Rozwiązywanie układów równań liniowych niejednorodnych o stałych współczynnikach metodą przewidywań

(1)

Rozwiązywanie układów

równań liniowych

niejednorodnych o stałych

...

Autorzy:

Julian Janus

2019

(2)

(1)

Rozwiązywanie układów równań liniowych niejednorodnych o stałych współczynnikach metodą przewidywań

Autor: Julian Janus

Rozważmy układ równań:

gdzie

Jeżeli jest rozwiązaniem ogólnym układu jednorodnego:

i jest rozwiązaniem szczególnym układu ( 1 ) to rozwiązanie ogólne układu ( 1 ) jest postaci:

UWAGA

Uwaga 1:

Jeżeli i dla każdego funkcja jest rozwiązaniem szczególnym układu równań

to rozwiązaniem ogólnym układu ( 1 ) jest następująca funkcja

Metoda przewidywań ma zastosowanie

Metoda przewidywań ma zastosowanie , jeżeli elementy macierzy są wielomianami, funkcjami wykładniczymi, funkcjami sinus lub cosinus, ewentualnie sumami lub iloczynami wymienionych funkcji.

(t) = A ⋅ x(t) + f(t) dla t ∈ I ⊂ R

x

′

x(t) =

⎡

, A =

, f(t) =

.

⎣

⎢⎢

(t)

x

1

⋮

(t)

x

n

⎤

⎦

⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢

a

11

⋮

a

n1

…

⋱

…

a

1n

⋮

a

nn

⎤

⎦

⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢

(t)

f

1

⋮

(t)

f

n

⎤

⎦

⎥⎥

(t)

x

c

(t) = A ⋅ x(t)

x

′

(t)

x

p

x(t) = (t) + (t).

x

c

x

p

f(t) = (t) + ⋯ + (t)

f

1

f

k

j = 1, …, k

x

pj

(t) = A ⋅ x(t) + (t),

x

′

_f

j

x(t) = (t) +

x

c

x

p1

(t) + ⋯ +

x

pk

(t).

f(t)

(3)

(2) (3) (4) (5) (6) (7)

UWAGA

Uwaga 2:

1.

1. Jeżeli funkcja w równaniu ( 1 ) jest postaci:

to wtedy, gdy nie jest wartością własną macierzy szukamy szczególnego rozwiązania równania ( 1 ) w postaci

Jeżeli natomiast jest wartością własną macierzy o krotności to szukamy szczególnego rozwiązania równania ( 1 ) w postaci

2.

2. Jeżeli funkcja w równaniu ( 1 ) jest postaci:

to wtedy gdy nie jest wartością własną macierzy wówczas szukamy szczególnego rozwiązania równania ( 1 ) w postaci

gdzie .

Jeżeli natomiast jest wartością własną macierzy o krotności to szukamy szczególnego rozwiązania równania ( 1 ) w postaci

Algorytm postępowania przy wyznaczaniu rozwiązania układu

Algorytm postępowania przy wyznaczaniu rozwiązania układu ( 1 )( 1 ) metodą przewidywań. metodą przewidywań. 1.

1. Wyznaczamy rozwiązanie ogólne układu jednorodnego:

f(t)

f(t) =

e

λt

⎛

+ ⋯ +

t +

, gdzie

− s

ą

sta

ł

ymi,

⎝

⎜

⎡

⎣

⎢⎢

b

1k

⋮

b

nk

⎤

⎦

⎥⎥t

k

⎡

⎣

⎢⎢

b

11

⋮

b

n1

⎤

⎦

⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢

b

10

⋮

b

n0

⎤

⎦

⎥⎥

⎞

⎠

⎟

b

ij

λ

A,

(t) =

+ ⋯ +

t +

x

p

e

λt

⎛

⎝

⎜

⎡

⎣

⎢⎢

d

1k

⋮

d

nk

⎤

⎦

⎥⎥t

k

⎡

⎣

⎢⎢

d

11

⋮

d

n1

⎤

⎦

⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢

d

10

⋮

d

n0

⎤

⎦

⎥⎥

⎞

⎠

⎟

λ

A

m,

(t) =

+

+ ⋯ +

t +

.

x

p

e

λt

⎛

⎝

⎜

⎡

⎣

⎢⎢

d

1k+m

⋮

d

nk+m

⎤

⎦

⎥⎥t

k+m

⎡

⎣

⎢⎢

d

1k+m−1

⋮

d

nk+m−1

⎤

⎦

⎥⎥t

k+m−1

⎡

⎣

⎢⎢

d

11

⋮

d

n1

⎤

⎦

⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢

d

10

⋮

d

n0

⎤

⎦

⎥⎥

⎞

⎠

⎟

f(t)

f(t) =

e

αt

⎛

+ ⋯ +

t +

cos(βt)+

⎝

⎜

⎡

⎣

⎢⎢

b

1k

⋮

b

nk

⎤

⎦

⎥⎥t

k

⎡

⎣

⎢⎢

b

11

⋮

b

n1

⎤

⎦

⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢

b

10

⋮

b

n0

⎤

⎦

⎥⎥

⎞

⎠

⎟

+ ⋯ +

t +

sin(βt),

e

αt

⎛

⎝

⎜

⎡

⎣

⎢⎢

c

1j

⋮

c

nj

⎤

⎦

⎥⎥t

j

⎡

⎣

⎢⎢

c

11

⋮

c

n1

⎤

⎦

⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢

c

10

⋮

c

n0

⎤

⎦

⎥⎥

⎞

⎠

⎟

α ± βi

A,

(t) =

x

p

e

αt

+ ⋯ +

t +

cos(βt)+

⎛

⎝

⎜

⎡

⎣

⎢⎢

c

1N

⋮

c

nN

⎤

⎦

⎥⎥t

N

⎡

⎣

⎢⎢

c

11

⋮

c

n1

⎤

⎦

⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢

c

10

⋮

c

n0

⎤

⎦

⎥⎥

⎞

⎠

⎟

+ ⋯ +

t +

sin(βt),

e

αt

⎛

⎝

⎜

⎡

⎣

⎢⎢

d

1N

⋮

d

nN

⎤

⎦

⎥⎥t

N

⎡

⎣

⎢⎢

d

11

⋮

d

n1

⎤

⎦

⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢

d

10

⋮

d

n0

⎤

⎦

⎥⎥

⎞

⎠

⎟

N = max{j, k}

α ± βi

A

m,

(t) =

x

p

e

αt

+ ⋯ +

t +

cos(βt)+

⎛

⎝

⎜

⎡

⎣

⎢⎢

c

1N+m

⋮

c

nN+m

⎤

⎦

⎥⎥t

N+m

⎡

⎣

⎢⎢

c

11

⋮

c

n1

⎤

⎦

⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢

c

10

⋮

c

n0

⎤

⎦

⎥⎥

⎞

⎠

⎟

+ ⋯ +

t +

sin(βt).

e

αt

⎛

⎝

⎜

⎡

⎣

⎢⎢

d

1N+m

⋮

d

nN+m

⎤

⎦

⎥⎥t

N+m

⎡

⎣

⎢⎢

d

11

⋮

d

n1

⎤

⎦

⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢

d

10

⋮

d

n0

⎤

⎦

⎥⎥

⎞

⎠

⎟

(t)

x

c

(t) = A ⋅ x(t).

′

(4)

(8) 2.

2. Funkcje przedstawiamy jako sumę funkcji gdzie każda z tych funkcji jest postaci ( 2 ) lub ( 5 ). 3.

3. Dla każdej funkcji wyznaczamy rozwiązanie szczególne układu równań

W zależności od postaci funkcji przewidujemy rozwiązanie szczególne w postaci ( 3 ), ( 4 ) i ( 6 ) lub ( 7 ). Podstawiając i do równania ( 8 ) otrzymamy równanie macierzowe, z kórego wyliczamy stałe

4.

4. Rozwiązanie ogólne układu ( 1 ) zapisujemy jako sumę wyżej wymienionych rozwiązań:

Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie

http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.

Data generacji dokumentu: 2019-04-15 07:24:57

Oryginalny dokument dostępny pod adresem: https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php? link=130af2c673353617ad8be448fad82bc2