Elementy teorii szeregów Fouriera. Definicje i twierdzenia.

Elementy teorii szeregów Fouriera

Definicja. Szeregiem trygonometrycznym nazywamy szereg funkcyjny postaci

(

)

0 1 1 cos sin 2 n n n a ∞ a nx b nx = +

∑

+

(

∗

)

, gdzie a b_n, _n∈ \.

Zał, że szereg trygonometryczny

(

jest zbieżny jednostajnie, jest sumą tego szeregu, jest

R-całkowalna. Wtedy .

)

∗ a π

( )

f x sin n bn n f

( )

0 1 cos n f x dx a nx dx x dx π π π π π π ∞ = − − −   = + _ + _  

∑

∫

∫

∫

Lemat. . 0 ncos nsin 0 n a nx dx b nx dx π π π π > − − ∀

∫

+

∫

=

Uwaga. Dla n=0 sinnx dx 0, .

π π − =

∫

cosnx dx 2 π π π − =

∫

Wniosek. f x dx

( )

a₀ a₀ 1 f x dx

( )

π π π π π π − − = ⇒ =

∫

∫

. Lemat. (1) ; , 0 cos cos n m n m nx mx dx n m π π π ∈ − ∧ ≠  ∀ _{= } ∧ = 

∫

` (2) ; , sin cos 0 n m nx mx dx π π ∈ − ∀

_∫

= ` (3) n m, . 0 sinnxsinmx dx n m n m π π π ∈ − ∧ ≠  ∀ _{= } ∧ = 

∫

`

Wniosek. Jeżeli f x

( )

jest sumą jednostajnie zbieżnego szeregu trygonometrycznego, to

( )

x cos 1 n n a f n π π π ∈ − ∀ =

_∫

` x dx , oraz

( )

1 sin n n b f x n π π π ∈ − ∀ =

_∫

` x dx .

Definicja. Zał, że jest R-całkowalna, f a b_n, _n są zdefiniowane powyższymi wzorami. Wtedy szereg

(

)

0 1 1 cos sin 2 n n n a ∞ a nx b nx =

+

∑

+ nazywamy szeregiem Fouriera dla . f

Uwaga. Nie każda funkcja jest sumą swojego szeregu Fouriera, ponieważ suma szeregu jest okresowa.

f

Twierdzenie. Zał, że są ciągłe, oraz ma stały znak. Wtedy .

[ ]

, : , f g a b → \

( ) ( )

b b a a f c g x dx =

∫

∫

g [ ],

( ) ( )

c a b∈∃ f x g x dx

Twierdzenie. Zał, że są ciągłe, , oraz jest monotoniczna. Wtedy .

[ ]

, : , f g a b → \

( ) ( )

b c a a g a f x dx

∫

∫

1 g C∈

)

b c f x dx

∫

g [ ],

( ) ( )

( ) (

c a b∈∃ f x g x dx= +g b Lemat (1) 0 sin lim 0 b a b n a nx dx x < <∀ →∞

∫

= ; 1

(2) 0 sin nx dx x ∞

∫

jest zbieżna; (3) 0 0 0 sin sin lim n n nx x dx dx x x ∞ ∞ > →∞ ∀

_∫

=

_∫

; (4) Niech ( )1 sin n n n nx I d x π π + =

∫

x . Wtedy 0 0 sin n n nx dx I x ∞ ∞ = =

∑

∫

, jest naprzemienny, oraz

0 n n I ∞ =

∑

li ; Wniosek. m _n 0 n→∞ I = 0 0 0 sin sin a n nx x dx dx x x π > ∀

∫

≤

∫

, 0 0 0 sin s a a nx dx π > ∀

∫

≤

∫

in xdx x x .

(5) Zał, że f : ,

[ ]

a b → \ jest ciągła. Wtedy lim

( )

cos 0 lim

( )

sin ;

b b n n a a f x nxdx f x nxdx →∞

∫

= = →∞

∫

(6) sin 2 b a nx dx x π =

∫

.

Twierdzenie. Zał, że , a>0 f : ,

[ ]

a b → \, _{f ∈C}1i monotoniczna. Wtedy _m

( )

sin

2 b n a nx f x dx x π →∞

∫

= li , a

( )

sin b a nx f x dx x

∫

to całka Dirichleta.

Wniosek. Zał, że , jest funkcją przedziałami monotoniczną i przedziałami klasy . Wtedy: 0 a> f : ,

[ ]

a b → \ 1 C (1)

( )

( )

0 sin m lim 2 b n x a nx f x dx f x x π + →∞

∫

= ⋅ → li ; (2)

( )

( )

0 sin lim 0 sin 2 a n nx f x dx f x π + →∞

∫

= .

Twierdzenie. Zał, że jest funkcją o okresie , przedziałami monotoniczną i przedziałami klasy . Jeżeli dla każdego punktu nieciągłości funkcji spełniony jest warunek

f 2π

1

C x f

( )

1

(

( )

0 0

2

f x = f₋ + f₊

( )

)

. Wtedy funkcja rozwija się w szereg Fouriera. f