Analiza Matematyczna Egzamin Poprawkowy Zestaw D2 Zadanie 1 Stosuj¸ac różniczk¸e funkcji, prosz¸e obliczyć przybliżon¸a wartość 0.91

Analiza Matematyczna Egzamin Poprawkowy

Zestaw D2 Zadanie 1

Stosuj¸ ac różniczk¸e funkcji, prosz¸e obliczyć przybliżon¸ a wartość 0.91 ^0.91

Rozwi¸ azanie

Skorzystamy z równości pzybliżonej

f (p + h) ≈ f (p) + f

(p)h

Mamy

f (x) = x ^x = e ^xlnx ; p = 1, f (1) = 1 ; f

(x) = x ^x (lnx + 1), f

(1) = 1, h = −0.09 St¸ ad

0.91 ^0.91 ≈ 1 − 1 · 0.09 = 0.91

Zadanie 2

Prosz¸e znaleźć wszystkie ekstrema lokalne funkcji f (x) = x − 1

x(x + 1 Rozwi¸ azanie Dziedzin¸ a funkcji jest zbiór

D _f = R − {−1, 0}

Pierwsza pochodna

f

(x) = 1x(x + 1) − (x − 1)(2x + 1)

x ² (x + 1) ² = −x ² + 2x + 1

x ² (x + 1) ² = 0 ↔ −(x ² −2x+1)+2 = 0 ↔ (x−1) ² = 2 f

(x) = 0 ↔ (x = 1 − √

2) ∨ (x = 1 + √ 2)

Zauważmy, że o znaku pochodnej decyduje przebieg funkcji g(x) = 2 − (x − 1) ² . Wykre- ślaj¸ ac funkcj¸e g(x) ( patrz oddzielny zał¸ acznik Wykres D2.pdf ).

1

Stwierdzamy że

f _min = f (1 − √

2) = 3 + 2 √

2, f _max = f (1 + √

2) = 3 − 2 √ 2

Zadanie 3 Prosz¸e obliczyć

n→∞ lim

√

3 ⁿ + 3 ²ⁿ + 3 ³ⁿ

Rozwi¸ azanie

Do obliczenia granicy wykorzystamy twierdzenie o trzech ci¸ agach.

Przypomnijmy to twierdzenie.

”Jeśli a _n ≤ b _n ≤ c _n dla dostatecznie dużych n i ci¸ agi (a _n ), (b _n ) maj¸ a równe granice, to ci¸ ag (b _n ) też ma granic¸e i zachodz¸ a równości

n→∞ lim a _n = lim

n→∞ b _n = lim

n→∞ c _n ” Dla dostatecznie dużego n zachodzi nierówność

27 = √

3 ³ⁿ < √

3 ⁿ + 3 ²ⁿ + 3 ³ⁿ < √

3 · 3 ³ⁿ = 27 √

3 Z twierdzenia o trzech ci¸ agach otrzymujemy

n→∞ lim a _n = lim

n→∞ b _n = lim

n→∞ c _n = 27, bo lim n→∞

√

3 = 1 i lim n→∞ 27 = 27 Zadanie 4

Prosz¸e obliczyć

Z 1

−1

x ² sin xdx

Rozwi¸ azanie

Zauważmy, że funkcja podcałkowa jako iloczyn funkcji parzystej i nieparzystej jest funkcj¸ a nieparzyst¸ a.

Całka oznaczona z funkcji nieparzystej na przedziale symetrycznym wzgl¸edem pocz¸ atku układu współrz¸ednych jest równa 0

2

Aby si¸e o tym przekonać obliczymy całk¸e, dwukrotnie stosuj¸ ac metod¸e całkowania przez cz¸eści.

Otrzymujemy kolejno Z 1

−1

x ² sin xdx = Z 1

−1

x ² (− cos x)

dx = − cos(1) + cos(−1) + 2 Z 1

−1

x(sin x)

dx =

= − cos 1+cos 1+2 sin 1+2 sin(−1)−2 Z 1

−1

sin xdx = − cos 1+cos 1+2 sin 1−2 sin 1−2 cos 1+2 cos(1) = 0

Zadanie 5 Prosz¸e obliczyć

x→0+ lim

ln(sin x) ln(x) Rozwi¸ azanie

Stosujemy reguł¸e markiza de L’Hospitala

x→0+ lim

ln(sin x)

ln(x) [∞/∞] = lim

x→0+

1

sin x cos x

1 x

= ( lim

x→0+

x

sin x )( lim

x→0+ cos x) = 1 · 1 = 1

Zadanie 6 Prosz¸e obliczyć

Z

2 ^{sin x} sin2xdx

Rozwi¸ azanie

Z

2 ^{sin x} sin 2xdx = Z

2 ^{sin x} · 2 sin x cos xdx = Z

2 ^{sin x+1} sin x cos xdx [sin x + 1 = t]

= Z

2 ^t (t − 1)dt =

Z  2 ^t ln2



(t − 1)dt = 2 ^t

ln2 (t − 1) − Z 2 ^t

ln2 1dt = 2 ^t

ln2 (t − 1) − 2 ^t

ln ² 2 + C =

= 2 ^{sin x+1}

ln 2 sin x − 2 ^{sin x+1} ln ² 2 + C

3