Momenty niekompletne odwrotnego

TADEUSZ GERSTENKORN (Łódź), JOANNA JARZĘBSKA (Częstochowa)

Momenty niekompletne odwrotnego ^rozkładu Pólyi

(Praca ^przyjęta do druku 20.12.1979)

Wstęp. Schemat losowania zwany- od nazwiska współautora pracy [3], w której go podano - schematem Pólyi, ustala użyteczny w statystyce rozkład, poddany

szczegółowym badaniom w licznych pracach. Momenty niekompletne tego ^rozkładu

zostały podane w pracy [5], a ^możliwe do uzyskania poprzez ten ^rozkład momenty dla innych rozkładów w pracy [4].

Praca obecna stanowi opracowanie tematu momentów czynnikowych (fakto- rialnych) niekompletnych dla ^rozkładu Pólyi zwanego odwrotnym, tzn. dla ^rozkładu, który przy założonym wyżej schemacie ustala prawdopodobieństwo liczby losowań

potrzebnych do uzyskania żądanej ilości elementów określonego rodzaju. Zwrócono

uwagę na możliwość operowania i takim rozkładem Pólyi odwrotnym, którego funkcja prawdopodobieństwa nie musi być związana z określonym schematem losowania i dla takiego (teoretycznego) przypadku wzory na momenty również uwzględniono. Ponieważ szczególnymi przypadkami rozważanego rozkładu są:

ujemny rozkład dwumianowy oraz odwrotny rozkład hipergeometryczny, podano w pracy odpowiednie wzory i dla tych rozkładów.

Rozważania skoncentrowano ^głównie na momentach czynnikowych niekom- pletnych lewostronnych, ponieważ metoda ich otrzymania jest prosta. Z momentów niekompletnych lewostronnych otrzymuje się łatwo momenty kompletne oraz momenty niekompletne prawostronne.

Dla celów praktycznych podano ^również wzory rekurencyjne dla rozważanych rozkładów.

1. Odwrotny rozkład Pólyi i jego przypadki szczególne. Przyjmujemy, że urna zawiera N kul, wśród których jest M kul białych i N-M kul czarnych. Z urny losu- jemy jedną kulę, po czym zwracamy ją dodając ponadto b ^~ O kul tego koloru, co wylosowana kula. Opisany schemat losowania nazywamy schematem urnowy1r Pó/yi.

W odwrotnym zagadnieniu Pólyi interesuje nas prawdopodobieństwo teg0,

że liczba doświadczeń przeprowadzanych ^według schematu urnowego Pólyi ^będzie równam, przy założeniu, że próby przeprowadzane będą tak długo, aż otrzymamy

[47}

48 T. Ger sten kor n, J. Jar z ^ę b ska

z góry ustaloną liozbę sukcesów ^równą k (1 ^~ k ^~ m). Prawdopodobieństwo to

wyraża się wzorem

(m-1) (Np)Ck,-bJ(Nq)Cm-k,-bJ (1.1) P(X = ^m) = p(k, Np, N, b) = ^k-l NCm.-bJ '

gdziem= k, k+l, „.,p = M/N, O< p < 1, q = 1-p, 1 ^~ k ^~ m, b jest ^liczbą

całkowitą, a dla b < O spełnione muszą być warunki

(1.2) ^-kb~ Np -(m-k)b ^~ Nq.

We wzorze rozkładu (1.1) używamy zapisu

xCk,bJ = x(x-b) (x-2b) „. [x-(k- l)b]

tzw. wielomianów czynnikowych, a w następnych wzorach korzystamy z ^{następują­}

cych oznaczeń

Przyjmując oznaczeniem = k+r, gdzie r = O, 1, 2,•.„, wzór (1.1) sprowadzamy do następującej postaci

_ _ _ (k+r-1) (Np)Ck.-bl(Nq)Cr,-bJ (1.3) P(X - r) - p(k, Np, N, b) - r NCk+r,-bJ ' a warunki (1.2) przechodzą w następujące

(1.4) -kb~ Np -rb ^~ Nq.

Gdy przyjmiemy a = b/N, wówczas prawdopodobieństwa określane wzorami (1.1) i {1.2) przedstawiamy następująco:

(1.5) (m-1) p[k,-a]q[m-k,-aJ

P(X = m) = p(k, p, 1, a)= k-l icm.-aJ ' gdziem= k,k+l, ... , p = M/N, O <p < 1, q = 1-p,i (dla a< O)

(1.6) -ka~ p -(m-k)a ^~ q

oraz

(1.7) (k+r-1) p[k,-a]q[r,-a]

P(X = r) = p(k, p, 1, a) = r }1.k+.::=a-1 ' r = O, 1, „. , p = M/ N, O < p < ^{1 ,} q = 1 - p i (dla a < ^O)

(1.8) -ka~ p -ra ^~ q.

We wzorze (1.5) p oraz a ^są liczbami wymiernymi. Można wykazać, że (1.5) określa rozkład prawdopodobieństwa przy dowolnym (niekoniecznie wymiernym) p > O oraz dowolnym a.

Rozkład dany wzorem (1. 7) jest szczególnym przypadkiem uogólnionego roz- kładu hipergeometrycznego postaci

(1.9) r=0,1,2,.„,

rozpatrywanego w [8], przy następujących warunkach na parametry:

(l.10) n= -k, Np-N

a= b ' N

C=--1. b Szczególnymi przypadkami ujemnego ^rozkładu Pólyi ^są

- odwrotny ^rozkład hipergeometryczny (rozróżnienie terminologiczne: odwrot- ny - ujemny ^rozkład hipergeometryczny patrz [9], str. 29; ^rozkład ten bywa

także nazywany ^rozkładem hipergeometrycznym czasu czekania ^(tamże, str. 27 lub [IO], str. 141, [IOaJ, str. 154),

- ujemny rozkład dwumianowy (rozkład Pascala).

Odwrotny ^rozkład hipergeometryczny otrzymujemy podstawiając w (l.l) lub (1.3) b = -1, tzn. ^rozkład ten przyjmuje jedną z postaci

(1.11) (m-1) (Np)Ckl(Nq)Cm-kJ

P(X=m)=p(k,p,N,-1)= k-t ·---- NCmJ '

m = k, k +I, ... , O < p < I, q = 1 - p,

(1.12) P(X = r) = p(k p N - I) _{' ' - '} = (k+r-1) _r ---(Np)Ckl(Nq)CrJ _{NCk+rJ '} r =O, 1, ... , O<p<l,q=I-p.

Ujemny ^rozkład dwumianowy otrzymujemy wstawiając do (1.5) lub (1. 7) a = O.

Mamy wtedy

(I.13) ^{P(X = m) = p(k, p) = k-1} (m-1) pkqm-k' m=k,k+l,.„, gdzie O < p < 1, q = ^{1 - p, oraz}

(l.14) ^{P(X = r) = p(k, p) =} (k+r-1) ^{r pkqr, r=0,1,„.,}

gdzie O < p < 1, q = 1-p.

Jeżeli we wzorach (1.13) i (1.14) podstawimy k = l, to otrzymamy szczególny przypadek ^rozkładu Pascala: rozkład geometryczny

(l.15) P(X = m) = pqm-^{1 , m} = 1, 2, .„,

gdzie O < p < l, q = l - p, lub

(l.16) P(X=r)=pq', r=O,l, ... ,

gdzie O <p < 1, q = 1-p.

50 T. Ger sten kor n, J. Jar z ^ę b ska

2. Momenty niekompletne odwrotnego ^rozkładu Pólyi. Moment czynnikowy

rzędu I zmiennej losowej X o rozkładzie dyskretnym p(x) określamy wzorem (2.1) ot[l] -^- .L..J ~ ^X [l] ( ) p ^{X •}

X

Jeżeli sumowanie po x jest ograniczone przez ustaloną wartość zmiennej losowej X, na ^przykład przez s, to moment czynnikowy nazywamy niekompletnym lewostron- nym i oznaczamy przez ^cx~11(s); jeżeli sumowanie zaczyna się dopiero od ^wartości r = s+ 1, to mówimy o momencie niekompletnym prawostronnym i piszemy ^cx~;1^{(s+ 1).}

Biorąc pod uwagę rozpatrywane tutaj ^rozkłady dyskretne, mamy

s

(2.2) ix~11^{(s) =}

L

oo

(2.3) a~;J(s+ 1) =

L

r=s+1

Między momentami podanych rodzajów zachodzi ^związek otc11 = a~11^{(s)+ a~;}1^{(s+ 1),}

który pozwala ^uzyskać np. momenty prawostronne przy wyznaczonych uprzednio momentach lewostronnych i kompletnych.

Momenty ^zwykłe cx.1 otrzymuje ^się z czynnikowych w oparciu o wzór ([1], (54), str. 398; [2], (15), str. 134; [6], (7.3), str. 217)

I

r:t.1 =

L

k=1

oraz ^tablicę liczb Stirlinga Sk, 1 drugiego rodzaju, zamieszczoną np. w [7], str. 52 lub [7a], str. 49.

Udowodnimy teraz następujące twierdzenie:

TWIERDZENIE I. Moment czynnikowy niekompletny lewostronny ^rzędu I odwrot- nego ^rozkładu Pó/yi (1. 7) wyraża się wzorem

(a) o, l > s,

p[k,-a]q[s,-a]

l = s, ' (k + s-^l)[s) l ^{[k+s,-a] ,}

(2.4) (b) _(c) a,¹¹ (s) =

I _{t (r~I)!}

D o w ó d. Korzystając z definicji momentu czynnikowego lewostronnego uwzględniając wzór na prawdopodobieństwo odwrotnego ^rozkładu Pólyi (1. 7),

mamy

li

' ~ [l] (k+r-1) p[k,-a]q[r,-a]

CXC11(s) = ^{~ r} r ICk+r,-a] • r=O

Niech I> s; wówczas z uwagi na to, że rc11 = O dla r = O, 1, ... , s, CX~1ls) = 0.

Niech I = s. Wtedy

,csJ i= O tylko dla r = s, więc wstawiając do odwrotnego rozkładu Pólyi s zamiast r i uwzględniając, że sCsJ = s!, otrzymujemy (2.4b).

Niech I< s. Wówczas

li

' - ~ [I] (k+r-1) pCk,-aJq[r.-a J

0Cc11(s) - L .... / ^r 1 ^Ck+r,-aJ

r=O

li s

= "-, (k + ^r-I)LrJ pCk.-a1qcr.-a1 ~ 1

~ (r-l)! ^}Ck+r.-a] = ~ (r-l)! CX~r1(r),

r=l r=l

czyli zachodzi (2.4c).

WNIOSEK 1. Moment czynnikowy rzędu I odwrotnego ^rozkładu Pólyi postaci (1.7)

wyraża się wzorem

( _ k)Cllq[Z,-a]

(X[l] = (a_ p)CZ,-aJ .

(2.5)

Do wód. ^Jeżeli sumowanie po r w ^równości (c) wzoru (2.4) rozszerzymy do

nieskończoności, tzn. r = O, I , ... , to wzór ten będzie wyrażał moment kompletny odwrotnego ^rozkładu Pólyi.

Skorzystamy w dowodzie z następującej równości:

„ ^(-p/a)CkJ (1/a-l)C-k-rJ (-1) (-f/a)Ck+rl = (p/a-I)C-kl . Mamy więc

oo oo

~ 1 , ~ (k+r-I)Cr]

cx[IJ = ~ (r--1)( CXcr1(r) = ~ (r-l)!

r=I r=I

00 (k+r-1)

- "-, r r! (-p/a)C"l(-ą/a)CrJ

- ^~ -- (r-1)!- - --T~T/a)Ck+rl - = r=l

p[k,-a]q[r,-a]

1 [k+r.-a]

52 ^{T. G} e r s te n k o r n, J. J a r z ^ę b s ka

(-k)C'l(-q/a)Cll ^~ oo (-k-l)Cr-l] (1/a-l)C-k-r](-q/a-l)Cr-IJ (p/a-l)Cl1 ~ (r-1)! (p/a-1-l)C-k-tJ

r=l

( -k)c'1ąc'·~-~ ~ oo (-k-1) ( ^{-1y-'( -p/a +1p+11c -ą/a -w-11}

(a-p)Cl,-a] ~ r-1 ( -1/a)Ck+rf

r=l

( _ k)'q[l,-a]

(a_ p)Cl.-a] ' ponieważ przyjmując u= k+l, v = r-l mamy

~ oo (k+r-1) -~-~la)lk+l,-aJ(q +la)lr-l,-a] =

~ r-1 1rk+r.-a1

r•I

oo oo

=

L (

L

v=O v=O

WNIOSEK 2. Moment_ czynnikowy niekompletny lewostronny ^rzędu l < s odwrot- nego ^rozkładu Pólyi (1.7) wyraża się wzorem

(2.6) IX~z1^(s) = <Xcn<X~(k + ^{l, p-la, 1, s-l),}

gdzie moment occzJ jest dany przez ^(2.5), a oc~(k+l, p-la, 1, s-1) oznacza nie- kompletny lewostronny moment ^rzędu zerowego odwrotnego ^rozkładu Pólyi postaci (2.7) P(X = r-1) = p(k+l,p-la, 1,s-l) =

= ( k :~~ 1) _(p_~_!__a_)_Ck+~l~;~~h /a p-z,-a] . Do wód. Korzystając z postaci (c) wzoru (2.4) oraz J\tosując przekształcenia

analogicznie jak w dowodzie wniosku 1, otrzymujemy

s s

, ^~ 1 , '\' (k+r- l)fr] p[k,-a]q[r,-a]

<Xcz1(s) = ~ (r-1)! CXcr1(r) = L.J ^{-er~ 1ck+r.-a1}

r=I r=I

= IX ~ s (k+r-1) (p-!~)Ck+l.-al(q +la)Cr-l,-a] _

[I] ~ r-1 1 Ck+r,-a] -

r=I

= ^{C( ~} a-I (k+l+u-1) (p-/a)Ck+l,-a](q +la)[u,-a]

[l] ~ u 1 ^{k+l+u,-a] =}

U=O

= IXclJll~(k+l,p-la, I, s-1).

Powyższe twierdzenie i wnioski można również odnieść do ^rozkładu Pólyi ^zwią­

zanego ze schematem urnowym (1.3) jak i do szczególnych przypadków odwrot- nego ^rozkładu Pólyi.

WNIOSEK 3. Moment czynnikowy niekompletny lewostronny rzędu l odwrotnego

rozkładu Pólyi związanego ze schematem urnowym (1.3) wyraża się wzorem

f ^{O, l > s,}

(2.8)

I ^[s] (Np)[k,-bl(Nq)Cs,-b]

' l

occ1ls) =

~ 1 '

I

I= s,

l < s.

D o w ó d. Wzór (2.8) otrzymujemy ze wzoru (2.4) stosując przekształcenie

a= b/N.

WNIOSEK 4. Moment czynnikowy ^rzędu l odwrotnego ^rozkładu Pólyi związanego

ze schematem urnowym Pólyi (1.3) wyraża się wzorem

(2.9) ( _ k)[ll(Nq)Cl,-bJ

a[I] = (}:...Np)C'·-bl •

Do wód. Wzór (2.9) otrzymujemy podstawiając a = b/N do wzoru (2.5).

WNIOSEK 5. Moment czynnikowy niekompletny lewostronny ^rzędu l < s odwrot- nego ^rozkładu Pólyi związanego ze schematem urnowym Pólyi (1.3) wyraża się wzorem (2.10) e<~zls) = rtcne<~(k+l, Np-lb, N, s-1),

gdzie moment occ₁₁ jest dany łvzorem (2.9), a ^oc~(k+l, Np-lb, N, s-1) oznacza nie- kompletny lewostronny moment rzędu zerowego odwrotnego rozkładu Pólyi postaci (2.11) P(X = r-1) = p(k+l,Np-la,N, b) =

_ (k+r-1) (Np-lb)Ck+l.-bl(N_9 + lb)C'-~=-~l-

- r-1 NCk+r.-b] ·

D o w ó d. Powyższe wzory otrzymujemy ze wzorów wniosku 2 przyjmując

oznaczenie a = ^{b /N.}

WNIOSEK 6. Moment czynnikowy niekompletny lewostronny rzędu I odwrotnego

rozkładu hipergeometrycznego (1.12) wyraża się wzorem

o, l > s,

(k+s-J)CsJ.(Np)Ckl(Ną)CsJ l

' Nfk+s] ' = ^S,

CXc11(s) =

l

(2.12)

Do wód. Wzór (2.12) otrzymujemy ze wzoru (2.8) stosując podstawienie b = -1.

54 T. Ger s te n kor n, J. J a r z ^ę b s ka

WNIOSEK 7. Moment czynnikowy odwrotnego ^rozkładu hipergeometrycznego {l.12)

wyraża się wzorem

(2.13) ( - k)[ll(Nq)C'J

CX[I] = ( - I -Np)C^1l

D o w ó d. ^Powyższy wzór otrzymujemy podstawiając b = - I we wzorze (2.9).

WNIOSEK 8. Moment czynnikowy niekompletny lewostronny ^rzędu l < ^{s odwrot-}

nego ^rozkładu hipergeometrycznego (I .12) wyraża się wzorem (2.14)

gdzie moment a.en jest dany wzorem (2.13), a ^a.~(k+l, Np+!, N, s-l) oznacza nie- kompletny lewostronny moment ^rzędu zerowego odwrotnego ^rozkładu hipergeometrycz- nego postaci

(k+r-1) (Np+l)Ck+ll(Nq-l)C"-'l (2.15) P(X = r-l) = p(k+l,Np+l,N, -I)= r-l Nlk+rl . •

D o w ó d. ^Powyższe wzory otrzymujemy wstawiając b = - I do wzorów (2.10) i (2.11).

WNIOSEK 9. Moment czynnikowy niekompletny lewostronny ^rzędu I ujemnego

rozkładu dwumianowego (1.14) wyraża się wzorem

(2.16)

O,

(k+s- I)C5¹pkqS,

l > s, l = s,

~-.., 1 ¹

~ (r-1)! cxc„J{r), l < s.

r=I

Do wód. Wzór (2.16) otrzymujemy ze wzoru (2.4) ^stosując podstawienie a= O.

WNIOSEK 1 O. Moment czynnikowy ^rzędu l ujemnego ^rozkładu dwumianowego (1.14) wyraża się wzorem

(2.17) ll'ctJ ~ kC-IJ(-f )'.

D o wód. ^Powyższy wzór otrzymujemy wstawiając a= O do wzoru (2.5).

WNIOSEK 11. Moment czynnikowy niekompletny lewostronny ^rzędu I < s ujemnego

rozkładu dwumianowego (1.14) wyraża się wzorem (2.18)

gdzie moment rx.u1jest dany wzorem (2.17), a a.~(k+l,p, s-1) oznacza niekompletny lewostronny moment ^rzędu zerowego ujemnego ^rozkładu dwumianowego postaci (2.19) ^{P(X = r-l) = p(k+l, p) =} (k+r-1) ^{r-l pk+1q'-'.}

D o w ó d. ^Powyższe wzory otrzymujemy podstawiając a = O do wzorów (2.6) i (2.7).

WNIOSEK 12. Moment czynnikowy niekompletny lewostronny ^rzędu I ^rozkładu geometrycznego (1.16) wyraża się wzorem

(2.20) e>:clJ(s) ^, = l

I

I~ -v-o, "',i(r),

l > s, l = s, l < s.

Do wód. Wzór (2.20) otrzymujemy ze wzoru (2.16) ^stosując podstawienie k = 1.

WNIOSEK 13. Moment czynnikowy rzędu I rozkładu geometrycznego (1.16) wyraża się wzorem

(2.21) "'en = I! ( {-)'.

D o w ód. ^Powyższy wzór otrzymujemy wstawiając k = 1 do wzoru (2.17).

WNIOSEK 14. Moment czynnik owy niekompletny lewostronny rzędu I < s rozkładu

geometrycznego (1.16) wyraża się wzorem (2.22)

gdzie moment ~en jest dany wzorem (2.21), a ~~(I +I, p, s-1) oznacza niekompletny lewostronny moment rzędu zerowego rozkładu geometrycznego postaci

(2.23)

O o wód. ^Powyższe wzory otrzymujemy podstawiając k = 1 do wzorów (2.18) i (2.19).

U w a g a. ^Ponieważ celem pracy ^było systematyczne, całościowe ujęcie tematu, nie ^pominięto w niej i tych wzorów, które co prawda ^są znane, ale ^były otrzymane na innej drodze. Dotyczy to wzorów na momenty ujemnego ^rozkładu dwumiano- wego, które w pracy [4] otrzymano przez transformację rozkładu dwumianowego, tutaj natomiast są one prostym, szczególnym przypadkiem wyjściowego rozkładu Pólyi ^(rozkład geometryczny uwzględniono jako szczególny przypadek ujemnego rozkładu dwumianowego dla wygody użytkownika wzorów w zastosowaniach).

Wzór (2.5) jest ^możliwy do otrzymania z (15) ([8], str. 208) za pomocą podstawień ' (l.10) dotyczących rozkładu (1.9).

3. Wzory rekurencyjne na momenty niekompletne odwrotnego ^rozkładu Pólyi i jego przypadków szczególnych. Na podstawie paragrafu 2 otrzymujemy następujące związki rekurencyjne na momenty czynnikowe niekompletne lewostronne:

56 ^{T. G e r s t e n k o r n, J. Ja r z ę b s k a}

(a) Dla odwrotnego ^rozkładu Pólyi postaci (1. 7) na podstawie (2.4) mamy

r^o, k(p+ (k- l)a) ^(ą + (s-1)a) , () ^l>s, ' 1 + ^{(k+s-1)a CXcs-11 s ' l} = s, (3.1) cxm(s) =

~ k (p+(k-l)a)(q+(r-l)a)

~ (r-l)! 1 +(k+r-1)a cx;,_lJ(r), l < s.

r=l

Biorąc pod ^{uwagę, że} (patrz wzór (2.5))

(3_2) ^{ex _} (-k-l+ 1)(q+(l-1)a)

m - (a-p-ł-(l-I)a) otrzymujemy na podstawie (2.6), dla l < s,

(3.3) / (-k-l+l)(q+(l-l)a) ^f

cxczls) = --(a-p+(l-l)a) cxu-1¹11.o(k+l,p-la, I,s-l).

(b) Dla odwrotnego ^rozkładu Pólyi związanego ze schematem urnowym po·

staci (1.3) wzór rekurencyjny na moment czynnikowy niekompletny lewostronny

rzędu I otrzymujemy na podstawie (2.8)

I ^{O, l > s,}

I k(Np+ (k- l)b )(Ną + (s- l)b) , ( )

' . N +(k+s- l)b ---- ^CXcs-11 s ' l = s, CXcz₁(s) =

~ k (Np+ (k-I)b )(Nq+(r-I)b) , ()

~(r-l)! N+(k+r-I)b --- fJ,_iJr, l<s.

(3.4)

r=l

Biorąc pod ^{uwagę, że} (patrz wzór (2.9))

(3.5) (-k-l+ l)(Nq+(l- I)b)

11.clJ = --- {b-Nq+(Z-I)T)- ^cxCl-l1' otrzymujemy na podstawie (2.10), dla I < s,

(3.6) , (-k-l+l)(Nq+(l-l)b) ,

CXrlJ(s) = (b +Nq + ^{(l- l)b) cxu-ncx0}(k +l, Np-lb, N, s-1).

(c) Dla odwrotnego ^rozkładu hipergeometrycznego (1.12) wzór rekurencyjny na moment czynnikowy niekompletny lewostronny ^rzędu I uzyskujemy na pod·

stawie (2.12)

(3.7)

I

' N-(k+s-1) CXrs-11S,

cx[l](s) =

I

I:(~-/)! ^N-(k+r-1) CXrr-11(r),

r=I

l > s, l = s, l < s.

Biorąc pod uwagę, że (wzór (2.13))

(k-l+ 1) (Nq-l+ 1) cxcn = - p-N l °'C1-11' (3.8)

otrzymujemy na podstawie (2.14), dla I < s,

(3.9) °'c11(s) ^I = (-k-l+ l)(Nq-l+ - p-N z 1) ric1-11°'o(k+l, Np+l, N, s-T). ^I

(d) Dla ujemnego rozkładu dwumianowego postaci (l.14) wzór rekurencyjny na moment czynnikowy niekompletny lewostronny rzędu I otrzymujemy na pod- stawie (2.16)

(3.10)

Biorąc pod uwagę, że (patrz wzór (2.17))

(3.11) eten= (k+l-1) !L _p etci-1_1, otrzymujemy na podstawie (2.18), dla I< s,

l > s, l = s, l < s.

(3.12) a[11(s) ⁼ (k+l- l)_i_ _p cxCl-ucx~(k+l, p, s-l).

(c) Dla rozkładu geometrycznego postaci (1.16) wzór rekurencyjny na moment czynnikowy niekompletny lewostronny rzędu I otrzymujemy na podstawie (2.20)

ł

1

pqa;s-l](s),

(3.13) <Xc11(s) ⁼

I ^f;

Biorąc pod uwagę, że (patrz (2.21)) (3.14)

otrzymujemy na podstawie (2.21), dla I < s, (3.15)

l > s, l = s, l < s.

58 ^{T. G e r s t e n k o r n, J. J a r z ę b s k a} Prace cytowane

[1] G. Boh Im a n n, Formulierung und Begriindung zweier Hi/fssiitze der mathematischen Sta- tistik, Math. Ann„ 74 (1913), 341-409.

[2] W. D y c z k a, The moments of Pólya distribution. Special case, Ann. Soc. Math. Polonae, ser. I Comment. Math. (Prace Matem.), 13 (1969), 129-139.

[3] F. E g gen ber g er, G. P ó I y a, Ober die Statistik verketteter Vorgiinge, Z. Angew. Math.

Mech., 3, 4 (1923), 279-289.

(4] T. Ger sten kor n, Incomplete moments of basie discrete probability distributions, Rev.

Roumaine Math. Pures Appl. 26, 3 (1981), 405-416.

[5] -, Incomplete moments of the Pólya distribution, Bull. Inst. Internat. Statist., Proc. of the 40th Session Warsaw, 46, 3 (contributed papers) (1975), str. 290-294.

[6] -, Numerische Methoden zur Anwendung der Formeln fiir die Momente der Wahrscheinlich- keitsverteilungen, Wiss. Z. Techn. Hochsch. Otto von Guericke Magdeburg, 13, 3/4 (1969), 213-219.

[7] A. K a u fm a n n, Jntroduction a la combinatorique en vue des app/ications, Dunod, Paris 1968.

[7a] A. Ko <P Ma H, BBeoeuue 8 npuKAaoHyJO KoM6uHamopw<y, Hayi<a ^(rrepeao~ c <Ppam~.)„

Moc1<Ba 197 5.

[8] C. D. Kem p, A. W. Kem p, Genera/ized hypergeometric distributions, J. Roy. Statist.

Soc. Ser B, 18, 2 ( 1956), 202-211.

[9] G. Pat i 1, S. W. Josh i, C. R. Ra o, A dictionary and bibliography of discrete distri- butions, Oliver and Boyd, Edinburgh 1968.

[10] S. S. W i Iks, Mathematical statistics, New York 1962.

[lOa] C. Y ^{H JI} Kc, MameMamu"lecKaR cmamucmuKa, HayKa (rrepeao~ c aHI'.), Moc1ma 1967.