Xnbędą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie N (0, 1)

Statystyka I semestr zimowy 2017, seria II

1. Niech wektor losowy X = (X1, X₂) ma dwuwymiarowy rozkład normalny N (m, Σ), przy czym m = (m1, m2)^T a Σ = (σij) jest macierzą nieosobliwą. Wykaż, że gęstość X wyraża się wzorem

f (x1, x2) = 1

2πpσ11σ22(1 − ρ²)exp



− 1

2(1 − ρ²)

 (x₁− m1)² σ11

− 2ρ(x1− m1)(x2− m2)

√σ11σ22

+(x2− m2)² σ22



, gdzie ρ = ^√_σ^σ12

11σ₂₂ jest współczynnikiem korelacji.

2. Niech X1, . . . , Xnbędą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie N (0, 1). Pokaż, że zmienne losowe

M = 1

√n

n

X

i=1

Xi i V =

n

X

i=1



Xi− M

√n

²

są niezależne oraz M ∼ N (0, 1), V ∼ χ²(n − 1).

Wskazówka: Rozpatrz wektor losowy Y = AX, gdzie A macierz ortogonalna oraz jej pierwszy wiersz A1i= ^√1_n. Następnie pokaż: M = Y1 oraz V =Pn

k=2Y_k².

3. Niech X₁, . . . , X_n będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie N (µ, σ²). Pokaż, że

X =¯ 1 n

n

X

i=1

Xi, S²= 1 n − 1

n

X

i=1

(Xi− ¯X)²

są niezależne oraz ¯X ∼ N (µ,^σ_n²), ⁿ⁻¹_σ2 S^∼χ²(n − 1).

Podaj rozkład zmiennej losowej

T =

√n( ¯X − µ)

√ S² .

4. Niech X₁, . . . , X_n będą niezależnymi zmiennymi losowymi o dystrybuancie F . Dla dowolnego x ∈ R definiujemy dystrybuantę empiryczną ˆFn jako

Fˆn(x) = 1 n

n

X

i=1

1(Xi≤ x) .

Oblicz E ˆFn(x), V ar( ˆFn(x)) oraz Cov( ˆFn(x), ˆFn(y)).

5. Niech X1, . . . , Xn będą niezależnymi zmiennymi losowymi o dystrybuancie F i gęstości f . Po ich uporządkowaniu w kolejności rosnącej otrzymujemy zmienne losowe X1:n≤ X2:n≤ · · · ≤ Xn:n, które nazywamy statystykami pozycyjnymi. Oblicz dystrybuantę oraz gęstość k-tej statystyki pozycyjnej Xk:n.

1