A C T A U N I V E R S I T A T I S L O D Z I E N S I S FOLIA OECONOMICA 117, 1992
• ••
Czesław Domański , W iesław Wagner
UWAGI 0 MOCY TESTU
WIELOWYMIAROWEJ NORMALNOŚCI SHAPIRO-WILKA
1. Wprowadzenie
Na podstaw ie szeroko prowadzonych badań w ła s n o śc i testów n o r m a ln o śc i, w przypadku rozkładów Jednowym iarowych, w ynik a, że t e s t S h a p lro - W ilk a - spośród in nych testów norm alności - j e s t testem optymalnym z punktu w id z en ia mocy (p o r . np. S h a p i r o , W i l k [12] oraz D o m a ń s k i , T o m a s z e w i c z [2 ] ) .
Wydaje s ię n a tu ra ln e zbadanie w ła s n o śc i uogólnionego te s tu Sha- p iro - W llk a w przypadku rozkładów w ielow ym iarow ych. Zatem celem n i n ie js z e g o opracow ania j e s t podanie mocy te s tu w ielow ym iarow ej n o r m alności S h a p ir o - W ilk a . W t e j c z ę ś c i opracow ania p rzed staw ion e zo stan ą d otychczas prezentowane w y n ik i oraz ic h a n a liz a oraz omówio ny będzie program d a lsz y ch badań mocy te s tu S h a p iro - W ilk a i po równania jego w ła s n o śc i z innymi te s ta m i. I s t n i e j e szeroka k la s a testów w ielow ym iarow ej norm alności (p o r. np. D o m a ń s k i , W a g n e r [ 3 ] ) , p ow staje w ięc p y ta n ie , k tó ry z n ic h j e s t n a j lep szy w s e n s ie mocy, k tó ry ma w łasność te s tu omnibusu, a k tó r y z n ic h j e s t testem ukierunkowanym, a przede w szystkim , k tó r y s to s o wać w p ra k ty c e s t a t y s t y c z n e j. Próba ro z w ią z a n ia postaw ionych t u t a j problemów będzie celem opracow ania.
P r o fe s o r w In s t y t u c ie Ek o n o m etrii i S t a t y s t y k i UL. ♦ *
Dr hab. w K ated rze Metod Matematycznych i S ta ty s ty c z n y c h AR w Poznaniu.
2. S ta t y s t y k a testowa
Niech X = { X j , Xp) będzie p-wymiarowym wektorem o ro z k ła d z ie określonym przez d y stryb u a n tę F p (* .)i * e RP RP oznacza p-wymiarową p rz e strz e ń rz e c z y w is tą . Ponadto n iech
losowym g dzie U * ( X j , . . . , >(n ) oznacza próbę n wektorów p-wymiarowych będących n i e zależnym i r e a liz a c ja m i wektora losowego .X. Za pomocą d o stęp n ej próby U zamierzamy s p ra wd z ić h ip o te z ę , iż d y stryb u a n ta F p(je) na le ż y do k la s y Np, d y stryb u a n t p-wymiarowego rozkład u normalnego o nieznanych param etrach jU. i ]£. H ipotezę zerową zapisujem y w po s t a c i Hg : Fp(x,) e Np, n atom iast h ip o tez ę a lte rn a ty w n ą jako
H Hn zastosujem y s t a t y s t y
-0 ; Fp( - ) ” "p*
1 : Fp^ü) Np ’ Oo sprawdzenia h ip o tez y kę testową typu S h a p iro - W ilk a .
Rp określam y zmienne losowo
n j
Dla wektora С i 0, £ e
1, . . . , n będące kombinacjami lin io w ym i W a rto śc i przyjmowane przez zmienne Z^
zmiennych Х ^ , porządkujemy w n ie m a le ją c y Z
( 1 )
Z^n ^ i budujemy kom binację lin io w ąC*
c ią g
b (C ) ■ E * j , nZ ( j ) , j = l
g d z ie: d, , j = 1, . . . , n są pewnymi współczynnikam i d la n * 3,
J » П
4, . . .
D e f in ic ja 1. S ta t y s t y k ę tostową typu S h a p iro - W ilk a (S h a- p i r o , W i l k [1 2 ]) nazywamy zmienną losową
W (C ) = S dj , n Z( j )
j = l j * l
g d zie: Z = Z( n ) ♦ Z , n>/n.( n ) '
- ll* )n , - u (C ) « d* Z *, "П .T* S 2(C ) » Z*' H Z* = С А С = C'U H U' С — —« — ^ м ШШ, mmm - _ oraz A = U H U ' . Zmienna W *(C) wyrażona j e ? t poprzez wektor С / 0. Wyznaczeniem tego wektora zajmujemy s ię d a le j. Możliwe j e s t p rzed s ta w ie n ie W *(C) je s z c z e w in n e j w e r s ji
W*(C ) = C ’ T I'C / C 'A С = ( С 'Т ) 2/ С'А С, n
g d z ie : _Т * £ dj n —( j ) * —( j ) 34 wektorami kolumnowymi ma c ie r z y U^ ustawionym i w k o le jn o ś c i zgodnej z porządkiem v. . . ,
W
N ie k tó re w ła sn o ści W *(C) w yraż ają n astęp u jąc e lem aty: Lemat 1 . W ( C ) < I ' A " l JL d la każdego C e rP .
Lemat 2. sup W *(C) * P r z V С2Ут supremum j e s t o s ią g n ię t e р ггэг С - А" 4 .
Lemat 3. W ( £ ) = 0 'P 0 / 0 '0, D » (Ą 1/2)£ , P * A1 / 2J. _T (A 1 / 2 ) ' , 1 / 2
g d z ie: A J e s t p ie rw ia s tk ie m kwadratowym m acierzy A takim , że - A.
Lemat 4. sup W *(£) = Л., gdzie A Jedyną niezerową w a rto ś c ią własną m acierzy P o k re ś lo n e j w lem acie 3.
Lemat 5. W *(£) J e s t n iezm iennicza względem lin io w e g o p rz e k s z t a łc e n ia n ie o so b llw e g o , gdy —n fď 1 * 0 .
Dowody lematów w yn ik a ją z w ła sn o ści form kwadratowych (p a trz np. R a o [9] ) .
Dla sprawdzenia h ip o tez y Hq wymaga s ię wyznaczenia
W* s min Wł ( £ ) , C e Rp i porównania W* z w a rto ś c ią k ry ty c z n ą K*(ct) ta k ą , że P(W* < K*(oO|Hq) « 06 , gdzie oi j e s t zadanym praw dopodobieństwem (poziomem i s t o t n o ś c i) . H ipotezę HQ odrzucamy, gdy W* K*(oO. Test o p a rty na s t a t y s t y c e W* wymaga lew ostronnego ob szaru k rytycz n eg o .
Przechodzimy te ra z do sprecyzow ania s t a t y s t y k i te s to w e j W « (£ ). Przyjmujemy za ^ wektor an * ( a j . . . , an n ) ' , któreg o s k ła d o we są współczynnikam i ko m b in acji lin io w e j o b s e rw a c ji z próby d la wyznaczenia n ajle p sze g o lin io w e g o nieobciążonego estym atora od c h y le n ia standardowego w ro z k ła d z ie normalnym (S a r h a n,
G r e e n b e r g [ l l ] ) . W sp ó łczyn n ik i te p o d á li S h a p i r o , W i l k [12] d la n = 3(1)50 (ta k ż e P e a r s o n , H a r t l e y [в ])- R o y s t o n [lO ] podał odpowiednie wzo ry d la o b lic z a n ia współczynników d la n e <3, 2000> , Program ob lic z e n io w y tych współczynników na emc RIAD p rz yg o to w a li 0 0- m a ń s k i , G a d e c k i , W a g n e r [ l ] .
Wektor ą,n s p e łn ia w arunki! i j , i = 0 l ą j » 1, Oznaczmy przez W(£) s ta ty s ty k ę W *(£ ), gdy dn = ą,n , tzn .
W(C) = ( a ' Z » )2/Z *'H Z*.— n — — — —
Widocznym j e s t , że W(£) s p e łn ia warunki lematu 5.
Lemat 6. Dla każdego £ e Rp i £ i 0 sp ełn io n a j e s t n ieró w ność
na? „ / (n - 1) « W(£) 5? 1.
X I I I
Dowód ( S h a p i r o , W i l k [1 2 ]).
Z lematu 6 w ynika, że W(£) są ograniczone w pewnym p rz e d z ia le d la każdego £ e Rp . Wybierzemy ta k ie £ , aby W(£) przyjmowało
n 7
dolne o g ra n ic z e n ie . Zauważamy, że C'A С * 2 ( C 'R л) , R 4 = X* - X. j = l J J ~ J ” Aby osiągnąć £ ' A £ -* min n ależy dobrać w sp ó łcz yn n ik i W * (W p
л
. . . , wn )' t a k ie , aby w 'J, = 0 i ^ 'w = (n - D / n a j n ,. Wprowadzamy oznaczenia g * wx = n - 1/naj^ p i d « Wj ■ - 1/na^ n , j « 2, n. Wybieramy £ , m in im a liz u ją c fu n k cję
Q(£) » f i ( £ ' R, - w , ) 2 » (£ 'R . - g ) 2 ♦ Z ( ľ i ♦ d ) 2.
j= l 1 3 X j=2 J
Różn iczkując względem £ , otrzymujemy
3Q (£) n
— — -- 2 ( £ 'R 1 - g )R ' ♦ 2 ♦ d )R J| = 0 \
£ ■ • « " ‘ ( i , Ola ta k wyznaczonego С o b l i czmy i le wynosi Q (£ ). Szczegółowe o b lic z e n ia prowadzą do u zysk a n ia : Q (£) l . n 4 — a l ,n
__l_
ai.n n ) ♦n - 1 r }a_ 1R, - 2 R > 'l R, ♦ —I — —1 —1— —1 n 1 f n ' l . n с ‘Н г 1 - я ; * a p .Postępowanie odnieśliśm y do wektora X^. W cze śn ie j podaliśm y mianownik W (£) w p o s ta c i £ 'A £ , do którego podstaw i a ją c podane Ju ż £ otrzymamy R| A " l A Af* £ j / a 2 n * R [ A1 £ j / a i n
-Zetem aby uzyskać minimum Q ( £ ) , e w en tu a ln ie n a jm n ie jsz ą w arto ść t((£ ) winniśmy tak wybrać w ektory X j . J " 1. •••• n > аЬУ forma kwa dratowa R ' A " 1R j o s ią g n ę ła w a rto ść maksymalną. Oznaczmy przez 0» ■"1/2 **
ü j a A ~ Ю 1 n iech maksimum, o którym m ów iliśm y, będzie o s ią g n ię te przez i > ^ = max ( X j X ^ ). S ta t y s t y k ę S h a p ir o - W il ka przy dobranym £ wyrażamy w p o s ta c i (M a 1 k o v 1 c h, A f
1-< i
W )
К ■ K ' ? > 2/ö . V « -x X x . , —m —J zatem wyzna-g d z le : 1 * ( Ž ( 1 ) . •••, * ( n )>* Z ( i ) « . . . «; Z( n ) oraz Ż jPonieważ min W (£) osiągamy d la £ * A-1(X - X )/ a . , "* *" ‘ím " A j П sprawdzenie h ip o te z y HQ p o le g a .na porównaniu w a rto ś c i Wm
cz o n ej z próby U z w a rto ś c ią k ry ty c z n ą K(oŕ) ta k ą , by P(Wm «£ < K (oi)|H q ) - ci. J e ż e l i w ystą p i nierów ność Wffl K( « ) , to h ip o te z ę
Hq odrzucamy na poziom ie oć .
Dokładny ro z k ła d Wm n ie J e s t znany, a em piryczne w a rto ś c i k r y tyczne d la p = 2 (1 )0 , n * 10(5)50 podał L u d w i c z a k [ б ] *.
1 D o k ła d n ie js z e t a b l ic e u z y s k a li a u to rzy (p o r. D o m a ń s k i , G a d e c k i , W a g n e r • [ I J ),.
Odnotujmy je sz cz e in te r e s u ją c e wyprowadzenie wektora С dokonane przez G r e с o [ 5 j , k tó ry w y k o rz ysta ł lem at 6 d la górnego o- g ra n ic z e n ia s t a t y s t y k i W (C).
3. Wprowadzenie do badania mocy
Sprawdzenie h ip o tez y Hg przeprowadzamy testem Wm. S ta t y s t y k ę testow ą tego te s tu oznaczyliśm y przez
" . ■ *„<u> ■ » . « i ...V
-H ipotezę -HQ odrzucamy na zadanym poziomie is t o t n o ś c i oć, gdy Wm -sś К (ot) = K( oi , p, n ) ,
g d zie; P(Wffl « K(oi) |Hg) = ot.
Podzielmy p rz e strze ń prób ЭС na dwie ro złąc zn e p o d p rze strze n le I 0 i l j t a k ie , że и X j = X . S ta ty s ty k a Wm j e s t fu n k cją U z p od p rzestrzen i X Q, k tó rą tak dobieramy, aby
P(U £ * 0 |Hg) = a •
Podprzestrzeń 3EQ określamy jako obszar k ry ty cz n y d la te s tu Wm o rozmiarze oc. Przez or rozumiemy prawdopodobieństwo p o p e łn ie n ia b łę du I ro d zaju , a przez /3 prawdopodobieństwo p o p e łn ie n ia błędu I I ro d zaju , c z y l i P(U e э е ^ Н ^ =/3. Pow staje zag ad n ienie wyznacze n ia prawdopodobieństwa, odrzucenia Hg na korzyść a lte rn a ty w y Hj z a le ż n ie od dobranych rozkładów £P n ie należących do k la s y Np , co notujemy Np . Prawdopodobieństwo to traktowane jako fu n k cja d la w szystk ich dopuszczalnych rozkładów 9 , nazywamy fu n k c ją mocy te s tu i oznaczamy przez
M( 3CQ, 9 ) - P(U e x 0 !$ ) .
W artość f u n k c ji M(3C0 , 9 ) d la konkretnego rozkładu Ф nazywamy mo cą te s tu przy a lt e r n a ty w ie H^.
Tak więc zagad nienie wyznaczenia mocy te s tu opartego na s t a t y s ty c e te s to w e j Wm sprowadza s ię do wyznaczenia w a rto ś c i fun k c j i
M(K(oc); g>) = p(wm с k(oć) i g>) ,
g d z ie : P(Wm K ( a ) |HQ) = ос .
Dokładny ro z k ła d przy h ip o te z ie HQ n ie j e s t znany. U n ie m ożliw ia to wyznaczenie k w a n ty li K ( a ) . Nieznane w ie lk o ś c i K(ot ) zastępujem y kwantylam i empirycznymi ÍČ(oO, k tó re znajdujem y meto dę s y m u la c ji Monte C a rlo .
K w antyle ii Coc > rozkładu Wffl p ozw alają o k r e ś lić moc em piryczną t e s t u . W tym c e lu wyznaczamy s ta t y s t y k ę Wm d la zadanego rozkład u 9 4 Np reprezentowanego przez próbę U. Przyjm ujem y, že wyzna czonych z o s ta ło q « 1001, 1 £ N (w a r to ś c i s t a t y s t y k i w* , ( i) ^ »
Zliczam y n astęp n ie i l e wyrazów cią g u w/f,( i ) » •••» *m (q) poprzedza wyraz K(O-). N iech ta lic z b a wyrazów wynosi r . Moc em piryczną to stu opartego na s t a t y s t y c e Wm określam y i l o r a zem
М(К(о с ) ; ф ) * r/q.
Dla badania mocy za ro zk ład y 9 p rzyjm u je s ię t a k ie ro zk ład y wektora losowego X, aby w s z y s tk ie jego ro zk ła d y brzegowe b y ły 1- dentyczne. W ybiera s ię wtedy ro zk ład y jednowymiarowe ze znanymi /А, i P 2 .
Moc te3tu Wm b y ła analizow ana przez w ie lu autorów , le c z w y n i k i są o d n iesio n e t y lk o do n ie w ie lk ic h prób (n « 5 0 ) . Wynika to z nieznajom ości współczynników a, , k tó re z o s ta ły opublikowane d la
J » П
n * 3, 4, . . . , 50. N a jo b s z e rn ie js z e badania mocy W(n z o s ta ły p rz e prowadzone przez G i o r g i , F a t t o r i n i ( [ 4 ] , t a b l . 1) oraz L u d w i c z a k a ( [ б ] , t a b l . 2 ).
Z przedstaw ion ych wyników można wyciągnąć n a s tę p u ją c e w n io s k i: a ) badania mocy ograniczono do małych prób (n ^ 5 0 );
b) ponieważ sym u lacja Monte C a rlo b y ła przeprowadzona t y lk o d la q * 500 prób, w ięc w n ie k tó ry c h przypadkach j e s t naruszona za sada, że moc te s tu r o ś n ie wraz ze wzrostem lic z e b n o ś c i próby (t a k j e s t np. d la te s tu Wffl przy p - 3 i X J 0 , k ied y moc przy f> - 20 wynosi 0,702, a przy n = 30 ty lk o 0 ,6 0 0 );
c ) moc te s tu m aleje przy ro z k ła d a ch , gdy r o ś n ie lic z b a sto p n i o swobody d la tych rozkładów (n p . przy p = 3, n = i 0 i X : j e s t
2
włas-o
ność ta wynika z teg o , że ro zk ład X. przy dużej l i c z b i e s to p n i swobody j e s t dobrze p rz y b liż o n y rozkładom normalnym;
d) moc te s tu r o ś n ie ze wzrostem w ie lk o ś c i próby n oraz zmien nych p, własność ta wynika z teg o, że prz> dużej p r ó b ie , -będącej r e a l i z a c j ą zmiennej loso w ej o danym ro z k ła d z ie Ф , będzie ona l e n i e j dopasowana do tego rozkładu n iż do rozkład u normalnego;
f e ) przy ro z k ła d z ie 9 o składowych wektora lo s o wego będących zmiennymi losowymi o ro z k ła d z ie L N (0 ,1 ) moc te s tu j e s t bardzo du ża.
, T a b l i c a l
Em piryczna moc te s tu S h ap iro -W ilk a
d la p = 2, 3, 4, 5; n = 12, 16, 20, 24, 30., 40, 50; q = I 500 ; ОС = 0,10 P Rozkład n • 12 20 30 40 50 2 x 2*4 X 2 *10 L N (0 ,1 ) 0,526 0,400 0,894 0,720 0,404 0,984 0,840 0,562 0,996 0,898 0,590 1,000 0,928 0,720 1,000 3 X 2 *4 x 2 x 10 L N (0 ,1 ) n = 16 0,796 0,683 0,982 20 0,844 0,702 0,992 30 0,902 0,680 0,998 40 0,932 0,766 1,000 50 0,934 0,744 1,000 4 X 2 K 4 X 2 л 10 I N ( 0 ,1 ) n = 20 0,956 0,848 1,000 30 0,958 0,834 1,000 40 0,958 0,872 1,000 50 0,982 0,842 1,000 5 X 2 * 4 X 2 л 10 LN (0 ,1 ) n = 24 0,966 4 0,958 1,000 30 0,988 0,928 1,000 40 0,984 0,938 1,000 50 0,976 0,922 1,000
Rozkłady fi wektorów losowych
X.
0 n ie z a le ż n y ch składow ych bę dących zmiennymi losowymi o ro z k ła d a c h : - w yk ła d n iczy ( X ■ 1), A2 - t- S tu d e n ta z 5 stop niam i swobody, Aj - równomierny na symple- ksi.e, A4 - równomierny na s fe rz e .T a b l i c a 2 Em piryczna moc te s tu S h a p iro - W ilk a
d la p * 3, 5, 8; n = 10, 20, 25, 50; q * 100; a. = 0,01, 0,0 2, 0,0 5, 0,10 p Rozkład n a u O O •H 0,02 0,05 0,10 1 2 3 4 5 6 7 3 ^1 10 0,58 0,69 0,79 0,91 ' * 20 0,73 0,86 0,90 0,92 25 0,85 0,90 0,95 0,90 50 0,97 0,97 0,98 0,99 A?с 10 0,34 0,42 0,66 0,01 20 0,52 0,61 0,75 0,82 25 0,57 0,61 0,B0 0,87 50 0,63 0,66 0,75 0,82 10 0,27 0,39 0,60 0,73 . & 20 0,43 0,50 0,69 0,75 25 0,44 0,55 0,67 0,79 50 0,71 0,06 0,09 1,00 A4 10 0,08 0,17 0,27 0,41 20 0,00 0,04 0,10 0,17 25 0,01 0,03 0,06 0,15 50 0,10 0,10 0,32 0,61 5 ^1л 10 0,99 0,99 1,00 1,00 20 0,97 0,99 1,00 1,00 25 0,93 0,95 0,99 0,99 50 0,57 0,98 1,00 1,00 10 0,91 0,97 0,98 0,99 20 0,88 0,95 0,90 0,90 25 0,80 0,91 0,95 0,90 50 0,84 0,91 0,96 0,90 ^3j 10 0,89 0,98 0,99 1,00 20 0,00 0,95 0,93 0,98 25 0,79 0,87 0,95 0,90 50 0,87 0,94 , 0,96 0,98
T a b lic a 2 ( c d . ) 1 2 3 4 5 6 7 A4 10 0,72 0,81 0,92 0,98 20 0,06 0,15 0,24 0,43 25 0,02 0,06 0,13 0,21 50 0,00 0,02 0,04 0,05 a A1JL 10 1,00 1,00 1,00 1,00 20 1,00 .1,00 1,00 1,00 25 1,00 1,00 1,00 1,00 50 1,00 1,00 1,00 1,00 10 1,00 1,00 1,00 1,00 A 20 0,99 1,00 1,00 1,00 25 0,99 0,99 •. 1,00 1,00 50 0,99 0,99 1,00 1,00 ^3 10 1,00 1,00 1,00 1,00 20 1,00 1,00 1,00 1,00 25 1,00 1,00 1,00 1,00 50 1,00 1,00 1,00 1,00 A4 10 1,00 1,00 1,00 1,00 20 0,98 0,99 1,00 1,00 25 0,76 0,86 0,99 1,00 50 0,04 0,08 0,22 0,35
Z podanych wyników możemy sformułować n a stę p u ją c e w n io s k i: a ) moc te s tu Wm, podobnie ja k to wynika z lic z b zaw artych w t a b l . 2, j e s t bardzo wysoka;
b) d la ustalon eg o n moc te s tu w zrasta wraz ze wzrostem p, co oznacza, że t e s t Wm c h a ra k te ry z u je s ię ten d en cją do od rzu cenia h ip o tez y Hq d la dużych p, tzn . d la dużych p n ależy dysponować próbami o dużej lic z e b n o ś c i n;
c ) mała j e s t moc przy i n = 50, co może być wynikiem ma ło efektywnego algorytm u generowania prób d la rozkładu równomier nego na s fe rz e przy q = 100.
4. Program d a ls z y c h badart
Prezentowane w y n ik i d otyczące mocy te s tu w ielow ym iarow ej n o r m alności S h a p iro - W ilk a n ie d a ją podstaw do wniosków p ra k ty c z n y c h , g łów nie d la te g o , że o p ie r a ją s ię one na m ałej l i c z b i e powtórzeń eksperymentu Monte C a rlo q = 100 lub q = 500 oraz w ą s k ie j k l a s ie rozkładów a lte rn a ty w n y c h . W związku z tym n ależ y przeprow adzić badania metodą Monte C a rlo s p e łn ia ją c e n a stę p u ją c e w aru n k i:
( i ) lic z b a powtórzeń w eksperym encie w ynosić b ędzie p r z y n a j m niej q * 1000 ( j e ś l i k o sz ty będą zbyt w ysokie zmniejszymy q, a le Je d y n ie w przypadkach spraw dzonych);
( i i ) k la s a rozkładów a lte rn a ty w n y c h oprócz omówionych będzie poszerzona m. in . przez ro z k ła d W ish a rta (o p is programu GENW B5 d o tyczący g e n e ra to ra tego rozkład u z o s ta ł podany w [ l ] , podobnie ja k d la rozkładu równom iernego);
( i i i ) badanie mocy zarówno d la h ip o tez p ro s ty c h ja k i z ło ż o nych;
( l v ) przy porównaniach testów o p a rtych na s ta ty s ty k a c h o ro z k ła d z ie dyskretnym i ro z k ła d z ie ciąg łym zastosow anie testów zran- domizowanych;
( v ) zróżnicow anie p, n i cc d la te s tu S h a p iro - W ilk a Wm; ( v i ) in t e r p r e t a c ja wyników.
Omówiony eksperyment re a liz o w a n y j e s t na emc RIAD 32 na pod s ta w ie programów RM0CT 671.
L i t e r a t u r a
[1 ] D o m a ń s k i C z ., G a d e c k i H. , W a g n e r W. (1 9 8 9 ): W a rto śc i k ry ty c z n e uogólnionego te s tu normalności Sha
p ir o - W ilk a , P rz e g lą d S ta t y s t y c z n y , 36, 2, 107-112.
[2] O o m a ń s k i C z ., T o m a s z e w i c z A. (1 9 0 0 ): Moc te s tu H e llw lg a p rzeciw n iektórym hipotezom altern a tyw n ym , P rz e g lą d S t a t y s t y c z n y , 27, 1/2, 173-182.
wie-lowymiarowej norm aln ości, P rz e g lą d S t a t y s t y c z n y , 31, 3/44, 259-270.
[4] G i o r g i G. M. , F a t t o r i n i L. (1 97 6): An Em p i r i c a l Study of Some Tests f o r M u l t i v a r i a t e N o r m a lit y , Qua- d e rn i d e l l I n s t i t u t o d i S t a t i s t i c a , 20, 1-8.
[5] G r e c o L. (1 980): Nota c r i t i c a su un t e s t d i m u ltin o r- m a lita di M alk ovich e A f i f i , Quaderni D e l l *I n s t i t u t o d i S t a t i s t i c a , 45, 1-15.
[6] L u d w i c z а к В. (1982): Próba porównania testów H e l l - wiga i S h a p iro - W ilk a d la w e r y f i k a c j i h ip otez y o normalności rozkładu wielowymiarowej zmiennej lo so w e j, Zeszyty Naukowe AE w Krakowie, 165, 23-39. [7] M a l k o v i c h 3. E. , A f i f i A. A. (1973): On T ests fo r M u l t i v a r i a t e N o r m a lity , J . Am. S t a t i s t . A s s o c ., 68, 176- -179. [В] P e a r s o n E. S. , H a r t l e y H . O . (1972): В lome- t r i c a Tables fo r S t a t i s t i c i a n s , v o l . 2, Cambridge U n i v e r s i t y P r e s s . [9] R a o C. R. (1 98 2): Modele l i n i o w e s t a t y s t y k i matematycz n e j , PWN, Warszawa.
[10] R o y s t o n J . P. (1982): An Ex tension of S h a p iro and W ilk s w Test f o r N orm ality to Large Samples, Appl. S t a t i s t . , 31, 115-124.
[ 4 l ] S a r h a n A. E . , G r e e n b e r g 8. G. (1 95 6): E s tim a tio n of L o c a tio n and S c a la Param eters by Order S t a t i s t i c s from S i n g l y and Doubly Consoved Samples, P a r t I , Ann. Math. S t a t . , 27, 427-451.
[ I 2 j S h a p i r o S. S. , W i l k М. В. (1965): An A n a l y s i s of V a ria n c e Test Norm ality (Complete Sam p les), B i o m c t r i c a , 52, 591-611.
Czeslaw Domański, Wiesław Wagner
REMARKS ON THE SHAPIRÜ-WlLK MULT IDIMENSIONAL NORMALITY TEST
In the view of the preformed examinations one can conclude that the S h a p lro -W ilk one dim ensional n o rm a lit y t e s t i s the
most pow erful one as a g a in s t broad c l a s s of a l t e r n a t i v e d i s t r i b u tio n s .
The a r t i c l e p re s e n ts the S h a p i r o-W ilk g e n e r a l iz e d t e s t of mul t id im e n s i o n a l n o r m a lit y and i t s power f o r n 50, p = 3 .5 , 8 and four d i s t r i b u t i o n s : e x p o n e n t ia l, t - S t u d e n t ’ s, uniform on sim plex and uniform on sphere.
