Geometria analityczna w przestrzeni (pdf),

5

Geometria analityczna w przestrzeni

5.1

Wektory w przestrzeni

Podstawowe własności wektorów w kartezjańskim układzie współrzędnych w przestrzeni są zupełnie analogiczne do własności wektorów w układzie współrzęd-nych na płaszczyźnie.

Wektor swobodny −→AB o końcach A = (x1, y1, z1) i B = (x2, y2, z2) ma

współ-rzędne

[x2− x1, y2− y1, z2 − z1].

Dla punktu A = (x0, y0, z0) wektor

−→

OA ma współrzędne [x0, y0, z0], gdzie początek

układu to O = (0, 0, 0).

Dodawanie wektorów: dla ~v = [x1, y1, z1] i ~w = [x2, y2, z2] mamy

~v + ~w = [x1+ x2, y1+ y2, z1+ z2].

Mnożenie przez liczbę: dla ~v = [x0, y0, z0] i c ∈ R mamy

c · ~v = [cx0, cy0, cz0].

Dowolny wektor w przestrzeni można przedstawić w postaci

~

v = [x, y, z] = x · [1, 0, 0] + y · [0, 1, 0] + z · [0, 0, 1] = x · ~e1+ y · ~e2+ z · ~e3,

gdzie ~e1 = [1, 0, 0], ~e2 = [0, 1, 0], vece3 = [0, 0, 1].

Wektor zerowy: ~0 = [0, 0, 0]. Dla wektora ~v = [x0, y0, z0] wektor przeciwny −~v =

[−x0, −y0, −z0].

Długość wektora ~v = [x0, y0, z0] wyraża się wzorem

|~v| =qx2

0 + y20+ z02.

Iloczyn skalarny wektorów ~v = [x1, y1, z1] i ~w = [x2, y2, z2] wyraża się wzorem:

~v ◦ ~w = x1y1+ x2y2+ z1z2.

5.2

Iloczyn wektorowy

Iloczynem wektorowym wektorów nierównoległych ~v, ~w jest wektor ~u = ~v × ~w

o kierunku prostopadłym do płaszczyzny wyznaczonej przez te wektory i takim zwrocie, że wektory ~v, ~w, ~u tworzą układ o orientacji zgodnej z orientacją układu ~

e1, ~e2, ~e3. Długość wektora ~u:

|~u| = |~v| · | ~w| · sin_{(~v, ~}w).

Iloczynem wektorowym wektorów równoległych jest (z definicji) wektor zerowy. Długość wektora ~v × ~w jest równa polu równoległoboku wyznaczonego przez te

wektory, więc pole trójkąta ABC jest równe 1₂ · |−→AB ×−→AC|.

5 GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI 2

Twierdzenie 1. Dla dowolnych wektorów ~u, ~v, ~_{w oraz c ∈ R zachodzą następujące} zależności: (a) ~v × ~w = ~0 ⇔ ~v k ~w, (b) ~v × ~v = ~0, (c) ~v × ~w = − ~w × ~v, (d) (~u + ~v) × ~w = ~u × ~w + ~v × ~w, (e) (c · ~v) × ~w = c · (~v × ~w).

We współrzędnych iloczyn wektorowy wektorów ~v = [x1, y1, z1] i ~w = [x2, y2, z2]

wyraża się wzorem:

~v ◦ ~w = [      y1 z1 y2 z2      , −      x1 z1 x2 z2      ,      x1 y1 x2 y2      ].

5.3

Proste w przestrzeni

Równania parametryczne prostej w przestrzeni określamy analogicznie jak na płaszczyźnie. Dla punktu P = (x0, y0, z0) i wektora ~v = [a, b, c], prosta przechodząca

przez punkt P i równoległa do wektora ~v ma następujące równania parametryczne

     x = x0+ at y = y0 + bt z = z0+ ct, gdzie t ∈ R.

5.4

Równania płaszczyzn

Płaszczyzna w przestrzeni jest wyznaczona przez punkt i dwa nierównoległe wek-tory. Dla punktu P = (x0, y0, z0) i wektorów ~v = [a, b, c], ~w = [d, e, f ], płaszczyzna

przechodząca przez punkt P , równoległa do wektorów ~v i ~w jest określona

następu-jącymi równaniami parametrycznymi:

     x = x0 + at + ds y = y0+ bt + es z = z0+ ct + f s, gdzie t, s ∈ R są parametrami.

Równanie ogólne płaszczyzny w przestrzeni jest analogiczne do równania ogól-nego prostej na płaszczyźnie:

Ax + By + Cz + D = 0,

gdzie A, B, C, D ∈ R, przy czym (A, B, C) 6= (0, 0, 0). Niezerowy wektor ~v = [A, B, C] jest prostopadły do płaszczyzny Ax + By + Cz + D = 0.

5 GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI 3

Odległość punktu M o współrzędnych (x0, y0, z0) od płaszczyzny Ax+By +Cz +

D = 0 wyraża się wzorem

|Ax0_√+ By0+ Cz0+ D|

A2_{+ B}2_{+ C}2 .

Prostą możemy określić jako część wspólną dwóch płaszczyzn, np.

(

A1x + B1y + C1z + D1 = 0

A2x + B2y + C2z + D2 = 0.