26DRAP - Funkcje tworzące momenty

26DRAP - Funkcje tworzące momenty

Definicja. 1. Funkcją tworzącą momenty zmiennej losowej X nazywamy funkcję MX(t) = E(e^tX)

o ile istnieje dla każdego t ∈ (−t0, t0), dla pewnego t0> 0.

Twierdzenie. 1 (O jednoznaczności). Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej jest jednoznacznie wyznaczony przez jej funkcję tworzącą momenty (o ile jest ona określona na przedziale (−t0, t0), t0> 0).

Twierdzenie. 2. Niech X, Y będą zmiennymi losowymi posiadającymi funkcje tworzące momenty.

(i) Dla dowolnych a, b ∈ R, MaX+b(t) = e^btM_X(at).

(ii) Dla niezależnych X i Y mamy M_X+Y = M_X· M_Y.

Twierdzenie. 3. Jeżeli M_X(t) < +∞ dla t ∈ (−t₀, t₀), gdzie t₀> 0, to (a) E|X|^k < +∞ dla każdego k ∈ N;

(b) MX(t) =

∞

X

k=0

EX^k

k! t^k dla t ∈ (−t0, t0);

(c) M_X^(k)(0) = EX^k dla k ∈ N.

Twierdzenie. 4. Twierdzenie (o ciągłości) Niech X, X₁, X₂, . . . będzie ciągiem zmiennych losowych, których funkcje tworzące momenty, M_X i M_Xk dla k = 1, 2, 3 . . . są określone w przedziale (−t₀, t₀) o dodatniej długości.

Jeśli MX_n−−−−→

n→∞ MX dla t ∈ (−t0, t0), to Xn

−→ X.D

Funkcje tworzące momenty „słynnych” rozkładów:

Rozkłady dyskretne

nazwa rozkładu parametry skupiony na zbiorze P (X = k) E(X) Var(X) gX(s) MX(t) dwumianowy n, p {0, 1, 2, . . . , n} ⁿ

k

p^k(1 − p)^n−k np np(1 − p) (q + ps)ⁿ (q + pe^t)ⁿ

Poissona λ {0, 1, 2, . . .} ^λ_k!^ke^−λ λ λ e^λ(s−1) e^λ(et−1)

geometryczny p {1, 2, . . .} (1 − p)^k−1p ¹_p ^1−p_p2

ps 1−qs

pe^t 1−qe^t

ujemny dwumianowy

p, r {r, r + 1, . . .} ^k−1

r−1

p^r(1 − p)^{k−r r}_p ^r(1−p)_{p2 1−qs}^ps
r 

pe^t 1−qe^t

^r

hipergeometryczny N, m, n {0, 1, 2, . . . , n}

m k

_{N −m}

n−k

N n

nm N

nm(N −m)(N −n) N²(N −1)

Rozkłady ciągłe

nazwa rozkładu parametry gęstość E(X) Var(X) MX(t)

normalny N (m, σ²) f (x) =^√1

2πσ²e⁻

(x−m)2

2σ2 m σ² e^{mt+σ2 t22}

wykładniczy λ f (x) =

λe^−λx dla x ­ 0

0 w przeciwnym wypadku

1 λ

1 λ²

λ λ−t

jednostajny na odcinku

[a, b] f (x) =

 ₁

b−a dla a ¬ x ¬ b

0 w przeciwnym wypadku

a+b 2

(a−b)² 12

e^tb−e^ta t(b−a)

Przypomnienie:

e^x=

∞

X

k=0

x^k k!

A Zadania na ćwiczenia

Zadanie A.1. Wyznacz z definicji funkcję tworzącą momenty dla zmiennej losowej X o rozkładzie:

a. o rozkładzie P (X = 0) = P (X = 4) = ¹4, P (X = 2) =¹2; b. o rozkładzie geometrycznym Geom(p);

c. o rozkładzie wykładniczym Exp(λ).

Zadanie A.2. Porównaj definicję funkcji tworzącej (prawdopodobieństwa) i funkcji tworzącej momenty dla rozkładów dyskretnych. Porównaj gX i MX dla „słynnych rozkładów”. Wyznacz szybko funkcję tworzącą momenty dla zmiennych loswych o funkcjach tworzących (prawdopodobieństwa): gX(s) = ₂₄¹((s + 4)²− 1), gX(s) = ¹₃(e^s+ (3 − e)).

1

Zadanie A.3. Zmienna losowa X ma funkcję tworzącą momenty postaci M_X(t) = 1

6e^−2t+1

3e^−t+1 4e^t+1

4e^2t. Wyznacz P(|X| ¬ 1).

Zadanie A.4. Zmienna losowa X o rozkładzie normalnym N (0, 1) ma funkcję tworzącą momenty M_X(t) = e^t2/2.

Wyznacz EX^k dla k = 1, 2, 3, . . .

Zadanie A.5. Zmienna losowa ciągła X ma gęstość:

f (x) =

(2x, dla x ∈ [0, 1];

0 w p.p.

Wyznacz MX(t) na dwa sposoby:

a. wyznaczając wszystkie momenty zwykłe EX^k, k = 0, 1, 2, . . .;

b. z definicji (tu przyda się całkowanie przez części).

Porównaj uzyskane wyniki.

Zadanie A.6. Pewne towarzystwo ubezpiecza domy w trzech miastach: A, B oraz C. Szkody spowodowane przez huragan w tych miastach są niezależnymi zmiennymi losowymi o funkcjach tworzących momenty równych odpowiednio

MA(t) = (1 − 2t)⁻³, MB(t) = (1 − 2t)⁻⁵², MC(t) = (1 − 2t)⁻⁹². Zmienna losowa X stanowi sumę szkód powstałych w miastach A, B oraz C. Wyznacz E(X³).

Zadanie A.7 (Zad. 1, §8.5.). Zmienna losowa Xn przyjmuje wartości k/n, k = 0, 1, 2, . . . , n − 1 z jednakowymi prawdo- podobieństwami. Wyznacz MX_n(t), zbadaj jej zbieżność i zidentyfikuj rozkład graniczny. (Wskazówka: limx→0e^x−1

x = 1.) Zadanie A.8. Dowolna zmienna losowa o rozkładzie normalnym standaryzowanym N (0, 1) ma funkcję tworzącą momenty M (t) = e^t2/2. Wywnioskuj z niej wzór na funkcję tworzącą momenty zmiennej losowej Y ∼ N (m, σ²).

Wskazówka: Y = σX + m dla pewnej zmiennej losowej X ∼ N (0, 1).

Zadanie A.9. Zmienne losowe Y1 i Y2 są niezależne o tym zamym rozkładzie N (1, 3). Jaki rozkład ma zmienna losowa Z = Y1+ Y2?

B Zadania domowe

Zadanie B.1. Wyznacz z definicji funkcję tworzącą momenty zmiennej losowej X o rozkładzie jednostajnym na przedziale [3, 5]. Wyznacz momenty zwykłe tego rozkładu korzystając z odpowiednich rozwinięć funkcji tworzącej momenty w szereg.

Zadanie B.2. Wyznacz, najszybciej jak potrafisz, funkcję tworzącą momenty zmiennej losowej o gęstości:

f (x) =

(3x², dla x ∈ [0, 1];

0 w p.p.

Zadanie B.3. Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na odcinku [0, 1] z funkcją tworzącą momenty M_X(t) = ^et−1_t . Wyznacz funkcję tworzącą momenty dla zmiennej losowej aX + b. Jaki słynny rozkład ma ta zmienna losowa? Zastanów się dlaczego.

Zadanie B.4. Wyznacz funkcję tworzącą momenty dla sumy dwóch niezależnych zmiennych losowych o rozkładach wykładniczych z parametrem 1.

Zadanie B.5 (Zad. 2, §8.5.). Zmienna losowa Xn ma rozkład geometryczny Geom(λ/n), λ > 0. Wyznaczyć funkcję tworzącą momenty dla Yn= Xn/n, zbadać zbieżność przy n → ∞ i zidentyfikować rozkład graniczny ciągu z.l. {Yn}.

Zadanie B.6 (Zad. 3, §8.5.). Niech S_n ∼ Bin(n, p) będzinie zmienną losową o rozkładzie dwumianowym. Wyznaczyć funkcje tworzące momenty dla:

a. Xn= Sn/n;

b. X_n= (S_n− np)/(√ npq).

Zbadać zbieżność tych funkcji przy n → ∞ i zidentyfikować rozkład graniczny ciągu z.l. {Xn}.

2

Rozwiązania niektórych zadań

B.1 MX(t) = ^e5t_2t^−e3t dla t 6= 0, MX(0) = 1;

EX^k= ^5k+1_2(k+1)^−3k+1

B.2 MX(t) = _t³3 e^t(t²− 2t + 2) − 2

B.3 MX(t) = ^e(a+b)t_at^−ebt; rozkład jednostajny na odcinku [b, a + b]

B.4 MX(t) = _(1−t)¹ 2, t ∈ (−1, 1)

3