ROBERT KOSTEK Streszczenie
W artykule tym przedstawiono wpływ nieliniowoĞci kwadratowej, siły sprĊĪysto-Ğci na dynamikĊ układu mechanicznego. Zaobserwowano w badanym układzie: asymetryczne drgania niesinusoidalne, wpływ amplitudy drgaĔ na okres drgaĔ, ogra-niczenie amplitudy drgaĔ, dwa połoĪenia równowagi, ewolucje obszarów przyciągania, wystĊpowanie jednoczeĞnie rozwiązaĔ stabilnych i niestabilnych. Zjawiska te nie są obserwowane w układach liniowych, dlatego modele liniowe nie powinny byĞ stosowane do opisu układów nieliniowych. Stosowanie modeli liniowych do modelowania układów nieliniowych moĪe prowadziü do znacznych błĊdów.
Słowa kluczowe: dynamika nieliniowa, nieliniowoĞü kwadratowa
Wprowadzenie
Równania róĪniczkowe opisujące dynamikĊ układów mechanicznych wynikają wprost z dru-giej zasady dynamiki Newtona. Opisuje ona zaleĪnoĞü pomiĊdzy przyĞpieszeniem, siłą i masą punktu materialnego, co opisano poniĪej:
m F dt x d x a= = = w 2 2 , (1)
gdzie: x – oznacza przemieszenie punktu materialnego m, t – czas s, 2 2
,
,
dt
x
d
x
a
– przyĞpiesze-nie punktu materialnego m/s2, Fw –siłĊ wypadkową działającą na punkt materialny N, natomiast m
– masĊ punktu materialnego kg. Druga pochodna wystĊpująca we wzorze powoduje Īe równania róĪniczkowe opisujące ruch układu są drugiego rzĊdu. Dopiero wprowadzenie rachunku róĪniczko-wego i całkoróĪniczko-wego umoĪliwiło poprawny opis ruchu ciał.
W typowym układzie drgającym wystĊpują cztery siły, siła sprĊĪystoĞci, tłumienia, wymusza-jąca i bezwładnoĞci (rys. 1). Poprawne zamodelowanie sił, pozwala na odwzorowanie dynamiki układu. Dla ruchu drgającego równanie ruchu ma nastĊpującą postaü:
)) ( ) ( ) ( ( 1 2 2 t F dt dx F x F m m F dt x d e d s w = + + = − , (2)
gdzie: Fs – oznacza siłĊ sprĊĪystoĞci N, Fd – siłĊ tłumienia, natomiast Fe – jest siłą wymuszającą.
Siła sprĊĪystoĞci jest siłą potencjalną, jest wiĊc funkcją przemieszczenia. Natomiast siła tłumienia jest siłą która rozprasza energie, w konsekwencji jest ona funkcją prĊdkoĞci. Siła wymuszająca z ko-lei jest siłą która wzbudza drgania i uzupełnia straty energii wywołane siłą tłumienia; jest ona
zamodelowana jako funkcja czasu. Siły sprĊĪystoĞci i tłumienia mogą zostaü zamodelowane jako funkcje liniowe przemieszenia i prĊdkoĞci, wtedy drgania są liniowe. W przeciwnym przypadku drgania są nieliniowe. Równania liniowe są proste do rozwiązania, moĪna na przykład uĪyü ra-chunku operatorowego i w ten sposób uzyskaü rozwiązanie. Równania nieliniowe z kolei rozwiązuje siĊ stosując głownie metody numeryczne, poniewaĪ rozwiązania Ğcisłe w wiĊkszoĞci przypadków są nieznane [1].
Rysunek 1. Model układu drgającego
siły : Fs –sprĊĪystoĞci, Fd –tłumienia i Fe – wymuszająca
ħródło: Opracowanie własne.
Badane równanie róĪniczkowe z nieliniowoĞcią kwadratową zostało przedstawione poniĪej:
)) 2 sin( ( max 2 2 1 1 2 2 t f F dt dx c x k x k m dt x d e e π + − − − = − , (3)
gdzie: k1 – oznacza współczynnik sztywnoĞci liniowej N/m, k2 – współczynnik sztywnoĞci
nielinio-wej N/m2, c – współczynnik tłumienia (Ns)/m, F
emax – amplitudĊ siły wymuszającej N, fe –
czĊstotliwoĞü wymuszenia Hz. Równanie to zawiera jeden człon nieliniowy –k2x2. W przypadku
gdy k2 =0 równanie to jest liniowe. Takie równanie umoĪliwia badanie wpływu nieliniowoĞci
kwa-dratowej na dynamikĊ układu.
Celem tej pracy jest zaprezentowanie wpływu nieliniowoĞci kwadratowej na dynamikĊ układu oraz wykazanie Īe nieliniowoĞci powinny byü uwzglĊdniane w modelowaniu dynamiki układów mechanicznych.
1. Drgania swobodne nietłumione
Najprostszym rodzajem drgaĔ są swobodne drgania nietłumione, poniewaĪ w układzie wystĊ-pują wtedy tyko dwie siły, siła bezwładnoĞci i siła sprĊĪystoĞci. Symulacje przeprowadzono dla układu nieliniowego i liniowego o nastĊpujących parametrach: m=1, k1=1, k2=0,1, x0=1, v0=0, przy
czym dla układu liniowego k2=0. Pomimo tego Īe k2 jest dziesiĊü razy mniejsze od k1, pewne
cha-rakterystyczne zjawiska zostały zaobserwowane. Drgania nieliniowe nie są sinusoidalne (rys. 2), moĪna wiĊc zaobserwowaü pewne róĪnice pomiĊdzy przebiegami czasowymi drgaĔ.
Rysunek 2. Przebiegi czasowe przemieszczenia
a), prĊdkoĞci b) i przyĞpieszenia c) uzyskane dla układu nieliniowego m=1, k1=1, k2=0,1, x0=1, v0=0 (czarna linia) i liniowego k2=0 (szara linia)
ħródło: opracowanie własne. a ) b ) c )
Drgania nieliniowe mają dwie roĪne amplitudy w stosunku do połoĪenia równowagi, jedną w kierunku liczb dodatnich A1, drugą w kierunku liczb ujemnych A2 (rys. 2ac). Drgania nieliniowe
w tym przypadku są asymetryczne wzglĊdem połoĪenia równowagi. Ponad to okresy drgaĔ nieli-niowych i linieli-niowych róĪnią siĊ, dla drgaĔ linieli-niowych okres wynosi Tl=2π≈6,283s, natomiast dla
drgaĔ nieliniowych wynosi on Tnl≈6,308s. RóĪnica ta jest zauwaĪalna na wykresach (rys. 2). Zmiana okresu moĪe byü interpretowana, przez diagnostĊ, jako spadek sztywnoĞci lub wzrost masy, co nie jest w tym przypadku prawdą.
Kolejny przykład obliczeniowy dotyczy układu o tych samych parametrach m=1, k1=1, k2=0,1
lecz innych warunkach początkowych – x0=4,4m, v0=0 (rys. 3). W tym przypadku róĪnice pomiĊdzy
przebiegami czasowymi układu nieliniowego i liniowego są widoczne od razu, poniewaĪ wyraz –
k2x2 roĞnie w kwadracie przemieszenia. W konsekwencji jego znaczenie roĞnie wraz ze wzrostem
amplitudy drgaĔ. Asymetria amplitudy przemieszenia jest wyraĨna, wynika ona z niesymetrycznej charakterystyki siły sprĊĪystoĞci (rys 5). WyraĨnie róĪnią siĊ takĪe okresy drgaĔ. Okres drgaĔ nie-liniowych wynosi Tnl≈ 7,548s podczas gdy okres drgaĔ liniowych pozostał bez zmian. To obrazuje Īe okres drgaĔ nieliniowych jest funkcją amplitudy. W przypadku układów liniowych tego typu zjawiska nie wystĊpują. Natomiast przebieg czasowy prĊdkoĞci ma symetryczne amplitudy, lecz nie jest sinusoidalny, jest on poliharmoniczny. Wykres ten przypomina przebieg trójkątny (rys. 3b). NastĊpny wykres przedstawia przebieg czasowy przyĞpieszenia (rys. 3c). Amplitudy drgaĔ są róĪne, wiĊc wykres jest asymetryczny. WyraĨny pik (minimum) jest wynikiem wzrostu siły sprĊĪystoĞci, w tym obszarze gdzie wyraz kwadratowy działa zgodnie z wyrazem liniowym. Natomiast obszar gdzie wystĊpują dwa mniejsze maksima jest wynikiem odejmowania siĊ członu liniowego i kwa-dratowego (rys. 5). NaleĪy wspomnieü Īe pola pod krzywą i nad krzwywą, mają takie same powierzchnie S1=S2 (rys. 3c). Pola te interpretuje siĊ jako popĊd siły.
NastĊpnie analizowano zaleĪnoĞü pomiĊdzy okresem drgaĔ T a odpowiadającymi mu amplitu-dami drgaĔ A1 i A2 (rys. 4a). Na podstawie uzyskanych wyników widaü Īe inaczej zachowuje siĊ
układ nieliniowy i liniowy. Dla małych amplitud drgaĔ dla obydwu układów okresy drgaĔ są po-dobne. NastĊpnie dla układu nieliniowego wraz ze wzrostem wartoĞci amplitud roĞnie okres drgaĔ, co jest typowe dla układów degresywnych. Dla tego układu okres drgaĔ roĞcie do nieskoĔczonoĞci, wraz ze zrostem amplitudy drgaĔ. JednoczeĞnie amplituda drgaĔ swobodnych jest ograniczona (rys. 5). Natomiast okres drgaĔ układu liniowego nie zaleĪy od amplitudy drgaĔ. Jednym z testów na nieliniowoĞü układu moĪe wiĊc byü badanie zaleĪnoĞci pomiĊdzy amplitudą drgaĔ a okresem drgaĔ. Uzyskanie stałego okresu drgaĔ w rzeczywistych mechanizmach, na przykład zegarkach mecha-nicznych, nie jest prostą sprawą.
Kolejny wykres prezentuje zaleĪnoĞü pomiĊdzy czĊstotliwoĞcią drgaĔ f a amplitudami drgaĔ A1
i A2 (rys. 4b). Początkowo czĊstotliwoĞci drgaĔ są podobne dla układu nieliniowego i liniowego,
lecz wraz ze wzrostem amplitudy drgaĔ czĊstotliwoĞü układu nieliniowego spada do zera. ĝwiadczy to o degresywnej charakterystyce sprĊĪyny. Natomiast czĊstotliwoĞü układu liniowego jest stała. Zaprezentowana krzywa nazywana jest krzywą szkieletową (rys. 4b) i jest ona waĪnym elementem wykresów rezonansu. To ona pokazuje jak zmienia siĊ czĊstotliwoĞü drgaĔ własnych i czĊstotliwoĞü rezonansowa wraz ze wzrostem amplitudy drgaĔ i amplitudy wymuszenia. Widaü takĪe Īe model liniowy opisuje dobrze układ nieliniowy tylko dla małych amplitud A<0,2 (k2A2<<k1A), wtedy gdy
Rysunek 3. Przebiegi czasowe przemieszczenia
a), prĊdkoĞci b) i przyĞpieszenia c) uzyskane dla układu nieliniowego m=1, k1=1, k2=0,1, x0=4,4, v0=0, (czarna linia) i liniowego k2=0 (szara linia)
ħródło: opracowanie własne. a)
b)
Rysunek 4. ZaleĪnoĞü pomiĊdzy okresem drgaĔ T a amplitudami drgaĔ
a), oraz zaleĪnoĞü pomiĊdzy czĊstotliwoĞcią drgaĔ f a amplitudami drgaĔ a) uzyskane dla układu nieliniowego m=1, k1=1, k2=0,1, x0=1, v0=0 (czarna linia) i liniowego k2=0 (szara linia)
ħródło: opracowanie własne.
MoĪna przeanalizowaü teraz wykres siły sprĊĪystoĞci Fs i to jak jej charakterystyka wpływa na
dynamikĊ układu (rys. 5). Widaü Īe siła sprĊĪystoĞci roĞnie wolniej dla ujemnych przemieszczeĔ, a potem nawet spada, co powoduje asymetriĊ drgaĔ (rys. 3ac Natomiast dla przemieszczeĔ siła ro-Ğnie gwałtownie, co wywołało pojawienie siĊ piku na rysunku 3c. Na wykresie ponadto widaü dwa połoĪenia równowagi A i B (rys. 5). Punkt A to centrum wokół którego są orbity okresowe. Punkt A posiada dwa pierwiastki urojone. Natomiast punkt B to siodło, które posiada dwa pierwiastki rze-czywiste, jeden dodatni a drugi ujemny [2]. Do ucieczki z punktu B potrzeba duĪo czasu, wiĊc okres orbity wchodzącej i wychodzącej z tego punktu jest nieskoĔczenie wielki. Ponad to połoĪenie punktu B determinuje maksymalną amplitudĊ, poniewaĪ, amplituda A2 >10 spowodowałaby
ucieczkĊ punktu do minus nieskoĔczonoĞci. Tym samym ograniczona jest maksymalna energia roz-wiązania okresowego. WartoĞü tej energii moĪna policzyü całkując pole S3 lub S4, co przedstawiono
poniĪej: a)
J dx x x dx x x E 3 2 16 1 , 0 1 , 0 5 2 0 2 0 10 max =
−− − =− − − = , (4)gdzie: Emax – oznacza maksymalną energie układu. Pola powierzchni S3 i S4 są sobie równe co
wy-nika z zasady zachowania energii i równoĞci pół S1 i S2.
Rysunek 5. Charakterystyka siły sprĊĪystoĞci k1=1, k2=0,1
ħródło: opracowanie własne.
Rysunek 6. Portrety fazowe uzyskane dla m=1, k1=1, k2=0,1
Przedstawione informacje moĪna uzupełniü o analizĊ trajektorii. Rysunek 6. Przedstawia, jak przemiesza siĊ punkt fazowy na płaszczyĨnie fazowej. Wokół centrum (punktu A) widoczne są tra-jektorie okresowe. Kierunek rotacji zaznaczono strzałkami. Im wiĊksza jest amplituda drgaĔ, tym bardziej kształt trajektorii róĪni siĊ od kształtu elipsy. To typowe zjawisko dla drgaĔ nieliniowych. Ostatecznie uzyskuje siĊ cykl który zaczyna i koĔczy siĊ w siodle (punkcie B), łączy on dwie gałĊzie siodła; okres tego cyklu dąĪy do nieskoĔczonoĞci. Czas tego cyklu wynika z czasu wyjĞcia z i wej-Ğcia do siodła. Obszar rozwiązaĔ okresowych został zaznaczony na szaro. Pozostałe rozwiązania są nieokresowe. Siodło determinuje z której strony rozwiązanie nieokresowe ominie punkt B. Po omi-niĊciu punktu B rozwiązanie dąĪy do minus nieskoĔczonoĞci. WyĪej opisane zjawiska nie wystĊpują w układach liniowych, gdzie wokół centrum są eliptyczne trajektorie okresowe.
2. Drgania swobodne tłumione
Jako kolejne zostaną przeanalizowane drgania tłumione układu o nastĊpujących parametrach i warunkach początkowych: m=1, c=0,1 k1=1, k2=0,1, x0=1, v0=0 (rys. 7). Przebieg czasowy
prze-mieszczeĔ tak jak poprzednio ma asymetryczną amplitudĊ. RóĪnice te są dobrze widoczne na początku przebiegu, jednak wraz z upływem czasu amplituda drgaĔ siĊ zmniejsza i drgania nieli-niowe stają siĊ podobne do liniowych. Natomiast przebieg czasowy prĊdkoĞci drgaĔ nieliniowych jest bardzo podobny do liniowych, nie widaü asymetrii drgaĔ a wartoĞci maksymalne są podobne. Z kolei przebiegi czasowe przyĞpieszenia róĪnią siĊ od siebie, widaü asymetrie drgaĔ, natomiast okresy drgaĔ pozostają podobne [3].
Dla wiĊkszych amplitud drgaĔ róĪnice pomiĊdzy drganiami nieliniowymi i liniowymi są wy-raĨniejsze. Przebadano ten sam układ dla nastĊpujących warunków początkowych x0=4.4, v0=0 (rys.
8). Przebiegi czasowe przemieszczeĔ róĪnią siĊ miĊdzy sobą. Drania nieliniowe są asymetryczne ponadto mają mniejszą czĊstotliwoĞü. PominiĊcie w tym przypadku nieliniowoĞci jest niewłaĞciwe. Dla przebiegów czasowych prĊdkoĞci zaobserwowano róĪne amplitudy, okresy drgaĔ i kształty eks-tremów. RóĪnice pomiĊdzy drganiami najlepiej są widoczne dla przebiegów czasowych przyĞpieszeĔ, poniewaĪ wyĪsze harmoniczne mają wiĊksze amplitudy. Inne kształty mają lokalne maksima i minima przebiegów. Ponad to drgania nieliniowe są asymetryczne, i mają wiĊkszy okres, co wyraĨnie jest widoczne na początku drgaĔ.
W kolejnym etapie moĪna przeanalizowaü portrety fazowe drgaĔ tłumionych (rys. 9). Podobnie jak poprzednio punkt B jest siodłem i ma dwa pierwiastki rzeczywiste, jeden dodatni a drugi ujemny. Siodło oddziela obszary rozwiązaĔ od siebie. Punkt A po wprowadzeniu tłumienia stał siĊ stabilnym ogniskiem, które posiada dwa pierwiastki zespolone. CzĊĞü rzeczywista pierwiastków jest ujemna, wiĊc ognisko jest stabilne. Ognisko posiada pewien obszar przyciągania, który został zaznaczony na szaro. Rozwiązania które znajdują siĊ w tym obszarze dąĪą do punktu A. Jedna z gałĊzi siodła dąĪy do punktu A. Strzałkami zaznaczono jak poruszają siĊ punkty fazowe na płaszczyĨnie fazowej. CzĊĞü rozwiązaĔ nie dąĪy do punktu A. Te rozwiązania dąĪą róĪnymi drogami do minus nieskoĔ-czonoĞci wzdłuĪ innej z gałĊzi siodła.
Rysunek 7. Przebiegi czasowe przemieszczenia
a), prĊdkoĞci b) i przyĞpieszenia c) uzyskane dla układu nieliniowego m=1, c=0,1 k1=1, k2=0,1, x0=1, v0=0, (czarna linia) i liniowego k2=0 (szara linia)
ħródło: opracowanie własne. a)
b)
Rysunek 8. Przebiegi czasowe przemieszczenia
a), prĊdkoĞci b) i przyĞpieszenia c) uzyskane dla układu nieliniowego m=1, c=0,1 k1=1, k2=0,1, x0=4,4, v0=0, (czarna linia) i liniowego k2=0 (szara linia)
ħródło: opracowanie własne. a)
b)
Rysunek 9. Portrety fazowe uzyskane dla m=1, c=0,1, k1=1, k2=0,1
ħródło: opracowanie własne.
Przebadano nastĊpnie układ dla wiĊkszego tłumienia, które wynosiło c=0,3 (rys. 10). ZwiĊk-szenie tłumienia spowodowało zwiĊkZwiĊk-szenie obszaru przyciągania stabilnego ogniska A i zwiĊkszenie okresu. Zmianie ulegały takĪe kształty trajektorii, widaü to na przykładzie rozwiązaĔ dąĪących do punktu A. Natomiast charakter zjawisk pozostał ten sam.
Rysunek 10. Portrety fazowe uzyskane dla m=1, c=0,3, k1=1, k2=0,1
Kolejne obliczenia wykonano dla nastĊpujących parametrów: m=1, c=2,0, k1=1, k2=0,1.
Przy-jĊto wartoĞü krytyczną tłumienia, wiĊc punkt A jest stabilnym wĊzłem (rys. 11); posiada on dwa pierwiastki rzeczywiste ujemne. Trajektorie nie okrąĪają punktu A wielokrotnie, tak jak to miało miejsce wczeĞniej, wiĊc drania nie są okresowe. Obszar przyciągania punktu A zaznaczono na szaro, jest on teraz wiĊkszy aniĪeli poprzednio. Siodło B oddziela wyraĨnie obszary rozwiązaĔ. CzĊĞü roz-wiązaĔ dąĪy do punktu A, reszta natomiast do minus nieskoĔczonoĞci, wzdłuĪ jednej z gałĊzi siodła.
Rysunek 11. Portrety fazowe uzyskane dla m=1, c=2,0, k1=1, k2=0,1
ħródło: opracowanie własne. 3. Podsumowanie
W artykule tym przedstawiono róĪnice pomiĊdzy zachowaniem układu liniowego i nielinio-wego, co jest szczególnie waĪne w diagnostyce i projektowaniu maszyn. Wiedza na ten temat nie jest rozpowszechniona poĞród personelu technicznego, co moĪe powodowaü pewne problemy. Wykorzystano metody analizy przebiegów czasowych, analizĊ trajektorii, obliczono krzywą szkie-letową. Równania rozwiązano metodą numeryczną.
W badanym układzie zaobserwowano asymetryczne drgania niesinusoidalne, ponad to ograni-czenie amplitudy i energii drgaĔ. Okres drgaĔ jest zaleĪny od amplitudy i w skrajnym przypadku dąĪy do nieskoĔczonoĞci. Przebiegi czasowe mają charakterystyczny kształt. Zjawiska te są wyni-kiem nieliniowej charakterystyki sprĊĪystoĞci. Zaobserwowano takĪe dwa połoĪenia równowagi. Jedno jest niestabilne zawsze, to siodło; drugie moĪe byü centrum, ogniskiem lub wĊzłem w zaleĪ-noĞci od wartoĞci tłumienia. To powoduje, Īe moĪe pojawiü siĊ rozwiązanie stabilne i niestabilne w tym samym układzie. Zmiana wartoĞci tłumienia powoduje takĪe zmianĊ obszarów przyciągania.
Stosowanie modeli liniowych powoduje pominiĊcie wyĪej wymienionych zjawisk, co moĪe prowadziü do znacznych błĊdów, pomyłek w interpretacji wyników i katastrof. CzĊĞü zjawisk ob-serwowanych w praktyce moĪna wytłumaczyü na postawie teorii drgaĔ nieliniowych.
Bibliografia
[1] Awrejcewicz J., Drgania deterministyczne układów dyskretnych, WNT, Warszawa 1996. [2] Włodarski L., Krysicki W., Analiza matematyczna w zadaniach – T.2, PWN, Warszawa
1970.
[3] Kostek R., Analysis of the primary and superharmonic contact resonances – Part 1, Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 51, 2, s. 475–486, Warsaw 2013.
INFLUENCE OF QUADRATIC SPRING FORCE ON SINGLE DEGREE OF FREEDOM MECHANICAL SYSTEM DYNAMICS – PART I FREE VIBRATIONS
Summary
This article presents influence of quadratic spring force on dynamics of single degree of freedom mechanical system. The following phenomena were observed: pol-yharmonic asymmetrical vibrations, changes of natural frequency due to vibration amplitude, limitation of vibration amplitude, two equilibrium positions, evolution of basins, stable and unstable solutions in the same system. These phenomena are not observed in linear system, thus linear models should not be used to describe nonlinear systems. linearization can lead to large errors.
Keywords: nonlinear dynamisc, quadratic nonlinearity
Robert Kostek
Zakład Pojazdów i Dignostyki Wydział InĪynierii Mechanicznej
Uniwersytet Technologiczno-Przyrodniczy w Bydgoszczy e-mail: robertkostek@o2.pl
