Analiza Matematyczna Egzamin Poprawkowy Zestaw B2 Zadanie 1 Prosz¸e narysować wykres funkcji określonej wzorem f (x) = |x(2 − x)| i korzystaj¸ac z definicji zbadać różniczkowalność tej funkcji w punkcie x

Analiza Matematyczna Egzamin Poprawkowy

Zestaw B2 Zadanie 1

Prosz¸e narysować wykres funkcji określonej wzorem f (x) = |x(2 − x)|

i korzystaj¸ ac z definicji zbadać różniczkowalność tej funkcji w punkcie x 0 = 2.

Rozwi¸ azanie

Wykres funkcji - patrz oddzielny zał¸ acznik Wykres B21.pdf Korzystamy z twierdzenia :

Funkcja f (x) jednej zmiennej rzeczywistej jest różniczkowalna w punkcie x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje pochodna funkcji w tym punkcie tzn. istniej¸ a pochodne - lewostronna i prawostronna w tym punkcie i s¸ a sobie równe.

Obliczamy pochodne jednostronne funkcji w punkcie x ₀ = 2.

f

(x ₀₋ ) = lim

x→x

f (x) − f (x ₀ ) x − x ₀ lim

x→2−

(|x(2 − x)| − 0)

x − 2 =

= lim _x→2− (x(2 − x)

x − 2 = lim _x→2− −x(x − 2) x − 2 =

= lim x→2− (−x) = −2 Podobnie

f

(x 0+ ) = lim

x→x

f (x) − f (x 0 ) x − x ₀ lim

x→2+

(|x(2 − x)| − 0)

x − 2 =

= lim _x→2+ −x(2 − x)

x − 2 = lim _x→2

x(x − 2) x − 2 =

= lim _x→2+ (x) = 2

Na podstawie twierdzenia o różniczkowalności funkcja f (x) nie jest różniczkowalna w punkcie x ₀ = 2(wykres funkcji ma ” ostrze ” w tym punkcie ).

1

Zadanie 2

Prosz¸e tak dobrać parametr a > 0, aby funkcja f (x) =

 a ^x−1 dla x > 0 x + a dla x ≤ 0 była ci¸ agł¸ a w punkcie x ₀ = 0. Naszkicować wykres funkcji f (x).

Rozwi¸ azanie

Z definicji ci¸ agłości funkcji w punkcie

x→0− lim = lim

x→0 (x + a) = a

x→0+ lim = lim

x→0 a ^x−1 = a ⁻¹ = 1 a lim _x→0 f (x) istnieje ↔ a = 1

a ↔ a = 1

x→0 lim f (x) = lim

x→0+ (x + 1) = lim

x→0− a ^x−1 = 1 = f (0) Wartość parametru a wynosi 1.

Wykres funkcji - patrz oddzielny zał¸ acznik Wykres B22.pdf Zadanie 3

Prosz¸e obliczyć

Z 3x − 6 x ² − 6x + 12 dx Rozwi¸ azanie

Zauważmy że trójmian mianownika podcałkowej funkcji wymiernej ma wyróżnik

∆ = −12 < 0.

Przedstawiamy całk¸e w postaci sumy całek c1 + c2 - całki c1 z pochodnej logarytmicznej c1 =

Z f

(x)

f (x) dx = ln(f (x) + A i calki c2

c2 =

Z 1

(ax) ² + b ² dx = 1

ab arctan a

b x + B

2

gdzie: A, a,b, B - stałe liczby.

Z 3x − 6

x ² − 6x + 12 dx = 3 2

Z 2x − 6

x ² − 6x + 12 dx + 3

Z 1

(x − 3) ² + 3 dx = c1 + c2 c1 = 3

2

Z 2x − 6

x ² − 6x + 12 dx = 3

2 ln(x ² − 6x + 12) + A c2 = 3

Z 1

(x − 3) ² + 3 dx =

Z 1

( ^{(x−3) √}

3 ) ² + 1 dx = √ 3

Z 1

t ² + 1 dt = √

3 arctan( x − 3

√ 3 ) + B

gdzie t = ^{x−3 √}

3 , dt = ^{√ dx}

3

St¸ ad

Z 3x − 6

x ² − 6x + 12 dx = 3

2 ln(x ² − 6x + 12) + √

3 arctan( x − 3

√ 3 ) + C gdzie: stała C = A+B

Zadanie 4

Prosz¸e wyznaczyć przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji f (x) = √

xln2x

Rozwi¸ azanie

Dziedzin¸ a funkcji D f jest zbiór R +

Pierwsza pochodna funkcji f

(x) = 1

2 √

x ln2x + √ x 1

x =

√ x(ln2x + 2)

2x = ln2x + 2 2 √

x f

(x) < 0 ↔ ln2x + 2

2 √

x < 0 ↔ ln2x + 2 < 0 ↔ x < 1 2 e ⁻² f

(x) > 0 ↔ ln2x + 2

2 √

x > 0 ↔ ln2x + 2 > 0 ↔ x > 1 2 e ⁻²

Funkcja f (x) jest ściśle malej¸ aca na przedziale (0, 1/2e ² ) i ściśle rosn¸ aca na (1/2e ² , ∞).

W punkcie (1/2e ⁻² , f (1/2e ⁻² )) = (1/2e ⁻² , − √

2/e) posiada lokalne minimum właściwe.

3

Zadanie 5

Prosz¸e wyznaczyć równanie stycznej do krzywej o równaniu y − x ^x−1 = 0

Rozwi¸ azanie

Równanie stycznej w punkcie (x ₀ , f (x ₀ )

y = f

(x ₀ )(x − x ₀ ) + f (x ₀ )

f (x) = x ^x−1 = e ^(x−1)lnx , f (1) = 1, f

(x) = x ^x (lnx + (x − 1)/x), f

(1) = 0, St¸ ad równanie stycznej w punkcie (1, 1) ma postać

y = 0 · (x − 1) + 1, y = 1

Zadanie 6 Prosz¸e obliczyć

Z 1 0

xe ^x dx

Rozwi¸ azanie

Elementarna całka, któr¸ a obliczamy metod¸ a całkowania przez cz¸eści:

Z 1 0

xe ^x dx = Z 1

0

x(e ^x )

dx = 1e ¹ − 0e ⁰ − Z 1

0

1e ^x dx = e ¹ − e ¹ + e ⁰ = 1

4