Odpowiedzi
Rachunek prawdopodobieństwa
Praca klasowa nr 1, grupa A
1.
Obliczenie P(B) = 0,3. 2 pkt
6 pkt
Obliczenie P(A) = 0,2. 2 pkt
Obliczenie P(A’ ∪ B’) = 1 – P(A ∩ B) = 0,94. 2 pkt
2.
Obliczenie mocy przestrzeni zdarzeń elementarnych: Ω = 7
5. 1 pkt
4 pkt a) Obliczenie prawdopodobieństwa P(A) =
57
360 , gdzie A – zdarzenie, że każdy z pięciu pasażerów wysiądzie na innym piętrze.
2 pkt
b) Obliczenie prawdopodobieństwa P(B) =
55
7 ) 2 2 2 ( 7 −
=
47 90 , gdzie B – zdarzenie, że pasażerowie wysiądą na dwóch różnych piętrach.
3 pkt
3.
Rozpisanie pierwszego etapu doświadczenia i obliczenie prawdopodobieństw: P({b, b, b}) =
30
1 , P({b, b, c}) = 0,3,
P ({b, c, c}) = 2
1 , P({c, c, c}) = 6 1 .
3 pkt
6 pkt Rozpisanie drugiego etapu doświadczenia, obliczenie
poszczególnych prawdopodobieństw wylosowania kuli białej spośród trzech wcześniej wybranych kul oraz odpowiednie zsumowanie iloczynów prawdopodobieństw dające wynik:
30
1 + 0,3 ⋅ 3 2 +
2 1 ⋅
3 1 =
5 2 .
3 pkt
4.
Obliczenie mocy przestrzeni zdarzeń elementarnych: Ω = 125 1 pkt
6 pkt Analiza zadania, na przykład poprzez sklasyfikowanie liczb ze
względu na reszty z dzielenia przez 3: resztę 1 daje liczba 7, resztę 2: 2, 5, resztę 0: 0, 9.
2 pkt
Obliczenie liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A, że suma liczb wyrzuconych oczek jest podzielna przez 3: A = 1 + 2
3+ 2
3+ 1 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 6 = 41 i obliczenie
prawdopodobieństwa P(A) = 125
41 .
3 pkt
5.
Obliczenie mocy przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω =
4 24
=
10 626. 1 pkt
6 pkt a) Obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia A – wśród
wylosowanych kart będzie co najmniej jeden pik,
P (A) = 1 – P(A’) = 1 –
4 24
4 18
= 1771
510 , gdzie A’ – zdarzenie, że
żadna z czterech kart nie jest pikiem.
2 pkt
b) Oznaczenie zdarzeń: B – dwie spośród wylosowanych czterech kart są damami, C – wśród wylosowanych kart jest co najwyżej jeden as, B ∩ C – wśród wylosowanych kart są:
2 damy i 0 asów i 2 karty niebędące, ani asem, ani damą lub 2 damy i 1 as i jedna karta niebędąca ani asem, ani damą.
Wyznaczenie mocy zbiorów: C =
+
3 20 1 4 4 20 0
4 = 9405
C
B ∩ =
+
1 16 1 4 2 4 2 16 0 4 2
4 = 1104.
Obliczenie P(B|C) = 3135
368 .
3 pkt
Praca klasowa nr 1, grupa B
1.
Obliczenie P(B) = 0,2, w tym 1 punkt za zapisanie zapisanie
P(A ∩ B) = 0,4P(B) 3 pkt
6 pkt
Obliczenie P(A ∩ B) = 0,08 1 pkt
Obliczenie P(B – A) = 0,12 2 pkt
2.
Obliczenie mocy przestrzeni zdarzeń elementarnych: Ω =8
52 pkt
4 pkt a) Obliczenie prawdopodobieństwa P(A) =
38
105 , gdzie A – zdarzenie, że każdy z pięciu pasażerów wysiądzie na innym przystanku
b) Obliczenie prawdopodobieństwa P(B) =
55
8 ) 2 2 2 ( 8 −
=
48 105 , gdzie B – zdarzenie, że pasażerowie wysiądą na dwóch różnych przystankach
3 pkt
3.
Rozpisanie pierwszego etapu doświadczenia i obliczenie prawdopodobieństw: P({c, c, c}) =
120
1 , P({b, c, c}) = 40
7 ,
P({b, b, c}) = 40
21 , P({b, b, b}) = 24
7
3 pkt
6 pkt Rozpisanie drugiego etapu doświadczenia, obliczenie
poszczególnych prawdopodobieństw wylosowania kuli czarnej spośród trzech wcześniej wybranych kul oraz odpowiednie zsumowanie iloczynów prawdopodobieństw dające wynik:
120 1 +
40 7 ⋅
3 2 +
40 21 ⋅
3 1 =
10 3
3 pkt
4.
Obliczenie mocy przestrzeni zdarzeń elementarnych: Ω = 125 1 pkt
6 pkt Analiza zadania, na przykład poprzez sklasyfikowanie liczb ze
względu na reszty z dzielenia przez 3: resztę 2 daje liczba 8, resztę 1: 1, 4, resztę 0: 0, 6
2 pkt
Obliczenie liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A, że suma liczb wyrzuconych oczek jest podzielna przez 3: A = 1 + 2
3+ 2
3+ 1⋅2⋅2⋅6 = i obliczenie
prawdopodobieństwa P(A) = 125
41
3 pkt
5.
Obliczenie mocy przestrzeni zdarzeń elementarnych:
Ω =
4
24 = 10626 1 pkt
6 pkt a) obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia A – wśród
wylosowanych kart będą co najwyżej jeden trefl,
P(A) =
10626 3 18 1 6 4 18 0 6
+
= 1771 1326 .
2 pkt
Oznaczenie zdarzeń: B – dwie spośród wylosowanych czterech kart są dziesiątkami, C – wśród wylosowanych kart jest co najmniej jeden król, B ∩ C – wśród wylosowanych kart są: 2 dziesiątki i 1 król i 1 karta nie będące, ani dziesiątką, ani królem lub 2 dziesiątki i 2 króle. Wyznaczenie mocy zbiorów:
'
C =
4
20 = 4845, C = 10626 – 4845 = 5781
C
B ∩ =
+
2 4 2 4 1 16 1 4 2
4 = 420
Obliczenie P(B|C) = 1927
140
3 pkt
Praca klasowa nr 2, grupa A
1.
Skorzystanie z definicji prawdopodobieństwa warunkowego i zapisanie równości w postaci:
) ' (
) ' ( ) (
) (
B P
B A P B P
B A
P ∩
∩ =
. 1 pkt
6 pkt Zapisanie: P(A ∩ B’) = P(A) – P(A ∩ B) oraz P(B’) = 1 – P(B). 2 pkt
Przekształcenie równości do postaci P(A ∩ B) = P(A)P(B) i
zapisanie wniosku o niezależności zdarzeń A i B. 3 pkt
2.
Oznaczenie zdarzeń, na przykład S – uszycie bluzki w najmniejszym rozmiarze, M – uszycie bluzki w średnim rozmiarze, L – uszycie bluzki w największym rozmiarze i obliczenie odpowiadającego im prawdopodobieństwa:
P (S) = 17
4 , P(M) = 17
7 , P(L) = 17
6 .
2 pkt
6 pkt Oznaczenie zdarzenia W – uszycie wadliwej bluzki i zapisanie
prawdopodobieństw warunkowych:
P (W|S) = 0,04, P(W|M) = 0,03 oraz P(W|L) = 0,01.
2 pkt
Obliczenie prawdopodobieństwa:
P(W) = 0,04 ⋅ 17
4 + 0,03 ⋅ 17
7 + 0,01 ⋅ 17
6 = 1700
43 . 2 pkt
3.
a) Zsumowanie dwóch przypadków rozwiązania, kiedy na pierwszym miejscu stoi lub nie dwójka:
2
6 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 + 7 ⋅
3
6 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 = 54 600.
3 pkt
6 pkt b) Rozpatrzenie trzech możliwości, czyli może to być liczba
z cyframi 1 i 2 i sześć zer lub z cyframi 0 i 3 i sześć zer, lub trzy jedynki i pięć zer, wówczas dostajemy: 7 ⋅ 2 +
2
7 + 1 = 36.
3 pkt
4.
Obliczenie prawdopodobieństw: P((c, b, z)) = 125
36 ,
P ((c, z, z)) = 125
24 , P((b, b, c)) = 125
6 , P((b, z, c)) = 125
4 ,
P ((c, b, c)) = 125
9 , P((c, z, c)) = 125
6 , gdzie przykładowo P ((c, b, z)) oznacza prawdopodobieństwo wylosowania z pierwszej urny kuli czarnej, z drugiej urny kuli białej i z trzeciej urny kuli zielonej.
3 pkt 6 pkt
Obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia C, że wylosowana z czwartej urny kula będzie czarna:
P (C) = )
125 4 125
6 125
24 125 ( 36 3
1 ⋅ + + + + )
125 6 125 ( 9 3
2 ⋅ + =
15 4 .
3 pkt
5.
Wyznaczenie mocy przestrzeni zdarzeń elementarnych:
Ω = (2n + 1)2n(2n – 1) 1 pkt
6 pkt Zauważenie, że w podanym zbiorze liczbowym jest n + 1 liczb
parzystych i n liczb nieparzystych oraz obliczenie liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu: A – suma wszystkich kolejno wylosowanych liczb jest liczbą nieparzystą.
n n n n
n n
A = ( − 1 )( − 2 ) + 3 ( + 1 ) ⋅ ⋅ .
2 pkt
Wyznaczenie P(A) =
1 4
1 2
2 2
− + n
n , ułożenie równania
85 43 1 4
1 2
2 2
=
− + n
n ,
gdzie n ∈ N i rozwiązanie go: n = 8.
2 pkt
Podanie odpowiedzi, że w zbiorze jest 17 liczb. 1 pkt
Praca klasowa nr 2, grupa B
1.
Skorzystanie z definicji prawdopodobieństwa warunkowego oraz niezależności zdarzeń do przedstawienia lewej strony równości w postaci P(B|C) =
) (
) (
C P
C B
P ∩
= P(B).
2 pkt
6 pkt Skorzystanie z definicji prawdopodobieństwa warunkowego
oraz niezależności zdarzeń do przedstawienia prawej strony równości w postaci
P (B|C’) =
) ' (
) ' (
C P
C B
P ∩
= ( ' )
) ( ) ( ) (
C P
C P B P B
P −
= ( ' ) )) ( 1 )(
( C P
C P B
P −
.
3 pkt
Skorzystanie z definicji zdarzenia przeciwnego i zapisanie prawej strony jako:
) ' (
) ' ( ) (
C P
C P B
P = P(B), zatem P(B|C) = P(B|C’). 1 pkt
2.
Oznaczenie zdarzeń, na przykład O – wyprodukowanie stołu owalnego, K – wyprodukowanie stołu kwadratowego, T – wyprodukowanie stołu prostokątnego i obliczenie
odpowiadającego im prawdopodobieństwa:
P (O) = 19
8 , P(K) = 19
6 , P(T) = 19
5 .
2 pkt
6 pkt
Oznaczenie zdarzenia W – wyprodukowanie stołu wadliwego i zapisanie prawdopodobieństw warunkowych:
P (W|O) = 0,02, P(W|K) = 0,01 oraz P(W|T) = 0,04.
2 pkt
Obliczenie prawdopodobieństwa:
P(W) = 0,02 ⋅ 19
8 + 0,01 ⋅ 19
6 + 0,04 ⋅ 19
5 = 1900
42 = 950
21 . 2 pkt
3.
a) Zsumowanie dwóch przypadków rozwiązania, kiedy na pierwszym miejscu stoi lub nie trójka:
3
7 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 + 7 ⋅
4
7 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 = 110 250.
3 pkt
6 pkt b) Rozpatrzenie trzech możliwości, czyli może to być liczba
z cyframi 1 i 2 i siedem zer lub z cyframi 0 i 3 i siedem zer, lub trzy jedynki i sześć zer, wówczas mamy: 8 ⋅ 2 +
2
8 + 1 = 45.
3 pkt
4.
Obliczenie prawdopodobieństw: P((b, z, c)) = 125
24 ,
P ((c, z, c)) = 125
6 , P((b, b, z))=
125
24 , P((c, b, z)) = 125
6 ,
P ((b, z, z)) = 125
36 , P((c, z, z)) = 125
9 , gdzie przykładowo P ((b, z, c)) oznacza prawdopodobieństwo wylosowania z pierwszej urny kuli białej, z drugiej urny kuli zielonej i z trzeciej urny kuli czarnej.
3 pkt
6 pkt
Obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia Z, że wylosowana z czwartej urny kula będzie zielona:
P (C) = )
125 6 125
24 125
6 125 ( 24 3
1 ⋅ + + + + )
125 9 125 ( 36 3
2 ⋅ + =
5 2 .
3 pkt
5.
Wyznaczenie mocy przestrzeni zdarzeń elementarnych:
Ω = (2n + 1)2n(2n – 1). 1 pkt
6 pkt Zauważenie, że w podanym zbiorze liczbowym jest n + 1 liczb
nieparzystych i n liczb parzystych oraz obliczenie liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A – suma wszystkich kolejno wylosowanych liczb jest liczbą parzystą.
n n n n
n n
A = ( − 1 )( − 2 ) + 3 ( + 1 ) ⋅ ⋅ .
2 pkt
Wyznaczenie P(A) =
1 4
1 2
2 2
− + n
n , ułożenie równania
143 73 1 4
1 2
2 2
