Leonhard Euler

Leonhard Euler

Leonhard Euler Leonhard Euler

● ur. 15 kwietnia 1707 w Bazylei

● zm. 18 września 1783 w Petersburgu

● uważany za jednego z najbardziej

produktywnych

matematyków w historii

Dzieciństwo i młodość Dzieciństwo i młodość

● przeprowadzka do Riehen

● studia na Uniwersytecie Bazylejskim

● prywatne lekcje u Johanna Bernoulliego

● stopień magistra filozofii

● studia nad teologią, greką i językiem hebrajskim

Pobyt w Petersburgu Pobyt w Petersburgu

● przybycie do stolicy Rosji 17 maja 1727

● stanowisko na wydziale matematycznym Petersburskiej Akademii Nauk

● objęcie wydziału po rezygnacji Daniela Bernoulliego

● wyjazd z Petersburga 19 czerwca 1741

Praca w Berlinie Praca w Berlinie

● akceptacja złożonej przez króla Fryderyka II Hohenzollerna propozycji przeniesienia się do Berlina

● objęcia stanowiska w Pruskiej Akademii Nauk

● prywatne lekcje dla księżniczki Anhalt-Dessau, siostrzenicy Fryderyka

● Opuszczenie Berlina z powodu

osobistego konfliktu Eulera z Fryderykiem

Ostatni etap życia Ostatni etap życia

● powrót do Akademii w Petersburgu

● pożar domu

● śmierć w wyniku wylewu krwi do mózgu

● pochówek w ławrze Aleksandra Newskiego

Szwajcarski banknot 10-frankowy, na cześć Eulera, najznakomitszego szwajcarskiego matematyka w historii

Znaczek byłego Związku Radzieckiego wydany w 1957 r. dla uczczenia 250. rocznicy urodzin Eulera. Tekst mówi: 250 lat od urodzenia wielkiego matematyka i akademika, Leonarda Eulera.

Dziedziny którymi zajmował się Euler Dziedziny którymi zajmował się Euler

● Analiza matematyczna

● Teoria liczb

● Teoria grafów

● Matematyka stosowana

● Fizyka – Mechanika, Optyka

● Astronomia

Wkład do notacji Wkład do notacji

● Pojęcie funkcji i zapis

● Oznaczenie funkcji ,

● Zastosowanie jako oznaczenia sumy

● Wprowadzenie liczby jako podstawy ln

● Wprowadzenie litery jako oznaczenia jednostki urojonej

● Rozpropagowanie użycia jako oznaczenia liczby pi

Σ

e

cos( x) sin(x) f ( x)

ii

π

Problemy Eulera:

Problemy Eulera:

Analiza Matematyczna Analiza Matematyczna

● Staje się centrum zainteresowań Eulera

● Funkcje wyrażone jako szeregi potęgowe:

e^x=

∑

n=0

∞ xⁿ

n!=lim

n →∞

( 1

0!+ x

1!+ x²

2! +...+ xⁿ n!)

arctan ( x)=

∑

n=0

∞

(−1)ⁿ x²ⁿ⁺¹ 2n+1

Problemy Eulera:

Problemy Eulera:

Analiza Matematyczna Analiza Matematyczna

● Rozszerza definicję log dla argumentów ujemnych i zespolonych

● Definiuje funkcję wykładniczą dla liczb zespolonych

ln z=ln∣z∣+i arg z=ln∣z∣+i (ϕ +2k π )

e^x=

∑

n=0

∞ xⁿ

n! =lim

n →∞

( 1

0!+ x

1!+ x²

2! +...+ xⁿ n! ) z^w=e^{w ln z}

Problemy Eulera:

Problemy Eulera:

Analiza Matematyczna Analiza Matematyczna

● Odkrywa relację między funkcją wykładniczą i funkcjami trygonometrycznymi

● Dla wyrazenie to przyjmuje postać

Richard Feynman:

"the most remarkable formula in mathematics"

e^iϕ=cos(ϕ )+i sin (ϕ ) ϕ =π

e^iπ −1=0

Problemy Eulera:

Problemy Eulera:

Analiza Matematyczna Analiza Matematyczna

● Wprowadza funkcję gamma rozszerzającą pojęcie silni na R i C

● Skąd:

Γ (z)=

∫

0

∞

t ^z−1 e^−t dt

Γ ( z+1)=z Γ (z) Γ (0)=0!=1

Γ (n)=(n−1)!

Problemy Eulera:

Problemy Eulera:

Analiza Matematyczna Analiza Matematyczna

● Rozwiązuje Problem Bazylijski

sin ( x)= x− x³

3! + x⁵

5!− x⁷

7! +...

sin ( x)

x =1− x²

3! + x⁴

5! − x⁶

7! +...

∑

∞ 1

n²=?

∑

n=1

∞ 1

n²≃1.644934

Problemy Eulera:

Problemy Eulera:

Analiza Matematyczna Analiza Matematyczna

● Rozwiązuje Problem Bazylijski

sin ( x)

x =0⇔ x=n⋅π n∈ℤ∖{0}

sin ( x)

x =(1− x

π ⁾⁽¹⁺π^{x )(1−} ₂^xπ ⁾⁽¹⁺

x

2π ⁾⁽¹⁻

x

3π ⁾⁽¹⁺

x

3π ^)...=

=(1− x²

π ⁾⁽¹⁻

x²

4π ⁾⁽¹⁻

x²

9π ^)...

Problemy Eulera:

Problemy Eulera:

Analiza Matematyczna Analiza Matematyczna

● Rozwiązuje Problem Bazylijski

−( 1 π ²⁺

1

4π ²⁺ 1

9π ²⁾⁼⁻

1

π ²

∑

n=1

∞ 1

n²

− 1

π ²

∑

n=1

∞ 1

n²=−1

6

∑

n=1

∞ 1

n²=π ² 6

sin ( x)

x =1− x²

3!+ x⁴

5! − x⁶

7! +...

Problemy Eulera:

Problemy Eulera:

Teoria Liczb Teoria Liczb

● Wiele pierwszych prac Eulera opiera się na dokonaniach Fermata

● Obala hipotezę, że liczby postaci są liczbami pierwszymi dla

F (n)=2²ⁿ+1 F (5)=4 294 967 297=641⋅6700417

Problemy Eulera:

Problemy Eulera:

Teoria Liczb Teoria Liczb

● Udowadnia małe twierdznie Fermata:

Tw. Jeżeli jest liczbą pierwszą to dla dowolnej liczby całkowitej liczba jest podzielna przez

● Udowadnia twierdzenie Fermata o sumie dwóch kwadratów:

Tw. Każda liczba pierwsza dająca resztę w dzieleniu przez 4 jest sumą kwadratów dwóch liczba całkowitych

p a

a^p−a p

p=4⋅k+1 k ∈ℤ

p−liczba pierwsza

p=a²+b²

a , b−liczby całkowite

Problemy Eulera:

Problemy Eulera:

Teoria Liczb Teoria Liczb

● Jako pierwszy odkrywa związek między teorią liczb i analizą matematyczną

● Udowadnia że suma

gdzie to n-ta liczba pierwsza jest rozbieżna.

∑

∞ 1

p_i

p_i

Problemy Eulera:

Problemy Eulera:

Mechanika Mechanika

● Przyczynił się do rozwoju wytrzymałości materiałów – teorii belek

∂²

∂ x² (E ( x) I ( x) ∂² w

∂ x² )=q(x)

∂²

∂ x² (E ( x) I ( x) ∂² w

∂ x² )=−μ ^∂

2 w

∂t² +q( x)

Problemy Eulera:

Problemy Eulera:

Matematyka Stosowana Matematyka Stosowana

● Opracował pierwszą metodę numeryczną

rozwiązywania równań różniczkowych – Metodę Eulera

Problemy Eulera:

Problemy Eulera:

Matematyka Stosowana

Matematyka Stosowana

Problemy Eulera:

Problemy Eulera:

Teoria Grafów Teoria Grafów

● Zagadnienie mostów królewieckich

Problemy Eulera:

Problemy Eulera:

Teoria Grafów Teoria Grafów

●

Problemy Eulera:

Problemy Eulera:

Topologia Topologia

● Charakterystyka Eulera – niezmiennik homeomorfizmów

● Udowodnił, że dla wielościanów foremnych

gdzie V - wierzchołki E - krawędzie F – ściany

Cauchy i L'Huillier

χ =V −E+F χ =2

V +F =E+2

Problemy Eulera:

Problemy Eulera:

Astronomia Astronomia

● Określał orbity komet i innych ciał niebieskich

● Wyliczył paralaksę słońca

● Jego obliczenia przyczyniły się do zw.

dokładności tabel długości geograficznej

Dziękujemy za uwagę!