10stycznia2017 MaciejJ.Mrowiński Drgania

Drgania

Maciej J. Mrowiński

mrow@if.pw.edu.pl

Wydział Fizyki Politechnika Warszawska

10 stycznia 2017

Prosty ruch harmoniczny

Prosty ruch harmoniczny

Ruch drgający, w którym na ciało działa siła proporcjonalna do wychylenia z punktu równowagi, skierowana zawsze w kierunku tego punktu równowagi.

x

F = −kx (prawo Hooke’a)

Prosty ruch harmoniczny

Prosty ruch harmoniczny

Ruch drgający, w którym na ciało działa siła proporcjonalna do wychylenia z punktu równowagi, skierowana zawsze w kierunku tego punktu równowagi.

x

F = −kx (prawo Hooke’a)

Prosty ruch harmoniczny

Prosty ruch harmoniczny

Ruch drgający, w którym na ciało działa siła proporcjonalna do wychylenia z punktu równowagi, skierowana zawsze w kierunku tego punktu równowagi.

x

F = −kx (prawo Hooke’a)

Prosty ruch harmoniczny

Prosty ruch harmoniczny

Ruch drgający, w którym na ciało działa siła proporcjonalna do wychylenia z punktu równowagi, skierowana zawsze w kierunku tego punktu równowagi.

x

F = −kx (prawo Hooke’a)

Łączenie sprężyn

k₁

k₂

→

k _z = k 1 + k 2

Łączenie sprężyn

k₁

k₂

→

k _z = k 1 + k 2

Łączenie sprężyn

k₁ k₂

→

k _z = k ₁ + k ₂

Łączenie sprężyn

k₁ k₂

→

k _z = k ₁ + k ₂

Łączenie sprężyn

k₁ k₂

→

1 k z

= 1 k 1

+ 1

k 2

Łączenie sprężyn

k₁ k₂

→

1 k z

= 1 k 1

+ 1

k 2

Łączenie sprężyn

k₁ k₂

→

1 k z

= 1 k 1

+ 1 k 2

Przecięta sprężyna:

k₀

→

α, k₁ 1-α, k₂

k 1 = k 0

α , k 2 = k 0

1 − α

Łączenie sprężyn

k₁ k₂

→

1 k z

= 1 k 1

+ 1 k 2

Przecięta sprężyna:

k₀

→

α, k₁ 1-α, k₂

k 1 = k 0

α , k 2 = k 0

1 − α

Równanie oscylatora harmonicznego

m d ² x

dt ² = −kx

d ² x

dt ² = −ω ² ₀ x gdzie ω ₀ = pk/m - częstość

x (t) = A cos(ω ₀ t + φ ₀ )

A - amplituda

φ 0 - przesunięcie fazowe ω 0 t + φ 0 - faza

T = ^2π _ω

0

- okres

f = _T ¹ - częstotliwość

Równanie oscylatora harmonicznego

m d ² x

dt ² = −kx d ² x

dt ² = −ω ² ₀ x gdzie ω ₀ = pk/m - częstość

x (t) = A cos(ω ₀ t + φ ₀ )

A - amplituda

φ 0 - przesunięcie fazowe ω 0 t + φ 0 - faza

T = ^2π _ω

0

- okres

f = _T ¹ - częstotliwość

Równanie oscylatora harmonicznego

m d ² x

dt ² = −kx d ² x

dt ² = −ω ² ₀ x gdzie ω ₀ = pk/m - częstość

x (t) = A cos(ω ₀ t + φ ₀ )

A - amplituda

φ 0 - przesunięcie fazowe ω 0 t + φ 0 - faza

T = ^2π _ω

0

- okres f = _T ¹ - częstotliwość

0 1 2 3 4 5

−1.0−0.50.00.51.0

t

x(t)

Związek z ruchem po okręgu

x

φ R sinφ R

R cosφ

Ruch po okręgu ze stałą prędkością kątową ω (ϕ = ωt) jest złożeniem

dwóch drgań harmonicznych przesuniętych o ^π ₂ .

Energia potencjalna

U(x ) = − Z x

0

(−kx )dx = 1 2 kx ²

H = mv ² 2 + kx ²

2 = kA ² 2

−4 −2 0 2 4

024681012

x

U(x)

Energia potencjalna

U(x ) = − Z x

0

(−kx )dx = 1 2 kx ²

H = mv ² 2 + kx ²

2 = kA ² 2

−4 −2 0 2 4

024681012

x

U(x)

Wahadło

m d ² x

dt ² = −mg sin ϕ

ale x = Lϕ mL d ² ϕ

dt ² = −mg sin ϕ dla małych ϕ możemy zastosować przybliżenie sin ϕ ≈ ϕ

mL d ² ϕ

dt ² = −mg ϕ ruch harmoniczny z ω ² = ^g _L

φ L

x

Wahadło

m d ² x

dt ² = −mg sin ϕ

ale x = Lϕ mL d ² ϕ

dt ² = −mg sin ϕ dla małych ϕ możemy zastosować przybliżenie sin ϕ ≈ ϕ

mL d ² ϕ

dt ² = −mg ϕ ruch harmoniczny z ω ² = ^g _L

φ L

mg

Wahadło

m d ² x

dt ² = −mg sin ϕ ale x = Lϕ

mL d ² ϕ

dt ² = −mg sin ϕ

dla małych ϕ możemy zastosować przybliżenie sin ϕ ≈ ϕ

mL d ² ϕ

dt ² = −mg ϕ ruch harmoniczny z ω ² = ^g _L

φ L

mg

Wahadło

m d ² x

dt ² = −mg sin ϕ ale x = Lϕ

mL d ² ϕ

dt ² = −mg sin ϕ dla małych ϕ możemy zastosować przybliżenie sin ϕ ≈ ϕ

mL d ² ϕ

dt ² = −mg ϕ

ruch harmoniczny z ω ² = ^g _L

φ L

mg

Wahadło

m d ² x

dt ² = −mg sin ϕ ale x = Lϕ

mL d ² ϕ

dt ² = −mg sin ϕ dla małych ϕ możemy zastosować przybliżenie sin ϕ ≈ ϕ

mL d ² ϕ

dt ² = −mg ϕ ruch harmoniczny z ω ² = ^g _L

φ L

mg

Drgania tłumione

m d ² x

dt ² = −kx − b dx dt

drgania tłumione ∆ < 0 x (t) = Ae ⁻

^βt sin  1

2 q

4ω ² ₀ − β ² t



drgania przetłumione ∆ > 0 x (t) = Ae ⁻

^βt

h e

√

∆t − e ⁻

√

∆t i

Drgania tłumione

d ² x

dt ² = −ω ₀ ² x − β dx dt

∆ = β ² − 4ω ₀ ²

drgania tłumione ∆ < 0 x (t) = Ae ⁻

^βt sin  1

2 q

4ω ² ₀ − β ² t



drgania przetłumione ∆ > 0 x (t) = Ae ⁻

^βt

h e

√

∆t − e ⁻

√

∆t i

Drgania tłumione

d ² x

dt ² = −ω ₀ ² x − β dx dt

∆ = β ² − 4ω ₀ ²

drgania tłumione ∆ < 0 x (t) = Ae ⁻

^βt sin  1

2 q

4ω ² ₀ − β ² t



drgania przetłumione ∆ > 0 x (t) = Ae ⁻

^βt

h e

√

∆t − e ⁻

√

∆t i

0 1 2 3 4 5

−0.4−0.20.00.20.40.60.8

β<2ω0

t

x(t)

Drgania tłumione

d ² x

dt ² = −ω ₀ ² x − β dx dt

∆ = β ² − 4ω ₀ ²

drgania tłumione ∆ < 0 x (t) = Ae ⁻

^βt sin  1

2 q

4ω ² ₀ − β ² t



drgania przetłumione ∆ > 0 x (t) = Ae ⁻

^βt

h e

√

∆t − e ⁻

√

∆t i

0 1 2 3 4 5

−0.4−0.20.00.20.40.60.8

β<2ω0

t

x(t)

Drgania tłumione

d ² x

dt ² = −ω ₀ ² x − β dx dt

∆ = β ² − 4ω ₀ ²

drgania tłumione ∆ < 0 x (t) = Ae ⁻

^βt sin  1

2 q

4ω ² ₀ − β ² t



drgania przetłumione ∆ > 0 x (t) = Ae ⁻

^βt

h e

√

∆t − e ⁻

√

∆t i

0.00.10.20.30.40.50.6

β>2ω0

t

x(t)

Drgania wymuszone

m d ² x

dt ² = −kx + A cos ωt

kiedy ω 6= ω 0

x (t) = 2α

ω ₀ ² − ω ² sin  ω ₀ − ω 2 t



× sin  ω ₀ + ω 2 t



kiedy ω = ω ₀ (rezonans - amplituda drgań dąży do nieskończoności)

x (t) = αt

2ω ₀ sin ω ₀ t

Drgania wymuszone

d ² x

dt ² = −ω ₀ ² x + α cos ωt

kiedy ω 6= ω 0

x (t) = 2α

ω ₀ ² − ω ² sin  ω ₀ − ω 2 t



× sin  ω ₀ + ω 2 t



kiedy ω = ω ₀ (rezonans - amplituda drgań dąży do nieskończoności)

x (t) = αt

2ω ₀ sin ω ₀ t

Drgania wymuszone

d ² x

dt ² = −ω ₀ ² x + α cos ωt kiedy ω 6= ω ₀

x (t) = 2α

ω ₀ ² − ω ² sin  ω ₀ − ω 2 t



× sin  ω ₀ + ω 2 t



kiedy ω = ω ₀ (rezonans - amplituda drgań dąży do nieskończoności)

x (t) = αt

2ω ₀ sin ω ₀ t

0 5 10 15 20

−0.04−0.020.000.020.04

α=1, ω0=2π, ω=0.20ω0

t

x(t)

Drgania wymuszone

d ² x

dt ² = −ω ₀ ² x + α cos ωt kiedy ω 6= ω ₀

x (t) = 2α

ω ₀ ² − ω ² sin  ω ₀ − ω 2 t



× sin  ω ₀ + ω 2 t



kiedy ω = ω ₀ (rezonans - amplituda drgań dąży do nieskończoności)

x (t) = αt

2ω ₀ sin ω ₀ t

0 5 10 15 20

−0.04−0.020.000.020.040.06

α=1, ω0=2π, ω=0.40ω0

t

x(t)

Drgania wymuszone

d ² x

dt ² = −ω ₀ ² x + α cos ωt kiedy ω 6= ω ₀

x (t) = 2α

ω ₀ ² − ω ² sin  ω ₀ − ω 2 t



× sin  ω ₀ + ω 2 t



kiedy ω = ω ₀ (rezonans - amplituda drgań dąży do nieskończoności)

x (t) = αt

2ω ₀ sin ω ₀ t

0 5 10 15 20

−0.06−0.04−0.020.000.020.040.06

α=1, ω0=2π, ω=0.46ω0

t

x(t)

Drgania wymuszone

d ² x

dt ² = −ω ₀ ² x + α cos ωt kiedy ω 6= ω ₀

x (t) = 2α

ω ₀ ² − ω ² sin  ω ₀ − ω 2 t



× sin  ω ₀ + ω 2 t



kiedy ω = ω ₀ (rezonans - amplituda drgań dąży do nieskończoności)

x (t) = αt

2ω ₀ sin ω ₀ t

0 5 10 15 20

−0.050.000.05

α=1, ω0=2π, ω=0.60ω0

t

x(t)

Drgania wymuszone

d ² x

dt ² = −ω ₀ ² x + α cos ωt kiedy ω 6= ω ₀

x (t) = 2α

ω ₀ ² − ω ² sin  ω ₀ − ω 2 t



× sin  ω ₀ + ω 2 t



kiedy ω = ω ₀ (rezonans - amplituda drgań dąży do nieskończoności)

x (t) = αt

2ω ₀ sin ω ₀ t

0 5 10 15 20

−0.10−0.050.000.050.10

α=1, ω0=2π, ω=0.70ω0

t

x(t)

Drgania wymuszone

d ² x

dt ² = −ω ₀ ² x + α cos ωt kiedy ω 6= ω ₀

x (t) = 2α

ω ₀ ² − ω ² sin  ω ₀ − ω 2 t



× sin  ω ₀ + ω 2 t



kiedy ω = ω ₀ (rezonans - amplituda drgań dąży do nieskończoności)

x (t) = αt

2ω ₀ sin ω ₀ t

0 5 10 15 20

−0.10−0.050.000.050.100.15

α=1, ω0=2π, ω=0.80ω0

t

x(t)

Drgania wymuszone

d ² x

dt ² = −ω ₀ ² x + α cos ωt kiedy ω 6= ω ₀

x (t) = 2α

ω ₀ ² − ω ² sin  ω ₀ − ω 2 t



× sin  ω ₀ + ω 2 t



kiedy ω = ω ₀ (rezonans - amplituda drgań dąży do nieskończoności)

x (t) = αt

2ω ₀ sin ω ₀ t

0 5 10 15 20

−0.10−0.050.000.050.100.15

α=1, ω0=2π, ω=0.80ω0

t

x(t)

Drgania wymuszone

d ² x

dt ² = −ω ₀ ² x + α cos ωt kiedy ω 6= ω ₀

x (t) = 2α

ω ₀ ² − ω ² sin  ω ₀ − ω 2 t



× sin  ω ₀ + ω 2 t



kiedy ω = ω ₀ (rezonans - amplituda drgań dąży do nieskończoności)

x (t) = αt

2ω ₀ sin ω ₀ t

0 5 10 15 20

−0.10.00.1

α=1, ω0=2π, ω=0.85ω0

t

x(t)

Drgania wymuszone

d ² x

dt ² = −ω ₀ ² x + α cos ωt kiedy ω 6= ω ₀

x (t) = 2α

ω ₀ ² − ω ² sin  ω ₀ − ω 2 t



× sin  ω ₀ + ω 2 t



kiedy ω = ω ₀ (rezonans - amplituda drgań dąży do nieskończoności)

x (t) = αt

2ω ₀ sin ω ₀ t

0 5 10 15 20

−0.2−0.10.00.10.2

α=1, ω0=2π, ω=0.90ω0

t

x(t)

Drgania wymuszone

d ² x

dt ² = −ω ₀ ² x + α cos ωt kiedy ω 6= ω ₀

x (t) = 2α

ω ₀ ² − ω ² sin  ω ₀ − ω 2 t



× sin  ω ₀ + ω 2 t



kiedy ω = ω ₀ (rezonans - amplituda drgań dąży do nieskończoności)

x (t) = αt

2ω ₀ sin ω ₀ t

0 5 10 15 20

−0.4−0.20.00.20.4

α=1, ω0=2π, ω=0.95ω0

t

x(t)

Drgania wymuszone

d ² x

dt ² = −ω ₀ ² x + α cos ωt kiedy ω 6= ω ₀

x (t) = 2α

ω ₀ ² − ω ² sin  ω ₀ − ω 2 t



× sin  ω ₀ + ω 2 t



kiedy ω = ω ₀ (rezonans - amplituda drgań dąży do nieskończoności)

x (t) = αt

2ω ₀ sin ω ₀ t

0 5 10 15 20

−0.50.00.5

α=1, ω0=2π, ω=0.97ω0

t

x(t)

Drgania wymuszone

d ² x

dt ² = −ω ₀ ² x + α cos ωt kiedy ω 6= ω ₀

x (t) = 2α

ω ₀ ² − ω ² sin  ω ₀ − ω 2 t



× sin  ω ₀ + ω 2 t



kiedy ω = ω ₀ (rezonans - amplituda drgań dąży do nieskończoności)

x (t) = αt

2ω ₀ sin ω ₀ t

0 5 10 15 20

−1.5−1.0−0.50.00.51.01.5

α=1, ω0=2π, ω=0.99ω0

t

x(t)

Drgania wymuszone

d ² x

dt ² = −ω ₀ ² x + α cos ωt kiedy ω 6= ω ₀

x (t) = 2α

ω ₀ ² − ω ² sin  ω ₀ − ω 2 t



× sin  ω ₀ + ω 2 t



kiedy ω = ω ₀ (rezonans - amplituda drgań dąży do nieskończoności)

x (t) = αt

2ω ₀ sin ω ₀ t

0 5 10 15 20

−1.5−1.0−0.50.00.51.01.5

α=1, ω0=2π, ω=ω0

t

x(t)