Rząd macierzy

Algebra

Rz ˛

ad Macierzy

Alexander Denisjuk

denisjuk@pjwstk.edu.pl

Polsko-Japo ´nska Wy˙zsza Szkoła Technik Komputerowych zamiejscowy o´srodek dydaktyczny w Gda ´nsku

ul. Brzegi 55 80-045 Gda ´nsk

Rz ˛

ad Macierzy

Najnowsza wersja tego dokumentu dost ˛epna jest pod adresem

Macierze a układy równa ´n liniowych

• _{Niech dana b ˛edzie macierz}

A =      a₁₁ a₁₂ . . . a_1m a₂₁ a₂₂ . . . a_2m . . . . an1 an2 . . . anm      .

• _{W przestrzeni R}n _{rozwa˙zmy otoczk˛e liniow ˛a V układu}

kolumn macierzy A: V = hA(1), A(2), . . . , A(n)i = *       a₁₁ a₂₁ .. . a_n1       ,       a₁₂ a₂₂ .. . a_n2       , . . . ,       a_1m a_2m .. . a_nm       + . Algebra – p. 3

Macierze a układy równa ´n liniowych —II

• _{Niech dany b ˛edzie wektor b ∈ R}n_{. Pytanie: czy wektor b}

nale˙zy do otoczki liniowej układu  A(1), A(2), . . . , A(n) ? • _{Czy istniej ˛a współczynniki x1, . . . , xm ∈ R, takie ˙ze}

x₁       a₁₁ a₂₁ .. . an1       + x₂       a₁₂ a₂₂ .. . an2       + · · · + xm       a_1m a_2m .. . anm       =       b₁ b₂ .. . bn       ? •          a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + · · · + a_1mxm = b1, a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + · · · + a_2mxm = b2, . . . . a_n1x₁ + a_n2x₂ + · · · + anmxm = bn.

Oznaczenia dla sumowania

• _{x1 + x2 + · · · + xn =} Pn i=1 xi = Pn_i=1 xi • Pn i=1 (λxi) = λ n P i=1 xi • Pn i=1 (xi + yi) = n P i=1 xi + n P i=1 yi • Pm j=1 n P i=1 aij = m P j=1  _n P i=1 aij  = n P i=1 m P j=1 aij ! = n P i,j aij Algebra – p. 5

Definicja rz ˛edu macierzy

Definicja 1. Rz ˛edem maciery A nazywamy liczb ˛e

rank A = ranknA(1), A(2), . . . , A(n) o = dimhA(1), A(2), . . . , A(n)i

Twierdzenie 2. rank A nie zmienia si ˛e po elementarnych przekształceniach macierzy A. Dowód. m X i=1 αiA(i) = 0 ⇐⇒ m X i=1 αiA′(i) = 0

Rz ˛

ad macierzy według wierszy

Definicja 3. Rz ˛edem maciery A według wierszy nazywamy liczb ˛e

rankw A = rank  A₍₁₎, A₍₂₎, . . . , A_(m) = dimhA₍₁₎, A₍₂₎, . . . , A_(m)i

Twierdzenie 4. rank_w A = rank A Wniosek 5. rank At = rank A

Wniosek 6. rank A nie zmienia si ˛e po elementarnych przekształceniach kolumn maciezry

Rz ˛

ad macierzy a układ równa ´n liniowych

Twierdzenie 7. Ilo´s´c głównych niewiadomych układu Ax = b nie zale˙zy od sposobu sprowadzenia macierzy do postaci schodkowej i zgadza si ˛e z rank A Dowód.                a₁₁ . . . a_1k . . . a_1l . . . a_1s . . . a_1m 0 . . . a_2k . . . a_2l . . . a_2s . . . a_2m 0 . . . 0 . . . a_3l . . . a_3s . . . a_3m . . . . 0 . . . 0 . . . 0 . . . ars . . . arm 0 . . . 0 . . . 0 . . . 0 . . . 0 . . . . 0 . . . 0 . . . 0 . . . 0 . . . 0               

Twierdzenie Kroneckera-Capellego

Twierdzenie 8 (Kronecker-Capelli). Układ Ax = b ma rozwi ˛azanie ⇐⇒

rank A = rank(A|b)

Rz ˛

ad iloczynu macierzy

Twierdzenie 9. rank AB 6 min { rank A, rank B }

Dowód. • Niech C = AB

• _{Dla wierszy C(i) i kolumn C}(j) _{macierzy C:}

C_(i) = A_(i)B, C(j) = AB(j).

• _{Niech r1 = rank A oraz A(1), . . . , A(r}

1) b ˛ed ˛a bazowymi • _{A(k( =} Pr₁ i=1 λkiA(i) dla r1 < k 6 n • _{Wi ˛ec C(k) = A(k)B =} Pr₁ i=1 λkiA(i)
B = P r₁ i=1 λki A(i)B
= Pr₁ i=1 λkiC(i) dla r1 < k 6 n • _{C(1), . . . , C(n) = C(1), . . . , C(r} 1)  • _{rank C 6 r1} –verte–

Rz ˛

ad iloczynu macierzy

Twierdzenie 10. rank AB 6 min { rank A, rank B }

Dowód. cd. • Analogicznie dla B

• _{Niech r2 = rank B oraz B}(1)_{, . . . , B}(r2) _{b ˛ed ˛a bazowymi}

• _B(k) ₌ Pr₂ j=1 µkjB(j) dla r2 < k 6 m • _{Wi ˛ec C}(k) _{= AB}(k) _{= A} Pr₂ j=1 µkjB(j)  = Pr₂ j=1 µkj AB(j)
= P r₂ i=1 µkjC(j) dla r2 < k 6 n • _C(1)_{, . . . , C}(m)_{= C}(1)_{, . . . , C}(r2) • _{rank C 6 r2} Algebra – p. 11

Macierze kwadratowe

• _Mn(Rn_{) = M}

n zbiór macierzy kwadratowych n × n

• _{I ∈ Mn macierz jednostkowa}

• _{elementy macierzy jednostkowej δij =}

(

1, je˙zeli i = j, 0, je˙zeli i 6= j

(symbol Kroneckera) • _{∀A ∈ Mn, AI = IA = A}

• _{I(λ) = λI macierz skalarna} • _{∀A ∈ Mn, AI(λ) = I(λ)A = A}

Twierdzenie 11. Niech Z ∈ M_n praz ∀A ∈ M_n, AZ = ZA. Wtedy

Z = I(λ).

Macierz nieosobliwa

Definicja 12. • Macierz A ∈ M_n jest nieosobliw ˛a, je˙zeli rank A = n.

• _{Macierz A ∈ Mn jest odwracalna, je˙zeli istnieje A}−1 _(AA−1 _{= I).}

Twierdzenie 13. Macierz jest odwracaln ˛a wtedy i tyko wtedy, gdy jest nieosobliw ˛a

Dowód. 1. n = rank I = rank A−1A 6 rank A 2. (a) Rn = hE(1), . . . E(n)i = hA(1), . . . A(n)i

(b) E(j) = Pn_i=1 a′_jiA(i) (c) I = AA′

Wniosek 14. Niech A ∈ M_n b ˛edzie macierz ˛a nieosobliw ˛a. Wtedy At te˙z jest macierz ˛a nieosobliw ˛a oraz (At)−1 = (A−1)t.

Mno˙zenie przez macierz nieosobliw ˛

a

Twierdzenie 15. Niech B i C b ˛ed ˛a macierzami nieosobliwymi wzgl ˛ednie

m × m oraz n × n. Wtedy dla dowolnej m × n macierzy A

rank BAC = rank A

Dowód. rank BAC 6 rank BA = rank BA(CC−1) =

rank(BAC)C−1 _{6 BAC}

Wniosek 16. Niech A, B ∈ M_n oraz AB = I (lub BA = I). Wtedy

B = A−1_.

Wniosek 17. Niech A, B, . . . , C, D ∈ M_n b ˛ed ˛a nieosobliwe. Wtedy

AB . . . CD te˙zb ˛edzie macierz ˛a nieosobliw ˛a, oraz

Macierze elementarne —

F

_s,t • _{Fs,t =}                     1 . .. 0 1 . .. 1 . .. 1 0 . .. 1                     , s 6= t • _{Fs,t = I − Ess − Ett + Est + Ets} • _{Fs,tA ⇐⇒ zamiana wierszy A(s) i A(t)} Algebra – p. 15

Macierze elementarne —

F

_s,t

(λ)

• _{Fs,t(λ) =}               1 . .. 1 λ . .. 1 . .. 1               , s 6= t • _{Fs,t(λ) = I + λEst} • _{Fs,t(λ)A ⇐⇒ A(s) A(s) + λA(t)}

Macierze elementarne —

F

_s

(λ)

• _{Fs(λ) =}          1 . .. λ . .. 1          λ 6= 0 • _{Fs(λ) = I + (λ − 1)Ess} • _{Fs(λ)A ⇐⇒ A(s) λA(s)} Algebra – p. 17

Sprowadzenie do postaci jednostkowej

Twierdzenie 18. Niech A ∈ M_n b ˛edzie nieosobliw ˛a. Wtedy za pomoc ˛a przekształce ´n elementarnych A mo˙zna sprowadzi´c do postaci macierzy jednostkowej.

Dowód. 1. Sprowadzamy do postaci schodkowej 2. Sprowadzamy do postaci jednostkowej

Wniosek 19. Niech A ∈ M_n b ˛edzie nieosobliw ˛a. Wtedy za pomoc ˛a mno˙zenia przed macierze elementarne A mo˙zna sprowadzi´c do postaci macierzy jednostkowej:

I = Pk . . . P1A,

gdzie P₁, . . . , P_k — s ˛a macierze elementarne.

Obliczenie macierzy odwrotnej

(A|I) P1 (P₁A|P₁) P2 (P₂P₁A|P₂P₁) . . . . . . Pk(Pk . . . P2P1A|Pk . . . P2P1) = (I|A−1) Przykład 21. 1.    0 2 0 1 1 −1 2 1 −1    −1 =    0 −1 1 1 2 0 0 1 2 −2 1    2.      −1 1 1 1 1 −1 1 1 1 1 −1 1 1 1 1 −1      −1 =      −1₄ 1₄ 1₄ 1₄ 1 4 −14 14 14 1 4 14 −14 14 1 4 14 14 −14      Algebra – p. 19