymacji liniowej służącej do wyznaczenia wartości granicznej, poniżej lub powyżej której (w zależności od rozważanej granicy) wartości funkcji przynależności budowanej charakterystyki rozmytej będą równe zero.. i. {. X ∈ XCʹ , 1, XCʹ , n ∃. t ≠1∧t ≠ n. a=. b=. i. i. i. }. ∧ X >0⇒. XCʹ , t = at + b ∧ X = aj + b, j ∈ {1, n} i. X − XCʹ , t j−t. XCʹ i , t. i. (30). − at. Wyznaczoną na podstawie wzoru (30) aproksymację należy następnie wykorzystać do obliczenia miejsca zerowego będącego poszukiwaną nową granicą dla niezerowych wartości funkcji przynależności. b xx , G = − i a (31) G ∈ {granica dolna (GD), granica górna (GG)}. C. W tym kontekście należy jednak pamiętać, że funkcja przynależności budowana jest na podstawie przebiegu cyklu badanej zmiennej, a więc jako odwzorowanie określone dla osi czasu. Konsekwencją tego podejścia jest ograniczenie dziedziny otrzymanej w ten sposób funkcji przynależności do rzeczywistych liczb nieujemnych. Fakt ten należy uwzględnić, modyfikując w następujący sposób wzór (31). ⎧ b b − ≥0 ⎪– a ⎪ a xx , G = ⎨ (32) i b ⎪ ⎪ 0 − a <0 ⎩. C.

(9) Wprowadzenie do modelowania…. 159. Dzięki przedstawionej procedurze zbiór XCʹ i może zostać poszerzony o dwie dodatkowe wielkości spełniające wcześniej już zdefiniowany warunek.. (x. ). i. 4. 5. ( ). ≤ x xC , GD ∨ x xC ≥ x xC , GG ⇒ fxC x xC = 0. (33) Przykładem wykorzystania zaproponowanej procedury może być konwersja cyklu zmiennej Z przedstawionego na rys. 1 do postaci rzeczywistej liczby rozmytej.. ∀. xx C ∈ R i. xCi. i. i. i. i. 12 10 8 Z. 6 4 2 0. 1. 2. 3 t. 6. Rys. 1. Przebieg wybranego cyklu zmiennej Z Źródło: opracowanie własne.. Wykres przebiegu wartości funkcji przynależności tej liczby prezentuje rys. 2. Z przedstawionych rozważań wynika, że pojedynczy przebieg cyklu badanej wielkości daje się opisać za pomocą rzeczywistej liczby rozmytej z funkcją przynależności zdefiniowaną dla osi czasu. Wykorzystując takie podejście w analizie cyklicznej zmienności wybranej zmiennej charakteryzującej dynamikę badanego systemu, można dokonać rozkładu zmian tej wielkości na pojedyncze cykle i odpowiadające im charakterystyki rozmyte. W ten sposób zbiór kolejnych cykli daje się przedstawić jako rozmyty szereg czasowy, do którego modelowania można próbować wykorzystać liniowe równanie różnicowe zdefiniowane w przestrzeni rozmytych liczb rzeczywistych nieujemnych postaci:. zt +1 = αzt + β. zt , α, β ∈ N ( R+ ). . (34). W celu wyznaczenia wielkości α i β należy skorzystać z przedstawionych definicji działań arytmetyki rozmytej odwołujących się do wybranych poziomów.

(10) Jacek Wołoszyn, Paweł Wołoszyn, Wit Urban. 160. 1,0 0,8 μ. 0,6 0,4 0,2 0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Rys. 2. Przebieg funkcji przynależności rzeczywistej liczby rozmytej otrzymanej po konwersji cyklu zmiennej Z przedstawionego na rys. 1 Źródło: opracowanie własne.. funkcji przynależności. Na ich podstawie można stwierdzić, że dla obliczenia wyniku dowolnego działania tej arytmetyki należy wykonać właściwe dla niego działania skalarne dla odpowiadających sobie granic przedziałów związanych z kolejnymi wybranymi poziomami funkcji przynależności. W ten sposób dowolne działanie arytmetyki rozmytej daje się sprowadzić do zbioru operacji w przestrzeni skalarnej. Właściwość tę można wykorzystać do poszukiwania rozmytych niewiadomych w działaniach, w których znany jest rezultat oraz jeden z argumentów. Jest ona tym bardziej istotna, że rozmyte operacje odwrotne nie pozwalają na rozwiązywanie takich problemów. Jak łatwo zauważyć, ma ona także bezpośrednie zastosowanie we wspomnianym wykorzystaniu równań różnicowych, przedstawioną zależność można bowiem przedstawić jako zbiór działań skalarnych w przestrzeni liczb rzeczywistych dla granic przedziałów odpowiadających wybranym poziomom funkcji przynależności. Oczywiście oznacza to konieczność dokonania wyboru skończonej liczby takich wartości i co za tym idzie, wspomagania się np. liniową aproksymacją poszukiwanej postaci funkcji przynależności dla wyznaczanej w ten sposób wielkości rozmytej. W rezultacie otrzymujemy następujący zestaw skalarnych równań różnicowych. g g g x zgt +1, μ , x α, μ , x z , μ , x β, μ ∈ R ,. g g g x zgt +1, μ = x α, μ x zt, μ + x β, μ. μ=. f zt +1 (x zgt+1, μ ). =. g fα (x α, μ). t. =. f zt (x zgt, μ ). = fβ (xβ,g μ ),. (35). g ∈ {granica dolna, granica górna}. μ ∈ {μ 1 , μ 2 , …, μ n }. .

(11) Wprowadzenie do modelowania…. 161. Każde z nich może być traktowane jako model dynamiki dla odpowiedniego skalarnego szeregu czasowego {xzg , μ} stanowiącego zbiór właściwych granic przedziałów wyznaczonych dla kolejnych wybranych wartości funkcji przynależności wielkości tworzących rozmyty szereg czasowy, modelowany za pomocą zależności g g (34). W ten sposób, znając zbiory wartości {xα, μ } i {xβ, μ } oraz wartości funkcji przynależności {μ1, μ2, …, μn}, którym one odpowiadają, można zbudować charakterystyki rozmyte parametrów α i β takiego równania. W takim wypadku poniższe pary wielkości tworzą współrzędne wybranych punktów wykresu funkcji przynależności wskazanych parametrów. t. g g g {(xα, μ1, μ1 ), (xα, μ 2, μ 2 ), …, (xα, μ n, μ n )}. {(xβ,g μ1, μ1 ), (xβ,g μ 2, μ 2 ), …, (xβ,g μ n, μ n )}. (36). g ∈ {granica dolna, granica górna}. Można je uznać za wierzchołki wykresu aproksymacji tych funkcji za pomocą złożenia odwzorowań liniowych. Procedura dopasowania modelu dynamiki w postaci liniowego równania różnicowego zdefiniowanego w przestrzeni nieujemnych rzeczywistych liczb rozmytych do rozmytego szeregu czasowego polega na wyznaczeniu na bazie jego elementów skalarnych szeregów czasowych stanowiących, jak wspomniano, granice przedziałów odpowiadających wybranym poziomom funkcji przynależności. Tak otrzymane szeregi skalarne należy następnie modelować za pomocą takiej samej zależności, jednak określonej dla przestrzeni skalarnej. W tym celu można wykorzystać zależności związane z wyznaczaniem parametrów liniowego równania różnicowego dla szeregu czasowego wygenerowanego dzięki niemu. x −x ∀ ⇒ a = t +1 t ∧ b = xt +1 − axt (37) {xt ∈ R: xt+1 = axt + b} xt − xt −1. . Udowodnienie prawdziwości przedstawionych wzorów sprowadza się do zrobienia tego dla pierwszego z nich. To zaś można zrobić iteracyjnie dla kolejnych sąsiadujących ze sobą par elementów szeregu czasowego, rozpoczynając od par początkowych, albo bezpośrednio przez odpowiednie podstawienie. {xt ∈ R : xt +1 = axt + b} ⇒ x2 − x1 ax1 + b − ax0 − b a(ax0 + b)− ax0 a((a − 1)x0 + b) = = = =a x1 − x0 (a − 1)x0 + b ax0 + b − x0 (a − 1)x0 + b x3 − x2 a(a 2 x0 + ab + b) + b − a 2 x0 − ab − b = = x2 − x1 a((a − 1)x0 + b). =. a 3 x0 + a 2 b + ab + b − a 2 x0 − ab − b = a((a − 1)x0 + b). . (38).

(12) Jacek Wołoszyn, Paweł Wołoszyn, Wit Urban. 162. a 2 ((a − 1)x 0 + b). =a a((a − 1)x 0 + b) .................................................... x t +1 − x t ax t + b − ax t −1 − b a(x t − x t −1 ) = = =a x t − x t −1 x t − x t −1 x t − x t −1. {a1 , a2 , ..., an −1 } , {b1 , b2 , ..., bn } . =. W przypadku pierwszej metody uzyskujemy ciąg wartości, które można wykorzystać dalej do aproksymacji poszukiwanych współrzędnych wierzchołków. Oczywiście przedstawione zależności dają dokładne rezultaty tylko w przypadku szeregów czasowych wygenerowanych za pomocą liniowych równań różnicowych. W sytuacji modelowania dynamiki szeregu, dla którego brak informacji o takim jego pochodzeniu, powyższe wzory pozwalają na wygenerowanie szeregów wartości. (39). W celu otrzymania wielkości szacunkowych parametrów a i b można skorzystać np. z mediany lub średniej arytmetycznej dla wskazanych zbiorów. Przedstawioną procedurę zastosowano do szeregu czasowego {Z t}, którego wykres został przedstawiony na rys. 3. 12 10 8. Z 6 4 2 0. 70. 170. 270. 370. 470. t. 570. 670. 770. 870. 970. Rys. 3. Wykres przebiegu wartości szeregu czasowego {Zt} modelowanego za pomocą liniowego równania różnicowego Źródło: opracowanie własne..

(13) Wprowadzenie do modelowania…. 163. Każdy z cykli został przeskalowany zgodnie ze wzorem (23) oraz poszerzony do postaci cyklu idealnego stosownie do zależności (31) i (32). Przebieg pierwszego cyklu zarówno przed wymienionymi operacjami, jak i po nich przedstawiono na rys. 1 oraz 2. Dla uproszczenia dalszej analizy każdego z cykli zainteresowanie badawcze zostało ograniczone do punktu początkowego, końcowego oraz tego, w którym cykl osiąga apogeum. Przebieg pierwszego cyklu po uwzględnieniu tych założeń przedstawia rys. 4. 12 10 8 Z. 6 4 2 0. 1. 2. 3. t. 4. 5. 6. 7. Rys. 4. Wykres przebiegu pierwszego cyklu szeregu czasowego {Zt} przedstawionego na rys. 3 po ograniczeniu liczby jego wierzchołków do punktu początkowego, końcowego oraz maksymalnego (tj. tego, w którym cykl osiąga swoje apogeum) Źródło: opracowanie własne.. Dzięki przyjętemu założeniu upraszczającemu do opisu pojedynczych cykli można wykorzystać trójkątne rzeczywiste liczby rozmyte zgodnie z ich definicją przyjętą w pracy [Kaufmann i Gupta 1985]. Następnie z rzędnych wierzchołków funkcji przynależności tak otrzymanych wielkości rozmytych zbudowano szeregi czasowe. Łatwo zauważyć, że wskazane współrzędne stanowią równocześnie granice przedziałów dla wybranych poziomów funkcji przynależności, tj. 0 i 1. Ograniczenie się tylko do tych dwóch poziomów było konsekwencją przyjęcia trójkątnej aproksymacji funkcji przynależności dla wielkości rozmytych opisujących poszczególne cykle w szeregu wyjściowym. Każdy z otrzymanych szeregów czasowych posłużył następnie do wyznaczenia parametrów modelujących je równań różnicowych zgodnie ze wzorami (37) i (38). W tym celu wykorzystano odpowiednio mediany lub średnie arytmetyczne zbiorów wartości wyznaczonych na podstawie par kolejnych cykli przedstawio-.

(14) Jacek Wołoszyn, Paweł Wołoszyn, Wit Urban. 164. nych za pomocą charakterystyk rozmytych i przy założeniu prawdziwości zachodzącej pomiędzy nimi relacji opisanej zależnością (34). granica dolna xα, = mediana{–0,09677; 9,333333;0;0;0;0} = 0 0. granica dolna/górna xα, = mediana{0,75; 2,666667;1,375;1;1;1,454545} = 1,1875 1 granica górna xα, = mediana{1,8;1,895748; 0,742885;2,051948; 0. 1,335601; 7,762113} = 1,847874. dolna xβ,granica 0 dolna/górna xβ,granica 1 górna xβ,granica 0. = mediana{0,93; 0,84;0;0;0;0;0} = 0. = mediana{3,4375; 1,6875; 6,125; 7,625; 5,5625;. (40). 3,5; 6,4375} = 5,5625. = mediana{7,028842; 6,447176; 7,494176; –38,3187; –32,0332; –64,4088; 434,8122} = 6,44718. . W rezultacie otrzymano wielkości definiujące rzędne wybranych punktów wykresu funkcji przynależności poszukiwanych rozmytych parametrów równania różnicowego zdefiniowanego w przestrzeni nieujemnych rozmytych liczb rzeczywistych. Uwzględniając poziomy funkcji przynależności rozmytych szeregów czasowych, które posłużyły do ich wyznaczenia, można otrzymać pełne współrzędne wspomnianych wierzchołków. Wykorzystując następnie notację dla rzeczywistych liczb rozmytych zaproponowaną w pracy [Urban 1999], a odwołującą się do zapisu przewidzianego dla zbiorów rozmytych [Zadeh 1965] w ten sposób, że zamiast kolejnych ich elementów występują właśnie rzędne wierzchołków wykresu takiej funkcji, otrzymujemy pełny zapis tych parametrów. α = ~ 0 / 0 + ~ 1 /1,1875 + ~ 0 /1,8479. β = ~ 0 / 0 + ~ 1 / 5,5625 + ~ 0 / 6,44718. (41). W przyjętej notacji uwzględniono także liniową aproksymację funkcji przynależności pomiędzy wyznaczonymi wierzchołkami oraz jej zerową wartość dla wielkości nienależących do przedziału zdefiniowanego przez współrzędne krańcowe. W dalszym wykorzystaniu wyznaczonych parametrów zależności (33) należy jednak uwzględnić uwarunkowania takie jak modelowanie dynamiki cykli w szeregu czasowym ograniczające, jak wspomniano, przestrzeń zdefiniowania opisujących je charakterystyk rozmytych do nieujemnych rzeczywistych liczb rozmytych oraz specyfikę działań arytmetyki rozmytej. Mogą one powodować wymóg, aby przedział zdefiniowania niezerowych wartości funkcji przynależności parametrów zawierał się w przestrzeni liczb nieujemnych. Dlatego też w sytuacji, gdy ten.

(15) Wprowadzenie do modelowania…. 165. warunek nie jest spełniony w odniesieniu do konkretnej wielkości rozmytej, należy przesunąć dolną granicę takiego jej przedziału do zera. Można również wyznaczać na podstawie otrzymanych parametrów prognozy rozmyte, których przestrzeń zdefiniowania będzie obejmowała cały zbiór liczb rzeczywistych. Wybór rozwiązania jest uzależniony od dokładności generowanych rezultatów. W opisywanym w opracowaniu przykładzie została wykorzystana pierwsza z propozycji. Dla otrzymanej postaci równania różnicowego została następnie przeprowadzona weryfikacja dokładności wyznaczanych wielkości. Dotyczyła ona rezultatów obliczonych na podstawie modelu i rzeczywistych wartości. W tym celu prognozy były konfrontowane z danymi pochodzącymi z szeregu czasowego wyjściowego. Za każdym razem jednak te pierwsze były oczywiście wyznaczane na podstawie wielkości zmiennej modelu (33) pochodzących z badanego szeregu. Rys. 5 i 6 ilustrują tę konfrontację dla pierwszego i ostatniego z porównywanych cykli. Do zbadania, na jakim poziomie kształtuje się zbieżność funkcji przynależności charakterystyk rozmytych opisujących cykle badanego szeregu czasowego, zastosowano odpowiednie funkcje T-normy i S-normy.. Definicja 9 [Biocybernetyka… 2000]. Funkcję T dwóch zmiennych T :[0, 1] × [0, 1] → [0, 1]. nazywamy T-normą, jeżeli dla a, b, c, d ∈ [0,1]: 1) jest to funkcja niemalejąca względem obu parametrów, to znaczy:. (42). T(a, c) ≤ T(b, d) dla a ≤ b, c ≤ d, 2) spełnia warunek przemienności:. (43). T(T(a, b), c) = T(a, T(b, c)), 4) spełnia warunki brzegowe:. (45). T(a, b) = T(b, a), 3) spełnia warunek łączności:. (44). T(a, 0) = 0, T(a, 1) = a.. (46). W rozważanym przypadku odwzorowanie T w definicji 9 należy zastąpić funkcją min. Tak określone przekształcenie dla podkreślenia związku z T-normą można oznaczyć symbolem Τ . Wówczas zakres zbieżności funkcji przynależnomin. ści dwóch argumentów należących do przestrzeni rozmytych liczb rzeczywistych wyznacza następujący wzór. x, y ∈ N(R( ⇒ Τ (μ x (z), μ y (z)) = min(μ x (z), μ y (z)),. (47) Otrzymane w ten sposób odwzorowanie nie jest jednak miernikiem stopnia zbieżności wspomnianych funkcji. By skonstuować właściwy wskaźnik, należy. min. z∈R.

(16) Jacek Wołoszyn, Paweł Wołoszyn, Wit Urban. 166. 1,2 1 0,8 μ. 0,6 0,4 0,2 0. 2. 4. 6. 8. 10. 12. 14. 16. 18. 20. Rys. 5. Przebieg pierwszego z porównywanych cykli opisywanego przez dwie rzeczywiste liczby rozmyte: jedną pochodzącą z rozmytego szeregu czasowego wyjściowego, otrzymanego w wyniku zastosowania opisanej w opracowaniu transformacji, oraz drugą wygenerowaną jako prognoza oparta na modelu (33) Źródło: opracowanie własne.. 1,2 1 0,8 μ 0,6 0,4 0,2 0. 100. 200. 300. 400. 500. 600. 700. 800. 900. 1000. Rys. 6. Przebieg ostatniego z porównywanych cykli opisywanego przez dwie rzeczywiste liczby rozmyte: jedną pochodzącą z rozmytego szeregu czasowego wyjściowego, otrzymanego w wyniku zastosowania opisanej w opracowaniu transformacji, oraz drugą wygenerowaną jako prognoza oparta na modelu (33) Źródło: opracowanie własne..

(17) Wprowadzenie do modelowania…. 167. dysponować odpowiednim poziomem odniesienia. W omawianym przypadku można do jego otrzymania zastosować dobraną do przekształcenia Τ funkcję min S-normy. Definicja 3.2 [Biocybernetyka… 2000]. Funkcję S dwóch zmiennych:. S :[0, 1] × [0, 1] → [0, 1]. (48). S(a, 0) = a, S(a, 1) = 1.. (49). nazywamy S-normą, jeżeli podobnie jak w przypadku T-normy jest niemalejąca względem obu argumentów, spełnia warunek przemienności i łączności oraz następujące warunki brzegowe:. Przekształcenie dane wzorem (48) definiuje poziom przynależności przestrzeni liczb rzeczywistych do rozmytych wielkości rzeczywistych na poziomie, który gwarantują funkcje przynależności obu porównywanych argumentów. Uwzględniając interpretację funkcji przynależności, należy go zatem odnosić do potencjalnie największego możliwego wynikającego z następującego przekształcenia zgodnego z definicją S-normy.. x, y ∈ N ( R ( ⇒ S (μ x (z),μ y (z)) = max(μ x (z),μ y (z)),. z∈ R . max. (50). Oczywiście porównanie wartości funkcji Τ oraz S wymaga wykorzystania min. max. metod analizy wielowymiarowej. Problem ten można jednak rozwiązać także poprzez konstrukcję odpowiedniego wskaźnika wykorzystującego np. pole pod wykresem funkcji. Wówczas wspomniany wskaźnik powinien przyjąć postać zgodną z poniższym wzorem:. x, y ∈ N( R ( ⇒ wzbx, y =. Ponieważ. Τ (μ x (z),μ y (z))dz ∫ min . S (μ x (z), μ y (z))dz ∫ max . (51). Τ (μ x (z),μ y (z))dz ≤ ∫ S (μ x (z), μ y (z))dz, ∀ ∫ min max. x, y ∈ N (R (. zmienność zaproponowanego wskaźnika wygląda w ten sposób:. . (52). wzbx, y ∈ [0, 1].. (53). {0,25; 0,38; 0,54; 0,44; 0,52; 0,51; 0,78}. (54). W przypadku opisywanego przykładu wartości dla kolejnych cykli przedstawiają się następująco..

(18) Jacek Wołoszyn, Paweł Wołoszyn, Wit Urban. 168. Występująca wśród nich tendencja rosnąca wskazuje na rosnącą synchronizację cykli opisywanych przez rzeczywiste liczby rozmyte pochodzące z wyjściowego szeregu czasowego oraz prognoz formułowanych na podstawie modelu (33). 4. Wnioski Przedstawiona w opracowaniu procedura stanowi rezultat wstępnych badań nad możliwościami wykorzystania danych rozmytych oraz równań różnicowych w modelowaniu dynamiki cykli statystycznych szeregów czasowych, ma jednak jak na razie szereg ograniczeń. Pierwszym z nich jest potencjalna utrata możliwości pełnego prognozowania przebiegu cyklu na skutek operacji przeskalowania jego postaci w danych z przeszłości do przedziału [0; 1]. W indywidualnych przypadkach mogą jednak istnieć przesłanki do aproksymacji współczynnika skalującego. Tak też jest w omawianym w opracowaniu przykładzie. Dzięki jego pewnej stabilności na określonym poziomie, co demonstruje rys. 7, można w tym celu wykorzystać medianę zbioru wartości takich współczynników dla wyjściowego szeregu czasowego. 10,2 10 9,8 9,6 9,4 9,2 9 8,8. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Rys. 7. Zmiana wielkości współczynnika skalującego dla kolejnych cykli szeregu czasowego {Zt} Źródło: opracowanie własne.. Kolejny problem związany z przedstawianą w artykule tematyką dotyczy ogólnie działań odwrotnych w arytmetyce rozmytej. Istota tej trudności polega na prostym w przestrzeniach skalarnych zagadnieniu rozwiązywania równań z jedną niewiadomą. W wielu wypadkach okazuje się, że w przestrzeni rozmytych.

(19) Wprowadzenie do modelowania…. 169. liczb rzeczywistych tego typu problemy nie mają rozwiązania przynajmniej na podstawie przyjętego aparatu pojęciowego i definicji arytmetyki rozmytej. Ich rozwiązanie ma istotne znaczenie dla modelowania dynamiki różnych procesów z wykorzystaniem równań różnicowych w tej przestrzeni. Inną kwestią jest także sama postać wspomnianych równań i w tym kontekście określenia kryteriów jej doboru do danych rzeczywistych. Niemniej jednak osiągnięte rezultaty wskazują na potencjalnie duże możliwości przedstawionej metody wielowymiarowej analizy statystycznych szeregów czasowych. Literatura Anile A.M., Deodato S., Privitera G. [1994], Implementing Fuzzy Arithmetic, Dipartimento di Matematica, Università degli Studi di Catania, Italy. Biocybernetyka i inżynieria biomedyczna [2000], red. T. Nałęcz, W. Duch, Exit, Warszawa. Kaufmann A., Gupta M.M. [1985], Introduction to Fuzzy Arithmetic: Theory and Applications, Van Nostrand, New York. Klir G.J., Pan Y. [1998], Constrained Fuzzy Arithmetic: Basic Questions and Some Answers, „Soft Computing”, vol. 2, nr 2. Navara M., Zabokrtsky Z. [2000], Computational Problems of Constrained Fuzzy Arithmetic [w:] The State of the Art in Computational Intelligence, red. P. Sincak i in., Physica-Verlag, Heidelberg–New York. Song Q., Leland R.P., Chissom B.S. [1995], A New Fuzzy Time-series Model of Fuzzy Number Observations, „Fuzzy Sets and Systems”, vol. 73, nr 3. Turksen L.B. [1988], Stochastic Fuzzy Sets. A Survey, Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems series, vol. 310, Springer. Urban W. [1999], Podstawy rozmytej dynamiki systemowej, Akademia Ekonomiczna w Krakowie, Kraków. Zadeh L.A. [1965], Fuzzy Sets, „Information and Control”, nr 8. Zadeh L.A. [1977], Fuzzy Sets and Their Application to Pattern Classification and Clustering Analysis [w:] Classification and Clustering, red. I. VanRysin, Academic Press, New York. An Introduction to Cyclic Time Series Modelling with Application of Linear Differential Equations in a Fuzzy Real Numbers Space The issues submitted in the paper concern the multidimensional time series analysis. The authors presented a method of such an analysis that is based on cycles dynamics modelling with the use of linear differential equations in a fuzzy real numbers space. In order to do that, the features of fuzzy arithmetic and transformations of a single time series cycle to a fuzzy real number have been utilised..

(20)