Een onderzoek naar de bruikbaarheid van de methode van C.P. Pien ter bepaling van mathematische scheepsvormen

(1)

i i g, 0 P P 2 Q E K_ p A R _ D E _ _ B R U I K B A y H E I D ^ V A N ^ p _ ^ ^

TER BEPALING VAN MATHEMATISCHE SCHEEPSVORMEN. a » » a » B a « 5 t = = = as=55 = = = a = = = = « = a 3 = = = = = = === = = s:s = = 3 a R a p p o r t n r . 9 7 o L a b o r a t o r i m n v o o r Scheepsbouwkunde. Door C. da G r o o t e o . j a n u a r i 1 9 6 3 . I n l e l d i n ^ o Door C.P. P l a n l a « M a a t h o d a o n t w i k k e l d t a r b e p a l i n g T a n e e n • a t h a s a t i a a k a a e k a a p a r o r m , f«ka»*ard op e a n gegeven t a b e l r a n a p a n t -b r e e d t e n ( e p a n t a n l i j a t ) . De u i t e i n d e l i j k e v e r g e l i j k i n g i a 3-di«enaio-n a a i , e3-di«enaio-n g e e f t b e h a l v e a p a a t e 3-di«enaio-n e3-di«enaio-n w a t e r l i j 3-di«enaio-n e 3-di«enaio-n ook h e t a t e v e 3-di«enaio-n p r o f i e l B e s c h r i j v i n g van de a e t h o d e . P i a n g a a t u i t wmm —n n o r u i a l « a a g a — d v r a o h t a c h i p a a t v l a l r i M b o d e a , en neemt de c o o r d l B a a t - « a M « a a a v o l g e a a f i g . 1. De b o v e n a t e w a t e r l i j n l i g t l n h e t X T - v l a k , h e t l a n g a a c h a e p a a a y a u B ^ t r i e v l a k v a l t aamen met h e t X Z - v l a k , en k»t g r o o t a p a n t l i g t i n h e t I Z - v l a k . D i a e n a l a l o B e coördinaten worden a l a v o l g t gadefiniëerd:

z =

w m a r l a L , 1 en D r e a p , de lengte» de b r e e d t e en de h o l t e v a n h e t ge-geven a c h i p z i j n .

(2)

T e r w i l l e v a n de eenvoud worden vóór en a o h t e r s o h i p a f a o n d e r -l i j k b e r e k e n d w a a r d o o r de x - a a p o a i t i e f n a a r de e i n d e n t o e genomen imm worden, voor b e i d e a e h e e p a h e l f t e n *

I n d i e n y - f ( x , a ) ( i ) de g e v r a a g d e o p p e r v l a k t e - v e r g e l i j k i n g i a , dan moet y = f ( x , 8^) ( 2 ) de •* w a t e r l i j n v o o r a t e l l e n , y - f ( x ^ , z ) . . . ( 3 ) b e t a a p a a t v o o r a t e l l e n , en y = f P ( a ) , z } = O ( i f ) w a a r i n x = P(z) h e t a t e v e n p r o f i e l i a , x ^ de x-waarde v a n h e t n* • p a a t , en a ^ de z-waarde van de m® w a t e r l i j n . E e n o p p e r v l a k a l a boven o a e c h r e v e n k a n i n p r i n c i p e door e e n l n X en z «et i e d e r e gewenate n a u w k e u r i g h e i d b e n a d e r d wor-i . I n ona g e v a l , waar h e t a c h wor-i p e e n v l a k k e bode» h e e f t , r a k e n de

i t e n a a n h e t b a a i a v l a k . Z e e r hoge l a c h t e n v a n z a o e t e n dan i n de polynoo» voorkomen. Ook h e t s t e v e n p r o f i e l , w i l d a t goed b e n a d e r d worden, v e r e i s t een g r o o t a a n t a l termen i n x en z . Daarom worden v e r s c h i l l e n d e v e r e e n v o u d i g i n g e n i n de s c h e e p s v o r m a a n g e b r a c h t , a l -v o r e n a deae door e e n polynoom t e b e n a d e r e n .

De e e r s t e w i j z i g i n g , w e l k e t e n d o e l h e e f t de m o e i l i j k h e d e n t e n g e v o l g e v a n de a t e v e n l l j n t e omzeilen» b e a t a a t u i t h e t i n v o e r e n v a a een e i n d c o r r e c t i e f a c t o r . De e i n d c o r r e c t i e f a c t o r , w e l k e de gegeven rm^ een n a a r de e i n d e n toenemende v e r v o r m i n g g e e f t , w o r d t i n d i t r a p p o r t nog n a d e r b e h a n d e l d . Da tweede w i j z i g i n g h e e f t t o t d o e l de g e c o m p l i c e e r d h e i d t a a g e v o l g e van de k i m r o n d i n g en de v l a k k e bodem t e v e r m i n d e r e n . Hieitbe nemen we e e n nieuwe romp a a n , een h u l p o p p e r v l a k , d a t g a a t door 3 w i l l e k e u r i g gekozen s p a n t e n v a n de boven o m s c h r e v e n g e w i j z i g d e rompij D i t h u l p o p p e r v l a k h e e f t i n g r o t e l i j n e n d e z e l f d e vorm a l s de e e r a t a g e w i j z i g d e romp, maar h e e f t a n d e r e y - w a a r d e n , b e h a l v e i n de 3 ge-noemde a p a a t e n . Het v e r t o o n t e c h t e r w e l de k i m r o n d i n g en e e n v l a k k e bodem. Da v e r s c h i l l e n i n y-waarde (= b r e e d t e v e r a c h i l l e n ) van de

(3)

3

-twee h i e r b o v e n a f g e l e i d e rompen b i j «ike x en . i k e z vormen de y-waarden van een v e e l minder gekromd o p p e r v l a k . D i t i s h e t u i t e i n d e - ] l i j k e v e r e e n v o u d i g d e o p p e r v l a k d a t met een polynoom b e n a d e r d moet worden. D i t i s met b e t r e k k e l i j k w e i n i g termen m o g e l i j k . D i t o p p e r -v l a k wordt -v e r -v o l g e n s t e r u g g e t r a n s f o r m e e r d , w a a r d o o r t e n s l o t t e een w i s k u n d i g e b e n a d e r i n g van de o o r s p r o n k e l i j k e romp v e r k r e g e n w o r d t . De e i n d c o r r e c t i e f a c t o r . Baachouw een w i l l e k e u r i g e w a t e r l i j n : y = f ( x ) _{( 5 )} y = f ( P ) = O _{( )} w a a r i n P = de l e n g t e van de w a t e r l i j n , :houw n u : f ( x ) ( 7 ) 7 ( x ) _{g e w i j z i g d e w a t e r l i j n v o o r a t e l t , d i e v o o r x - P m i e t} n u l h o e f t t e z i j n , en [ l - ( { ) 2 ] R a a n f a c t o r d i e e r v o o r z o r g t d a t k a t r e c h t e r l i d v a n ( ? ) v o o r x » P t o c h n u l w o r d t . M i a a e n w i l l e k e u -r i g e c o n s t a n t e . ( ? ) i a dan een a n d e -r e a o h -r i j f w i j a e v o o -r ( 3 ) en ( 6 ) . •J 1 De f a c t o r wordt de e i n d c o r r e c t i e f a c t o r genoemd; v o o r X = O i a de f a c t o r g e l i j k a a n 1 en v o o r x « P i a de f a c t o r g e -l i j k a a n 0 , Het v e r l o o p hangt a f van de k e u z e van M. A l a M v o l d o e n d e g r o o t i a z a l de e i n d c o r r e c t i e f a c t o r o v e r h e t g r o o t s t e d e e l van h e t g e b i e d o é X # P n i e t v e e l van +1 a f w i j k e n . Een z o d a n i g v e r l o o p l a gewenst omdat de c o r r e c t i e dan t o t de s c h e e p s e i n d e n b e p e r k t b l i j f t . A l s b r u i k b a r e waarde b l i j k t M = +10 gekozen t e kunnen worden.

Voor de v e r s c h i l l e n d e w a t e r l i j n e n i a P v e r s c h i l l e n d . Door P t e v e r -vangen door P ( z ) w o r d t de algemene u i t d r u k k i n g v o o r de e i n d c o r r e c t l e 4 f a c t o r :

r r ^ 2 T 1

C ( x , z ) = [ l

-De gegeven romp k a n dan v o o r g e s t e l d worden d o o r :

r r -)2i1

y = f ( x , z ) = f ( x , z ) 1 - . H ( 8 )

(4)

-- 4 . P ( a ) » d« u i t d r u k k i n g v o o r d« s t e v e n l i j n . f ( x , z ) s t e l t de g e w i j z i g d e romp v o o r , i n h e t g e b i e d O é x é P. I n d i e n aangenomen wordt d a t de s t e v e n l i j n v o o r b i j x « 0 , 9 5 l i g t , dan i s f ( x , z ) g e d e f i n i e e r d voor 0 ^ x ^ 0 , 9 5 o Het h u l p o p p e r v l a k .

Het e e r d e r genoemde h u l p o p p e r v l s k wordt a l s v o l g t g e d e f i n i e e r d J

7. (x,«)-»f|^x, ? ( o , z ) , 7 ( 0 , 6 , a ) , 7 ( 0 , 9 5 , z ) } ( 9 )

E e t o p p e r v l a k f ^ ( x , s ) wordt v e r k r e g e n door t e i n t e r p o l e r e n t u s s e n de s p a n t e n x » O, x = 0 , 6 en x = 0 , 9 5 . De vorm v a n deze v e r g e l i j k i n g | moet zo gekozen worden d a t h e t v e r a o h i l t u a a e n 7( x , z ) en f.^(x, z ) k l e i n i a voor h e t g e b i e d 0# x = O, 9 5 . Voor ( 9 ) wordt genomen:

7^ ( x , z ) = f ( o , z ) ( a ^ + + a^x'*) + f( 0 , 6 , z) ( b ^ + b^x^ + b^x'^) + f( 0 , 9 5 , z ) ( c ^ + c ^ x ^ + c ^ x ^ )

coëfficiënten a ^ , b^ en c ^ kunnen worden gevonden u i t de v o o r -de d a t r ^ ( x , z ) door -de a p a n t e n x = O, x = 0 , 6 en x « 0 , 9 5 mo€ Voor:x = 0 i a 7^ ( x , z ) = f ( o , a ) X = 0 , 6 " = 7 ( 0 , 6 , a ) X = 0 , 9 5 " " = 7 ( 0 , 9 5 , z ) . H e r u i t v o l g t t O + 1 *2 " " 5f8858 a^^ » + 3<»0779 b^ = O bg - + ^,6211 b^ = - 5^12035 = O " " 0 » 7 3 5 2 9 = + 2,0^2^+6 Het u i t e i n d e l i j k e v e r e e n v o u d i g d e o p p e r v l a k ,

l^Uy ») -

7(x,

a ) -

7,^(x,

a )

( 1 0 )

Het o p p e r v l a k 72(x, z ) i a t a m e l i j k e e n v o u d i g v a n vorm: h e t i a g e l i j k j a a n n u l voor x = O, x = 0 , 6 en x = 0 , 9 5 en h e t h e e f t e e n v e r t i c a a l e i n d p r o f i e l . De a p a n t e n v a n d i t o p p e r v l a k v e r t o n e n n i e t meer de s t e r k e k i m r o n d i n g , en r a k e n n i e t meer a a n h e t b a a i a v l a k . D i t o p p e r 5

(5)

5

-• l a k k a n nu door a e n polynoom b e n a d e r d worden:

f ( x , a ) « ^ 2 ft x^z^ (11

i j

Een v o l d o e n d a a n t a l machten van x en z moet genomen worden om a l l e w a t e r l i j n e n en a p a n t e n goed t e kunnen b e n a d e r e n . Voldoende i a v o l -gena P i e a :

i = 2, 3, 5, 6, 7, 8 , en 9

j = O, 1, 2, 3, ^, 5, 6, 7, 8, en 9 .

D i t b e t e k e n t d a t e r 8o onbekende coëfficiënten a ^ ^ b e p a a l d moeten worden. Deze coëfficiënten worden gevonden u i t de y-waarden van h e t f g C x , z ) o p p e r v l a k d.m.v. de methode d e r k l e i n s t e k w a d r a t e n . De u i t w e r k i n g h i e r v a n wordt v e r d e r i n d i t r a p p o r t nog b e s p r o k e n . U i t de v e r g e l i j k i n g e n ( 8 ) , ( 9 ) , ( 1 0 ) en ( 1 1 ) wordt t e n s l o t t e gevonden:

y = f ( x , z ) =

7 (x, z) [ l -y^]^]^

- i p l X, 7 ( 0 , a ) , f( 0 , 6 , a ) , f( 0 , 9 5, z ) f + Z . 2 a , .x^z^ . ^ L J i j ; J 1 - i x l ^ M _ i n i y ! J (12

I n h e t voorgaande komen k v l a k k e krommen v o o r : de a p a n t e n 7 ( 0 , z ) , f( 0 , 6 , a ) , 7 ( 0 , 9 5 , a ) en h e t s t e v e n p r o f i e l P ( z ) , V e r o n d e r a t e l d word dat deae z o n d e r m o e i l i j k h e d e n n a u w k e u r i g b e n a d e r d kunnen worden. I n h e t v o l g e n d e wordt g e b r u i k gemaakt v a n da opmetingen v a n deae krommen, n u m e r i e k g a t a b e l l e e r d t e g e n z . F i g . 2 g e e f t e e n s a m e n v a t -t i n g v a n h e -t v o o r a f g a a n d e .

U i t g e w e r k t v o o r b e e l d .

De i n h e t voorgaande b e s c h r e v e n methode werd t o e g e p a s t op h e t v o o r s c h i p v a n h e t m.a. " A m s t e l h o e k " . U i t h e t l i j n e n p l a n werden de f ( x , z ) - en de P ( z ) - w a a r d e n opgemeten. Z i e t a b e l 1. H e t b l i j k t d a t de a t e v e n l i j n n i e t g e h e e l v o o r b i j x = 0 , 9 5 l i g t . Omdat h e t oppervl/^ o v e r h e t h e l e g e b i e d van x = O t o t x = 0 , 9 5 g e d e f i n i e e r d moet z i j n , werd v o o r de o n t b r e k e n d e p u n t e n de f u n c t i e w a a r d e n u l g e k o z e n . 6

(6)

-De 17 w a t e r l i j n e n ( z = O, I/ I 5 , 2 / 1 5 l V l 5 , 1 ^ , 5 / 1 5 , D b e s t r i j k e n e e n g r o t e r g e b i e d dan de n o m i n a l e d i e p g a n g , o n g e v e e r t o t h e t hoofddek.

Deze f ( x , z ) - w a a r d e n werden g e d e e l d door de o v e r e e n k o a n t i g e C ( x , z ) - w a a r d e n , wat r e s u l t e e r d e i n h e t e e r s t e g e w i j z i g d e o p p e r v l a k f ( x , z ) . Z i e t a b e l 2 . Het h u l p - o p p e r v l a k ( x , c ) werd b e r e k e n d «et de f o r a u l e : f,,(xo z ) = ? ( 0 , z ) ( l - 3 , 8 8 5 8 x ^ + 3 , 0 7 7 9 x ^ ) 7 ( 0 , 6 , z) ( 4 , 6 2 1 1 x ^ - 5 , 1 2 0 3 3 x ^ ) +7(0,95, s) ( - 0 , 7 3 5 2 9 x ^ + 2,Oi*2'f6 x ^ ) . O . . . O (13)

H i e r b i j werd g e b r u i k gemaakt v a n de n u m e r i e k e waarden v a n

7 ( 0 , z ) , 7 ( 0 , 6 , z ) en 7 ( 0 , 9 5 , a ) v o l g e n s t a b e l 2o De b e r e k e n d e f ^ ( x , z ) - w a a r d e n z i j n v e r z a m e l d i n t a b e l 3 ,

Het tweede g e w i j z i g d e o p p e r v l a k 72(x, z ) werd v e r k r e g e n door de f u n c t i e w a a r d e n van t a b e l 3 van de o v e r e e n k o m s t i g e waarden v a n t a b e l 2 a f t e t r e k k e n . Het r e s u l t a a t g e e f t t a b e l

(7)

TABEL 1 , fCxg z ) - en P ( a ) v;aarden<, z X = 0 0 , 1 0 , 2 0 , 3 0 , 4 _{0 , 5} 0 , 6 0 , 7 0 , 8 0 , 8 5 0 , 9 0 , 9 5 P(B )

:

1 1 1 1 1 1 1 0 , 9 3 2 0 , 7 7 5 0 , 6 6 0 - 0 , 5 1 7 0 , 3 5 2 1 , 0 3 4 8 1 / 1 5 1 1 1 1 1 1 0 , 9 9 0 0 , 9 0 5 0 , 7 3 5 0 , 6 1 2 0 , 4 6 7 0 , 3 0 3 1 , 0 2 8 6 2 / 1 5 1 1 1 1 1 1 0 , 9 7 8 0 , 8 8 0 0 , 6 9 7 0 , 5 7 2 0 , 4 2 6 0 , 2 6 4 1,0226 3/ 1 5 1 1 1 1 1 1 0 , 9 6 9 0 , 8 5 9 0 , 6 6 7 0 , 5 3 8 0,391 0 , 2 3 2 1 , 0 1 7 0 V 1 5 1 1 1 1 1 1 0 , 9 6 0 0 , 8 3 9 0 , 6 3 6 0 , 5 0 5 0 , 3 5 8 0 , 2 0 4 1 , 0 1 1 2 5 / 1 5 1 1 1 1 1 0 , 9 9 9 0 , 9 5 0 0 , 8 2 0 0 , 6 0 7 0 , 4 7 4 0 , 3 3 0 0 , 1 8 0 1 , 0 0 5 6 6 / 1 5 1 1 1 1 1 0 , 9 9 7 0 , 9 4 1 0 , 8 o 4 0 , 5 8 0 0 , 4 4 5 0,301 0 , 1 5 6 1 , 0 0 0 4 7 / 1 5 1 1 1 1 1 0, 9 9 3 0 , 9 3 2 0 , 7 8 5 0 , 5 5 3 0 , 4 1 7 0 , 2 7 6 0 , 1 3 3 0,9951 8 / 1 5 1 1 1 1 1 0 , 9 9 0 0, 9 2 3 0 , 7 6 8 0 , 5 2 7 0 , 3 9 2 0,251 0 , 1 1 4 0 , 9 8 9 9 9 / 1 5 1 1 1 1 1 0 , 9 8 6 0,911 0 , 7 4 7 0,501 0 , 3 6 5 0 , 2 2 8 0 , 0 9 4 0 , 9 8 4 4 1 0 / 1 5 1 1 1 1 0 , 9 9 9 0 , 9 7 8 0 , 8 9 7 0 , 7 2 2 0 , 4 7 3 0 , 3 3 8 0 , 2 0 3 0 , 0 7 6 0 , 9 7 8 9 1 1 / 1 5 1 1 1 1 0 , 9 9 7 0 , 9 6 8 0 , 8 7 6 0 , 6 9 2 0 , 4 4 2 0,311 0 , 1 8 0 0 , 0 5 8 0 , 9 7 2 5 1 2 / 1 5 1 1 1 1 0,991 0 , 9 4 8 0 , 8 4 3 0 , 6 5 2 0 , 4 0 4 _{0 , 2 7 7} _0,151 0 , 0 3 6 0 , 9 6 4 1 1 3 / 1 5 0 , 9 9 9 0 , 9 9 9 0 , 9 9 9 0 , 9 9 5 0 , 9 7 0 0 , 9 1 2 0,791 0 , 5 9 6 0 , 3 5 3 0 , 2 3 4 0 , 1 1 5 0 , 0 1 2 0 , 9 5 2 3 1 4 / 1 5 0 , 9 6 8 0 , 9 6 8 0 , 9 6 8 0 , 9 5 7 0 , 9 1 6 0 , 8 3 9 0 , 7 0 7 0 , 5 1 0 0 , 2 7 8 0 , 1 5 7 0 , 0 6 3

-

0 , 9 3 2 8 1 4 , 5 / 1 5 0 , 9 2 3 0 , 9 2 3 0 , 9 2 3 0 , 9 0 9 0 , 8 5 9 0 , 7 7 2 0 , 6 3 5 0 , 4 3 3 0 , 2 1 2 0 , 1 0 2 0 , 0 2 0

-

0 , 9 1 3 7 1 0 0 1 0 , 7 9 6 0 , 7 9 6 0 , 7 9 6 0 , 7 6 5 0 , 7 1 3 0 , 5 8 8 0 , 4 3 9 0 , 2 4 3 0 , 0 4 6 -0 , 8 2 -0 4 1 1

(8)

TABEL 2o f( x , z) = f ( x , z ) f ( x . z ) TABEL 2o f( x , z) = • c Cx, z ) _X_7.2

_{T 1}

= ( z) J

J 10

x = 0 0,1 0 , 2 _{0 , 3} 0 , 4

_0,5

0 , 6 0, 7

0 ,8

0 , 8 5 0,9 0,95 0 1 1 , 0 0 0 9 1,0038 1 , 0 0 8 8 1 , 0 1 6 3 1 ,0269

t

,04l8

0,9903 0 , 8 4 8 9 0 , 7 3 8 4 0 , 5 9 5 4

_0,4235

1 / 1 5 ₁ 1 , 0 0 1 0 _{1 , 0 0 3 9} 1 , 0 0 8 9 1 , 0 1 6 5 1 ,0273 1 , 0 3 2 0 _0,9631 0 , 8 0 6 5 0 , 6 3 6 5 0 , 5 3 9 9 0 , 3 6 7 0 2 / 1 5 1 1 , 0 0 1 0 1,0039 1 , 0 0 9 0 1 , 0 1 6 7 1 ,0277 1,0202 0 , 9 3 7 4 0 , 7 6 6 2

0 ,6433

0 , 4 9 4 4 0,3221 3 / 1 5 1 , 0 0 1 0 1,0040 _1,0091 _{1 , 0 1 6 9} 1 ,0281

1,0114

0 , 9 1 6 0 0 , 7 3 4 5 0 , 6 0 6 5 0 , 4 5 5 6 0,2851

V I 5

1 1 , 0 0 1 0 1,0040 _{1 , 0 0 9 3} 1 , 0 1 7 2 1 ,0284 1,0026 0 , 8 9 5 6 0 , 7 0 1 7 0 , 5 7 0 9 0 , 4 1 8 9 0, 2 5 2 7 5 / 1 5 1 1 , 0 0 1 0

1,0040

1 , 0 0 9 4 1 , 0 1 7 4 1 ,0278 0, 9 9 2 7 0 , 8 7 6 2 0 , 6 7 1 0 0, 5 3 7 3 0 , 3 8 7 8 0 , 2 2 5 0

6/15

1 1 , 0 0 1 0

1,004l

1,0095 1 , 0 1 7 6 1 ,0261 0 , 9 8 3 9 0 , 8 5 9 9 0, 6 4 2 3 0, 5 0 5 8 0, 3 5 5 3 0 , 1 9 6 7 7 / 1 5 1 1 , 0 0 1 0

1,004l

1 , 0 0 9 6 1,0178 1 ,0223 0,9751 0,8405 0 , 6 1 3 6 0 , 4 7 5 3 0, 3 2 7 3 0 , 1 6 9 5 8/15 1 1 , 0 0 1 0 1 , 0 0 4 2 1 , 0 0 9 7 1 , 0 1 8 0 1 ,0196 0 , 9 6 6 2 0,8231 0, 5 8 5 9 0,4481 0,2991 0, 1 4 6 9

9/15

1 1 , 0 0 1 0

1,0042

1 , 0 0 9 8 1 , 0 1 8 2 1 ,0159 0 , 9 5 4 3 0 , 8 0 1 5 0,5581 0 , 4 1 8 5 0 , 2 7 3 2 0 , 1 2 2 9 1 0 / 1 5 1 1, 0 0 1 0 1,0043 _{1 , 0 0 9 9} 1 , 0 1 7 4 1 ,0080 _{0 , 9 4 0 3} 0 , 7 7 5 6 0,5281 0 , 3 8 8 9

0 ,2447

0, 1 0 1 0 1 1 / 1 5 1 1,0011 1,0043 1,0101 1 , 0 1 5 7 0 ,9982 0 , 9 1 9 0 0 , 7 4 4 4

0,4948

0,3593 0, 2 1 8 6 0 , 0 7 9 0 1 2 / 1 5 1 1,0011 1,0044 1 , 0 1 0 2 1 , 0 0 9 9 0 ,9782 0 , 8 8 5 3 0 , 7 0 2 7 0 , 4 5 4 0 0 , 3 2 1 9 0 , 1 8 5 4 0 , 0 5 1 3 1 3 / 1 5 0, 9 9 9 1 ,0001 1, 0 0 3 5 1 , 0 0 5 5 0 , 9 8 9 0 0 ,9419 0 , 8 3 2 0

0 ,6442

_{0 , 3 9 8 9} 0 , 2 7 4 4 0 , 1 4 3 8 0 , 0 2 0 5 1 V 1 5 0 , 9 6 8 0,9691 0 , 9 7 2 6 _{0 , 9 6 7 5}

0,9348

0 ,8679 0 , 7 4 5 8

0,5540

0 , 3 1 7 5 0 , 1 8 7 5 0 , 0 8 2 3

0

14^5/15 0, 9 2 3 0,9241 _{0 , 9 2 7 5} _{0 , 9 1 9 4} _{0 , 8 7 7 5}

₀

_,8000 _{0 , 6 7 1 9} _{0 , 4 7 3 0} _{0 , 2 4 5 2}

_0,1247

_{0 , 0 2 8 4}

₀

1 0 , 7 9 6 0 , 7 9 7 2 0 , 8 0 0 9 0,7761 0 , 7 3 2 6 _{0 ,6159} 0, 4 7 3 9 0 , 2 7 6 8 0 , 0 6 2 2

0

1 • 1 0 0 1

(9)

I

vo X + vo OJ

X

••• O N ^ K LTN KN CV. • • O oo 8 >—N t H —\ 1 ' Ox O O + ;.; C O O CD CV. O vo ITN O O O 1') ."1 II X U> O T- r - tv. O KN rvj ITN OJ ITS OJ VO fM 0 0 ITN AJ -d- KN KN «VJ OJ OJ Cv. ir\ <7N (Tv O ^ ^ AJ Al O KN IA O T- O O IA AJ O O O O O

o o o o o o o o o o o o o o

C7\ vo oo -4- fA AJ O cv. lA ITN IfN -J-C v . K N< y\ f \ J O l A o o K N C ^ I A -J O l A A J O J O v C ^ K N O v v O . 4 - A J a \ c v . i r \ a j o o o - * o . T . ^ K N K N K N K N K N A J A J O I AJ VO KN CV. r - O

o o o o o o o o o o o o

O O O O lA CO op T- O CJv AJ O lA AJ T- oo lA AJ O oo IfN KN Al KN -4- AJ -:t AJ O ON K N V O -d- AJ O C^ ir\ r - vo O t S V O V O V D V O l A l A l A l A l A . 4 - J - . 4 - K N K N O O O O O O O _{O O O O O O O} AJ vo AJ O O tv-lA IA O ov AJ l A l T N O v o o o O O A J 4 -AJ ON VO J - OJ CO CN tv- Cv- CN-O CN-O CN-O CN-O CN-O C v - T - AJ vo oo C ^ V D AJ OO 0 \ Ov K N .4-ON C^ iTy KN Cv. VO VO VO VD VO OJ V O AJ vo AI ON r^-Ov IA r^-Ov A J VO fW IA LA, ^4- KN O J O O O O O O KN OO OO O VO IA ov Ov 0 0 OJ co KN t-Ov ON t-Ov OO I A Cv-lA T¬ O Ov C O A J ^ i - V O A J K N O N O N O p v O j Q O ^ V O C v - o o C^ v o l A I ^ N A J O N l A O v ('I O KN ON IA O O o o a O o O C - ^ C - - v O V O l A K N O O O O O O O O O O O O O O O O 0 0 O * - AJ ai O -4- vo CV. Ov »- Al AJ K\ ü \ VO ON üO KN K N • J O I A .4-' ) tA ON ON T- KN C>- [v^ vo -4-O O O O O O O O O KN O IA OJ T- OO KN O N O N O V O V O V O V O N O O O O K N K N O N V O t 4 | N c O C N r C v . A J 4 O N 4 C ^ r I A O N T -V O -V O m - 4 - - 4 - | -V N r < N r v i ^ ^ O O O O O O O O O O r - IfN IA 0 0 t - CV O -4- N -4' vo IA

T-§

0 0 IA T- KN VD IN (TN Ov Ov co CN IA r - T- O O O O O r-ONvo, V 0 . 4 - A J C v . T - A J i A - 4 K N O V O K N O V D A I O N I A O N O J ON KN .4" t - VO T¬_{O A J VO O AJ} t - ON VD Ov KN IA O O O O O O O ^ O N O O O O V O O A J C v . f - C v . o O O V C N - J - K N . * OJ r - C O O O O \ ± I A T O N O O l A K N r O N V O AJ I T N ^ ? N A ^ 3 . 4 --r^ K N K N K N K N K N A J A J f y T- O C O K N ^ 1 ^

o o o ^ o ^ o o o o o o o o o o N O N o o r ^

^ ^ " ^ ^ T - « - < - T - T - r - T - T - T - O O o ' o

5 8 8

I A A J KN A J A J Al (NJ AJ Al OJ

o o o o o o o o ö ó

IA * Ov tA O ON ON ON OO ON AJ ON IA Cv. O O O O O VO O r> O O oo vo IA A J O IA IA i n IA A O O O O O O O O O O OO VD -4¬

8 8

Cv., ON I A ^'^ A J T

-8 -8 -8

ov vo »-Ov ON ON 0 0 oo Cv-O Cv-O Cv-O Cv-O ON co KN VD ON vo A J ON Ov ON ON Cv-l A » A U N U N » A Cv-l A I A « A t f N Cv-l A I A i A I A I A Cv-l A ^ ^ ^ ^ T~ ^ T~ 1^ T~ ^

J~ ^ ^ ^

- 9 ; . O 10

(10)

-TABEL k, f g C x , z ) = f ( x , z ) - f ^ ( x , z ) = «atrix ( D )

= 0

0,1

0 , 2 0 , 3

0,4

0,5

0 , 6

_0,7

0,8

0 , 8 5

0,95

0

-Oy0051 - 0 , 0 1 8 6 _{- 0 , 0 3 5 5} - 0 , 0 4 6 8

-0,04o4

0

_{0 , 0 2 2 5} _{0 , 0 2 3 9} _{0 , 0 1 8 9} _{0 , 0 0 8 5}

₀

0

- 0 , 0 0 5 0 - 0 , 0 1 8 3 - 0 , 0 3 4 5

-0,0443

- 0 , 0 3 5 0 0 _{0 , 0 1 2 3} 0 , 0 1 0 6 0 , 0 0 3 ? - 0 , 0 0 1 2 0 0

_-0,0048

- 0 , 0 1 7 4 - 0 , 0 3 2 2 - 0 , 0 3 9 8 - 0 , 0 2 7 2 0

0,0048

- 0 , 0 0 3 0 - 0 , 0 0 7 5 - 0 , 0 0 8 6

0

_-0,004?

_{- 0 , 0 1 6 7} - 0 , 0 3 0 6 _{- 0 , 0 3 6 7} - 0 , 0 2 1 6 0 - 0 , 0 0 2 8 - 0 , 0 1 3 6 - 0 , 0 1 8 6 - 0 , 0 1 6 6

0

0 -0,0045

- 0 , 0 1 6 0 - 0 , 0 2 8 8 - 0 , 0 3 3 2 - 0 , 0 1 5 7

0

- 0 , 0 0 9 9 - 0 , 0 2 7 0 - 0 , 0 3 1 1 - 0 , 0 2 5 8 0

0 -0,0042

- 0 , 0 1 4 9 - 0 , 0 2 6 4 _{- 0 , 0 2 8 9} - 0 , 0 0 9 7

0

- 0 , 0 1 5 5 - 0 , 0 3 9 1

-0,0433

- 0 , 0 3 2 4 0

0 -o,oo4o

-0,0141

-0,0244

- 0 , 0 2 5 1 - 0 , 0 0 5 6

0

- 0 , 0 1 8 9 - 0 , 0 4 9 9 _{- 0 , 0 5 3 9} - 0 , 0 4 0 6 0

0

- 0 , 0 0 3 8 - 0 , 0 1 3 2 - 0 , 0 2 2 3 - 0 , 0 2 1 3 - 0 , 0 0 3 5

0

- 0 , 0 2 5 7 - 0 , 0 6 1 0 - 0 , 0 6 3 9 - 0 , 0 4 4 9

0

- 0 , 0 0 3 5

- 0 , 0 1 2 2

-0,0200

- 0 , 0 1 7 2 - 0 , 0 0 0 1

0

- 0 , 0 3 1 0 _{- 0 , 0 7 2 9} - 0 , 0 7 3 2 - 0 , 0 5 2 9

0

- 0 , 0 0 3 1 - 0 , 0 1 0 6 - 0 , 0 1 6 6 - 0 , 0 1 1 3

0,0048

0

- 0 , 0 3 7 1 - 0 , 0 8 1 5 - 0 , 0 8 1 9 - 0 , 0 5 é 3 0

0

- 0 , 0 0 2 6 - 0 , 0 0 8 7 - 0 , 0 1 2 3 - 0 , 0 0 5 0

0,00?4

0

- 0 , 0 4 5 6 _{- 0 , 0 9 1 5} _{- 0 , 0 9 0 5} - 0 , 0 6 3 2 0 0 - 0 , 0 0 1 8 - 0 , 0 0 5 4 - 0 , 0 0 5 3

0,004?

0,0l4l

0

- 0 , 0 5 1 9 - 0 , 0 9 8 4 - 0 , 0 9 4 1 - 0 , 0 6 4 ? 0

0

- 0 , 0 0 0 5 - 0 , 0 0 0 1 0,0061

0,01?6

0,020?

0 - 0 , 0 5 5 2 - 0 , 1 0 0 2 - 0 , 0 9 4 3 - 0 , 0 6 4 4 0 0 0 , 0 0 1 7 0 , 0 0 8 4

0,0204

0,02?6

0,02?4

0

- 0 , 0 5 4 ? _{- 0 , 0 9 8 3} - 0 , 0 9 0 0 - 0 , 0 6 2 ? 0

0 0,0044

0 , 0 1 8 5 0 , 0 3 4 7 0 , 0 3 8 7 0,0311

0

- 0 , 0 5 8 1 - 0 , 1 0 5 0

-0,1148

- 0 , 0 7 9 8

0

0 , 0 0 6 0

0,0248

0,0446

0,0469 0 , 0 3 4 9

0 -0,0?00

-0,1240

- 0 , 1 3 7 4 - © , 1 1 1 1

0

0,0102

0,04l0

0,0611 0 , 0 8 0 5

0,0442

0

- 0 , 0 8 2 3 - 0 , 1 6 5 4 _{- 0 , 1 5 5 7}

_-0,0799

0 1 c •l O 1 / 1 5 2 / 1 5 3 / 1 5 4 / 1 5 5 / 1 5 6 / 1 5 7 / 1 5 8 / 1 5 9 / 1 5 1 0 / 1 5 1 1 / 1 5 1 2 / 1 5 1 3 / 1 5

14/15

14,5/15

1

(11)

- b e n a d e r i n g .

Het f p ( x , z ) - o p p e r v l a k v o l g e n s t a b e l 4 moet nu b e n a d e r d worden '2 door de v e e l t e r m : f ( x , z ) = E ^ a i j x ^ z ^ ( 1 4 ) i i i = 2, 3, , 9 J = 0| 1, 2 9

De onbekende coëfficiënten a i j kunnen i n één s t a p b e p a a l d wor-den v o l g e n s de methode d e r k l e i n s t e k w a d r a t e n . D i t g e e f t e e n s t e l s e l van 80 v e r g e l i j k i n g e n met 80 onbekenden.De g e h e u g e n c a p a c i t e i t van de g e b r u i k t e r e k e n a u t o m a a t i s h i e r v o o r e c h t e r t e k l e i n . Een o p l o s s i n g i n twee s t a p p e n i s wèl m o g e l i j k , en g e e f t b o v e n d i e n een g r o t e r e n a u w k e u r i g h e i d ,

E e r s t e s t a p . De w a t e r l i j n v e r g e l i j k i n g e n .

t a b e l 4 a l s een m a t r i x , d i e we i n h e t v e r v o l g D noemen. »• •* r i j van D s t e l t e s s s s r i e van 12 p u n t e n v o o r , door w e l k e de

w a t e r l i j n moet g a a n . We p r o b e r e n voor i e d e r e w a t e r l i j n e e n v e r -g e l i j k i n -g t e v i n d e n van de vorm:

^m^^^ = ^ °mi-^^ — • (''5)

i = 2 , 3, , - . . . 9

De z o e v e n genoemde 12 punten geven b i j s u b s t i t u t i e i n ( 1 5 ) 12 v e r g e l i j k i n g e n . Aan h e t punt (O, O) wordt a l t i j d v o l d a a n , z o d a t e r 11 v e r g e l i j k i n g e n o v e r b l i j v e n met s l e c h t s 8 onbekende C .'», B IJ ¬ Voor een b e p a a l d e m z i e t h e t s t e l s e l e r a l s v o l g t u i t : ° 2 * ^ 1 * °3*^1 + • • • +<^9'*1 = ^1 2

_3 9

**2**2 * °J> 2 * * * * '*^°S'^2 ^ ^2 ( 1 6 ) ° 2- * ? i ^ c^.x^^+ . . . +Cgox9^= d^^ djj» ^ 1 ' ^2* * ' ' ^11 ^^^^ *** e l e m e n t e n v a n de m* r i j van D * o ' *1 * * 2 * * ' * •*11 '^^^ behorende x - w a a r d e n . 12

(12)

12 -( 1 6 ) i n «atrix-vora g a n c h r e v e n : *1 2 X g X g

V

' 2 3 ^11 *11 *2 « ' 9 ^11/

A A

V"=9 ( 1 7 ) o f k o r t w a g : ( X ) , ( e ) = ( d ) (X) = a a n m a t r i x met bekende e l e m e n t e n x^

( c ) = een k o l o m v e c t o r raet onbekende e l e m e n t e n c (*) = een k o l o m v e c t o r met bekende e l e m e n t e n

V e r m e n i g v u l d i g b e i d e l e d e n van (17) met de g e t r a n s p o n e e r d e m a t r i x (X) (D.w.z, de m a t r i x w a a r i n de r i j e n en kolomman v e r w i a a e l d z i j n ) : ( T ) . ( X ) . ( c ) = ( T ) . ( d ) . . d! 2 • • • -9 ( 1 9 ) U i t g e s c h r e v e n : A l ' 1 • ' • "^1^ De 3 r ' s z i j n s o m m a t i e s o v e r de 11 x-waarden, (20) w e e r i n gewone vorm g e s c h r e v e n g e e f t : ( S : x ^ . x ^ ) , C 2 * ( 2 : x ^ , x ^ ) c c ^ + , . + ( E x ^ . x ^ ) . C g = 2 ^ x ^ . d ( 2 : x ^ , x ^ ) . C 2 + ( r x ^ . x ^ ) , c ^ + . c _{+ ( r x}_{^ o x 9) , C g = 2: x ^ . d} ( S l x ^ o X ^ ) , C 2 + ( E x ^ . x ^ ) o C ^ 4

_{. + (rx^px^)„0g = X x^.d}

*e hebben nu 8 v e r g e l i j k i n g e n met 8 onbekende c ' a , d i e dus k u n nen worden o p g e l o s t . D i t i s h e t a t e l a e l v e r g e l i j k i n g e n v a n de k l e i n -a t e k w -a d r -a t e n methode,

(13)

13 -U i t g a a n d e van ( 1 9 ) s

(X) , (X)

. ( c ) =

(X)

v i n d e n we:

(X)

(X^)

» ( c ) O ( c ) (X ) - ' ' . ( x ) O ( d ) ( d ) ( d ) w a a r i n (X ) = (X) O

(X)

w a a r i n (X ) O

(X ) .

O -1 = de inver«e m a t r i x van ( c ) = ( B ^ ) . ( d ) (21) w a a r i n ( B ) = (X )"''o ( X ) » . . o(22) O O De k o l o m v e c t o r ( d ) ^ de m* r i j van D. I n t o t a a l z i j n e r 1? r i j -en i n D, dus 1? k o l o m v e c t o r e n ( d ) -en ook 1? k o l o m v e c t o r e n ( c ) . De algemene u i t d r u k k i n g voor (21) wordt d a n :

( G ) = ( B ^ ) (D) (23)

( C ) i s een m a t r i x van 1? kolommen, w a a r v a n i e d e r e kolom de 8 coëf-ficiënten van een w a t e r l i j n g e e f t . Z i e (^3)*

(D) i s de g e t r a n s p o n e e r d e m a t r i x van ( D ) . (B ) i s een m a t r i x , u i t s l u i t e n d a f h a n k e l i j k v a n de x - i n d e l i n g , en 1), s i s v o l g t t e b e r e k e n e n : B e r e k e n de e l e m e n t e n v a n ( X ) : ( X ) = . . X *2 3

'9

V x^^ x ^ ^ . . , x^^ (0,1)2 (0,1)5 (0,2)2 ^ Q ^ 2 j 3 (0*,95)2 (0,95)5 (O (0,2) (O

.95)7

2 ) O s t e l de g e t r a n s p o n e e r d e m a t r i x ( X ) op: ( X ) = ( 0 , 1 ) ^ ( 0 , 2 ) ' . (0,95) 2 \ (0,1)5 (0,2)5 ^ ^ ^ (0,95)5 ^ ( 0 , 1 ) ^ (0,2)9 ^ ^ ^ ( 0 , 9 5 ) ' ' / (X) . ( X ) . D i t k a n b e r e k e n d worden met e e n s t a n d a a r d subprogramma v o o r m a t r i x v e r m e n i g v u l d i g i n g . 3 ) . B e r e k e n (X ) O 4 ) . B e r e k e n (X ) " ^ met e e n s t a n d a a r d subprogramma v o o r m a t r i x i n -o

5 ) B e r e k e n ( B ^ ) = ( X ^ ) ~ \ (3c)o Weer met een subprogramms.

(14)

-oo -J- r t -KN t>- oo ir» fM oo l A « -J -J - KN cv. o. r- »• KN T - ON I A r- Cv- CO O oo I I ^ -4- CO ON -d- t- lA f\J oo lA vo «-ITN -4- O KN ^ » o KN fM r- IA ON Q O NO KN -Ï NO -Ï <M h-N T¬ I I i t A O O : OJ vo oo .^^ l A Cv- NO KN T - _r~_oo o l A O oo CJN CO -4- O « 1 I A

1-^ 8 5

r- tA lA CO OJ OO lA CO c^ (M OJ oo lA O CM l A KN Cv. vo c^ KN CTv l A i:\ OJ O oo C3V KN CM r- l A CO O O O O r— _r~KN _O I A O o p> O. (M KN (M - 4 - tA NO I A CM _-± _A Cv- I A LA CV KN Cv- .4- oo fM T-1 KN vo

7

1 _t 1 f

7

1 , O -4- tA ON <M CJN (M CO <M OO Cv- OJ ro fM rvj -4- (M CJN Cv- A -4- KN K \ CJN _O KN VO Oh O *• O O ov CM KN fM OJ cv. O O O -4- I A LA OJ 1 ! r - KN CTN KN i t - OJ 1 KN KN oo oo VO O <JN V'. Cv. IA IA -4- O T- V'. _KN CjN .4- _{oo (M} _{O oo} <3N -4-O I A OJ OJ ON CO CTv » O KN KN OD OJ LA O ON •5- KN _ooCv- \ • oo CM CM VO VO < _VO _A 1 OJ ₁ UN VO ₁ <M KN O LA O c v O 1' . _r~ _OCO -4- _fA VO -4- Cv- T- _{O vo} CJV CO oo Cv- CJV A VO » CM O oo r - O oo -4' .4-A OJ CVJ

i

rvj _LA OJ Cv Cv vo Cv 1 CV Cv A OJ O c v O CjN CO -4-f - _{O .4-} C-.) VO CjN CJv CTs OJ KN A -4- c^ CJV KN Cv oo oo CJN c v o KN VD Ok KN VD .4- Cv .4- CM -4- 0 0 KN A _vo Cv. CTv CO A ON OJ J - Al KN KN Ai ON 1 1 1 1 CTN -4- 1 r- CO l . C^ Cv- CJN CJN Al VD Cv. A o KN (M CJV CM A CO A VO VO CjN CJN LA •* •» Cv Cv r - KN O .-4-A CV -4-

_O

^A KN CNJ O ! c v r - VD A A LA c v 1 KN .4-O J CO 1 1 I

I

to OO T- O O (JV Cv VO VD 0 0 vo VO _{T— oo} CV _t- Cv cv Ov O oo VD CJN O. w _r. O* _O VO A O OJ c v AJ AJ c v CNJ KN VD r - LA A r— _OOKN Al LA K \ T— LA 1 1 t CJN _f-NO co VD ON

_rvj

c v (JN A r- _KNCv CV CM (jN KN KN oo A I A CjN CJN (3N J - _VD _A -4- I A oo KN O. _«. O. «i A VD CV r- _KNND A (jN -4- Cv- -4- O O 0 0 oo T- KN VD CJN c v c ^ Al t-1 -4- A I r-- T- r-KN v^ « » 1 1 O AJ 1 \ 00 AJ .4-KN O O -4- A -4- C ) Cv. VO _vo KN <M r~ KN AJ r - I A _O LA OO -4-» 9- _VD oo

_%

A -4- CNl O KN

%

Cv AJ CJN _O (JN VD CM _c^ LA f A <M 1 N I A r-8 AJ 8 1 i 6 1

(15)

15 -I n d« p u b l i c a t i e v a n P i e n w o r d t e e n m a t r i x B g e g e v e n , d i e ge-l i j k m o e t z i j n a a n B^, m a a r h e t n i e t i s . T e r c o n t r o ge-l e w e r d e n b e i d e m a t r i c e s g e b r u i k t om de b o v e n s t e w a t e r l i j n vnn h e t 7,,(x, z)-oppervl«k| t e b e n a d e r e n . F i g . 3 t o o n t h e t r e s u l t a a t . M a t r i x B b e a n t w o o r d t b l i j k b a a r b e t e r a a n h e t g e s t e l d e d o o l d a n m a t r i x B . D a a r o m w o r d t de-z e l a a t s t e v e r d e r n i e t m e e r g e b r u i k t . Tweede s t a p . De o p p e r v l a k t e v e r s e l i j k i n K . Mob.Vo v e r g e l i j k i n g ( 2 3 ) h e b b e n we m a t r i x C g e v o n d e n , w a a r v a n de m* kolom de c o ë f f i c i ë n t e n v a n de M* w a t e r l i j n g e e f t : f ^ ( x ) = " ^ c . i • ( 1 5 ) We kunnen d e z e m* w a t e r l i j n o o k v o o r s t e l l e n d o o r u i t t e g a a n v a n da o p p e r v l a k t e v e r g e l i j k i n g (11) e n h i e r i n e e n c o n s t a n t e z t e s u b s t i t u -. x*-onf -. ( 2 4 ) 1 J m f _ ( x ) =

Z E.

1 3 De u i t d r u k k i n g e n (24) e n (15) z i j n i d e n t i e k , h e t g e e n z e g g e n w i l d a t de g e l i j k e m a c h t e n v a n x i n b e i d e v e r g e l i j k i n g e n d e z e l f d e coëfficien t e n h e b b e n : 9 C . =

5"

a ^ ^ . z"

j

. o

( 2 5 ) Voor e e n b e p a a l d e i e n e e n v a r i a b e l e m z i j n d i t 1 ? v e r g e l i j k i n g e n , n o l . v o o r i e d e r e w a t e r l i j n één.Alswe de i n d e x m n u m m e r e n v a n 1 t/m 1 7 , z i e t h e t s t e l s e l e r a l s v o l g t u i t : 'O ' i O * ^1 ^ ^ i t ^1 * ^±2" a ^ Q . z ° 4 a ^ ^ . Zg + a ^ ^ Z g - f . . 9 i 9 • "1 * ^ i 9 •

4 = c

= c . O 1 ^ i O ' * 1 7 * * i 1 " ^17* * i 2 ^17* 9 » ^^7= ° i 7, i I a a a t r i x v o r m : / O 1 Z g m * t 'O

9\

\

2 / * i O ^ _{^ 1 . 1 \} m * i 1 _• • " 2 , 1 • * O

{"±9

1

y ^^17.1 / _ 16 .

(16)

16

-ott

( Z ) O («) = ( c ) ( 2 6 )

D i t z i j n 17 v e r g e l i j k i n g e n m«t 10 onbekenden. We gaan weer o v e r op h e t s t e l s e l v e r g e l i j k i n g e n van de k l e i n s t e k w a d r a t e n methode: ( Z ) . ( Z ) . ( a ) = ( Z ) . ( c ) ( 2 7 ) ( Z ) = de g e t r a n s p o n e e r d e m a t r i x van ( Z ) . U i t g e s c h r e v e n : 0 O

• l

* 2

' ' «r,

1 1 " l » 2 * *1 ^ 2 • • ^ 7 O 1 '17 .9 / O 1 9 ' ^ 1 * 1 ^ • ^1 O _1 9 . Z g O' 1 9 V^17''l7* • ' l 7

\

*2 " 2

_•

• \ '1 " 2 1 1 '17 1 Z^ Z g . . z ^ ^ 9 9 9 z ( «I . . Z 1 7 / , 1 O .5 1 1 - 1 9

fJ

S a ^ . c . i

_

'1

ïz . c . De 2 r ' s z i j n s o m m a t i e s o v e r de 17 z - w a a r d e n , I n gewone vorm g e s c h r e v e n : 0 0 - . 0 1 _ a ^ Q . i z z + a j ^ . * . z , z + . . + a j n . ^ z .z 'iO' ^iO^ ' i l O 1 ,z .1_1 « 1 0 * 1 1 <• 1 9 ' 1 9 ' ^ 1 9 ' .9„0 Q Q . . + a^g £ z . .z-^

D i t z i j n 10 v e r g e l i j k i n g e n met 10 onbekenden, w e l k e dus u i t ( 2 7 ) k u n -nen worden o p g e l o s t : (ï) . ( Z ) . ( a ) = (") . ( c ) ( 2 7 ) o f t ( Z ^ ) . <n) • = ( Z ) . ( e ) met ( Z ^ ) = ( Z ) . ( Z ) ( a ) = (Z )-'• . ( Z ) . ( c ) o f : ( a ) = ( G ) . ( c ) ( 2 8 ) 1 • e t ( a ) = ( z ) - ^ . ( z ) o 17

(17)

17

-H i e r i n i«:

( a ) een k o l o m v e c t o r met a l s e l e m e n t e n de onbekende coëfficiën-t e n a ^ Q coëfficiën-t/m ^ , voor een b e p a a l d e i .

( c ) een k o l o m v e c t o r met a l s e l e m e n t e n de bekende e l e m e n t e n c^ . t/m c^„ ., voor een b e p a a l d e i .

( G ) een m a t r i x waarvan de e l e m e n t e n a l l e e n a f h a n k e l i j k z i j n van de z - i n d e l i n g .

Daar i = 2, 3» 4 . . <, » 9, hebben we 8 v e c t o r e n ( a ) en 8 v e c t o r e n ( c ) . (28) g a a t dan o v e r i n :

(A) = ( G ) . ( C ) O (29)

H i e r i n i s :

( A ) een m a t r i x van 8 kolommen en 10 r i j e n met a l s e l e m e n t e n de g e v r a a g d e coëfficiënten a ^ ^ van v e r g e l i j k i n g ( 1 4 ) .

(ü) een m a t r i x van 8 kolommen en 17 r i j e n , en w e l de g e t r a n s -p o n e e r d e m a t r i x van ( C ) u i t v e r g e l i j k i n g ( 2 3 ) .

De b e r e k e n i n g van ( G ) i s a n a l o o g aan d i e van ( B ^ ) :

1) 0 B e r e k e n de e l e m e n t e n van ( Z ) . 2) . S t e l de g e t r a n s p o n e e r d e m a t r i x ( Z ) op 3) , B e r e k e n (Z ) = ( Z ) . ( Z ) . k). B e r e k e n (Z ) o ° _1 -5 ) . B e r e k e n ( G ) = (Z ) . ( Z ) . O De b e r e k e n i n g van m a t r i x ( A ) v e r l o o p t dan a l s v o l g t : 1) . B e r e k e n ( C ) = (B ) » (D) (23) o (D) = g e t r a n s p o n e e r d e m a t r i x van ( D ) , t a b e l k. 2) . B e r e k e n ( A ) = ( G ) „ ( C ) (29) ( C ) = g e t r a n s p o n e e r d e m a t r i x van ( C ) Het r e s u l t a a t i s gegeven i n t a b e l 6. 18

(18)

18 -T A B E L 60 Coëfficiënten y i = 2 i = 3 i = k i = 5 1

::•

k

7

- 0 , 3 2 1 8 9 - 0 , 0 4 4 1 3 - 0 , 5 2 6 1 0 + 0 , 2 9 9 7 9 - 0 , 0 7 2 2 5 + 0 , 0 1 9 7 7 - 0 , 0 0 5 2 7 +0 0 , 0 0 1 4 4 - 0 , 0 0 0 3 7 + 2 , 1 9 4 0 2 + 0 , 1 6 8 9 9 + 6 , 0 7 8 2 6 + 7 , 0 5 3 2 4 5 , 0 1 2 6 2 + 1 , 1 8 3 5 5 - 0 , 3 2 6 8 4 + 0,08731 0 , 0 2 5 1 0 + 0 , 0 0 5 5 4 - 1 3 9 , 9 1 7 0 3 - 1 0 , 9 9 4 8 5 = 2 7 , 9 1 0 1 4 - 3 2 , 2 7 1 4 9 + 2 4 , 7 5 4 4 3 - 5 , 8 0 9 2 2 + 1,60769 0 , 4 2 9 6 0 •»- 0,12461 0,02681 + 7 7 6 , 5 6 9 4 6 + 3 8 , 8 0 0 5 3 + 4 6, 2 7 3 1 8 + 5 4 , 8 0 4 7 4 - 4 5 , 9 2 6 3 0 + 1 0 , 7 1 0 6 4 2,96601 + 0 , 7 9 1 9 7 0 , 2 2 7 8 9 + 0 , 0 5 0 1 7 - 1 2 8 3 , 7 9 8 4 1 j i = 6 i = 7 i - 8 i = 9 0 - 1 0 , 1 0 6 4 9 - 9 1 , 4 0 9 6 3 + 1 1 4 , 1 7 7 0 6 - 4 0 , 3 0 7 4 3 1 - 9 , 7 7 2 5 2 - 70,90961 + 8 9 , 1 3 7 2 7 - 3 2 , 8 4 1 9 0 2 - 4 ,4 4 1 4 2 - 8 8 , 4 1 7 1 2 + 9 3 , 2 2 2 8 6 - 2 9 , 4 o 4 l 2 3 + 8 , 5 2 7 9 5 + 7 8 , 4 4 0 7 4 - 9 5 , 5 7 9 9 7 + 3 4 , 5 3 0 5 8 4 - 1 , 9 1 5 1 3 - 1 8 , 2 2 2 3 9 + 2 2 , 0 1 4 9 8 - 7 , 8 9 7 4 3 5 + 0 , 5 2 9 7 4 + 5 , 0 5 1 3 8 6,10473 + 2 , 1 9 1 0 4 6 - 0 , 1 4 0 3 2 1,34872 + 1,62770 0 , 3 8 3 6 0 7 + 0 , 0 3 6 1 7 + 0 , 3 8 8 8 2 0 , 4 6 1 3 6 + 0 , 1 6 3 4 6 8 - 0 , 0 1 0 6 2 0 , 0 8 5 1 5 + 0 , 1 0 6 0 0 0,03881 9 - 1 1 3 , 3 3 8 2 9 +2243,30141 - 2 0 6 8 , 1 2 4 4 4 + 5 8 2 , 9 0 3 0 9 19

(19)

19

-van de polynoomwaarden.

Het s u b s t i t u e r e n van de gevonden coëfficiënten i n v e r g e l i j k i n g ( l 4 ) k a n a l s een m a t r i x v e r m e n i g v u l d i g i n g opgevat worden.

B e k i j k o n we h e t p r o d u c t : ^9,0 '9,9 • • • X • e e 11 3 r i 1 - i * i , 0 • ^2 * * • i,1 ° *2 i , 9 '

4

» • • _{i "-'1}

4 l \

.

E a i, 9 '11 11 ^11 F " i , r ^ i ^ ^ i, r 4 i J * i , o - * i i ^ i , r * i i ^ - 1 , 9 - 1 - '*i,9-*2 i : a

h

j 5: a. i -E Z a .x^ X a^ _{E a} i , 9*^^11 i j ' 4 ' ^ i ' f ' " " ^ ' ^ i

r 2

a i j i 5 x^»z^

s

2.a

i j . x ^ z ? i j •"2*"2 ' " i 3 r l . a i d ^ i j - ^ i r ^ i ^ \ ' ^ r ' i y f

**^ j * i j - 4**

- i 7 -

•

\

^ ° - i j - i i - ^ i \ 20

(20)

20

-M a t r i x ( S ) b l i j k t de g e v r a a g d e polynoom-waarden t e geven i n de gegeven punten» We kunnen i n p l a a t s van de m a t r i c e s ( X ) en ( Z ) u i t e r -a -a r d ook s o o r t g e l i j k e m -a t r i c e s nemen d i e g e b -a s e e r d z i j n op een - ande-r e X - en z - i n d e l i n g . M a t r i x ( S ) i s gegeven i n t a b e l ? . • De u i t e i n d e l i j k e b e n a d e r i n g van h e t gegeven o p p e r v l a k . De b e r e k e n i n g van de f ( x , z ) - w a a r d e n v e r l o o p t v o l g e n s s y = f ( x , z ) = f ( x , z ) . C ( x , z ) e n : f ( x , z ) = f g C x j z ) + f ^ ( x , z )

De waarden van t a b e l 7 worden dus b i j de o v e r e e n k o m s t i g e waarden van t a b e l 3 o p g e t e l d , en de r e s u l t e r e n d e g e t a l l e n worden v e r m e n i g -v u l d i g d roet de o -v e r e e n k o m s t i g e C ( x , z ) - w a a r d e n . Z i e t a b e l 8.

I n f i g . k z i j n de w a t e r l i j n e n van h e t b e r e k e n d e f ( x , z ) o p p e r -v l a k en de w a t e r l i j n e n -van h e t gege-ven f ( x , z ) - o p p e r -v l a k u i t g e s t r o o k t ,

C o n c l u s i e s o m t r e n t de b r u i k b a a r h e i d van P i e n ' s methode.

Een v e r g e l i j k i n g van t a b e l h met t a b e l 7 maakt d u i d e l i j k d a t de polynoom b e n a d e r i n g onvoldoende n a u w k e u r i g i s . Deze o n n a u w k e u r i g -heden z i j n h e t g r o o t s t i n de b u u r t van z = 1, d.w.z. i n c^e o n d e r s t e w a t e r l i j n e n . I n f i g . k komt d i t d u i d e l i j k t o t u i t i n g .

De a f w i j k i n g e n z i j n h e t g e v o l g van h e t n i e t v o l d o e n d e nauwkeu-r i g b e p a l e n van de coëfficiënten van de h o o g s t e macht van z . D i t - 1 b l i j k t u i t de buitengewoon hoge waarden van deze coëfficiënten i n t a b e l 6 .

V o o r l o p i g kunnen we a l l e e n c o n c l u d e r e n dat de methode n i e t z o n d e r meer t o e g e p a s t kan worden. Het o n d e r z o e k kan n i e t a l a a f g e s l o t e n worden beschouwd a l v o r e n s de i n v l o e d van h e t a a n t a l w a t e r l i j -nen nagegaan i s , en h e t v e r b a n d met de gekozen machten van z .

( P i e n g a a t u i t van 8 opgemeten w a t e r l i j n e n , w a a r u i t h i j door i n t e r -p o l a t i e 25 w a t e r l i j n e n v e r k r i j g t ) .

(21)

-T A B E L 7» B e r e k e n d e f p ( x . _{z ) - w a a r d e n = n a t r i x ( S ) .} z X = 0,1 X = 0,2 X = 0 , 3 X = 0,4 X = 0 , 5 X = 0,6 X = 0 , 7 X = 0,3 X = 0 , 8 5 X = 0,9 X = 0,95 0 - 0 , 0 0 3 8 - 0 , 0 1 8 2 - 0 , 0 3 9 8 - 0 , 0 5 1 7 - 0 , 0 3 8 8 - 0 , 0 0 6 1 +0,0201 + 0 , 0 1 7 6 +0,0086 + 0 , 0 0 1 7 +0,0018 V 1 5 - 0 , 0 0 3 6 - 0 , 0 1 7 2 - 0 , 0 3 7 9 - 0 , 0 4 9 4 - 0 , 0 3 7 0 - 0 , 0 0 5 8 + 0 , 0 1 7 7 + 0 , 0 1 2 9 + 0 , 0 0 3 8 - 0 , 0 0 2 0 +0,0004 2 / 1 5 - 0 , 0 0 3 4 - 0 , 0 1 6 2 - 0 , 0 3 6 0 - 0 , 0 4 7 2 - 0 , 0 3 5 2 - 0 , 0 0 5 6 + 0 , 0 1 5 3 +0,0081 - 0 , 0 0 1 1 - 0 , 0 0 5 8 -0,0011 3 / 1 5 - 0 , 0 0 3 2 - 0 , 0 1 5 1 - 0 , 0 3 4 1 - 050 4 5 1 - 0 , 0 3 3 5 -C, 054 +0,01JC + 0 , 0 0 3 4 - 0 , 0 0 6 0 - 0 , 0 0 9 7 - 0 , 0 0 2 6 V l 5 - 0 , 0 0 3 0 - 0 , 0 l 4 l - 0 , 0 3 2 3 - 0 , 0 4 3 0 - 0 , 0 3 1 9 - 0 , 0 0 5 2 +0,010c - 0 , 0 0 1 3 - 0, 0 1 1 0 - 0, 0 ' -0,0041 5 / 1 5 - 0 , 0 0 2 8 - 0 , 0 1 3 1 - 0 , 0 3 0 5 - 0 , ü 4 0 9 - 0 , 0 3 0 3 ,0050 + 0 , 0 0 8 6 - 0 , 0 0 6 0 - 0 , 0 1 6 0 - 0 , 0 1 7 ^ - 0 , 0 0 5 7 6 / 1 5 - 0 , 0 0 2 6 - 0 , 0 1 2 1 - 0 , 0 2 8 7 - 0 , 0 3 8 9 - 0 , 0 2 8 8 - 0, 0 0 4 8 + 0 , 0 0 6 3 - 0 , 0 1 0 8 - 0 , 0 2 1 3 - 0 , 0 2 2 1 - 0 , 0 0 7 3 7 / 1 5 - 0 , 0 0 2 5 - 0 , 0 1 1 3 - 0 , 0 2 7 0 - 0 , 0 3 6 9 - 0 , 0 2 7 1 -o,oo45 + 0 , 0 0 3 9 - 0 , 0 1 6 1 - 0 , 0 2 7 0 - 0 , 0 2 6 8 - 0 , 0 0 9 1 8 / 1 5 - 0 , 0 0 2 5 - 0 , 0 1 0 7 - 0 , 0 2 5 6 - 0 , 0 3 4 7 - 0 , 0 2 5 1 - 0 , 0 0 4 3 +0,0006 - 0 , 0 2 2 8 - 0 , 0 3 4 0 - 0 , 0 3 2 4 _{- 0 , 0 1 1 3} 9 / 1 5 - 0 , 0 0 2 7 - 0 , 0 1 1 0 - 0, 0 2 4 8 - 0 , 0 3 2 0 - 0 , 0 2 1 9 _{- 0 , 0 0 3 9} - 0 , 0 0 4 8 - 0 , 0 3 2 8 - 0, 0 4 4 l -0,0402 -0,0145 1 0 / 1 5 - 0 , 0 0 3 4 - 0 , 0 1 3 0 - 0 , 0 2 5 1 - 0 , 0 2 8 0 - 0 , 0 1 6 0 - 0 , 0 0 3 3 - 0 , 0 1 5 0 - 0 , 0 5 0 4 - 0 , 0 6 0 9 - 0 , 0 5 2 7 - 0 , 0 1 9 9 1 1 / 1 5 - 0 , 0 0 5 1 - 0 , 0 1 8 6 - 0 , 0 2 8 0 - 0 , 0 2 1 5 - 0 , 0 0 4 6 - 0 , 0 0 2 0 - 0 , 0 3 5 2 - 0 , 0 8 4 0 - 0 , 0 9 1 9 - 0 , 0 7 4 7 - 0 , 0 2 9 9 1 2 / 1 5 - 0 , 0 0 8 8 - 0 , 0 3 1 1 - 0 , 0 3 5 6 - 0 , 0 0 9 7 + 0 , 0 1 7 7 +0,0004 - 0 , 0 7 4 8 - 0 , 1 4 8 3 - 0 , 1 5 0 2 _{- 0 , 1 1 5 1} - 0, 0 4 8 7 1 3 / 1 5 - 0 , 0 1 6 2 - 0 , 0 5 6 2 _{- 0 , 0 5 1 9} + 0 , 0 1 1 5 + 0 , 0 5 9 9 + 0 , 0 0 4 8 - 0 , 1 5 0 2 - 0 , 2 6 8 9 - 0 , 2 5 8 3 - 0 , 1 8 8 9 - 0 , 0 8 3 7 1 V 1 5 - 0 , 0 3 0 0 - 0 , 1 0 3 4 - 0 , 0 8 3 4 +0,0494 + 0 , 1 3 6 9 + 0 , 0 1 3 0 - 0 , 2 8 7 8 - 0 , 4 8 7 9 - 0 , 4 5 3 3 - 0 , 3 2 1 1 - 0, 1 4 6 8 1 4, 5 / 1 5 - 0 , 0 4 0 5 - 0 , 1 3 9 6 - 0 , 1 0 7 9 + 0 , 0 7 7 9 + 0 , 1 9 5 4 + 0 , 0 1 9 2 - 0 , 3 9 2 4 - 0 , 6 5 3 8 - 0 , 6 0 0 7 - 0, 4 2 0 7 - 0 , 1 9 4 4 1 - 0 , 0 5 4 5 - 0 , 1 8 7 4 - 0 , 1 4 0 3 +0,1151 + 0 , 2 7 2 2 + 0 , 0 2 7 4 - 0 , 5 2 9 9 - 0 , 8 7 1 7 - 0, 7 9 3 9 - 0 , 5 5 1 0 - 0 , 2 5 6 9 1 ro ro 1 • -1 ru I

(22)

d

O) U

a

c6 X « T3 d as u,

«

0 OO -< 1 ) ITN

o

II :: ON

o

i i oo

o

II X oo cv II vo II ; ;

in

O II X J ¬ O fl X O fl ; ; OJ O II X i r \ K N r - ( j N i N i f \ r v i a N > r \ O N O O c o r A K N I A O v O i r s O l A l T i O J r - v o ^ I T N O V D O J O C v - l P i O J O o o v O I A O K N f A O J O J O J T - , - , - T - O O O C O O O O O O O O O O O O O

cv-o

1 i i O N - i " l A C v- K N o j l A C v- o o T - V O O O V O O O O J v o , - 0 0 , t T -T- V O O J O V V O- 4 - r- C T N V O - i j T -I A- 4- - d - K N K N K N K > < M f\ J 0 j r M C V O J CV- C O Ov O

t-

C V C V O J- O J Ov O O O O

_{o o o}

O O i I 1^, c v O J 00 O Cv © OJ r v ov OJ oo KN I A r - cv J - OJ ov C^ VO, V O A A LTV d J K N K N O C v O v O N i r \ l f \ , -O v v D o -O l A -O J o -O -O v o Cv - 4 - O J O v v ^ , - ( \ J O V O J C v - * . 4 - K N K \ K v f \ J O T - O J I O O O O O O O O O O

!ï)^ri?i 10?

K N t T N r - O O OO O V O J O O J r - I A o v c v o - r v j O N C v i r v K N r v j- 4 - o v j - O J I N V D V Q VO » A' ' ) 0 0 A K N r - O V C ^ J - O A V O O l A J c i l A A A A J - K N O J O O J J -Cv- t v rv, vo, VO vo vo O O O O O O _O _O _O _O _O _O _O _O _O _O I I i oo T - ON oo -4- iTv vo ON O ov KN oo O J cv OJ i n fv. iT, rvJ ON OV < ) 00 OO OO C O T- V O V O C O C v o O O N O N r V I C v c v o C ^ K N C v t A C v - O N J l ^ i: £ ^ E > i r> O K N O O N K\ J l -OO r v Cv. cv VO A O J T - r -O -O -O _{O O O O O O O} _{O O}_{O O} ^ ^ ' ' Cl KN A

-4- -d- <Ni I'N I'N I A VD

ON O © Cv vo ( V J- KN ON ON ON ov Ov Ov Ov ^ ff^ ^ V- O' O O O O O O O c v ov KN ov T - KN VD C - OO t v KN -4- KN A O J O ON C ^ -4-ON OV CJv OO oo oo ON Cv-KN O J J¬ ON K \ J-J - I A VD C V VD -4-O O O O O O O O O V . , r - r v I J - A J O N l A y - o O O J K N O N f M l A O J O N V D r - Q O r v J o O- 4- 0 0- 4 - O A O A O v i A K N ? ^ v X ) l A "S ^- ts VD Vü I A J- -4- -4- J OJ O O O N O v O N C v O N C T N C T N O N O N O v O v O V O v a N O N c O O O O O O O O Ö O O O O O O N r t O t s c o A rvj A A fV' r - O OO ON ON

0\

ON ON OO ON O V O^ Ov Ov ON > ' ^ ^ a r ? ) £ r ^ K N r - r v J l A K N C v V D- 4 - OJ O N V D T- - 4 - - 4- V O O N V O o p o o o o C v c v c v v p I A 0 J« ) 4 -O I O N O V O N ^ O V O V C N C T V O O C V O O O O O O O O O O O O O VD OJ A VD O VD VD VD VD ON O » Ov ON ON ON ÓN ON 0 ^ ON ON ON C v - K N A , O N K N v # C v ^ rvj r y j -A l -A- 4 - r - C v c v o O t A O O O v D O V O N O V O N O O C v i T v O J - J l A V D O N O N O N O N C T N O V O V O V C O C V L T N O O O O O O O O O O O O O O O

S

8

O J VD ON ov ON ON -4-O -4-O O O O O O O O O O

o o o

c^ rvj c v Cv O A vo ov J - V D Ov Ov O N O N O O V D K V- 4 - A V O O V O N O N O N O N O O C v i A O O O O O O 22 -O H X K N l A- 4 - 1 A I A - 4- J - 1*^ _{A K N C v v D O C v i A J} -O O O Ö Ö Ö Ó O O ^ O . O ^ T O r A ' ^ K N O O O O O O O O O O O v O v O v o v O N c o C v -O -O -O -O -O

8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 ^ 5 ^ 5

S S 2 2 S 2 2 o o o o o o o v 5 » o j o N

O O O O O O O O O O O O O O N O N C T N r ^

o o o

l A l A l A A A A l A A A A l A I A l A l A l A O ^ A j ' K N j ' l A v a c i o O O N O " ^ A ? K N j ' i r N r

(23)

-f(x,z) = gegeven oppervlak. (b). 0. 7 0.95/ •rn. 1 _ •

f (x,z) = eerste gewijzigd oppervlak,verkregen uit het gegeven oppervlak d.m.v. de eindcorrectiefactor

(c).

f, (X, z ) = hulpoppervlak v a n d e 4 6 g r a a d inx, g a a n d e door de 3 spanten van ( b ) .

(d). 0.6 0.95 I V t l i : .

(x.z) s tweede gewijzigd oppervlak = verschil oppervlak van (b) en (c). Dit is het uiteindelijke, door een polynoom te benaderen oppervlak,

(24)

(25)