zadania

2. Miara  przygotowanie do sprawdzianu

Zad. 2.1 Niech Ω = R. Dla c ∈ R deniujemy δc : 2R→ R+ wzorem:

δc(A) =

 1, _{gdy c ∈ A} 0, gdy c /∈ A . Czy funkcja

µ(A) = 2 · δ−1(A) + 3 · δ2(A)

jest miar¡ na 2R?

Zad. 2.2 Niech µ b¦dzie miar¡ na F. Niech A, B ∈ F, µ(B) = 0. Udowodnij, »e µ(A ∪ B) = µ(A \ B) = µ(A).

Zad. 2.3 Niech (Ω, F, µ) b¦dzie przestrzeni¡ mierzaln¡. Niech {An}n∈N i {Bn}n∈N b¦d¡

dwoma ci¡gami podzbiorów mierzalnych przestrzeni Ω takimi, »e Bn ⊆ An dla

ka»dego n. Udowodnij, »e 1. µ ∞ [ n=1 An\ ∞ [ n=1 Bn ! ≤ ∞ X n=1 (µ(An) − µ(Bn)) , 2. µ ∞ \ n=1 An\ ∞ \ n=1 Bn ! ≤ ∞ X n=1 (µ(An) − µ(Bn)) .

Zad. 2.4 Udowodnij, »e je±li A, B, C s¡ µ-mierzalne, to

µ(A) + µ(B) + µ(C) + µ(A ∩ B ∩ C) = µ(A ∪ B ∪ C) + µ(A ∩ B) + µ(B ∩ C) + µ(C ∩ A) . Zad. 2.5 Niech µ b¦dzie miar¡ na (Ω, F). Udowodnij, »e relacja R ⊆ F2 _{okre±lona przez:}

ARB ⇔ (µ(A \ B) = 0) ∧ µ(B \ A) = 0) jest relacj¡ równowa»no±ci.

Zad. 2.6 Udowodnij, »e kombinacja liniowa µ =

n

X

k=1

akµk, gdzie ak ≥ 0,

miar µ1, ..., µn okre±lonych na σ-algebrze F jest miar¡ na F.

Zad. 2.7 Udowodnij, »e suma niesko«czonego ci¡gu miar okre±lonych na σ-algebrze F jest miar¡ na F.