Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna 3. Wektory losowe
Ćw. 3.1 Rozkład wektora (X, Y ) dany jest tabelką:
Y ↓, X → 1 0
1 0, 5 0, 125
−1 0, 375 0
1. Znajdź rozkłady zmiennych X i Y .
2. Czy X i Y są niezależne? Czy są nieskorelowane?
3. Wyznacz P (X = Y ).
4. Wyznacz wartość oczekiwaną i macierz kowariancji wektora (X, Y ).
5. Wyznacz rozkład zmiennej Z = X + Y .
Ćw. 3.2 Wektor (X, Y ) ma łączny rozkład zadany wzorem P(X, Y ) = (m, n)= 1
3m+12n, m, n ∈ N0. 1. Wyznacz dystrybuantę tego rozkładu.
2. Wyznacz rozkłady brzegowe.
3. Wyznacz rozkład zmiennej X + Y .
Ćw. 3.3 Funkcja F (x, y) jest określona następująco:
F (x, y) =
( 1, x + y > 0, 0, w p.w.
Zbadać, czy tak określona funkcja może być traktowana jako dystrybuanta pewnej zmiennej losowej.
Ćw. 3.4 Funkcja
f (x, y) =
( e−y, 0 ¬ x < ∞, x ¬ y < ∞, 0, w p.w.
określa rozkład wektora (X, Y ). Znaleźć dystrybuantę wektora (X, Y ) oraz gęstości brzegowe zmiennych X i Y .
Ćw. 3.5 Wektor (X, Y ) ma rozkład o gęstości g(x, y) = 5
21(0,2x](y)1(0,∞)(x) e−x−2y.
Znajdź gęstości brzegowe zmiennych X i Y oraz sprawdź, czy zmienne są niezależne.
Ćw. 3.6 Podaj przykład dwóch wektorów losowych o różnych rozkładach łącznych, które mają te same rozkłady brzegowe.
Ćw. 3.7 Zmienne losowe X i Y są niezależne i mają rozkład N (0, 1). Czy zmienne losowe 2X + Y , X + 2Y są niezależne?
Ćw. 3.8 Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach Poissona z pa- rametrami odpowiednio 1 i 2. Znajdź prawdopodobieństwo tego, że układ równań
( (X − 1)a + Y b = 6
−Y a + (X + 1)b = 4
posiada dokładnie jedno rozwiązanie.
Ćw. 3.9 Niech S i T będą niezależnymi zmiennymi losowymi takimi, że T ma rozkład wykładniczy z parametrem 1, a P (S = 2) = P (S = 3) = 12. Oblicz
P (2S2−5T S+6T2 > 1).
Ćw. 3.10 Niech R i S będą niezależnymi zmiennymi losowymi, R ∼ E(1), S ∼ E(2). Ob- licz prawdopodobieństwo, że pole koła o promieniu R jest mniejsze od pola prostokąta o bokach πS i R + 2S.
Ćw. 3.11 Zmienne losowe X1, X2, X3są niezależne i mają jednakowy rozkład wykładniczy z parametrem λ > 0. Niech a, b > 0. Oblicz prawdopodobieństwo warunkowe
P (max(X1, X2, X3) ¬ a + b | min(X1, X2, X3) > a).
