Nawigacja - granice

Rok I Temat 7 GRANICA CIĄGU I GRANICA FUNKCJI 1. Granica ciągu liczbowego

2. Granica funkcji Pojęcie ciągu Definicja

Ciągiem nieskończonym nazywamy funkcję określoną na zbiorze liczb naturalnych f: N → A

Jeżeli A ⊂ R, to ciąg nazywamy ciągiem liczbowym. Wartości funkcji f nazywamy wyrazami ciągu. Wyraz ciągu f (n) (n ∈ N) oznaczamy an, (an – ogólny wyraz ciągu). Ciąg o

wyrazach a1, a2, ..., an oznaczamy symbolem (an).

Jeżeli rozpatrujemy funkcję określoną na skończonym podzbiorze początkowych liczb naturalnych, to nazywamy ją ciągiem skończonym.

Ciągi monotoniczne Definicja

a. Ciąg (an) jest rosnący ⇔ n∈N an<an

∧

+

₁ b. Ciąg (an) jest malejący ⇔ n∈N an>an

∧

+

₁

Jeżeli w definicji zastąpimy znak < (>) znakiem ≤ (≥), otrzymamy definicję ciągu niemalejącego (nierosnącego).

Ciągi rosnące i malejące nazywamy ciągami monotonicznymi. Korzystając z definicji badanie monotoniczne ciągu możemy sprowadzić do sprawdzenia znaku różnicy an+1 – an,

ponieważ n∈N an <an ⇔n∈N an −an >

∧

∧

+ + 1 1 0 – ciąg rosnący oraz n

∧

∈N a_n>a_n+1⇔n

∧

∈N a _n+1−a_n <0 – ciąg malejący. Granice ciągów

1. Liczbę g nazywamy granicą ciągu

( )

a_n , jeżeli dla dowolnej liczby ε> 0 istnieje liczba m >0 taka, że dla wszystkich n>m zachodzi nierówność a_n−g <ε

lim

n→∞an = g⇔ > m> n∈N

∧

∨

∧

ε 0 0 n>m⇒ a_n−g <ε Granice niewłaściwe ciągów.

2. lim n→∞an = +∞ ⇔ A> m> n∈N

∧

∨

∧

0 0 n>m⇒a_n >A 3. lim n→∞an = −∞ ⇔ A> m> n∈N

∧

∨

∧

0 0 n>m⇒a_n < −A 4. Wybrane granice ciągów (przykłady)

4.1. lim , , , n n a a a a →∞ = < = ∞ >      0 1 1 1 1 4.2. lim , n n a a →∞ =1 >0 4.3. lim ,

[ ]

n n _n →∞ =1 ∞ 0 4.4. lim ,

[ ]

n n n e →∞ ∞ +       = 1 1 1 4.5. lim ,

[ ]

n n n e →∞ ∞ −   1 1_ =1 1 Twierdzenie

a) Jeżeli liman a limb b, lim

(

a b

)

a b

n n n n n n

= = ± = ±

→∞ →∞ →∞

i to

b) Jeżeli lima_n a limb b, lima b a b

n n n n n n

= = ⋅ = ⋅

→∞ i →∞ to →∞

c) Jeżeli lima a limb b, b b , lima

b a b n n n n n n n n = = ≠ ≠ = →∞ i →∞ i 0 oraz 0 to →∞ Granica funkcji

Pojęcie granicy funkcji jest jednym z najważniejszych pojęć matematyki, którego zrozumienie jest konieczne do opanowania rachunku różniczkowego.

Definicja (wg Cauchy’ego)

( )

= ⇔ε

∧

> δ

∨

>

∧

∈ < − <δ⇒ − <ε

→x f x g x D x x f x g

xlim0 0 0 0 0 ( )

Definicja ta jest definicją granicy właściwej w punkcie skończonym, tzn. zakładamy, że g, x0 ∈ R Definicja (wg Heinego)

( )

∞ → ∞ → → = ⇒ = ≠ ⇔ =

∧

n n n n n n x x g x f x x x x x g x f( ) , , lim lim ( ) lim 0 0 0

Liczba g jest więc granicą funkcji f (x) w punkcie x0, jeżeli, dla każdego ciągu (xn) o wyrazach

różnych od x0 dążącego do x0, ciąg wartości funkcji f (xn) dąży do g. W definicji Heinego nie

robimy żadnych założeń odnośnie x0 i g (zarówno x0, jak i g mogą być skończone lub

nieskończone). Twierdzenie

Załóżmy, że istnieją granice lim ( )f x g lim ( )g x g .

x x x x = = → 0 1 →0 2 i Wówczas a) lim

[

f x( ) g x( )

]

g g x x ± = ± →0 1 2 b) lim

[

f x( ) g x( )

]

g g x x ⋅ = ⋅ →0 1 2 c) lim ( ) ( ) f x g x g g g x x       = ≠ →0 1 2 2 0 przy Definicja = ⇔ε

∧

> δ

∨

>

∧

∈ >δ⇒ − <ε ∞ → f x g x D x f x g x ) ( 0 0 ) (

lim , gdzie D – dziedzina funkcji.

Definicja =∞⇔

∧

∈

∨

>

∧

∈ → D x R A x f x x 0 ) ( lim 0 δ , 0< x−x₀ <δ⇒ f(x)>A. Granice jednostronne Definicja

Funkcja x→ f x( ) ma w punkcie x0 granicę prawostronną g, jeżeli dla dowolnej

liczby ε>0 istnieje liczba δ >0 taka, że dla x spełniających nierówność x₀<x<x₀+δ wartości funkcji spełniają nierówność f(x)− g<ε. Granicę prawostronną oznaczamy symbolem lim ( )f x x→x0+ ε δ δ ε> > ∈ < < + ⇒ − < ⇔ =

∧

∨

∧

+ → g x f x x x D x g x f x x ) ( 0 0 ) ( lim _{0 0} 0 Definicja

Funkcja x→ f x( ) ma w punkcie x0 granicę lewostronną g, jeżeli dla dowolnej liczby

0 >

ε istnieje liczba δ >0 taka, że dla x spełniających nierówność x0−δ<x<x0 wartości

funkcji spełniają nierówność f(x)− g <ε. Granicę lewostronną oznaczamy symbolem

lim ( )f x x→x−

0

. Można udowodnić twierdzenie wyrażające związek między granicą funkcji a granicami jednostronnymi.

Twierdzenie

Funkcja x→ f x( ) ma granicę w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją granice

jednostronne w tym punkcie i są sobie równe. Ciągłość funkcji

Ważnym pojęciem związanym z pojęciem granicy funkcji jest ciągłość funkcji. Definicja

Funkcja f (x) określona w punkcie x0 jest ciągła w tym punkcie, jeżeli istnieje granica

lim ( )f x x→x0 i lim ( )f x f x( ) x x = →0 0 . Twierdzenie

Suma, różnica oraz iloczyn funkcji ciągłych w punkcie x0 jest funkcją ciągłą w tym

punkcie. Ponadto iloraz funkcji ciągłych w tym punkcie, w którym wartość dzielnika jest różna od zera, jest funkcją ciągłą w tym punkcie. Wielomiany, funkcja wykładnicza, funkcja logarytmiczna, funkcje trygonometryczne nazywamy funkcjami elementarnymi. Można wykazać, że funkcje elementarne oraz funkcje złożone z funkcji elementarnych są ciągłe w punktach, w których są określone.

Definicja

Funkcję ciągłą w każdym punkcie przedziału otwartego (domkniętego) nazywamy funkcją ciągłą w tym przedziale.

Przykłady

1. Dany jest ciąg (an) o wyrazie ogólnym

n n a_n 3 2 1 − +

= . Sprawdzić, czy granicą ciągu jest –1

3. Rozwiązanie         < − ⇒ > > ⇔ =

∧

∨

∧

∞ → ε ε m n m a g g a _n n n 0 lim Liczba –1

3 będzie granicą ciągu (an), jeżeli dla dowolnej liczby ε > 0 znajdziemy

liczbę m taką, że gdy n > m, to  <ε

     − − 3 1 n a . ε < − = − = + − + =       − − ) 2 3 ( 3 5 ) 3 2 ( 3 5 3 1 3 2 1 3 1 n n n n a_n .

Otrzymaną nierówność rozwiązujemy względem n

ε ε ε ε 9 6 5 ) 2 3 ( 3 5 ) 2 3 ( 3 5 + > ⇔ − ⋅ < ⇔ < − n n n .

Wykazaliśmy, że występująca w definicji granicy nierówność a_n− g <ε jest spełniona dla wszystkich n większych od ε ε 9 6 5 +

, gdzie ε – dowolna liczba dodatnia. Istnieje więc liczba

ε ε 9 6 5 + = m , czyli g = –1

3 jest granicą danego ciągu.

2. Obliczyć       _{+ −} ∞ → n n n n 2 lim . Rozwiązanie

Ponieważ lim n n limn ,

n n

2_{+ = +∞ = +∞}

→∞ oraz →∞ więc mamy symbol nieoznaczony postaci

[

∞ − ∞

]

. Wyraz ogólny ciągu an przekształcamy na podstawie wzoru

a b

(

a b a

)

(

b

)

a b a b a b − = − + + = − + 2 2 , n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n + + = + + − + = + +       _{+ +}       _{+ −} = − + 2 2 2 2 2 2 2 2 n n n n n n n n n _{+ +} =       _{+ −} ∞ → ∞ → 2 2 lim lim

Ponieważ licznik i mianownik otrzymanego ułamka dążą do ∞, więc otrzymaliśmy symbol nieoznaczony typu ∞

∞    



 równoważny symbolowi

[

∞ − ∞

]

. Wyraz ogólny

n n n n a_n + + =

2 możemy tak przekształcić, aby otrzymać symbol oznaczony. W tym celu

dzielimy licznik i mianownik przez n. Otrzymujemy 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 + + = + + = + + = n n n n n n n a_n . Ponieważ lim  1+1 +1 2      = →∞ _n n , więc ₂ 1 lim 2 =      _{+ −} ∞ → n n n n .

3. Na podstawie definicji Heinego wykazać, że limx .

x x 3 2 8 2 12 − − = → Rozwiązanie

( )

∞ → ∞ → → = ⇒ = ≠ ⇔ =

∧

n n n n n n x x g x f x x x x x g x f( ) , , lim lim ( ) lim _{0 0} 0

Niech (xn), xn ≠ 2 będzie dowolnym ciągiem takim, że lim x_n→∞ n =2. Odpowiada mu ciąg wartości funkcji f (xn) o wyrazie ogólnym

(

)

(

)

(

2 4

)

lim 2lim 4 2 2 2 4 12. lim ) ( lim , 4 2 2 4 2 2 2 8 ) ( 2 2 2 2 2 3 = + ⋅ + = + + = + + = + + = − + + − = − − = ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → n n n n n n n n n n n n n n n n n n x x x x x f x x x x x x x x x f

Z definicji wynika więc, że granicą danej funkcji w punkcie 2 jest 12.

4. Obliczyć granicę funkcji lim1 cos₂ 2

0 − → x x x . Rozwiązanie

Dla x = 0 licznik i mianownik funkcji x x x

→1− 2

2

cos

są równe zeru, więc mamy symbol nieoznaczony typu 0 0     

. Ponieważ 1−cos2x=2sin2x, więc f x x x x x ( )= sin = sin      2 2 2 2 2

lim1 cos2 lim2 sin 2lim sin 2 1 2.

0 2 0 2 0 2 → → → = ⋅ =       =       = − x x x x x x x x x

Korzystaliśmy z twierdzenia limsin x

x x→0 =1.

Zadania

1. Wykazać na podstawie definicji, że: a) 2 1 1 2 lim =      − n n ; b) 3 1 1 3 1 lim ₂ 2 =       + − n n . 2. Obliczyć granice ciągu:

a) limn

(

n2+1−n

)

; b) n n n 5 3 lim + ; c) n n      − 3 1 1 lim .

3. Wyznaczyć granice funkcji

3 2 7 3 3 5 2 lim a) − → − = + − + x x x x ; b) 0 _{1 1} 4 sin lim → _{+ −} x _x x ; c) 0 2 1 1 lim → − + x _x x . 4. Dla jakich wartości parametru a funkcja

    = ≠ = → 0 dla 0 dla 3 sin ) ( x a x x x x f x jest ciągła?

Odpowiedzi: 2. a) 2 1 ; b) 5 ; c) 1, 3. a) 4 3 ; b) 8 ; c) ∞ . 4. 3 . Lp. Literatura Rozdział

1 Zbiór zadań z matematyki pod red. R. Krupińskiego. Skrypt dla studentów AM w Szczecinie

III § 1, 2, 3 2 Winnicki K., Landowski M.; Wykłady z matematyki. Skrypt

dla studentów AM w Szczecinie

III 3 Lassak. M. Matematyka dla studiów technicznych.

Supremum, 2006.