Statystyka i eksploracja danych
2. Podstawy rachunku prawdopodobieństwa
Ćw. 2.1 Rozkład zmiennej losowej dany jest tabelą:
k −1 0 1 2
P (X = k) 0, 4 0, 3 0, 2 0, 1
Wyznacz dystrybuantę tej zmiennej, wartość oczekiwaną oraz wariancję. Oblicz 3.
i 4. moment absolutny.
Ćw. 2.2 Dystrybuanta zmiennej losowej X ma postać
FX(t) =
0, t < −1, 1/4, −1 ¬ t < 1/2, 2/3, 1/2 ¬ t < 3, 1, t 3.
Oblicz P (X ∈ (0, 2]). Wyznacz rozkład zmiennej losowej X, jej wartość oczekiwaną, wariancję, medianę oraz 1. kwartyl (tzn. kwantyl rzędu 1/4).
Ćw. 2.3 Rozkład zmiennej losowej X dany jest wzorem
P (X = k) = 2
3k, k = 1, 2, . . .
Wyznacz wartość oczekiwaną, medianę i 3. kwartyl (tzn. kwantyl rzędu 3/4) tej zmiennej.
Ćw. 2.4 Niech X będzie zmienną losową o gęstości
f (t) =
0, t /∈ [−1, 1], λ(1 − t2), t ∈ [−1, 1].
1. Wyznacz λ i narysuj wykres f .
2. Wyznacz dystrybuantę zmiennej X i narysuj jej wykres.
3. Wyznacz P (X > 0, 5 ∨ X < −0, 5).
4. Wyznacz medianę.
5. Oblicz EX i V arX oraz 3. i 4. moment absolutny.
Ćw. 2.5 (K. B. D. K. W., Zad. 2.112. str. 118) Dobierz stałe A i B tak, żeby funkcja
F (x) =
A + B arccos x dla |x| < 1
0 dla x ¬ −1
1 dla x 1
była dystrybuantą zmiennej losowej typu ciągłego. Wyznacz gęstość tej zmiennej.
Ćw. 2.6 Rozkład wektora (X, Y ) dany jest tabelką:
Y
X 1 0
1 0, 4 0, 1
−1 0, 2 0, 3 1. Znajdź rozkłady zmiennych X i Y .
2. Czy X i Y są niezależne? Czy są nieskorelowane?
3. Wyznacz P (X = Y ).
4. Wyznacz wartość oczekiwaną, macierz kowariancji i wariancję wektora (X, Y ).
5. Wyznacz rozkład zmiennej Z = X + Y .
Ćw. 2.7 Wektor (X, Y ) ma łączny rozkład zadany wzorem
P(X, Y ) = (m, n)= 1
3m+12n, m, n ∈ N0. Wyznacz rozkłady brzegowe.
Ćw. 2.8 Funkcja
f (x, y) =
( e−y, 0 ¬ x < ∞, x ¬ y < ∞, 0, w p.w.
określa rozkład wektora (X, Y ). Znajdź dystrybuantę wektora (X, Y ) oraz gęstości brzegowe zmiennych X i Y . Sprawdź, czy X i Y są niezależne. Czy X i Y są niesko- relowane? Oblicz P (X + Y ¬ 2).
Ćw. 2.9 Wektor (X, Y ) ma rozkład o gęstości
g(x, y) = 5
21(0,2x](y)1(0,∞)(x) e−x−2y.
Znajdź gęstości brzegowe zmiennych X i Y oraz sprawdź, czy zmienne są niezależne.
Ćw. 2.10 Podaj przykład dwóch wektorów losowych o różnych rozkładach łącznych, które mają te same rozkłady brzegowe.
