1
Testy do weryfikacji hipotez o wartości oczekiwanej
I. Cecha X populacji ma rozkład normalny N(m , ), jest znane Hipoteza zerowa H0(mm0)
H1
n
U
Zbiór kryt. K Wyznaczanie liczby k Nr testu)
(
0 1m
m
H
n
m
X
/
0
k
;
)
(k
)
1
1)
(
0 1m
m
H
(
;
k
(k
)
1
2)
(
0 1m
m
H
(
;
k
k
;
)
2
1
)
(
k
3II. Cecha X populacji ma rozkład normalny N(m , ), nie jest znane. Hipoteza zerowa H0(mm0) H1
n
U
Zbiór kryt. K Wyznaczanie liczby k Nr testu)
(
0 1m
m
H
1
/
0
n
S
m
X
k
;
)
2
)
|
(|
T
1
k
P
n 4)
(
0 1m
m
H
(
;
k
P
(|
T
n1|
k
)
2
5)
(
0 1m
m
H
(
;
k
k
;
)
P
(|
T
n1|
k
)
6 III. Cecha X populacji ma dowolny rozkład, próba jest liczna n > 60.Hipoteza zerowa
H
0(
m
m
0)
H1n
U
Zbiór kryt. K Wyznaczanie liczby k Nrtestu
)
(
0 1m
m
H
n
S
m
X
/
0
k
;
)
(k
)
1
7)
(
0 1m
m
H
(
;
k
(k
)
1
8)
(
0 1m
m
H
(
;
k
k
;
)
2 1 ) ( k 9Test do weryfikacji hipotezy o prawdopodobieństwie sukcesu
Cecha X populacji ma rozkład zerojedynkowy P(X 1) p, P(X 0)1 p, p(0;1) Hipoteza zerowa
H
0(
p
p
0)
Próba liczna n>100H1
n
U
Zbiór kryt. K Wyznaczanie liczbyk Nr testu
)
(
0 1p
p
H
n
p
p
p
W
)
1
(
0 0 0
W – średnia częstość sukcesu n k W
k
;
)
(k
)
1
10)
(
0 1p
p
H
(
;
k
(k
)
1
11)
(
0 1p
p
H
(
;
k
k
;
)
2
1
)
(
k
122
Test do weryfikacji hipotez o odchyleniu standardowym Cecha X populacji ma rozkład normalny N(m , ). Hipoteza zerowa H0(
0)H1
n
U
Zbiór kryt. K Wyznaczanie liczbk i l Nr testu
)
(
0 1
H
2 0 2
nS
k
;
)
P
(
Y
n1
k
)
13)
(
0 1
H
(
0
;
k
)
1
(
Y
1k
P
n 14)
(
0 1
H
(
0
;
k
l
;
)
P
(
Y
n1
l
)
/
2
2
/
1
)
(
Y
1
k
P
n 15Uwaga: dla n>30 można stosować statystykę 2 2( 1) 1
2 0 2 nS n U o rozkładzie N(0,1).
Testy do porównywania wartości oczekiwanych
Badane są dwie cechy X i Y różnych populacji. Zakładamy, że cechy te są zmiennymi losowymi niezależnymi. Z populacji, w której badana jest cecha X pobrano próbę n1 elementową, natomiast z drugiej populacji pobrano próbę n elementową. 2
1. Cechy X i Y mają rozkłady normalne odpowiednio N(m1,1), N(m2,2), przy czym odchylenia standardowe
1 i
2są znane.Hipoteza zerowa
H
0(
m
1
m
2)
H1
2 1n
n
U
Zbiór kryt. K Wyznaczanieliczby k Nr testu
)
(
1 2 1m
m
H
2 2 2 1 2 1 n n Y X
k
;
)
(k
)
1
16)
(
1 2 1m
m
H
(
;
k
(k
)
1
17)
(
1 2 1m
m
H
( ; kk ; ) 2 1 ) ( k 182a. Cechy X i Y mają rozkłady normalne odpowiednio N(m1,), N(m2,), przy czym
odchylenia standardowe obu cech są sobie równe i nie są znane. Hipoteza zerowa H0(m1 m2)
H1
2 1n
n
U
Zbiór kryt. K Wyznaczanieliczby k Nr testu
)
(
1 2 1m
m
H
2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 12
n
n
n
n
n
n
S
n
S
n
Y
X
k
;
)P
(|
T
n1n22|
k
)
2
19)
(
1 2 1m
m
H
(
;
k
P
(|
T
n1n22|
k
)
2
20)
(
1 2 1m
m
H
)
;
;
(
k
k
(|
2|
)
2 1k
T
P
n n 213
2b. Cechy X i Y mają rozkłady normalne odpowiednio
N
(
m
1,
1),
N
(
m
2,
2)
, przy czym1
i nie są sobie równe i nie są znane. 2 Hipoteza zerowa
H
0(
m
1
m
2)
.Hipoteza
alternatywna Sprawdzian U Zbiór krytyczny K Wyznaczanie liczby k
Nr testu 1 1 2 H (m >m ) 2 2 1 2 1 2 X Y S S n 1 n 1
k
;
) 1 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 1 n S n S n S k n S k k gdzie
2 ) (T11 k1 P n 2 ) ( 1 2 2 k T P n 22 1 1 2 H (m <m ) ( ; k k jw. 2 ) (T11 k1 P n 2 ) (T21 k2 P n 23 1 1 2 H (m m ) ( ; k k ; ) k jw. ) (T11 k1 P n ) (T21 k2 P n 243. Cechy X i Y mają rozkłady dowolne o wartościach oczekiwanych m1, m2, przy czym próby są liczne,
n
1, n2 > 100.)
(
1 2 0m
m
H
H1 2 1n nU
Zbiór kryt. K Wyznaczanie liczby k Nr testu)
(
1 2 1m
m
H
2 2 2 1 2 1n
S
n
S
Y
X
k
;
) (k )1
25)
(
1 2 1m
m
H
(
;
k
(k
)
1
26)
(
1 2 1m
m
H
(
;
k
k
;
)
2
1
)
(
k
27 Uwaga.Dla prób powiązanych (dane to pary (xi, yi), i = 1, 2, …, n), należy rozpatrywać zmienną Z = X –
4
Test do porównywania prawdopodobieństw sukcesu.
Badane są dwie cechy X i Y różnych populacji o rozkładach zerojedynkowych,
,
1
)
0
(
,
)
1
(
X
p
1P
X
p
1P
P
(
Y
1
)
p
2,
P
(
Y
0
)
1
p
2,
Z populacji, której badana jest cecha X pobrano próbęn
1 elementową, natomiast z drugiejpopulacji pobrano próbę
n
2 elementową. Obie próby są liczne n1, n2>100.Hipoteza zerowa: H0(p1 p2) H1
2 1n
n
U
Zbiór kryt. K Wyznaczanieliczby k Nr testu
)
(
1 2 1p
p
H
2 1 2 1 2 1)
1
(
n
n
n
n
W
W
W
W
k
;
)
(k
)
1
28)
(
1 2 1p
p
H
(
;
k
(k
)
1
29)
(
1 2 1p
p
H
(
;
k
k
;
)
2 1 ) (
k 30 2 1, WW średnie częstości sukcesów w poszczególnych próbach,
,
/
,
/
1 2 2 2 1 1k
n
W
k
n
W
)
/(
)
(
k
1k
2n
1n
2W
- średnia częstość sukcesu w połączonych próbach,2 2 1 1 1 2 1 1 W n n n W n n n W Uwaga.
Dla małej próby należy stosować statystykę:
która ma w przybliżeniu rozkład N(0, 1).
Test do weryfikacji hipotez o porównywaniu wariancji
Cechy X i Y mają rozkłady normalne odpowiednio
N
(
m
1,
1),
N
(
m
2,
2)
.Z populacji, w której badana jest cecha X pobrano próbę
n
1 elementową, natomiast z drugiejpopulacji pobrano próbę
n
2 elementową.Hipoteza zerowa H0(
12
22)Hipoteza alternatywna
Sprawdzian U
Zbiór krytyczny K Wyznaczanie liczb k i l Nr testu
