Przykªadowe zadania na I kolokwium z topologii
1. Udowodni¢, »e funkcja
dH(E, F ) = max
inf
x∈Esup
y∈F
|x − y|, inf
y∈Fsup
x∈E
|x − y|
jest metryk¡ na zbiorze X = {[a, b] : a, b ∈ R} wszystkich domkni¦tych i ograniczo- nych przedziaªów w R.
Wskazówka: Wyrazi¢ dH([a, b], [a0, b0])w prostszy sposób
2. Dla ka»dego n ∈ N niech dn b¦dzie metryk¡ na przestrzeni X. Udowodni¢, »e
d(x, y) = X
n∈N
min
dn(x, y), 1 2n
równie» jest metryk¡ na X. Rozstrzygn¡¢, czy d jest sªabsza b¡d¹ mocniejsza od ka»dego dn.
3. Niech X b¦dzie zbiorem tych miast Polski, w których jest dworzec PKP i PKS.
Okre±lmy funkcj¦ d(x, y) jako czas przejazdu mi¦dzy x i y szybszym ±rodkiem trans- portu: poci¡giem lub autobusem. W czasie podró»y nie wolno nam zmienia¢ ±rodka lokomocji. Zakªadamy, »e czasy przejazdu z x do y i z y do x s¡ jednakowe. Czy tak okre±lona funkcja d jest metryk¡ na X?
4. Dla x, y ∈ Z+ niech
d(x, y) = lnNWW(x, y) NWD(x, y) .
Udowodni¢, »e d jest metryk¡ na zbiorze liczb caªkowitych dodatnich Z+. 5. Niech f b¦dzie ustalon¡, ±ci±le dodatni¡, ci¡gª¡ funkcj¡ rzeczywist¡. Okre±lmy
d(x, y) =
Z y x
f (u)du .
Udowodni¢, »e d jest metryk¡ na R. Czy d jest równowa»na metryce euklidesowej?
6. Niech X = (−π2,π2). Okre±lmy d : X × X → R wzorem:
d(x, y) = |tg x − tg y| .
• Udowodni¢, »e d jest metryk¡ na X.
• Scharakteryzowa¢ ci¡gi podstawowe w (X, d).
Wskazówka: Mo»na skorzysta¢ z poj¦cia bycia podstawowym w R z metryk¡ euklidesow¡
• Czy przestrze« (X, d) jest zupeªna?
• Scharakteryzowa¢ zbiory domkni¦te w (X, d).
7. Niech X = (0, ∞) i niech d(x, y) = |x2 − y2| b¦dzie metryk¡ na X. Okre±lmy f : X → X wzorem f(x) = x2. Czy f jest ci¡gªa? Czy jest jednostajnie ci¡gªa?
Czy jest lipschitzowska?
8. Niech (X, d) b¦dzie przestrzeni¡ metryczn¡, i niech f : X → X, g : X → X. Czy je±li f i g s¡ ci¡gªe, to równie» f ◦ g i g ◦ f s¡ ci¡gªe? Czy przeciwnie, je±li f ◦ g i g ◦ f s¡ ci¡gªe, to równie» f i g s¡ ci¡gªe?
9. Niech (X, d) b¦dzie przestrzeni¡ metryczn¡. Na X2 wprowadzamy metryk¡ taksów- kow¡:
dt((x1, x2), (y1, y2)) = d(x1, y1) + d(x2, y2) .
Rzutem (±ci±lej rzutem na pierwsz¡ wspóªrz¦dn¡) nazywamy odwzorowanie π : X2 → X dane wzorem π((x1, x2)) = x1. Czy odwzorowanie π jest ci¡gªe? Czy obraz π(G) zbioru otwartego G ⊆ X2 jest otwarty w X? Czy obraz π(F ) zbioru domkni¦tego F ⊆ X2 jest domkni¦ty w X?
10. Niech X = C([0, 1]) × [0, 1] b¦dzie przestrzeni¡ metryczn¡ z metryk¡
d((f, t), (g, s)) = Z 1
0
|f (u) − g(u)| du + |t − s| . Niech ϕ : X → R b¦dzie okre±lona wzorem
ϕ(f, t) = Z t
0
f (u)du . Czy ϕ jest funkcj¡ ci¡gª¡?
11. Niech X b¦dzie zbiorem ci¡gów rzeczywistych, które od pewnego miejsca s¡ stale równe 0, tj.:
X =a ∈ RN : ∃k∈N∀n≥kan= 0 . Rozwa»my w X metryk¦ supremum
d∞(a, b) = sup
n∈N
|an− bn| oraz metryk¦ suma:
d1(a, b) =X
n∈N
|an− bn| .
W przestrzeni C([0, 1]) rozwa»amy metryk¦ supremum dsup. Niech ϕ : X → C([0, 1])b¦dzie dane wzorem
ϕ(a) = f , gdzie f(x) = X
n∈N
anxn.
Czy ϕ jest funkcj¡ ci¡gª¡ z przestrzeni metrycznej (X, d∞)w (C([0, 1]), dsup)? Czy ϕ jest funkcj¡ ci¡gª¡ z przestrzeni metrycznej (X, d1) w (C([0, 1]), dsup)? Czy od- powiedzi zmieniªyby si¦, gdyby [0, 1] zast¡pi¢ innym odcinkiem?
12. W R3 rozwa»amy metryk¦ euklidesow¡, w C([0, 1]) metryk¦ supremum. Niech ϕ : R3 → C([0, 1]) b¦dzie dane wzorem
ϕ(a, b, c) = f , gdzie f(x) = ax2+ bx + c . Czy ϕ jest funkcj¡ ci¡gª¡? Czy obraz ϕ jest domkni¦ty?
13. Udowodni¢, »e je±li ka»dy podci¡g (xkn) ci¡gu (xn) zawiera podci¡g (xkln)zbie»ny do z, to sam ci¡g (xn) jest zbie»ny do z. Poda¢ przykªad niezbie»nego ci¡gu (xn), którego ka»dy podci¡g (xkn) zawiera podci¡g (xkln)zbie»ny.
14. W przestrzeni C([0, 2π]) funkcji ci¡gªych na odcinku [0, 2π] rozwa»amy metryk¦
supremum. Znale¹¢ domkni¦cie zbioru {fn: n ∈ N}, gdzie fn(x) = sin(nx).
Wskazówka: sin a − sin b = 2 cosa+b2 sina−b2 .
15. Rozwa»my zbiór X = a + b√
2 : a, b ∈ Q
. Okre±lamy d(a + b√
2, a0+ b0√
2) = |a − a0| + |b − b0| .
Czy (X, d) jest przestrzeni¡ metryczn¡? Jakie jest uzupeªnienie (X, d)? Czy funkcja f (x) = x jest ci¡gªa z (X, d) w (R, de)? (de oznacza metryk¦ euklidesow¡)
