Ryszard Tanaś
Wykłady
z
optyki kwantowej
17 kwietnia 2012
Uniwersytet im. Adama Mickiewicza
Wydział Fizyki
Zakład Optyki Nieliniowej
Umultowska 85, 61-614 Poznań
tanas@kielich.amu.edu.pl
http://zon8.physd.amu.edu.pl/~tanas
c
Przedmowa
Od wielu lat prowadzę wykład z optyki kwantowej dla studentow IV roku fizyki. Jakiś czas temu zacząłem spisywać moje odręczne notatki aby udostępnić je studentom w formie drukowanej bądź elektronicznej. Jednak spisywanie tych notatek szło mi bardzo wolno z powodu, jak to zwykle bywa, „innych ważnych zajęć”.
Moi studenci, Ravindra Chhajlany i Jacek Narski, podjęli się trudu spisania w LATEXu części moich
notatek do tego wykładu, za co jestem im bardzo wdzięczny. Ich pomoc przyśpieszyła przygotowanie tych notatek w obecnej formie.
Notatki te przedstawiają część materiału będącego przedmiotem mojego wykładu, ale część na tyle znaczącą, że zdecydowałem się je udostępnić studentom. Zdaję sobie sprawę, że notatki nie są kompletne, a prezentacja materiału może wydać się zbyt „sucha”. Tym niemniej można tu znaleźć podstawowe wzory i niektóre wyprowadzenia przydatne w trakcie studiowania optyki kwantowej. Z pewnością jest tu jeszcze sporo błędów, które z czasem postaram się usunąć. Będę wdzięczny za wskazanie takich błędów i wszelkie uwagi krytyczne.
Ryszard Tanaś Poznań 6 maja 2004
Spis treści
1 Wstęp . . . 1
1.1 Równania Maxwella w próżni . . . 1
1.2 Pole w rezonatorze — gęstość modów . . . 3
1.3 Wzór Plancka. . . 5
1.4 Einsteinowskie wyprowadzenie wzoru Plancka. . . 7
2 Atom w zewnętrznym polu — opis półklasyczny. . . 11
2.1 Szybkość absorpcji. . . 11
2.2 Przejścia wielofotonowe . . . 16
2.3 Oscylacje Rabiego . . . 19
2.4 Spin w polu magnetycznym. . . 21
3 Kwantowanie pola . . . 27
3.1 Pole jednomodowe. . . 27
3.2 Fluktuacje kwantowe pola . . . 31
3.3 Pole wielomodowe . . . 33
4 Efekty związane z fluktuacjami próżni . . . 37
4.1 Przesunięcie Lamba-Retherforda. . . 37
4.2 Emisja spontaniczna . . . 40
4.2.1 Złota reguła Fermiego. . . 43
4.3 Tłumienie promieniste . . . 43
5 Stany kwantowe pola . . . 47
5.1 Stany koherentne. . . 47
5.1.1 Operator przesunięcia. . . 48
5.2 Własności fizyczne stanów koherentnych. . . 49
5.2.1 Nieoznaczoność liczby fotonów . . . 50
5.2.2 Nieoznaczoność operatora pola. . . 51
5.3 Stany mieszane pola . . . 51
5.3.1 Wzbudzenie termiczne . . . 52
5.3.2 Macierz gęstości w bazie stanów koherentnych. . . 53
5.3.3 Pola gaussowskie . . . 54
5.4 Stany ścieśnione (ściśnięte) pola. . . 57
5.4.1 Operator ściskania. . . 59
5.4.2 Średnie wartości. . . 62
5.4.3 Statystyka fotonów . . . 63
5.4.4 Detekcja stanów ścieśnionych . . . 64
6 Operator fazy . . . 69
6.1 Początki . . . 69
6.2 Formalizm Susskinda–Glogowera . . . 70
6.2.1 Stany z określoną fazą . . . 71
6.2.2 Stany o określonej liczbie fotonów . . . 72
6.2.3 Stany koherentne. . . 73
6.3 Formalizm Pegga–Barnetta . . . 74
7 Funkcje rozkładu kwazi-prawdopodobieństwa. . . 83
7.1 Funkcja P (α) . . . 83
7.1.1 Funkcja charakterystyczna i momenty rozkładu . . . 84
7.1.2 Funkcja P (α) dla stanu koherentnego . . . 84
7.1.3 Funkcja P (α) dla stanu n-fotonowego. . . 85
7.1.4 Funkcja P (α) dla pola termicznego . . . 86
7.1.5 Funkcja P (α) w bazie stanów fokowskich . . . 86
7.2 Funkcja Q(α) . . . 87
7.2.1 Funkcja Q(α) dla stanu n-fotonowego. . . 90
7.2.2 Funkcja Q(α) dla światła termicznego. . . 90
7.2.3 Funkcja Q(α) dla stanu koherentnego. . . 90
7.2.4 Funkcja Q(α) dla ściśniętej próżni. . . 90
7.3 Funkcja Wignera. . . 91
7.3.1 Funkcja Wignera dla stanu koherentnego . . . 93
7.3.2 Funkcja Wignera dla stanu n-fotonowego . . . 93
7.3.3 Funkcja Wignera dla pola termicznego . . . 95
7.3.4 Funkcja Wignera dla ściśniętej próżni. . . 96
7.3.5 Momenty rozkładu . . . 97
8 Kwantowa teoria spójności. . . 99
8.1 Doświadczenie Younga — opis klasyczny . . . 99
8.2 Interferometr gwiazdowy Michelsona. . . 101
8.3 Interferometr Hanbury Browna i Twissa. . . 102
8.4 Kwantowe funkcje korelacji . . . 103
8.5 Doświadczenie Younga w opisie kwantowym . . . 104
8.6 Spójność pierwszego rzędu. . . 104
8.6.1 Stan jednofotonowy. . . 105
8.6.2 Pole jednomodowe. . . 106
8.6.3 Pola stacjonarne . . . 106
8.7 Spójność wyższych rzędów. . . 107
8.8 Korelacja i antykorelacja fotonów. . . 108
9 Oddziaływanie atomu z polem — opis kwantowy . . . 113
9.1 Hamiltonian układu atom + pole . . . 113
9.2 Przybliżenie wirującej fali . . . 116
9.3 Model Jaynesa-Cummingsa. . . 117
9.3.1 Stany ubrane . . . 118
9.3.2 Ewolucja układu . . . 121
9.3.3 Rozwiązanie operatorowe. . . 122
9.3.4 Zaniki i odrodzenia oscylacji. . . 126
10 Optyczne równania Blocha. . . 131
10.1 Ewolucja atomu w polu wielomodowym w obrazie Heisenberga . . . 131
10.2 Optyczne równania Blocha. . . 135
10.2.1 Brak pola laserowego . . . 136
Spis treści VII
10.2.3 Sfera Blocha. . . 137
10.2.4 Rozwiązania Torreya. . . 137
10.3 Transformata Laplace’a w rozwiązywaniu równań Blocha . . . 137
10.3.1 Silny wpływ zderzeń. . . 139
10.3.2 Dokładny rezonans ∆ = 0 . . . 139
10.3.3 Silne pole zewnętrzne . . . 139
11 Fluorescencja rezonansowa. . . 141
11.1 Widmo fluorescencji rezonansowej . . . 141
11.2 Atomowe funkcje korelacji i ich ewolucja. . . 143
11.3 Analityczne wzory na widmo fluorescencji rezonansowej . . . 145
11.3.1 Słabe pola. . . 148
11.3.2 Silne pola . . . 151
11.4 Pole fluorescencji. . . 153
11.5 Korelacje intensywności . . . 157
A Obliczenie komutatora z rozdziału 4.3 . . . 161
B Obliczanie niektórych całek. . . 165
C Rozplatanie eksponensów operatorowych . . . 169
Literatura . . . 177
1
Wstęp
1.1 Równania Maxwella w próżni
Klasyczne pole elektromagnetyczne w próżni opisywane jest równaniami Maxwella, które w układzie SI mają postać ∇ · E = 0 (1.1) ∇ · B = 0 (1.2) ∇ × E = −∂B ∂t (1.3) ∇ × B = 1 c2 ∂E ∂t , (1.4)
gdzie E jest wektorem natężenia pola elektrycznego, a B— wektorem indukcji magnetycznej, c jest prędkością światła w próżni związaną z przenikalnościami elektryczną 0 i magnetyczną µ0, relacją
c = √1 0µ0
. (1.5)
Wektory pola elektrycznego E i indukcji magnetycznej B zależą w ogólności od współrzędnych przestrzennych r oraz od czasu t. Biorąc rotację równania (1.3) i podstawiając (1.4) otrzymujemy
∇ × ∇ × E = −1 c2
∂2E
∂t2 . (1.6)
Korzystając z tożsamości wektorowej
∇ × (∇ × E) = ∇(∇ · E) − ∇2E (1.7)
oraz równania (1.1) otrzymujemy równanie falowe
∇2E = 1
c2
∂2E
∂t2 , (1.8)
które opisuje propagację fali elektromagnetycznej w próżni. Łatwo się przekonać, że rozwiązaniem równania (1.8) jest
E(r, t) = E0f (k· r − ωt) , (1.9)
gdzie f jest dowolną funkcją, E0 jest stałym wektorem, ω jest częstością1 oscylacji mierzoną w
radianach na sekundę (ω = 2πν, gdzie ν jest częstotliwością mierzoną w hertzach (Hz), czyli ilością
1
Należy pamiętać o różnicy pomiędzy częstością ω i częstotliwością ν, chociaż często używa się terminu częstość dla obu tych wielkości.
x
y
z
E
B
k
Rysunek 1.1. Wektory pól fali elektromagnetycznej
drgań na sekundę), k jest wektorem propagacji fali, którego kierunek określa kierunek propagacji fali, a jego długość jest równa k = |k| = ω/c. Jednym z możliwych rozwiązań równania (1.8) jest rozwiązanie w postaci fali płaskiej
E(r, t) = E0exp[i(k· r − ωt)] . (1.10)
Biorąc rotację równania (1.4), w analogiczny sposób otrzymujemy równanie falowe dla wektora indukcji magnetycznej, rozwiązaniem którego może być biegnąca fala płaska
B(r, t) = B0exp[i(k· r − ωt)] . (1.11)
Po wstawieniu rozwiązań (1.10) i (1.11) do wyjściowych równań Maxwella (1.3) i (1.4) otrzymujemy
k× E = ωB , (1.12)
k× B = −ω
c2E , (1.13)
co oznacza, że wektory E, B i k są wzajemnie prostopadłe, jak na rysunku (1.1). Ponadto długości wektorów E i B związane są ze sobą relacją
B =√0µ0E . (1.14)
Wstawiając rozwiązanie (1.10) do równania (1.1) otrzymujemy warunek
k· E = 0 (1.15)
i analogicznie wstawiając (1.11) do (1.2) mamy
k· B = 0 . (1.16)
Warunki te oznaczają, że fale elektromagnetyczne są falami poprzecznymi. Dla każdego kierunku wektora propagacji k istnieją dwa niezależne kierunki polaryzacji pola elektrycznego E.
Zadanie 1.1. Przekonaj się bezpośrednim rachunkiem o prawdziwości wzorów (1.12) - (1.16). Ponieważ równanie falowe (1.8) jest równaniem liniowym, to rozwiązania tego równania spełniają zasadę superpozycji, która głosi, że jeżeli E1(r, t) i E2(r, t) są rozwiązaniami równania (1.8), to
rozwiązaniem jest również ich superpozycja c1E1(r, t) + c2E2(r, t).
Rozwiązania (1.10) i (1.11) równania falowego (1.8) przedstawiliśmy w postaci zespolonej, która jest bardzo wygodna w obliczeniach, ale pola są wielkościami rzeczywistymi i zwykle w rozwiązaniach bierze się po prostu część rzeczywistą rozwiązań zespolonych. Wtedy, na przykład,
1.2 Pole w rezonatorze — gęstość modów 3
W optyce kwantowej zwykle stosuje się zapis zespolony dla pól elektromagnetycznych, w którym rozdziela się pole na dwie składowe: z „dodatnimi” i „ujemnymi” częstościami i rzeczywiste pole jest sumą tych dwóch części
E(r, t) = E(+)(r, t) + E(−)(r, t) . (1.18) Pierwszy składnik E(+), który będziemy nazywali składową pola o częstościach dodatnich, zawiera wszystkie amplitudy pola z zależnością od czasu typu exp(−iωt) dla ω > 0. Drugi człon zawiera składowe pola zmieniające się w czasie jak exp(+iωt) i będziemy go nazywali składową pola o częstościach ujemnych. Obydwa człony są wzajemnie sprzężone
E(−)= [E(+)]∗ (1.19)
i niosą równoważną informację fizyczną. Taki rozkład jest często stosowany w klasycznym opisie pól i takie zespolone składowe nazywa się zespolonymi amplitudami pól lub sygnałami analitycznymi. Dla biegnących fal płaskich opisanych wzorami (1.10) i (1.11) możemy łatwo przypisać składowym z częstościami dodatnimi odpowiednie wyrażenia: dla E(+)(r, t) oraz B(+)(r, t) mamy wtedy
E(+)(r, t) = E0exp[i(k· r − ωt)] , (1.20)
B(+)(r, t) = B0exp[i(k· r − ωt)] . (1.21)
Przy takim przypisaniu jednak, zgodnie z (1.18), rzeczywiste pole elektryczne jest równe
E(r, t) = 2 Re E(±)= 2E0cos(k· r − ωt) . (1.22)
Porównując wyrażenia (1.17) i (1.22) widzimy, że amplitudy pola różnią się czynnikiem 2. Należy zatem zwracać uwagę, korzystając z literatury, jaką konwencję dotyczącą normowania amplitudy stosuje się w danej pracy. Krótko mówiąc, czy E0 to jest amplituda, która przemnaża eksponens,
czy też kosinus! W dalszej części wykładów używamy konwencji, w której amplituda E0 stoi przy
eksponensie, tak jak w równaniach (1.10) i (1.20). Podobnie z amplitudą pola magnetycznego. O ile z klasycznego punktu widzenia podział na część z częstościami dodatnimi i część z częstościami ujemnymi nie ma większego znaczenia, gdyż każda z tych części niesie taką samą informację fizyczną, to, jak się później przekonamy, taki podział ma głębszy sens w optyce kwantowej, kiedy pola są kwantowe.
1.2 Pole w rezonatorze — gęstość modów
Rozwiązania równania falowego w postaci biegnących fal płaskich są słuszne w otwartej prze-strzeni, kiedy nie musimy uwzględniać warunków brzegowych ograniczających rozwiązania równań Maxwella. Jeśli pole elektromagnetyczne zamknięte jest w rezonatorze (metalowej wnęce), to roz-wiązania równań Maxwella (1.1)-(1.4) muszą spełniać określone warunki brzegowe na granicy wnęki. Dla prostoty zwykle wprowadza się wnękę w kształcie sześcianu o boku L, ścianki której przyjmuje się jako idealnie przewodzące, tak aby składowa styczna pola elektrycznego była równa zeru na gra-nicach wnęki. Wtedy rozwiązania równania falowego (1.8), spełniające warunki brzegowe na granicy wnęki mają postać fal stojących, o składowych spełniających równania:
Ex(r, t) = Ex(t) cos(kxx) sin(kyy) sin(kzz) ,
Ey(r, t) = Ey(t) sin(kxx) cos(kyy) sin(kzz) , (1.23) Ez(r, t) = Ez(t) sin(kxx) sin(kyy) cos(kzz) ,
gdzie E(t) nie zależy od współrzędnych, zaś składowe wektora falowego dane są przez
kx= π Lnx, ky = π Lny, kz= π Lnz, (1.24) gdzie
nx, ny, nz= 0, 1, 2, 3, . . . (1.25)
są liczbami całkowitymi, przy czym tylko jedna z nich może być zerem. W przeciwnym razie pole we wnęce jest równe zeru. Łatwo sprawdzić, że pole (1.23) spełnia warunki brzegowe na ściankach rezonatora. Wstawiając rozwiązania (1.23) do równania Maxwella (1.1) otrzymujemy warunek
Ex(t) kx+ Ey(t) ky+ Ez(t) kz= 0 . (1.26)
Warunek (1.26) można zapisać w postaci wektorowej jako
k· E(t) = 0 . (1.27)
co oznacza po prostu, że pole E(t) jest prostopadłe do wektora propagacji k. W dalszym ciągu dla każdej wartości wektora k istnieją dwa niezależne kierunki E(t).
Warunki graniczne powodują, że wektor falowy k przyjmuje dyskretne wartości określone liczbami całkowitymi nx, ny, nz. Każdy zbiór liczb nx, ny, nzodpowiada określonej wartości wektora k, z
któ-rym nadal związane są dwa niezależne kierunki polaryzacji. Jeśli oprócz wartości wektora falowego wybrać jeszcze określony kierunek polaryzacji, to jednoznacznie określimy mod pola elektromagne-tycznego w rezonatorze. Dozwolone wartości składowych wektora falowego są od siebie odległe o
k
xk
yk
zdk
k
Rysunek 1.2. Warstwa sferyczna w przestrzeni wektorów falowych
π/L i przy dostatecznie dużym L odległości te są niewielkie. Możemy wtedy traktować rozkład
do-zwolonych wartości wektora k jako ciągły. Aby obliczyć liczbę modów w przedziale pomiędzy k i
k + d k, należy zatem obliczyć liczbę dozwolonych wartości k, które znajdują się w oktancie (liczby nx, ny, nz są dodatnie) warstwy sferycznej zawartej pomiędzy powierzchniami sferycznymi o pro-mieniach k oraz k + d k przedstawionymi na rysunku1.2. Objętość warstwy sferycznej jest równa 4πk2d k, zaś na jeden punkt w przestrzeni k przypada objętość (π/L)3, tak więc w jednym oktancie
warstwy, z uwzględnieniem dwóch polaryzacji, liczba modów pola wyraża się następującą formułą d N = 2×1
8(4πk
1.3 Wzór Plancka 5
Ponieważ, z definicji, gęstość modów pola ρ(k) d k to liczba modów pola, przypadająca na jednostkę objętości wnęki, wektor falowy których znajduje się w przedziale (k, k + d k), to z równania (1.28) otrzymujemy
ρ(k) d k = k
2d k
π2 . (1.29)
Wynik ten jest słuszny w ogólnym przypadku, niezależnie od tego jaki rodzaj wnęki zastosujemy do jego wyprowadzenia. Biorąc pod uwagę relację k = ω/c, możemy wyrażenie (1.29) dla gęstości modów przekształcić w wyrażenie dla gęstości modów w przedziale częstości (ω, ω + d ω)
ρ(ω) d ω = ω
2d ω
π2c3 . (1.30)
W dalszej części wykładu będziemy mieli do czynienia z wyrażeniami, w których należy wykonać sumowanie po modach. Wykorzystując wyrażenia dla gęstości modów (1.29) lub (1.30) możemy takie sumy zamienić na całki po k lub ω stosując następujące relacje
X k (· · · ) → V π2 Z (· · · ) k2dk→ V π2c3 Z (· · · ) ω2d ω , (1.31) gdzie V = L3jest objętością wnęki. W sumowaniu po k uwzględnia się dwie niezależne polaryzacje
związane z wektorem k oraz fakt, że wektor falowy ma określony kierunek.
1.3 Wzór Plancka
Zgodnie z elektrodynamiką klasyczną energia pola elektromagnetycznego zawarta w objętości V wyraża się wzorem
W = 1 2 Z V 0E2+ 1 µ0 B2 d V , (1.32)
gdzie E i B są rzeczywistymi wartościami pola elektrycznego i indukcji magnetycznej, które w teorii klasycznej mogą przyjmować dowolne wartości w sposób ciągły.
Dla pól oscylujących z częstościami optycznymi zmiana energii w ciągu jednego okresu zwykle nie może być zmierzona ze względu na bardzo szybkie oscylacje pola. Przyrządy pomiarowe są w stanie rejestrować jedynie średnią energię. Należy więc wyrażenie (1.32) uśrednić po okresie. Jeśli dodat-kowo uwzględnić relację (1.14) pomiędzy wartościami pola elektrycznego i indukcji magnetycznej, to uśredniona po okresie energia pola przyjmuje postać
W = 2 Z V 0 E(+)(r, t) 2 d V . (1.33)
Energia ta może przyjmować dowolne dodatnie wartości, co okazało się istotnym ograniczeniem w teorii klasycznej, z powodu którego klasyczna teoria nie była w stanie wyjaśnić mierzonego doświad-czalnie rozkładu energii w widmie promieniowania ciała doskonale czarnego. W roku 1900 Planck znalazł poprawne wyrażenie dla takiego rozkładu, zakładając, że pole o częstości ω może wymieniać energię z atomami tworzącymi ciało czarne tylko dyskretnymi porcjami, które są całkowitymi wie-lokrotnościami ~ω. Wyprowadzając swoją formułę Planck zakładał, że każdy mod promieniowania jest sprzężony z atomem, który był reprezentowany przez oscylator harmoniczny. Obliczał on ener-gię termiczną takiego atomowego oscylatora i przyrównywał ją do średniej energii odpowiedniego modu pola korzystając z termodynamicznej zasady ekwipartycji energii. Energia oscylatora według Plancka przyjmowała wartości
gdzie ω jest częstością fali świetlnej lub częstością emisji bądź absorpcji oscylatora atomowego sprzę-żonego z tą falą. Używamy tutaj współczesnej notacji z~ i ω zamiast używanej przez Plancka notacji ze stałą Plancka h i częstością ν (~ = h/2π, ω = 2πν). Planck przyjmował, że prawdopodobieństwo
Pn tego, że oscylator ma energię Wn jest identyczne z rozkładem Boltzmanna znanym z klasycznej
mechaniki statystycznej. Zgodnie z tym założeniem mamy
Pn= Z−1exp[−Wn/(kT )] , (1.35)
gdzie k jest stałą Boltzmanna (nie mylić z wektorem falowym), T —temperaturą w skali bezwzględ-nej, a Z jest sumą statystyczną. Z warunku normalizacji prawdopodobieństwa mamy
Z = ∞
X
n=0
exp[−Wn/(kT )] . (1.36)
Znając prawdopodobieństwa Pn możemy obliczyć średnią energię termiczną układu oscylatorów o
częstości ω będących w równowadze z termostatem o temperaturze T
W = ∞ X n=0 PnWn= P∞ n=0Wnexp(−βWn) P∞ n=0exp(−βWn) , (1.37)
gdzie dla skrócenia zapisu wprowadziliśmy oznaczenie
β = 1
(kT ). (1.38)
Łatwo zauważyć, że
W =− ∂
∂β ln(Z) . (1.39)
Po wstawieniu (1.34) do wyrażenia (1.36) na sumę statystyczną otrzymujemy prostą sumę szeregu geometrycznego, którą łatwo obliczyć
Z = [1− exp(−β~ω)]−1. (1.40)
Korzystając z (1.39) oraz (1.40) otrzymujemy dla średniej energii wyrażenie
W = ~ω
exp(β~ω) − 1. (1.41)
Znając średnią energię termiczną układu oscylatorów o częstości ω (wzór (1.41)) oraz liczbę modów d N (wzór (1.28)) możemy obliczyć energię promieniowania w przedziale częstości (ω, ω + d ω), na jednostkę objętości W (ω) d ω = d N W /V = ω 2d ω π2c3 ~ω exp(β~ω) − 1. (1.42)
Wzór (1.42) jest słynnym wzorem Plancka, zapisanym we współczesnej notacji, który doskonale opisuje mierzony eksperymentalnie rozkład gęstości energii w widmie promieniowania termicznego. Przykłady takiego rozkładu są zilustrowane na rysunku 1.3. Wyprowadzenie Plancka było oparte na założeniu, że światło ma naturę falową, ale oscylatory atomowe pochłaniają i emitują energię w sposób skwantowany. Obecnie możemy powiedzieć, że samo światło ma naturę kwantową i dyskretne wartości energii możemy przypisać modowi pola promieniowania.
W przypadku wysokich temperatur (kT ~ω) formuła Plancka przechodzi we wzór Rayleigha-Jeansa, który otrzymujemy ze wzoru Plancka rozwijając eksponens w szereg i zostawiając tylko człon liniowy ze względu na~ω/(kT ). W wyniku otrzymujemy
1.4 Einsteinowskie wyprowadzenie wzoru Plancka 7
0
1
2
3
4
0
2
4
6
8
10
W
(
ω
)
ω
[×10
15rad/s]
Rysunek 1.3. Rozkład Plancka W (ω) (w jednostkach względnych). Dla wyższych temperatur maksimum
przesuwa się w stronę wyższych częstości (temperatury od 6000 K do 10000 K co 1000 K)
W (ω)≈ ω
2
π2c3β . (1.43)
Wzór Rayleigha-Jeansa jest granicą klasyczną wzoru Plancka, którą otrzymujemy przy przejściu granicznym~ → 0.
Dla niskich temperatur (kT ~ω) eksponens jest znacznie większy od jedynki i jedynkę w mianow-niku możemy opuścić dochodząc do wyrażenia
W (ω)≈ ~ω
3
π2c3exp(−β~ω) . (1.44)
Wtedy kiedy β~ω ≈ 1, a więc kiedy energia kwantu ~ω jest porównywalna z energią termiczną kT , żadna z przybliżonych formuł nie opisuje dobrze rozkładu promieniowania i wtedy trzeba używać wzoru Plancka, który jest słuszny dla dowolnych energii. Planck wprowadzając dyskretne wartości energii i pokazując, że pomysł ten pozwala na objaśnienie obserwowanego rozkładu gęstości energii w widmie promieniowania ciała doskonale czarnego, zapoczątkował w istocie rozwój teorii kwantowej. Dzisiaj moglibyśmy powiedzieć, że prace Plancka to były pierwsze prace z optyki kwantowej.
1.4 Einsteinowskie wyprowadzenie wzoru Plancka
W 1917 r. Einstein wyprowadził wzór Plancka rozważając stan równowagi termodynamicznej układu atomów z promieniowaniem. W tym czasie była już znana kwantowa teoria Bohra z 1913 r., która mówiła, że wypromieniowanie przez atom kwantu~ω jest związane z przejściem kwantowym pomię-dzy dwoma dyskretnymi stanami energetycznymi atomu
~ω = W2− W1. (1.45)
Załóżmy, że N1atomów znajduje się w stanie o energii W1oraz N2atomów w stanie wzbudzonym o
energii W2. Zmiana energii promieniowania we wnęce może nastąpić w wyniku emisji lub absorpcji
promieniowania przez atomy. Na to aby otrzymać poprawne wyrażenie na wzór Plancka Einstein musiał przyjąć, że oprócz emisji spontanicznej, której szybkość nie zależy od gęstości promieniowa-nia we wnęce, istnieje inny rodzaj emisji — emisja wymuszona, której szybkość jest proporcjonalna do gęstości mocy promieniowania na częstości przejścia atomowego. Wszystkie trzy procesy: emisja
spontaniczna, emisja wymuszona i absorpcja są schematycznie przedstawione na rysunku 1.4. Po-szczególne szybkości przejść są następujące:
(a) emisja spontaniczna
d N d t em. sp. = N2A , (1.46) (b) emisja wymuszona d N d t em. wym. = N2B21W (ω) , (1.47) (c) absorpcja d N d t abs. = N1B12W (ω) . (1.48) |2i |1i |2i |1i |2i |1i
Rysunek 1.4. Trzy podstawowe procesy promieniowania: emisja spontaniczna, emisja wymuszona i
absorp-cja
W równowadze termodynamicznej liczba przejść 1→ 2 musi się równać liczbie przejść 2 → 1, czyli
N1B12W (ω) = N2B21W (ω) + N2A . (1.49)
Warunek (1.49) jest warunkiem koniecznym równowagi termodynamicznej, ale nie jest to warunek dostateczny takiej równowagi. Może on być spełniony także przez układy będące daleko od równo-wagi termodynamicznej. W równowadze termodynamicznej mamy dodatkowo
N1= const exp(−βW1) , N2= const exp(−βW2) . (1.50) Z warunku (1.49) otrzymujemy W (ω) = A B21 N1B12 N2B21 − 1 , (1.51)
zaś z warunku (1.50) wynika, że
N1
N2
= exp[−β(W1− W2)] , (1.52)
1.4 Einsteinowskie wyprowadzenie wzoru Plancka 9
N1
N2
= exp(β~ω) . (1.53)
Ponieważ przy T → ∞ gęstość energii W (ω) powinna również zmierzać do nieskończoności, zatem współczynniki związane z absorpcją i emisją wymuszoną powinny być sobie równe
B12= B21. (1.54)
Tak więc, z równania (1.51) przy uwzględnieniu (1.53) i (1.54), mamy
W (ω) =
A B
exp(β~ω) − 1. (1.55)
Dla małych częstości powinniśmy otrzymać prawo Rayleigha-Jeansa (1.43), co daje relację
W (ω)≈ 1 β~ω A B = ω2 π2c3β , (1.56)
a stąd możemy już wyznaczyć stosunek współczynników Einsteina dla emisji spontanicznej i absorp-cji (oraz emisji wymuszonej), otrzymując wynik
A B =
~ω3
π2c3. (1.57)
W ten sposób udało się Einsteinowi uzyskać poprawny wzór Plancka. Wzór ten możemy zapisać w postaci ułatwiającej interpretację fizyczną
W (ω) d ω =ω
2d ω
π2c3 ~ω
1
exp(β~ω) − 1, (1.58)
gdzie pierwszy czynnik oznacza liczbę modów w przedziale częstości d ω, drugi energię pojedynczego fotonu o częstości ω, zaś trzeci — średnią liczbę fotonów w modzie.
2
Atom w zewnętrznym polu — opis półklasyczny
2.1 Szybkość absorpcji
Współczynniki Einsteina A i B początkowo były traktowane jako wielkości fenomenologiczne, któ-rych wartości można było wyznaczyć eksperymentalnie. Dopiero mechanika kwantowa pozwoliła na obliczenie wartości tych współczynników z „pierwszych zasad”. Zajmiemy się najpierw obliczeniem współczynnika B dla absorpcji. Do obliczenia współczynnika B wystarczy teoria półklasyczna, w której tylko atom jest traktowany kwantowo a pole elektromagnetyczne jest w dalszym ciągu kla-syczne. Rozważmy zatem oddziaływanie atomu dwupoziomowego z klasycznym polem elektroma-gnetycznym. Aby znaleźć szybkość przejścia pomiędzy stanami atomu w wyniku oddziaływania z polem musimy rozwiązać równanie Schrödingera
i~∂|ψi
∂t = ˆH |ψi , (2.1)
gdzie hamiltonian układu
ˆ
H = ˆHA+ ˆV (2.2)
składa się z hamiltonianu atomowego ˆHA oraz hamiltonianu ˆV opisującego oddziaływanie atomu z polem, które traktujemy jako zaburzenie. Zakładamy, że znane są rozwiązania równania Schrödin-gera dla stanów atomu niezaburzonego
ˆ
HA|ji = Wj|ji , (j = 1, 2) . (2.3) Ponieważ zakładamy, że tylko dwa poziomy atomu mają istotne znaczenie dla naszych rozważań, rozwiązanie równania (2.1) może być w ogólności zapisane w postaci superpozycji tych dwóch stanów
|ψ(t)i = c1(t)|1i + c2(t)|2i , (2.4)
gdzie współczynniki c1(t) i c2(t) zależą od czasu. Jeśli wstawimy postać (2.4) rozwiązania do
wyj-ściowego równania Schrödingera (2.1), to otrzymamy równanie
i~d c1
d t |1i + i~ d c2
d t |2i = c1(W1+ ˆV) |1i + c2(W2+ ˆV) |2i . (2.5) Korzystając z ortogonalności stanów atomowych
hi|ji = δij (2.6) otrzymujemy i~d dtc1(t) = (W1+V11) c1(t) +V12c2(t) , i~d dtc2(t) = (W2+V22) c2(t) +V21c1(t) , (2.7)
gdzie
Vij =hi| ˆV |ji , (i, j = 1, 2) (2.8) są elementami macierzowymi hamiltonianu oddziaływania.
Hamiltonian ˆV opisujący oddziaływanie atomu z polem przyjmiemy tutaj, w przybliżeniu dipolowym elektrycznym, w postaci
ˆ
V = −eˆr · E(R, t) , (2.9)
gdzie ˆr jest operatorem położenia elektronu w atomie, zaś R określa położenie środka masy atomu
(jądra). W przypadku wzbudzenia atomu polem monochromatycznym o częstości ω hamiltonian oddziaływania (2.9) ma postać
ˆ
V = − ˆµ · E0(R) exp(−iωt) + h.c. (2.10)
gdzie ˆµ = e ˆr jest operatorem momentu dipolowego atomu, zaś h.c. oznacza wyrażenie sprzężone
po hermitowsku do poprzedniego (ang. Hermitian conjugate). Ponieważ w tym przybliżeniu pole nie zależy od zmiennych przestrzennych r opisujących położenie elektronu, a tylko od zmiennych R opisujących położenie jądra, elementy macierzowe operatora oddziaływania (2.8) można zapisać w postaci
V12=−µ12· E0(R) exp(−iωt) + c.c. (2.11)
gdzie µ12 jest elementem macierzowym momentu dipolowego opisującym przejście dipolowe
elek-tryczne pomiędzy stanami|1i i |2i atomu, a c.c. oznacza wyrażenie zespolone sprzężone do poprzed-niego (ang. complex conjugate). Dla atomów, które mają symetrię sferyczną, diagonalne elementy operatora momentu dipolowego są równe zeru (atom nie ma trwałego momentu dipolowego), a więc
V11=V22= 0 . (2.12)
Po uwzględnieniu warunku (2.12) równania (2.7) opisujące ewolucję atomu oddziałującego z polem nieco się upraszczają. Dodatkowo wprowadzamy wolnozmienne współczynniki C1(t) i C2(t)
wyłą-czając z c1(t) i c2(t) swobodną ewolucję
c1(t) = exp −~iW1t C1(t) , c2(t) = exp −~iW2t C2(t) . (2.13)
W rezultacie otrzymujemy dla wolnozmiennych amplitud C1(t) i C2(t) następujące równania ruchu
i~d dtC1(t) = exp(−iω21t)V12C2(t) , i~d dtC2(t) = exp(iω21t)V21C1(t) , (2.14) gdzie ω21= 1 ~(W2− W1) (2.15)
jest częstością przejścia atomowego.
Naszym celem obecnie jest obliczenie współczynnika Einsteina B, który opisuje absorpcję (i emisję wymuszoną) światła przez atom znajdujący się w polu elektromagnetycznym o szerokim widmie, jakim jest na przykład światło termiczne. Dla pola monochromatycznego oddziaływanie atomu z polem jest opisywane hamiltonianem (2.10). Światło pochodzące od zwykłej żarówki lub innego źródła termicznego nie jest jednak monochromatyczne. Światło takie ma szeroki rozkład spektralny
2.1 Szybkość absorpcji 13
i pole z nim związane jest reprezentowane przez sumę wkładów od fal o różnych częstościach. W naszych obliczeniach musimy to uwzględnić. Przyjmiemy ponadto, dla prostoty, że początek układu współrzędnych jest związany ze środkiem masy atomu (R = 0). Mamy wtedy
E(R, t) = E(t) = X
ωk>0
Ekexp[i(ϕk− ωkt)] + c.c. , (2.16)
gdzie ϕk jest początkową fazą pola o częstości ωk, a sumowanie przebiega po wszystkich częstościach
reprezentowanych w widmie. Pole od źródeł termicznych jest chaotyczne1, co tutaj będzie oznaczało,
że fazy początkowe pola ϕk są przypadkowe (rozłożone równomiernie w przedziale (0, 2π)).
Wstawiając wyrażenie (2.16) do (2.11) otrzymujemy dla elementów macierzowych hamiltonianu oddziaływania wzór V12=−µ12· X ωk>0 Ekexp(iϕk− iωkt) + c.c. ! . (2.17)
W wyrażeniu (2.17) występuje jawna zależność od czasu. Po wstawieniu (2.17) do (2.14) otrzymu-jemy zmodyfikowane równania dla amplitud C1(t) oraz C2(t) opisujących ewolucję układu. Równania
te będziemy rozwiązywali metodą perturbacyjną. Założymy, że na początku atom znajduje się w stanie podstawowym|1i (liczymy przecież współczynnik absorpcji), a więc warunki początkowe są określone przez równania
C1(0) = 1, C2(0) = 0 . (2.18)
Po wstawieniu wartości (2.18) do prawych stron równań (2.14) i scałkowaniu drugiego z tych równań względem czasu, dochodzimy do równania opisującego ewolucję amplitudy górnego stanu atomowego
C2(t) =− i ~ Z t 0 exp(iω21τ )V21(τ ) d τ = i ~µ21· X ωk>0 {Ekexp(iϕk)S(ω21− ωk) (2.19) + Ekexp(−iϕk)S(ω21+ ωk)} ,
gdzie przez S(ω) oznaczyliśmy funkcję
S(ω) = exp(iωt)− 1
iω . (2.20)
W dalszych obliczeniach zastosujemy przybliżenie polegające na pominięciu wyrazów z S(ω21+ ωk)
w (2.19), ze względu na ich nierezonansowy charakter2. Po odrzuceniu wyrazów nierezonansowych, prawdopodobieństwo obsadzenia górnego poziomu atomowego przyjmuje postać
|C2(t)|2= 1 ~2 X ωk,ωk0 (Ek· µ21)(Ek0 · µ21)∗S(ω21− ωk)S∗(ω21− ωk0) × exp(iϕk− iϕk0) . (2.21)
W tym miejscu skorzystamy z założenia o przypadkowości faz pola, które pozwala nam uśrednić wyrażenie (2.21) po fazach przyjmując, że fazy te mają rozkład równomierny w przedziale (0, 2π), co oznacza, że
exp(iϕk− iϕk0) = δkk0, (2.22)
gdzie δkk0 jest symbolem Kroneckera.
1
Bardziej precyzyjne określenie tego terminu podamy w dalszej części wykładu
2
Przybliżenie takie jest powszechnie stosowane w optyce i nosi ono nazwę przybliżenia wirującej fali. Sens tego terminu wyjaśnimy później.
Zadanie 2.1. Pokaż bezpośrednim całkowaniem prawdziwość równania (2.22).
W wyniku takiego uśrednienia otrzymujemy dla prawdopodobieństwa obsadzenia górnego poziomu atomowego wyrażenie |C2(t)|2= 1 ~2 X ωk |ek· µ21|2|Ek|2|S(ω21− ωk)|2, (2.23)
gdzie z wektorowej amplitudy pola wydzieliliśmy w sposób jawny wektor jednostkowy określający polaryzację pola oraz skalarną wartość amplitudy pola
Ek= ekEk. (2.24)
Zgodnie z definicją (2.20) mamy
|S(ω)|2= sin 2(ωt/2)
(ω/2)2 = t
2sinc2(ωt/2) , (2.25)
gdzie funkcja sinc(x) jest zdefiniowana relacją
sinc(x) = sin(x)/x . (2.26)
Funkcja sinc2(ωt/2) jest zilustrowana na rysunku2.1. Ma ona wyraźne maksimum, równe jeden, dla
0
0.5
1
6π
4π
2π
0
−2π
−4π
−6π
si
n
c
2(ω
t/
2)
ωt
Rysunek 2.1. Zależność funkcji sinc2(ωt/2) od ωt
ωt = 0, jest równa zeru dla ωt będących całkowitymi wielokrotnościami 2π oraz wykazuje malejące
lokalne maksima gdy ωt rośnie. Tak więc największy wkład do prawdopodobieństwa (2.23) będą dawały składniki sumy z częstościami ωk bliskimi częstości przejścia atomowego ω21. Przy ścisłym
rezonansie, ω21 = ωk, prawdopodobieństwo tego, że atom znajdzie się w stanie wzbudzonym |2i
byłoby proporcjonalne do t2, co byłoby niezgodne z obserwacjami doświadczalnymi. W tym miejscu
musimy uwzględnić fakt, że pole wzbudzające atom jest reprezentowane przez szerokie widmo czę-stości. Kwadrat amplitudy pola występujący w (2.23) jest związany z gęstością energii W (ω) relacją (porównaj (1.33))
2.1 Szybkość absorpcji 15
Korzystając z równości (2.27) możemy|Ek|2w równaniu (2.23) zastąpić przez gęstość energii W (ω)
i jednocześnie zastąpić sumowanie po dyskretnych ωk całkowaniem po zmieniających się w sposób
ciągły częstościach. Mamy zatem do obliczenia
|C2(t)|2= 1 20~2|ek· µ 21|2 Z W (ωk)4 sin 2[(ω 21− ωk)t/2] (ω21− ωk)2 d ωk. (2.28)
Jeżeli widmo promieniowania jest szerokie, tzn. W (ω) zmienia się nieznacznie w obszarze wąskiego maksimum funkcji|S(ω)|2, to możemy przyjąć dla W (ω
k) wartość w tymże maksimum, czyli W (ω21),
i wyłączyć ją, jako stałą, przed znak całki. Ponadto, możemy dokonać zamiany ω21− ωk → ω i
rozciągnąć całkowanie po zmiennej ω od minus do plus nieskończoności. Prowadzi to do wyniku
|C2(t)|2=
1
20~2|ek· µ
21|2W (ω21) 2πt , (2.29)
w którym uwzględniliśmy fakt, że Z ∞
−∞
sin2(ωt/2)
(ω/2)2 d ω = 2πt . (2.30)
Wynik (2.29) mówi nam, że prawdopodobieństwo obsadzenia górnego poziomu rośnie liniowo z cza-sem, a to oznacza, że szybkość absorpcji, określona pochodną względem czasu z tego prawdopodo-bieństwa, jest wielkością stałą, niezależną od czasu. Jest to wynik zgodny z tym co dają obserwacje doświadczalne i pozwala nam znaleźć poszukiwany współczynnik B Einsteina, określający szybkość absorpcji. Należy jednak mieć na uwadze fakt, że wzór (2.29) przestaje obowiązywać dla bardzo długich czasów t, dla których prawdopodobieństwo obsadzenia górnego poziomu przekroczyłoby je-dynkę gwałcąc tym samym unormowanie funkcji falowej (2.4). Przy założeniu, że przyjęte przez nas założenia są słuszne, otrzymujemy na szybkość absorpcji wzór
d dt|C2(t)|
2= π
0~2|ek· µ
21|2W (ω21) . (2.31)
Porównując (2.31) z (1.48) (dla N1= 1) identyfikujemy natychmiast wyrażenie dla poszukiwanego
współczynnika absorpcji B
B = π 0~2
|ek· µ21|2. (2.32)
Należy jednak pamiętać, że powyższe obliczenia były przeprowadzone dla jednego atomu. Jeśli mamy do czynienia z gazem składającym się z wielu atomów, to każdy z atomów gazu będzie z prawdo-podobieństwem|C1|2 znajdować się w swoim dolnym stanie, a z prawdopodobieństwem|C2|2 — w
swoim górnym stanie. Zatem średnia liczba atomów znajdujących się w tych dwóch stanach będzie równa
N1= N|C1|2 oraz N2= N|C2|2, (2.33)
gdzie N jest całkowitą liczbą atomów. W gazie przestrzenne orientacje stanów elektronowych ato-mów zmieniają się od atomu do atomu w sposób przypadkowy, tak więc kąt pomiędzy wektorem polaryzacji ˆe oraz momentem dipolowym przejścia atomowego µ21 zmienia się od atomu do atomu.
Aby zatem otrzymać wyrażenie dla współczynnika absorpcji dla gazu należy wykonać średniowanie po wszystkich możliwych orientacjach momentu dipolowego przejścia. W praktyce takie średniowa-nie jest równoważne obliczeniu średśredniowa-niej izotropowej z kwadratu kosinusa kąta θ pomiędzy wektorami
ˆ
e i µ21. Taka średnia jest równa
cos2θ = 1
3. (2.34)
Daje to w wyniku następujące wyrażenie dla współczynnika B dla gazu
B = π|µ21|
2
30~2
Zadanie 2.2. Policz średnią z równania (2.34).
W ten sposób obliczyliśmy, stosując podejście półklasyczne, współczynnik Einsteina dla absorpcji. Postępując w analogiczny sposób, przy założeniu, że atom początkowo znajduje się w górnym stanie, otrzymalibyśmy identyczny wynik dla emisji wymuszonej. W podejściu półklasycznym, kiedy pole jest równe zeru (W (ω) = 0), hamiltonian oddziaływania (2.9) jest równy zeru i żadnych przejść w atomie nie otrzymamy. Nie możemy zatem w takim podejściu obliczyć współczynnika A dla emisji spontanicznej. Na tym etapie współczynnik dla emisji spontanicznej możemy znaleźć korzystając z relacji (1.57) wynikającej z prawa Plancka. Daje to wynik
A = ω 3 21|µ21|2 3π0~c3 = 1 4π0 4ω213 |µ21|2 3~c3 . (2.36)
Ostatnia równość pozwala na łatwe przejście z układu SI do układu CGS przez opuszczenie czynnika 1/(4π0).
Obliczenie współczynnika A w sposób bezpośredni wymaga kwantowego potraktowania nie tylko atomu ale i pola. Będzie to przedmiotem naszych rozważań w dalszej części wykładu.
2.2 Przejścia wielofotonowe
W rozdziale 2.1obliczaliśmy szybkość z jaką atom absorbuje energię z pola elektromagnetycznego przyjmując, że pole ma wprawdzie szerokie widmo częstości, ale takie, w którym reprezentowane są głównie częstości zbliżone do częstości przejścia atomowego (W (ω21)6= 0). Przyjmowaliśmy wtedy,
że atom ma tylko dwa poziomy i jak się okazało w trakcie obliczeń, istotne wkłady do prawdopodo-bieństwa wzbudzenia atomu pochodziły od pola o częstościach ωk ≈ ω21. Inaczej mówiąc, mieliśmy
do czynienia z rezonansem jednofotonowym, czyli energia jednego fotonu wystarczała do tego aby atom znalazł się w stanie wzbudzonym.
Możemy jednak mieć do czynienia z sytuacją, kiedy suma energii dwóch lub więcej fotonów jest równa energii przejścia atomowego. Mamy wtedy do czynienia z rezonansem dwu lub więcej fotono-wym. Zajmiemy się teraz właśnie takim przypadkiem. Obliczymy mianowicie prawdopodobieństwo absorpcji dwufotonowej. Przyjmijmy, że mamy do czynienia z sytuacją zilustrowaną schematycznie na rysunku2.2. Pole padające na atom ma częstość ω taką, że
2ω = ω31= (W3− W1)/~, (2.37)
przy czym zakładamy, że nie ma rezonansu jednofotonowego, tzn.
ω6= ωmn, m, n = 1, 2, 3 . (2.38) Inaczej mówiąc, przyjmujemy, że w widmie światła wzbudzającego nie ma częstości, które byłyby w rezonansie jednofotonowym z którymś z przejść atomowych.
Załóżmy, że w chwili początkowej t0= 0 atom znajduje się w stanie|1i i chcemy znać
prawdopodo-bieństwo obsadzenia stanu|3i w późniejszej chwili czasu t. Będziemy przy tym zakładali, że nie ma bezpośredniego przejścia|1i ↔ |3i, a więc stan |3i może być obsadzony wyłącznie w wyniku przejść dwufotonowych. Hamiltonian oddziaływania atomu z polem ma taką samą postać jak poprzednio, (2.9)–(2.10). Jak poprzednio też, musimy rozwiązać równanie Schrödingera (2.1), tym razem jed-nak nie ograniczamy się do dwóch tylko poziomów atomowych. Stan układu postulujemy w postaci superpozycji stanów atomowych
|ψ(t)i =X n
Cn(t) exp(−iωnt)|ni . (2.39)
Postępując analogicznie jak w rozdziale (2.1) otrzymujemy następujący układ równań dla amplitud
Cn(t) i~d dtCm(t) = X n exp(iωmnt)Vmn(t) Cn(t) , (2.40)
2.2 Przejścia wielofotonowe 17
|1i
|1i
|3i
|2i
|3i
|2i
2¯
hω
Rysunek 2.2. Absorpcja dwufotonowa
gdzie ωmn= (Wm− Wn)/~, zaś Vmn(t) są elementami macierzowymi hamiltonianu oddziaływania.
Ponieważ zakładamy, że w chwili początkowej atom znajduje się w stanie|1i, to mamy następujące warunki początkowe
Cn(0) = δn,1. (2.41)
Układ równań (2.40) ponownie rozwiązujemy metodą kolejnych przybliżeń, co daje następujący wzór rekurencyjny dla obliczania amplitud Cm(t)
Cm(l+1)(t) = Cm(0)− i ~ X n Z t 0 exp(iωmnτ )Vmn(τ ) Cn(l)(τ ) d τ , (2.42)
przy czym elementy macierzowe Vmn(τ ) zależą od czasu poprzez pole zależne od czasu (patrz
rów-nanie (2.10)).
Obliczmy amplitudy Cm(t) z dokładnością do drugiego rzędu. Cm(2)= Cm(0)− i ~ X n Z t 0 ˜ Vmn(τ ) d τ Cn(0) + −~i 2X n,k Z t 0 ˜ Vmn(τ1) Z τ1 0 ˜ Vnk(τ2) d τ2d τ1C (0) k , (2.43)
gdzie dla skrócenia zapisu oznaczyliśmy ˜
Vmn(τ ) = exp(iωmnτ )Vmn(τ ) . (2.44)
Zgodnie z (2.8) i (2.10) mamy
Vmn(t) =−µmn· E0exp(−iωt) + c.c. (2.45)
Zakładamy ponadto, że elementy diagonalne momentu dipolowego są równe zeru oraz że równe zeru są elementy macierzowe przejścia dipolowego pomiędzy stanami |1i i |3i (jednofotonowe przejście pomiędzy stanami|1i i |3i jest zabronione)
V11=V22=V33= 0 ,
V13=V31= 0 , (2.46)
natomiast różne od zera są elementy macierzowe V12, V21, V23 i V32. Obliczmy przy takich
za-łożeniach amplitudę obsadzenia stanu |3i. Ponieważ C3(0) = C2(0) = 0, C1(0) = 1, to z (2.43) otrzymujemy C3(2)= −~i 2Z t 0 ˜V32(τ1) Z τ1 0 ˜V21(τ2) dτ2 dτ1 (2.47) i jest to jedyny niezerowy wkład do amplitudy stanu|3i. Uwzględniając (2.44) otrzymujemy
C3(2)(t) = −~i 2 (−µ32· E0) Z t 0 {exp[i(ω32− ω)τ1] + exp[i(ω32+ ω)τ1} × (−µ21· E0) Z τ1 0 {exp[i(ω21− ω)τ2] + exp[i(ω21+ ω)τ2]} dτ2 dτ1 =−1 ~2(−µ32· E0)(−µ21· E0) Z t 0 {exp[i(ω32− ω)τ1] + exp[i(ω32+ ω)τ1]} × exp[i(ω21− ω)τ1]− 1 i(ω21− ω) +exp[i(ω21+ ω)τ1]− 1 i(ω21+ ω) dτ1 =−1 ~2(−µ32· E0)(−µ21· E0) exp[i(ω32+ ω21− 2ω)t] − 1 i(ω32+ ω21− 2ω)i(ω21− ω) + . . . , (2.48)
gdzie kropki (. . . ) oznaczają człony nierezonansowe, które nie dają istotnego wkładu do amplitudy przejścia. Ponieważ ω32+ ω21≈ 2ω, z założenia o rezonansie dwufotonowym, to wyraz, który
zosta-wiliśmy w (2.48) ma charakter rezonansowy. Oznacza to, że istotny wkład do amplitudy przejścia dają pola, których częstości spełniają warunek ω≈ ω31/2. Biorąc pod uwagę fakt, że
lim
x→0
exp(ixt)− 1
ix = t (2.49)
otrzymujemy w przypadku dokładnego rezonansu wynik
C3(2)=−1 ~2
(−µ32· E0)(−µ21· E0)
i(ω21− ω)
t . (2.50)
Oznacza to, że w przypadku dokładnego rezonansu prawdopodobieństwo obsadzenia stanu |3i jest proporcjonalne do t2. Tak jest jednak tylko wtedy kiedy atom wzbudzamy polem
monochromatycz-nym. Jeśli pole wzbudzające nie jest monochromatyczne to możemy postąpić analogicznie jak w rozdziale (2.1) wykonując sumowanie po modach z przypadkowymi fazami i w rezultacie dochodząc do następującego wyrażenia dla średniego prawdopodobieństwa obsadzenia stanu|3i
|C(2) 3 (t)|2= 1 20~2 2 4|ek· µ32| 2|ek· µ 21|2 (ω32− ω21)2 W2(ω31/2) 2πt . (2.51)
Otrzymaliśmy więc, podobnie jak dla rezonansu jednofotonowego, wyrażenie dla średniej wartości prawdopodobieństwa obsadzenia stanu|3i, które jest proporcjonalne do czasu t, a zatem szybkość takiego procesu nie zależy od czasu. Proces taki nazywa się absorpcją dwufotonową, i jak widać z (2.51), jego szybkość jest proporcjonalna do kwadratu gęstości promieniowania W (ω31/2) na
czę-stości ω31/2. Tak więc prawdopodobieństwo tego procesu jest tym większe im większe jest natężenie
pola wzbudzającego o częstościach leżących w pobliżu połowy częstości przejścia pomiędzy stanami
|1i i |3i. Ponadto, jest to proces, który zależy nieliniowo od intensywności pola wzbudzającego.
Niezerowy wkład uzyskaliśmy dopiero w drugim rzędzie rachunku zaburzeń. Procesy, których praw-dopodobieństwo zależy w sposób nieliniowy od intensywności pola wzbudzającego są przedmiotem
2.3 Oscylacje Rabiego 19
badań optyki nieliniowej. Ich eksperymentalne badania stały się możliwe dopiero po odkryciu lase-rów, które dostarczyły odpowiednio intensywnych wiązek światła umożliwiających zaobserwowanie takich procesów.
Proces absorpcji dwufotonowej, którego prawdopodobieństwo obliczyliśmy, może być interpretowany w następujący sposób: jeden foton o częstości ω powoduje przejście do stanu |2i, a następny foton powoduje przejście ze stanu|2i do stanu |3i. Przy przejściach |1i → |2i i |2i → |3i energia nie jest zachowana, a tylko zachowana jest sumaryczna energia przy przejściu dwufotonowym, tzn. ω31= 2ω.
O przejściach, które zachodzą bez zachowania energii mówimy, że są to przejścia wirtualne. Ponieważ stan pośredni|2i nie jest stanem rezonansowym i może on leżeć zarówno pomiędzy stanami |1i i |3i jak i powyżej stanu |3i, jak to zilustrowaliśmy na rysunku 4.1, to dla realnego atomu nie możemy ograniczać się do uwzględnienia tylko jednego stanu pośredniego|2i, jak to dla prostoty zrobiliśmy w powyższych obliczeniach. Dla realnych atomów musimy uwzględnić wszystkie stany nierezonansowe dające wkład do absorpcji dwufotonowej. W równaniu (2.50) powinniśmy zatem wykonać sumo-wanie po wszystkich możliwych stanach pośrednich. Sumosumo-wanie takie jest w istocie nieskończonym sumowaniem i trudno je wykonać w sposób bezpośredni. Trzeba więc w obliczeniach stosować przy-bliżenia. Wartość szybkości absorpcji dwufotonowej można także wyznaczyć doświadczalnie, przy czym istotną cechą tego procesu jest jego zależność od kwadratu intensywności pola wzbudzają-cego. Powyższy przykład absorpcji dwufotonowej jest tylko przykładem jednego z wielu procesów nieliniowych obserwowanych kiedy silna wiązka światła odziałuje z ośrodkiem materialnym.
2.3 Oscylacje Rabiego
Przy obliczaniu prawdopodobieństwa absorpcji zakładaliśmy, że pole wzbudzające atom ma szerokie widmo, i tak jest w rzeczywistości, jeśli światło pochodzi ze źródeł termicznych. Jednak od czasu zbudowania laserów dysponujemy źródłami światła niemal monochromatycznego. Zastanówmy się, jak zachowuje się atom oświetlany takim właśnie światłem. Rozważmy zatem oddziaływanie atomu dwupoziomowego z rezonansowym, monochromatycznym polem laserowym o częstości ωL.
Zakła-damy, że pole jest klasyczne, i że hamiltonian oddziaływania atomu z polem możemy zapisać w przybliżeniu dipolowym elektrycznym w postaci (porównaj (2.10))
ˆ
V(t) = − ˆµ · E0exp(iωLt) + h.c. . (2.52)
Jak poprzednio zakładamy, że elementy diagonalne hamiltonianu oddziaływania są równe zeru (V11 = V22 = 0). W przypadku atomu dwupoziomowego otrzymaliśmy już poprzednio układ
równań dla wolnozmiennych amplitud C1(t) i C2(t) stanu podstawowego oraz stanu wzbudzonego
atomu dany równaniami (2.14). Następnie jednak, przy wyprowadzaniu wyrażenia na szybkość ab-sorpcji zakładaliśmy, że pole wzbudzające ma szeroki rozkład widmowy i wykonywaliśmy sumowanie po wielu modach z przypadkowymi fazami. Teraz zajmiemy się przypadkiem, kiedy pole wzbudza-jące jest kwazimonochromatyczne, tzn., że pole to ma wąski rozkład widmowy (wąską linię), węższy niż szerokość naturalna poziomu wzbudzonego atomu (szerokością naturalną poziomu atomowego nazywamy odwrotność współczynnika emisji spontanicznej dla tego poziomu). Pola o tak wąskiej linii spektralnej można obecnie bez trudu uzyskać stosując lasery. Jak zobaczymy, zachowanie się atomu w takim polu różni się diametralnie od zachowania, które opisywaliśmy poprzednio. Napiszmy jeszcze raz równania (2.14)
i~d
dtC1(t) = exp(−iω21t)V12(t) C2(t) ,
i~d
dtC2(t) = exp(iω21t)V21(t) C1(t) , (2.53) gdzie ω21 jest częstością przejścia atomowego. Jeśli ograniczamy się do układu dwupoziomowego,
to równania (2.53) są ścisłe. Wstawiając do (2.53) elementy macierzowe hamiltonianu oddziaływa-nia (2.52) otrzymujemy
˙ C1(t) =− i ~{(−µ12· E0) exp[i(ωL− ω21)t] + (−µ12· E0∗) exp[−i(ωL+ ω21)t]} C2(t) , ˙ C2(t) =− i ~{(−µ21· E0) exp[i(ωL+ ω21)t] + (−µ21· E0∗) exp[−i(ωL− ω21)t]} C1(t) , (2.54)
gdzie kropki oznaczają pochodną względem czasu.
Wyrazy z częstością ωL + ω21 oscylują znacznie szybciej niż wyrazy z częstością ωL− ω21 ≈ 0,
a więc można oczekiwać, że ich wkład do wolnozmiennych współczynników C1(t) i C2(t) będzie
znikomy, ponieważ w czasie, w którym następują istotne zmiany tych współczynników, eksponensy zdążą wykonać wiele oscylacji dając tyle samo wkładów dodatnich co i ujemnych. Z tego względu możemy te szybko oscylujące wyrazy odrzucić w dalszych obliczeniach. Jest to przybliżenie wirującej
fali (angielski termin: rotating wave approximation). Przybliżenie to jest powszechnie stosowane w
optyce. Jest ono słuszne w pobliżu rezonansu i często też nazywa się je przybliżeniem rezonansowym. W przybliżeniu wirującej fali równania (2.54) mają więc postać
˙ C1(t) =− i ~(−µ12· E0) exp[i(ωL− ω21)t] C2(t) , ˙ C2(t) =− i ~(−µ12· E0)∗exp[−i(ωL− ω21)t] C1(t) , (2.55)
gdzie skorzystaliśmy z relacji µ21 = µ∗12. Różniczkując drugie z równań (2.55) względem czasu i
wstawiając z (2.55) wyrażenia dla ˙C1(t) oraz ˙C2(t) otrzymujemy równanie różniczkowe drugiego
rzędu dla C2(t) w postaci
¨
C2(t) + i(ωL− ω21) ˙C2(t) +|µ
12· E0|2
~2 C2(t) = 0 . (2.56)
Rozwiązanie równania (2.56) ma postać
C2(t) = C+exp(iω+t) + C−exp(iω−t) , (2.57)
gdzie częstości ω+ i ω− są pierwiastkami równania charakterystycznego i mają postać
ω± =1 2 ( −(ωL− ω21)± r (ωL− ω21)2+|2µ 12· E0|2 ~2 ) , (2.58)
zaś amplitudy C+ oraz C− obliczamy z warunków początkowych
C1(0) = 1, C2(0) = 0 (2.59) i są one równe C± =∓ (−µ12· E0) ∗/~ p (ωL− ω21)2+|2µ12· E0|2/~2 . (2.60)
Zadanie 2.3. Wyprowadź wzory (2.58) i (2.60). Jeśli wprowadzimy następujące oznaczenia
∆ = ω21− ωL, ΩR= r ∆2+|2µ12· E0| 2 ~2 , (2.61)
gdzie ∆ jest odstrojeniem od rezonansu, zaś ΩR jest częstością Rabiego, to rozwiązania dla C1(t) i
2.4 Spin w polu magnetycznym 21 C2(t) =−i 2(−µ12· E0)∗ ~ΩR exp i∆t 2 sin ΩRt 2 , C1(t) = exp −i∆t 2 cos ΩRt 2 + i ∆ ΩR sin ΩRt 2 . (2.62)
Z równań (2.62) łatwo znajdujemy prawdopodobieństwo obsadzenia stanu wzbudzonego atomu
P2(t) =|C2(t)|2= 2(−µ12· E0) ~ΩR 2sin2 ΩRt 2 = 1 2 1− ∆ 2 Ω2 R {1 − cos(ΩRt)} . (2.63) Prawdopodobieństwo obsadzenia stanu podstawowego jest równe
P1(t) =|C1(t)|2= 1− P2(t) = 1 2 1 + ∆ 2 Ω2 R + 1− ∆ 2 Ω2 R cos(ΩRt) . (2.64)
Z równań (2.63) i (2.64) widać, że prawdopodobieństwa obsadzeń stanów atomowych oscylują z częstością Rabiego ΩR, i że dla ∆ = 0 prawdopodobieństwo obsadzenia stanu wzbudzonego może
osiągnąć wartość 1, co oznacza, że z częstością Rabiego atom przechodzi ze swego dolnego poziomu do górnego i z powrotem. Jeśli rezonans nie jest pełny (∆6= 0), to obsadzenie górnego poziomu nie może być pełne. Przy dużych wartościach odstrojenia od rezonansu obsadzenie górnego poziomu jest niewielkie. Należy jednak pamiętać, że rozwiązania (2.63) i (2.64) zostały wyprowadzone przy założeniu, że słuszne jest przybliżenie wirującej fali, a więc rozwiązania te są słuszne tylko dla wartości odstrojenia od rezonansu ∆ znacznie mniejszych od częstości przejścia atomowego ω21.
Przy wzbudzaniu atomu światłem termicznym o szerokim rozkładzie widmowym mamy zawsze do czynienia z sytuacją, że ΩR A, tzn. częstość Rabiego dla takiego światła jest znacznie mniejsza
od współczynnika Einsteina A dla emisji spontanicznej. Tak więc przy wzbudzeniu atomu światłem termicznym nie można zaobserwować oscylacji Rabiego, ponieważ atom w czasie krótszym niż okres oscylacji Rabiego straci swoją energię w wyniku emisji spontanicznej. Dla światła laserowego można jednak bez trudu osiągnąć sytuację ΩR> A i oscylacje Rabiego powinny się ujawnić. Warto tutaj
zwrócić uwagę na fakt, że w przypadku pełnego rezonansu, rezonansowa częstość Rabiego wyraża się wzorem
ΩR=|2µ12· E0|
~ , (∆ = 0), (2.65)
i jest proporcjonalna do elementu macierzowego µ12przejścia atomowego oraz do amplitudy pola E0
(pamiętamy o przyjętej tutaj konwencji co do normowania E0). Możemy zatem zwiększyć częstość
Rabiego zwiększając amplitudę pola wzbudzającego. W dalszej części wykładu przedyskutujemy niektóre zjawiska związane z oddziaływaniem silnego pola z układem dwupoziomowym, w których ujawniają się oscylacje Rabiego.
2.4 Spin w polu magnetycznym
Rozwiązania dla atomu dwupoziomowego w rezonansowym polu elektrycznym fali świetlnej otrzy-mane w rozdziale (2.3) są analogiczne do rozwiązań dla spinu połówkowego znajdującego się w polu magnetycznym. Wiele efektów obserwowanych w zakresie optycznym ma swoje odpowiedniki w dziedzinie radiospektroskopii, gdzie obserwowano je wcześniej badając oddziaływanie momentu magnetycznego związanego ze spinem z polem magnetycznym. Chcemy teraz nieco przybliżyć tę ana-logię. Wiadomo, że spin połówkowy ma tylko dwie wartości +12~ i −12~, co w mechanice kwantowej zapisujemy w postaci ˆ sz|↑i = 1 2~ |↑i , ˆ sz|↓i = −1 2~ |↓i , (2.66)
gdzie ˆsz jest składową operatora spinu, zaś|↑i oraz |↓i są spinowymi funkcjami falowymi dla spinu
„w górę” oraz spinu „w dół”. W postaci macierzowej operator składowej z spinu możemy zapisać następująco ˆ sz=~ 2 1 0 0−1 = ~ 2σzˆ , (2.67)
zaś spinowe funkcje falowe w postaci macierzowej jako
|↑i = 1 0 , |↓i = 0 1 . (2.68)
Pozostałe składowe operatora spinu mają następujące przedstawienie macierzowe ˆ sx= 1 2~ 0 1 1 0 = ~ 2σxˆ , ˆ sy= 1 2~ 0−i i 0 =~ 2ˆσy, (2.69)
gdzie ˆσx, ˆσy, ˆσz są macierzami (operatorami) Pauliego. Związany ze spinem moment magnetyczny jest proporcjonalny do spinu i wyraża się wzorem
ˆ
m = e
ms .ˆ (2.70)
Energia spinu w jednorodnym polu magnetycznym o indukcji B jest, zgodnie z elektrodynamiką, dana wzorem
ˆ
V = − ˆm· B . (2.71)
Jeśli (2.71) potraktujemy jako operator, to możemy napisać następujące zagadnienie własne dla spinu w polu magnetycznym
− e
msˆ· B|ψi = W |ψi , (2.72)
gdzie stan|ψi jest w ogólności superpozycją stanów |↑i i |↓i
|ψi = a |↑i + b |↓i ≡
a b
. (2.73)
Dla pola magnetycznego skierowanego wzdłuż osi z mamy
B = (0, 0, Bz) (2.74)
i wtedy funkcje (2.68) są funkcjami własnymi hamiltonianu (2.71) z wartościami własnymi
W =±e~
2mBz. (2.75)
Ewolucja spinu w polu magnetycznym opisywana jest zależnym od czasu równaniem Schrödingera
i~d
dt|ψi = −
e
msˆ· B|ψi , (2.76)
którego musimy używać wtedy kiedy pole magnetyczne zależy od czasu.
Zjawiska takie jak elektronowy rezonans paramagnetyczny czy jądrowy rezonans magnetyczny po-legają na umieszczeniu układu spinów w polu magnetycznym będącym kombinacją pola stałego oraz prostopadłego do niego pola zmiennego w czasie i pomiarze reakcji układu na zmienne pole magnetyczne. Załóżmy, że spin znajduje się w polu magnetycznym o indukcji
2.4 Spin w polu magnetycznym 23
B0+ B(t) , (2.77)
gdzie
B0= (0, 0, Bz0), B(t) = (Bx(t), By(t), 0) . (2.78)
Rozwiązanie równania Schrödingera (2.76) ma wtedy postać
|ψ(t)i = c1(t)|↑i + c2(t)|↓i ≡
c1(t)
c2(t)
, (2.79)
ze współczynnikami c1(t) i c2(t), które musimy wyznaczyć. Wstawiając (2.79) do (2.76) i wykonując
mnożenia macierzowe otrzymujemy następujący układ równań
i~d dt c1(t) =− e~ 2mB 0 zc1(t)− e~ 2m(Bx− iBy) c2(t) , i~d dt c2(t) = e~ 2mB 0 zc2(t)− e~ 2m(Bx+ iBy) c1(t) . (2.80)
Przyjmijmy, że poprzeczne pole magnetyczne wiruje z częstością ω wokół osi z, wzdłuż której skie-rowane jest stałe pole magnetyczne. Wtedy pole poprzeczne możemy zapisać w postaci
Bx(t) = B0cos ωt, By(t) =−B0sin ωt , (2.81)
a to oznacza, że
Bx(t)± iBy(t) = B0(cos ωt∓ i sin ωt) = B0exp(∓iωt) . (2.82)
Wstawiając (2.82) do równań (2.80) otrzymujemy
i~d dt c1(t) =− e~ 2mB 0 zc1(t)− e~ 2mB0exp(iωt) c2(t) i~d dt c2(t) = e~ 2mB 0 zc2(t)− e~ 2mB0exp(−iωt) c1(t) . (2.83) Zdefiniujmy następujące częstości
ω0= e mB 0 z, Ω = e mB0. (2.84)
które po wstawieniu do (2.83) dają równania ˙c1(t) = i ω0 2 c1(t) + i Ω 2 exp(iωt) c2(t) , ˙c2(t) =−i ω0 2 c2(t) + i Ω 2 exp(−iωt) c1(t) . (2.85) Z równań (2.85) widać, że bez pola poprzecznego (Ω = 0) współczynniki c1(t) i c2(t) miałyby
zależność od czasu typu exp(±iω0t/2). Eliminując tę swobodną ewolucję przez wprowadzenie
wol-nozmiennych współczynników C1(t) i C2(t) otrzymujemy równania
˙ C1(t) = i Ω 2 exp[i(ω− ω0)t] C2(t) , ˙ C2(t) = i Ω 2 exp[−i(ω − ω0)t] C1(t) . (2.86) Porównując (2.86) z (2.55) widzimy pełną analogię pomiędzy równaniami dla spinu połówkowego w polu magnetycznym, wirującym z częstością ω, i równaniami dla atomu dwupoziomowego w silnym polu elektrycznym fali świetlnej (w przybliżeniu wirującej fali). Przyjmując warunek rezonansu, tzn.
-1
0
1
2π
π
0
hˆ
s
ji
Ωt
Rysunek 2.3. Ewolucja składowych spinu:hˆsxi – czerwony, hˆsyi – niebieski, hˆszi – jasnoniebieski; hˆsji w
jednostkach~/2
ω = ω0, a więc zakładając, że zmienne pole magnetyczne wiruje z częstością ω0, równania (2.86),
przy warunkach początkowych C1(0) = 1, C2(0) = 0, dają dla stanu (2.79) rozwiązanie
|ψ(t)i = cos Ω 2 t exp iω0 2 t |↑i + i sin Ω 2 t exp −iω0 2 t |↓i . (2.87) Aby lepiej zrozumieć sens fizyczny tego rozwiązania obliczmy wartości średnie składowych spinu
hˆsji = hψ|ˆsj|ψi , j = x, y, z , (2.88)
co po wykonaniu mnożeń macierzowych daje
